平面向量
一、选择题
1. 化简得（ ）
A. B. C. D.
2. 设分别是与向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知下列命题中：
（1）若，且，则或，
（2）若，则或
（3）若不平行的两个非零向量，满足，则
（4）若与平行，则其中真命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若a(b＝0，则a＝0或b＝0
B. 若a(b＝0，则a∥b
C. 若a∥b，则a在b上的投影为|a|
D. 若a⊥b，则a(b＝(a(b)2
5. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量,向量则的最大值，
最小值分别是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1. 若=，=，则=_________
2. 平面向量中，若，=1，且，则向量=____.
3. 若,，且与的夹角为，则 .
4. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点
所构成的图形是___________.
5. 已知与，要使最小，则实数的值为___________.
三、解答题
1. 如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，为基底表示、、.
2. 已知向量的夹角为，,求向量的模.
3. 已知点，且原点分的比为，又，求在上的投影.
4. 已知,,当为何值时，
（1）与垂直？
（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？
参考答案
一、选择题
1. D
2. C 因为是单位向量，
3. C （1）是对的；（2）仅得；（3）
（4）平行时分和两种，
4. D 若，则四点构成平行四边形；
若，则在上的投影为或，平行时分和两种
5. C
6. D
，最大值为，最小值为
二、填空题
1.
2. 方向相同，
3.
4. 圆 以共同的始点为圆心，以单位为半径的圆
5. ，当时即可
三、解答题
1. 解：
是△的重心，
2. 解：
3. 解：设，，得，即
得，，
4. 解：
（1），
得
（2），得
此时，所以方向相反.
必修4第二章《平面向量》
一、选择题
1．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若= （ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是 （ ）
A． B． C． D．
3．对于菱形ABCD，给出下列各式：
① ②
③ ④2
其中正确的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在 ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量反向，下列等式中成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ）
A．（1，5）或（5，－5） B．（1，5）或（－3，－5）
C．（5，－5）或（－3，－5） D．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）
7．下列各组向量中：① ② ③ 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
8．与向量平行的单位向量为 （ ）
A． B．
C．或 D．
9．若，，则的数量积为 （ ）
A．10 B．－10 C．10 D．10
10．若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量,则的坐标为( ）
A． B．
C． D．
11．设k∈R，下列向量中，与向量一定不平行的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
12．已知，且，则的夹角为 （ ）
A．60° B．120° C．135° D．150°
二、填空题
13．非零向量，则的夹角为 .
14．在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是
15．已知，，若平行，则λ= .
16．已知为单位向量，=4，的夹角为，则方向上的投影为 .
三、解答题
17．已知非零向量满足,求证:
18．已知在△ABC中，，且△ABC中∠C为直角，求k的值.
19、设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.
20．已知 ,的夹角为60o,,,当当实数为何值时，⑴∥ ⑵
21．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，
求证：①PA=EF；
②PA⊥EF.
22．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，
求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
参考答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
B
C
D
A
C
A
B
C
B
二、填空题：
13． 120°； 14． 矩形 15、 16．
三、解答题：
17．证：
18．解：
19．
若A，B，D三点共线，则共线，
即
由于可得：
故
20.⑴若∥ 得
⑵若得
21.解以D为原点为x轴正方向建立直角坐标系
则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1)
故
22.证:
即
平面向量单元测试题（苏教版）
班级 姓名 考号
一，选择题：（5分×8=40分）
1，下列说法中错误的是 （ ）
A．零向量没有方向 B．零向量与任何向量平行
C．零向量的长度为零 D．零向量的方向是任意的
2，下列命题正确的是 （ ）
A. 若、都是单位向量，则 ＝
B. 若=, 则A、B、C、D四点构成平行四边形
C. 若两向量、相等，则它们是始点、终点都相同的向量
D. 与是两平行向量?
3，下列命题正确的是 （ ）
A、若∥，且∥，则∥。
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C、向量的长度与向量的长度相等 ,
D、若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线。
4，已知向量，若，=2，则 （ ）
A．1 B. C. D.
5，若=（，），=（，），，且∥，则有 （ ）
A，+=0， B， ―=0，
C，+=0， D， ―=0，
6，若=（，），=（，），，且⊥，则有 （ ）
A，+=0， B， ―=0，
C，+=0， D， ―=0，
7，在中，若，则一定是 （ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
8，已知向量满足，则的夹角等于 （ ）
A． B C D
二，填空题：（5分×4=20分）
9。已知向量、满足==1，=3，则 =
10，已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝
11，.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos∠BAC =
12，.把函数的图像按向量经过一次平移以后得到的图像，
则平移向量是 （用坐标表示）
三，解答题：（10分×6 = 60分）
13，设且在的延长线上，使,，则求点
的坐标
14，已知两向量求与所成角的大小，
15，已知向量=（6，2），=（－3，k），当k为何值时，有
（1），∥ ? （2），⊥ ? （3），与所成角θ是钝角 ？
16，设点A（2，2），B（5，4），O为原点，点P满足=+，（t为实数）；
（1），当点P在x轴上时，求实数t的值；
（2），四边形OABP能否是平行四边形？若是，求实数t的值 ；若否，说明理由，
17，已知向量=（3, －4）, =（6, －3）,=（5－m, －3－m）,
（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
18，已知向量
（1）求向量； （2）设向量，其中，
若，试求的取值范围.
平面向量单元测试题答案：
一，选择题： A D C D B C C A
二，填空题： 9，2； 10，6； 11， 12，
三，解答题：
13，解法一： 设分点P（x,y），∵=―2，(=―2
∴ (x―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),
x―4=2x+4, y+3=2y―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,15)
解法二：设分点P（x,y），∵=―2， (=―2
∴ x==―8,
y==15, ∴ P(―8,15)
解法三：设分点P（x,y），∵,
∴ ―2=, x=―8,
6=, y=15, ∴ P(―8,15)
14，解：=2, = , cos＜,＞=―, ∴＜,＞= 1200，
15，解：（1），k=－1; (2), k=9; (3), k＜9, k≠－1
16，解：（1），设点P（x，0）， =(3,2),
∵=+，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),
∴
(2),设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形，
则有∥, ( y=x―1,
∥ ( 2y=3x ∴ …… ①,
又由=+，( (x,y)=(2,2)+ t(3,2),
得 ∴ …… ②,
由①代入②得：， 矛盾，∴假设是错误的，
∴四边形OABP不是平行四边形。
17，,解：（1）已知向量
若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线， 3分
故知．
∴实数时，满足的条件． 5分
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则， 7分
∴，解得． 10分
18, ．解：（1）令
3分
（2） 4分
6分
===； 8分
∵ ―1≤sinx≤1, ∴ 0≤≤2, 10分
平面向量单元测试题（苏教版）
班级 姓名 考号
一，选择题：（5分×8=40分）
1，下列说法中错误的是 （ ）
A．零向量没有方向 B．零向量与任何向量平行
C．零向量的长度为零 D．零向量的方向是任意的
2，下列命题正确的是 （ ）
A. 若、都是单位向量，则 ＝
B. 若=, 则A、B、C、D四点构成平行四边形
C. 若两向量、相等，则它们是始点、终点都相同的向量
D. 与是两平行向量?
3，下列命题正确的是 （ ）
A、若∥，且∥，则∥。
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C、向量的长度与向量的长度相等 ,
D、若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线。
4，已知向量，若，=2，则 （ ）
A．1 B. C. D.
5，若=（，），=（，），，且∥，则有 （ ）
A，+=0， B， ―=0，
C，+=0， D， ―=0，
6，若=（，），=（，），，且⊥，则有 （ ）
A，+=0， B， ―=0，
C，+=0， D， ―=0，
7，在中，若，则一定是 （ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
8，已知向量满足，则的夹角等于 （ ）
A． B C D
二，填空题：（5分×4=20分）
9。已知向量、满足==1，=3，则 =
10，已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝
11，.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos∠BAC =
12，.把函数的图像按向量经过一次平移以后得到的图像，
则平移向量是 （用坐标表示）
三，解答题：（10分×6 = 60分）
13，设且在的延长线上，使,，则求点
的坐标
14，已知两向量求与所成角的大小，
15，已知向量=（6，2），=（－3，k），当k为何值时，有
（1），∥ ? （2），⊥ ? （3），与所成角θ是钝角 ？
16，设点A（2，2），B（5，4），O为原点，点P满足=+，（t为实数）；
（1），当点P在x轴上时，求实数t的值；
（2），四边形OABP能否是平行四边形？若是，求实数t的值 ；若否，说明理由，
17，已知向量=（3, －4）, =（6, －3）,=（5－m, －3－m）,
（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
18，已知向量
（1）求向量； （2）设向量，其中，
若，试求的取值范围.
平面向量单元测试题答案：
一，选择题： A D C D B C C A
二，填空题： 9，2； 10，6； 11， 12，
三，解答题：
13，解法一： 设分点P（x,y），∵=―2，(=―2
∴ (x―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),
x―4=2x+4, y+3=2y―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,15)
解法二：设分点P（x,y），∵=―2， (=―2
∴ x==―8,
y==15, ∴ P(―8,15)
解法三：设分点P（x,y），∵,
∴ ―2=, x=―8,
6=, y=15, ∴ P(―8,15)
14，解：=2, = , cos＜,＞=―, ∴＜,＞= 1200，
15，解：（1），k=－1; (2), k=9; (3), k＜9, k≠－1
16，解：（1），设点P（x，0）， =(3,2),
∵=+，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),
∴
(2),设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形，
则有∥, ( y=x―1,
∥ ( 2y=3x ∴ …… ①,
又由=+，( (x,y)=(2,2)+ t(3,2),
得 ∴ …… ②,
由①代入②得：， 矛盾，∴假设是错误的，
∴四边形OABP不是平行四边形。
17，,解：（1）已知向量
若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线， 3分
故知．
∴实数时，满足的条件． 5分
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则， 7分
∴，解得． 10分
18, ．解：（1）令
3分
（2） 4分
6分
===； 8分
∵ ―1≤sinx≤1, ∴ 0≤≤2, 10分
课件34张PPT。(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的应用．
几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．
减法也满足交换律、结合律．
(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．
数乘向量满足结合律和分配律．2013高中新课程数学（苏教版必修四）《311 两角和与差的余弦》（课件+教案+导学案+活页规范训练+知能优化训练，12份）
知 胜 教 育 个 性 化 教 学 专 用 教 案
学生姓名：
科目：数学
高一年级
备课时间： 年 月 日
讲次：第 讲
授课教师：周老师
授课时间： 年 月 日 至
上课后，学生签字： 年 月 日
教学类型： ■强化基础型 □引导思路型 ■错题讲析型 □督导训练型
□效率提升型 □单元测评型 □综合测评型 □应试指导型
□专题总结型 □其它：
教学目标：平面向量总结 。
高中数学必修4 平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量为单位向量｜｜＝1?
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量?
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同?
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设，则+==
（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
记作,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；
(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，
记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
4实数与向量的积：
①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理：
向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=
6平面向量的基本定理：
如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点
例1 给出下列命题：
① 若||＝||，则=；
② 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③ 若=，=，则=，
④=的充要条件是||=||且//；
⑤ 若//，//，则//，
其中正确的序号是
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
② 正确．∵ ，∴ 且，
又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，
因此，．
③ 正确．∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；
又＝，∴ ，的长度相等且方向相同，
∴ ，的长度相等且方向相同，故＝．
④ 不正确．当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤ 不正确．考虑=这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是②③．
点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．
例2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①，② ③
解：①原式=
②原式=
③原式=
例3设非零向量、不共线，=k+，=+k (k(R)，若∥，试求k
解：∵∥
∴由向量共线的充要条件得： =λ (λ(R)
即 k+=λ(+k) ∴(k(λ) + (1(λk) =
又∵、不共线
∴由平面向量的基本定理
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
2平面向量的坐标运算：
若，则
若，则
若=(x,y)，则=(x, y)
若，则
若，则
若，则
3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 ?
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向
量
的
加
法
1平行四边形法则
2三角形法则
向
量
的
减
法
三角形法则
向
量
的
乘
法
是一个向量,
满足:
>0时,与同向;
<0时,与异向;
=0时, =
∥
向
量
的
数
量
积
是一个数
或时,
=0
且时,
,
例1 已知向量，，且，求实数的值
解：因为，
所以，
又因为
所以，即
解得
例2已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标
解：设，则
因为是与的交点
所以在直线上，也在直线上
即得
由点得，
得方程组
解之得
故直线与的交点的坐标为
三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积（或内积） 规定
2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系：
5乘法公式成立：
；
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量，则·=
8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角
cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件：
⊥·＝O平面向量数量积的性质
例1 判断下列各命题正确与否：
（1）；（2）；
（3）若，则；
⑷若，则当且仅当时成立；
（5）对任意向量都成立；
（6）对任意向量，有
解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对
例2已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角
解：由题意，，且与的夹角为，
所以，，
，
，
同理可得
而，
设为与的夹角，
则
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑
例3 已知，，，按下列条件求实数的值
（1）；（2）；
解：
（1）；
（2）；
点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算
（数学4必修）第二章 平面向量 [综合训练B组]
一、选择题
1．下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设点，,若点在直线上，且，
则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．无数多个
3．若平面向量与向量的夹角是，且，则( )
A． B． C． D．
4．向量，，若与平行，则等于 A． B． C． D．
5．若是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．设，，且，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．若，且，则向量与的夹角为 ．
2．已知向量，，，若用和表示，则=____。
3．若,，与的夹角为，若，则的值为 ．
4．若菱形的边长为，则__________。
5．若=，=，则在上的投影为________________。
三、解答题
1．求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．
试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和
设非零向量，满足，求证：
4．已知，，其中． (1)求证： 与互相垂直；
(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．
[提高训练C组]
一、选择题
1．若三点共线，则有（ ）
A． B． C． D．
2．设，已知两个向量，
，则向量长度的最大值是（ ）
A. B. C. D.
3．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（ ）
C．，则
D．若与是单位向量，则
4．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足且则与的夹角为
A． B． C． D．
6．若平面向量与向量平行，且，则( )
A． B． C． D．或
二、填空题
1．已知向量，向量，则的最大值是 ．
2．若，试判断则△ABC的形状_________．
3．若，则与垂直的单位向量的坐标为__________。
4．若向量则 。
5．平面向量中，已知，，且，则向量______。
三、解答题
1．已知是三个向量，试判断下列各命题的真假．
（1）若且，则
（2）向量在的方向上的投影是一模等于（是与的夹角），方向与在相同或相反的一个向量．
2．证明：对于任意的，恒有不等式
3．平面向量，若存在不同时为的实数和，使
且，试求函数关系式。
4．如图，在直角△ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问
的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。
填空题
1．若有以下命题：
① 两个相等向量的模相等； ② 若和都是单位向量，则；
③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ ，，则；
⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是 。
2. 在水流速度为4的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8的速度航行，则船自身航行速度大小为____________。
3. 任给两个向量和，则下列式子恒成立的有________________。
① ②
③ ④
4. 若，且，则四边形的形状为________。
5．梯形的顶点坐标为，，且，，则点的坐标为___________。
6. 的三个顶点坐标分别为，，，若是的重心，则点的坐标为__________，__________________。
7. 若向量，，，则___________(用和表示)。
8. 与向量平行的单位向量的坐标为 ________________。
9. 在中，已知，，，则________________。
10.设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 __ ____。
11. 直线平行于向量，则直线的斜率为____________。
12. 已知，，则的取值范围是 _________。
13.已知向量、不共线，且，则与的夹角为 __________。
14.在中， ，，则下列推导正确的是__ _ 。
① 若则是钝角三角形 ② 若，则是直角三角形
③ 若， 则是等腰三角形 ④ 若，则是直角三角形 ⑤ 若，则△ABC是正三角形
二、解答题（本大题共6小题，共90分，请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知 且，，
计算
16.设、、分别是的边、、上的点，且
，，若记，，试用，表示、、。
17. 已知，，且与夹角为120°求
⑴； ⑵； ⑶与的夹角。
18. 已知向量=，= 。
⑴求与；⑵ 当为何值时，向量与垂直？
⑶ 当为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向？
19. 已知=，= ，=，设是直线上一点，是坐标原点
⑴求使取最小值时的； ⑵对（1）中的点，求的余弦值。
20. 在中，为中线上的一个动点，若
求：的最小值。
21..如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE=AD，=，=，
（1）用、分别表示向量;
（2）求证：B、E、F三点共线.
《平面向量》
一、选择题
1．【枣庄市·理科】6．已知
的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．【苍山县·理科】2．已知平面向量等于（ ）.
A．9 B．1 C．－1 D．－9
3．【济宁·理科】11．点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则的最大值是
A．2 B．4 C．5 D．6
4．【临沂一中·理科】3． 已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．【临沂高新区·理科】11．在△OAB中，是AB边上的高，若，则实数λ行等于
Ａ． B． C． D．
6．【烟台·理科】2．若△ABC是锐角三角形，向量
的夹角为 （ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上均不对
7．【郓城实验中学·理科】9．已知、是抛物线(＞0)上异于原点的两点，则“·=0”是“直线恒过定点()”的 （ ）
A．充分非必要条件 B．充要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
8．【聊城一中·理科】9．已知向量夹角为，
( )
A． B． C． D．
二、填空题
1．【济宁·理科】15．已知，且，则与的夹角为 ．
三、计算题
1．【苍山诚信中学·理科】17．（本小题满分12分） 已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（）， （I）若求角的值；
（II）若的值.
3．【烟台·理科】17．（本题满分12分）
设函数
（1）求函数上的单调递增区间；
（2）当的取值范围。
向量及其运算单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．若a、b是两个非零向量，则下列命题正确的是
A.a⊥ba·b＝0 B.a·b＝｜a｜·｜b｜
C.a·b＝－b·a D.a·b＝－｜a｜·｜b｜
2．设A(1，3)，B(－2，－3)，C(x，7)，若∥，则x的值为
A.0 B.3 C.15 D.18
3．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
4．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为
A.－6 B.6 C.3 D.－3
5．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为
A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4 C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－4
6．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是
A.3i＋2j B.－2i＋3j C.－3i＋2j D.2i－3j
7．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为
A.2i－j B.i－2j C.2i＋j D.i＋2j
8．已知a2＝2a·b，b2＝2a·b，则a与b的夹角为
A.0° B.30° C.60° D.180°
9．已知a＝（1，2），b＝(x，1）若a＋2b与2a－b平行，则x为
A.1 B. C.2 D.－
10．把一个函数的图象先向右平移个单位，再向上平移2个单位后，得到图象的函数解析式为y＝sin(x＋)＋2，那么原来的函数解析式为
A.y＝sinx B.y＝cosx C.y＝sinx＋2 D.y＝cosx＋4
11．已知A、B、C三点在同一直线上，A（3，－6），B（－5，2），若点C的横坐标为6，则它的纵坐标为
A.－13 B.9 C.13 D.－9
12．向量（b·c)a－(a·c)b与向量c
A.平行但不相等 B.垂直
C.平行且相等 D.无法确定
二、填空题(4×6＝24分)
13．四边形ABCD满足＝，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是 .
14．化简：（＋）＋（＋）＝
15．已知非零向量a，b，则（a－b)⊥(a＋b) .
16．已知下列命题：
①＋＋＝0；②若向量＝(－3，4)，则向左平移2个单位后的坐标仍是(－3，4)；③已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝0
其中正确命题的序号是__________.
17．若向量a＝（3，－4），b＝(2，x)，e＝(2，y)，且a∥b，a⊥c，则b·c＝ .
18．设a，b，c是任意的非零平面向量，且互相不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b＝0 ②|a|－|b|＜|a－b|
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直 ④（3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
其中是真命题的有 .（把正确命题的序号都填上）
第Ⅱ卷
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．化简：（－)－(－).
20．平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
21．设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
22．某人在静水中游泳，速度为4千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
23．设两个非零向量e1与e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
求证A、B、D共线.
向量及其运算单元练习题答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
B
B
C
B
C
B
B
D
B
二、填空题
13．矩形 14． 15．|a|＝|b| 16．②③ 17．0 18．②④
三、解答题
19．化简：（－)－(－).
【解法一】 （统一成加法）
（－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
【解法二】 （利用－＝）
（－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
【解法三】 （利用＝－）
设O是平面内任一点，则
（－)－(－)＝－－＋＝（－）－（－）－（－）＋（－）＝0.
20．平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
【解】 设＝a，＝b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得：
＝a，＝b，在△ABN和△ADM中可得：
解得： 所以， ＝2d－c)，＝(2c－d).
21．设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
解：（1）当＝时，即k＝±1时，ke1＋e2与e1＋ke2共线
（2）当ke1＋e2与e1＋ke2垂直时，
即（ke1＋e2)·（e1＋ke2)＝0
∴ke12＋(k2＋1)e1e2＋ke22＝0
∴4k＋(k2＋1)·2·3cos60°－9k＝0
∴k＝.
22．某人在静水中游泳，速度为4千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
【解】 （1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作OACB，则此人的实际速度为
＋＝
由勾股定理知||＝8
且在Rt△ACO中，∠COA＝60°,
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着
水流的方向前进，速度大小为8千米/时.
（2）如图（2）,设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为＝－，在Rt△AOD中，||＝4，||＝4，||＝4，cosDAO＝.
∴∠DAO＝arccos.
故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为
4千米/时.
23．设两个非零向量e1与e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
求证A、B、D共线.
证明：∵＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
∴＝＋＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5
故根据两向量共线的充要条件可得∥
又与有一公共点B，
∴A、B、D三点共线.
课件24张PPT。平 面 向 量
复 习 表示 运算 实数与向量的积 向量加法与减法 向量的数量积 平行四边形法则向量平行的充要条件平面向量的基本定理三 角 形 法 则向量的三种表示一、向量的相关概念:1)定义（1）零向量：（2）单位向量：（3）平行向量：（4）相等向量：（5）相反向量：2)重要概念：3)向量的表示4)向量的模（长度）二、向量的运算1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律2)实数λ与向量 a 的积3)平面向量的数量积：(1)两向量的交角定义(2)平面向量数量积的定义(4)平面向量数量积的几何意义(3)a在b上的投影(5)平面向量数量积的运算律(6)平面向量数量积的性质? ③求距离? ①垂直的充要条件?? ②求夹角?三、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式:向量垂直充要条件的两种形式:两个向量相等的充要条件：四、平面向量的基本定理注:满足什么条件的向量可作为基底?向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.几何表示 : 有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 : (x，y)若 A(x1,y1), B(x2,y2)则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)向量的模（长度）1. 设 a = ( x , y ),则2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则平 面 向 量 复 习1.向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a + b =重要结论：AB+BC+CA= 0设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OC平 面 向 量 复 习2.向量的减法运算1）减法法则：OABOA－OB =2）坐标运算:若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则a － b= 3.加法减法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BA(x1 － x2 , y1 － y2)平 面 向 量 复 习实数λ与向量 a 的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！λa是一个向量.它的长度 |λa| =|λ| |a|；它的方向(1) 当λ≥0时,λa 的方向与a方向相同；(2) 当λ＜0时,λa 的方向与a方向相反.若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)= (λ x , λ y)1、平面向量的数量积
（1）a与b的夹角：
（2）向量夹角的范围：
（3）向量垂直：
[00 ，1800]共同的起点（4）两个非零向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积为0a · b = |a| |b| cosθ几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。5、数量积的运算律：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：注意：数量积不满足结合律平面向量数量积的重要性质 （1）e· a = a · e =| a | cosθ
（2）a ⊥ b的充要条件是 a · b =0
(3) 当 a与b同向时， a · b = |a | | b | ;
当 a 与b 反向时，a · b = - |a | | b |
特别地：a · a=| a | 2 或 | a | =
（4）cosθ= （5）| a·b | ≤ | a | | b |
ab为非零向量，e为单位向量向量垂直充要条件的两种形式:
二、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式: 两个向量相等的充要条件:两个向量的坐标相等.
即:
那么 三、平面向量的基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 ，有且只有一对实数 使练习1：判断正误，并简述理由。( √ ）( √ ）( √ ）( × ）( × ）( × ）2.设AB=2(a+5b)，BC= ?2a + 8b，CD=3(a ?b)，
求证：A、B、D 三点共线。 分析：要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD= ?2a + 8b+ 3(a ?b)=a+5b∴AB=2 BD且AB与BD有公共点B∴ A、B、D 三点共线AB∥ BD思考：1、已知两点 ， 试用向量的方法证明以AB为直径的圆的方程为平面向量总复习题?
一、选择题
1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
答案：B
2.当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.相等
解析：∵（a＋b）·（a－b）＝a 2－b2＝|a|2－|b|2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）．
答案：B
3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |
A.①②③ B.⑤
C.③⑤ D.①⑤
解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；
②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；
③两向量不能比较大小，故命题③错误；
④0与任意向量平行，故命题④错误；
⑤命题⑤正确.
答案：B
4.下列四式中不能化简为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：A选项中，
B选项中，＝0，，＋0＝
C选项中，＝0，－＋0＝＋0＝．
D选项中，，（∵）
答案：D
5.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于（ ）
A.0 B.2＋ C. D.2
解析：∵，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴|2c|＝2.
答案：D
6.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是?
A. B.＝0
C. D.
答案：D
7.已知a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|成立的充要条件是
A.a∥b B.a，b有共同的起点
C.a与b的长度相等 D.a⊥b
解析：|a＋b|＝|a－b||a＋b|2＝| a－b|2（a＋b）2＝（a－b）2a2＋2a·b＋b2a2－2 a·b＋b2a·b＝0a⊥b
答案：D
8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是
①|a|2＝a2；②；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a 2－2a·b＋b 2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0
A.①②③ B.①④
C.②④ D.②⑤
解析：②
③（a·b）2＝（| a ||b|cosα）2＝| a |2|b|2cos2α，a 2·b2＝| a |2·|b|2,∴(a·b)2≠a2·b 2
⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，b≠0.
答案：B
9.若点P分有向线段成定比为3∶1，则点P1分有向线段所成的比为
A.－ B.－ C.－ D.－
解析：∵，则点P1分有向线段所成的比为－.
答案：A
10.已知点A（x，5）关于点C（1，y）的对称点是B（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是
A.4 B. C. D.
解析：由中点坐标公式可得，解得x＝4，y＝1，
再由两点间距离公式得.
答案：D
11.将点（a，b）按向量a＝（h，k）平移后，得到点的坐标为
A.（a－h，b＋k） B.（a－h，b－k）
C.（a＋h，b－k） D.（a＋h，b＋k）
解析：设平移后点的坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得，∴
答案：D
12.点A（2，0），B（4，2），若|AB|＝2|AC|，则点C坐标为
A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1）
C.（－1，1）或（1，3） D.无数多个
解析：由题意|AB|＝，
∴|AC|＝.
故点C分布在以点A为圆心，半径为的圆上，故点C坐标有无数多个.
答案：D
13.将曲线f（x，y）＝0按向量a＝（h，k）平移后，得到的曲线的方程为
A.f（x－h，y＋k）＝0 B.f（x－h，y－k）＝0
C.f（x＋h，y－k）＝0 D.f（x＋h，y＋k）＝0
解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得，
∴
又f（x，y）＝0，∴f（x′－h，y′－k）＝0
即f（x－h，y－k）为平移后曲线方程.
答案：B
14.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（－1，2），则|PQ|等于（ ）
A.4 B.2 C.5 D.2
解析：由题意设P（x，0），Q（0，y），由中点坐标公式可得＝－1，＝2
解得x＝－2，y＝4，
∴|PQ|＝.
答案：B
15.下列命题中，正确的是
A.|a·b|＝| a |·|b|
B.若a⊥（b－c），则a·b＝a·c
C.a2＞|a|
D.a（b·c）＝（a·b）c
解析：A．a·b＝|a||b|cosα，|a·b|＝|a||b||cosα|≠| a ||b|
B.若a＝0，则a·b＝a·c，
若b－c＝0，即b＝c，a·b＝a·c；
若a≠0，且b－c≠0，由a⊥（b－c），得a·（b－c）＝0.
∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正确.
C.若|a|＝0或1，则a2＝|a|.
D.向量的数量积不满足结合律.
答案：B
16.函数y＝4sin2x的图象可以由y＝4sin（2x－）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析：∵用x－替换掉函数y＝4sin2x中的x可得y＝4sin2（x－）＝4sin（2x－），
故可将原函数图象向左平移个单位得到.
答案：A
17.已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：∵m·n＝|m||n|cos60°＝，
∴|a|＝，|b|＝
∴a·b＝（2 m＋n）（－3m＋2 n）＝－6 m 2＋2 n2＋m·n＝－6＋2＋＝－
∴cosα＝，∴α＝120°
答案：C
18.将函数y＝的图象按a平移后，函数解析式为y＝－1，则a等于（ ）
A.（－2，1） B.（2，－1）
C.（1，－1） D.（－1，1）
解析：y＝－1，即y＋1＝
∴用x－2，y＋1分别替换了原函数解析式中的x，y
即，∴即
∴a＝（2，－1）
答案：B
19.在直角三角形中，A、B为锐角，则sinA·sinB
A.有最大值和最小值0
B.有最大值，但无最小值
C.既无最大值，也无最小值
D.有最大值1，但无最小值
解析：∵△ABC为直角三角形，∴B＝－A
∴sinA·sinB＝sinA·sin（－A）＝sinA·cosA＝sin2A
当A＝B＝时，有最大值，但无最小值.
答案：B
20.α、β是锐角三角形的三个内角，则
A.cosα＞sinβ且cosβ＞sinα
B.cosα＜sinβ且cosβ＜sinα
C.cosα＞sinβ且cosβ＜sinα
D.cosα＜sinβ且cosβ＞sinα
解析：∵α、β是锐角三角形两内角，
∴α＋β＞，∴＞α＞－β＞0，
∴sinα＞sin（－β）
即sinα＞cosβ，同理sinβ＞cosα
答案：B
21.在△ABC中，sinA＜sinB是A＜B的
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由正弦定理可得，∴
由sinA＜sinB可得a＜b
根据三角形小边对小角可得A＜B，反之由A＜B也可推得sinA＜sinB
故sinA＜sinB是A＜B的充要条件.
答案：C
22.在△ABC中，tanA·tanB＞1，则△ABC为
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
解析：∵tanA·tanB＞1＞0，又∵A、B不可能同时为钝角，∴tanA＞0，tanB＞0，
∴tan（A＋B）＝＜0，
∴90°＜A＋B＜180°，∴0°＜C＜90°，
∴△ABC为锐角三角形.
答案：A
23.在△ABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c，则acosB＋bcosA等于
A.2cosC B.2sinC
C. D.c
解析：由正弦定理得：＝2R
得a＝2RsinA，b＝2RsinB
∴acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RcosAsinB＝2Rsin（A＋B）＝2RsinC＝c
答案：D
24.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC等于
A. B. C.或 D.－
解析：由sinB＝，得
cosB＝±＝±
但当cosB＝－，cosA＋cosB＜0，C无解
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）
＝－（cosAcosB－sinAsinB）
＝sinAsinB－cosBcosA＝··
答案：A
25.在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2＜b2＋c2，则A的取值范围是（ ）
A.90°＜A＜180° B.45°＜A＜90°
C.60°＜A＜90° D.0°＜A＜90°
解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，
∴cosA＝＞0，∴A＜90°，
又∵a边最大，∴A角最大
∵A＋B＋C＝180°，∴3A＞180°，
∴A＞60°，∴60°＜A＜90°
答案：C
26.已知点A分的比为2，下列结论错误的是
A.B分的比为－ B.C分的比为－3
C.A分的比为2 D.C分的比为－
解析：数形结合可得C选项错误.
答案：C
27.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为
A.2 B.
C.2或 D.2或4
解析：sinC＝，
∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°
∴S△ABC＝AB·AC·sinA＝2或.
答案：C
28.在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，则△ABC是
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析：∵sinB·sinC＝
又cosA＝cos［180°－（B＋C）］＝－cos（B＋C）＝－（cosBcosC－sinBsinC）
∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
∴cosBcosC＋sinBsinC＝1
∴cos（B－C）＝1，∴B＝C，
∴△ABC是等腰三角形.
答案：A
二、解答题
1.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋k e 2，＝e1＋3 e 2，＝2e1－e 2，若A、B、D三点共线，求k的值.
分析：由于A、B、D三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，而＝－＝e 1－4e2，将、的e1、e2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于λ、k的方程组，便可求得k的值.
解：＝－＝（2 e 1－e2）－（e 1＋3e2）＝e1－4e2，
∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2 e 1＋ke2＝λ（e 1－4e2）
于是可得，解得k＝－8.
评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系.
2.已知a、b是两个非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证b⊥（a＋tb）.
分析：利用|a＋tb|2＝（a＋tb）2进行转换，可讨论有关|a＋tb|的最小值问题，若能算得b·（a＋tb）＝0，则证明了b⊥（a＋tb）.
（1）解：设a与b的夹角为θ
则|a＋tb|2＝（a＋tb）2
＝a2＋2a·tb＋t2b2
＝|a|2＋2t|a||b|cosθ＋t2|b|2
＝|b|2t2＋（2|a||b|cosθ）t＋|a|2
＝|b|2（t＋ cosθ）2＋|a|2sin2θ
∴当t＝－cosθ＝－时，|a＋tb|有最小值.
（2）证明：b·（a＋tb）＝b·（a－·b）＝a·b－·b·b＝a·b－a·b＝0
∴b⊥（a＋t b）.
评述：对|a＋tb|变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a＋t b |2＝（a＋t b）2的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的.
3.如图所示，OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示.
解：＝a－b
∵（a－b）
∴=b+（a－b）＝a＋b
又由＝a＋b，得
a＋b
a＋b）－（a＋b）＝a－b
评述：由于a，b不共线，因此a，b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.
4.已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 ．
求证：O点是△ABC的垂心
证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a.
∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2
∴a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2
即c·b＝a·c＝b·a，
故·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0
·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0
∴⊥，⊥，
∴点O是△ABC的垂心.
5.如图所示，圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：.
证明：设M、N分别为圆O的两弦AB、CD的中点，连OM、ON，则OM⊥AB，ON⊥CD.
∵
而AB⊥CD，∴四边形MPNO为矩形
∴，
∴
6.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.
解：设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线，
∴
∴
∴
∴
解得
∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）
7.已知a、b、c分别为△ABC三内角A、B、C所对的边，且2(sinA－sinB)，sinA－sinC，2（sinB－sinC）成等比数列.
求证：2b＝a＋c.
证明：要证2b＝a＋c，由正弦定理只要证：
sinB－sinA＝sinC－sinB即可：
由已知可得：（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB）
（sinB－sinC）＝0，且sinA≠sinB，构造方程：
（sinA－sinB）x2－（sinA－sinC）x＋（sinB－sinC）＝0，且x＝1是方程的根
Δ＝（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB）·（sinB－sinC）＝0，∴方程有两相等实根
由韦达定理可知：＝1
∴sinB－sinC＝sinA－sinB，故结论得证.
8.设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.
解：＝（3i＋4j）－（4i＋2j）＝－i＋2j
又i⊥j，∴i·j＝0
∵·＝（4i＋2j）（－i＋2j）＝－4i2＋6i·j＋4j2＝0，∴⊥
∴△ABC是直角三角形，
∴S＝|·||＝×2×＝5
9.已知△ABC中三内角满足A＋C＝2B，，求cos的值.
解：由A＋C＝2B，可得B＝60°，A＋C＝120°
设＝α，则A－C＝2α，
∴A＝60°＋α，C＝60°－α，
∴
将B=60°代入得
∴2cos2α＋cosα－＝0
∴（2cosα－）（2cosα＋3）＝0
∴2cosα＋3＞0
∴cosα＝
即cos
10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：
证明：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，，C＝π－（A＋B）
∴
故原等式成立.
11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c为最大边，若accosA＋bccosB＜4S，其中S为△ABC的面积.
求证：△ABC为锐角三角形.
证明：由余弦定理及三角形面积公式accosA＋bccosB＜4S
即ac·＋bc·＜2absinC＜2ac
∴a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＜4a2b2
即（a2＋b2）c2＜a4＋2a2·b2＋b4＝（a2＋b2）2，
∴c2＜a2＋b2，
∵cosC＝＞0，∴C为锐角
又c为最大边，故C为最大角，
∴△ABC为锐角三角形.
12.在△ABC中，sinA＝，判断这个三角形的形状.
解：由正弦定理、余弦定理可得：
∴＝b＋c
∴b（a2－b2）＋c（a2－c2）＝bc（b＋c）
∴（b＋c）a2＝（b3＋c3）＋bc（b＋c），
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形.?
课件27张PPT。平面向量
综合复习向量考查的层次性v第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，要求考生掌握平面向量的和、差、数乘和向量的数量积等运算，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算．v第二层次：主要考查平面向量的坐标表示，向量的线性运算．v第三层次：和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力，应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能为多角度地展开解题思路提供广阔的空间。一、知识盘点 平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现，因此，平面向量成为中学数学知识的一个交汇点。在基础知识复习时，要注意向量考查的层次，分层次进行复习。1．与平面几何的结合： CC四边形ABCD是菱形四边形ABCD是矩形ODMOM外心重心重心垂心O内心内心总 课 题
三角函数的图象与性质
总课时
第16课时
分 课 题
单元测试
分课时
第 1 课时
?填空题
1、与终边相同的角的集合为________________，最小正角是_____，最大负角是____。
2、一个半径为的扇形，其周长为，则此扇形的面积为__________。
3、若，，则角是第_____象限角。
4、若，是第三象限角，则__________，__________。
5、若，则__________，__________。
6、若函数，，则__________。
7、已知，，则__________。
8、在中，若，则该三角形是_________________三角形。
9、函数是________函数，是_______函数（研究奇偶性）。
10、函数的最小值和最大值分别是__________，__________。
11、把函数图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的解析式是____________________。
12、要得到函数的图象，只需将函数的图象_______________。
13、函数的对称中心是____________________。
14、函数的定义域是____________________。
15、函数的周期是__________。
16、函数在上递增，则的取值范围是____________。
?解答题
17、已知角的终边经过点，求的三个三角函数值。
18、（1）求值：
（2）求值：
（3）化简：
（4）已知，求的值。
19、求下列函数的单调区间和最值。
（1） （2）
20、在匀强磁场中，匀速运动的线圈所产生的电流强度和时间有如下关系：，。
（1）求这个函数的振幅和周期；
（2）求这个函数的单调减区间；
（3）作出这个函数在一个周期内的图象。
21、（1）设函数（其中为非零实数），若，求的值。
（2）函数的周期是，且。
①、求正整数；
②、设是正整数的最大值，用“五点法”作出在一个周期内的图象；
③、说明函数的图象可由正弦曲线怎样变化而得。
总 课 题
平面向量
总课时
第29课时
分 课 题
向量的复习
分课时
第 1 课时
教学目标
通过本章的小结与复习，对本章知识进行一次梳理，突出知识间的内在联系，提高综合运用向量知识解决问题的能力。
重点难点
向量知识的综合应用。
?引入新课
1、已知向量=，=，则
（1）2+= ，－2= ，||= ，·= ，= 。
（2）=，且=+，则 ， 。
（3）（－2+）⊥（+），则= ；（－2+）∥（+），则= 。
（4）与的垂直的单位向量 ；与的平行的模为2的向量 。
2、，，，，则的坐标为 ；若为坐标原点，，则的坐标为 。
?例题剖析
例1、已知向量=(，－1)，= (，)。
（1）求证：⊥；
（2）是否存在不为0的实数和，使=+(2－3)，= －+，且⊥？如果存在，试确定与的关系，如果不存在，请说明理由。
例2、已知，，两两所成的角相等，且||=1，||=2，||=3，求++的长度及它与三个已知向量的夹角。
例3、已知坐标平面内= (1，5)，= (7，1)，= (1，2)，是直线上的一个动点，当·取最小值时，求的坐标，并求的值。
?巩固练习
1、已知的两个顶点为原点和，且，，则的坐标为 ；点的坐标为 ；
2、=2－3，=4－2，=3+，用，表示。
3、四边形为菱形，且，求实数的值。
?课堂小结
向量知识的综合应用。 ?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、已知向量，互相垂直，||=1，||=2，=+2，=－+，若⊥，则=__________。
2、已知||=11，||=23，|－|=30，则|+|=__________。
3、已知(6，1)，(0，－7)，(－2，－3)，则△ABC的形状为____________。
4、设= (1－，)，= (，3)，且//，则为__________。
5、已知= (2，－1)，= ，与的夹角为锐角，则的取值范围是________。
二、提高题
6、已知：分别是中中点，是平面内任意一点，求证：++=++。
7、某人骑自行车以km/h的速度向东行驶，感受到风从正北方向吹来，而当速度为原来的2倍时，感受到风从正东北方向吹来，试求实际的风速。
三、能力题
8、已知和满足条件，求证：
（1）≌； （2）
9、已知，，为两两所成的角均为120°的单位向量。
（1）求证：（－）⊥ （2）若|++|＞1，求实数的范围。
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为__________．
解析：由a·b＝0，得3×2＋m×(－1)＝0，∴m＝6.
答案：6
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝__________.
解析：法一：∵a∥b，∴1·m＝2×(－2)，即m＝－4，
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
法二：∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，
∴(1,2)＝λ(－2，m)，即(1,2)＝(－2λ，λm)．
∴解得
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝－b＋3b＝2b＝(－4，－8)．
答案：(－4,8)
3．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则|3a－b|＝__________.
解析：由|3a－b|2＝9a2－6a·b＋b2＝9×42－6×4×6×cos60°＋62＝108，可求得|3a－b|＝6.
答案：6
4．在△ABC中，AB＝AC＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是__________．
解析：由·＝||||cosA＝8，得cosA＝，所以A＝60°，△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形．
5．若A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)，且A，B，C三点共线，则x＝__________.
解析：因为A，B，C三点共线，所以，共线．所以存在实数k，使得＝k.又因为A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)，所以＝(5,10)，＝(6，x＋2)，所以(5,10)＝k(6，x＋2)．所以解得
答案：10
6．已知向量a＝(6,2)与b＝(－3，k)的夹角是钝角，则k的取值范围是__________．
解析：因为a，b的夹角θ是钝角，所以－1＜cosθ＜0.又因为a＝(6,2)，b＝(－3，k)，所以cosθ＝＝，即－1＜＜0.解得k＜9且k≠－1.故所求k的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,9)．
答案：(－∞，－1)∪(－1,9)
7．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝__________.
解析：设向量a的坐标为(m，n)，则a＋b＝(m＋2，n－1)，由题设，得解得或∴a＝(－1,1)或(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
8．如图，半圆O中AB为其直径，C为半圆上任一点，点P为AB的中垂线上任一点，且||＝4，||＝3，则·＝__________.
解析：·＝·(＋)＝·＋·＝(－)·＋·＝(－)·＋0＝(||2－||2)＝(32－42)＝－.
答案：－
9．给出下列命题：
①若a与b为非零向量，且a∥b时，则a－b必与a或b中之一的方向相同；②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e；③a·a·a＝|a|3；④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线，其中假命题有__________．
解析：①命题中a－b有可能为0，其方向是任意的，故错；③命题中三个向量的数量积应为向量，故为假命题．
答案：①②③④
10．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·＝__________.
解析：n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－5＝2.
答案：2
11．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为__________．
解析：由于质点处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝F＝[－(F1＋F2)]2＝F＋2F1·F2＋F＝22＋42＋2×2×4×＝4＋16＋8＝28，所以F3＝2.
答案：2
12．(2010年高考四川卷改编)设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||等于__________．
解析：∵||2＝16，∴||＝4.又|－|＝||＝4，∴|＋|＝4.∵M为BC的中点，∴＝(＋)，∴||＝|＋|＝2.
答案：2
13．(2010年高考辽宁卷改编)平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于__________．
解析：设a、b间的夹角为θ，则S△OAB＝|a||b|·sinθ＝|a||b|·＝|a||b|
＝|a||b|·
＝.
答案：
14．(2010年高考山东卷改编)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是__________．
①若a与b共线，则a⊙b＝0；
②a⊙b＝b⊙a；
③对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)；
④(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2.
解析：若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，即①正确．由于a⊙b＝mq－np，且b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，即②不正确．对于③，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，即③正确．对于④，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，即④正确．故选②.
答案：②
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；
(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.
解：(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
∴k＝－.
(2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，∴
解得或
∴d＝或d＝.
16．(本小题满分14分)＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥.
(1)求x与y的关系式；
(2)若有⊥，求x、y的值及四边形ABCD的面积．
解：(1)∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝(－x－4,2－y)．
又∥，＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.
(2)∵＝＋＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)，
且⊥，∴·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.
又由(1)的结论x＋2y＝0，
∴(6－2y)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
化简得y2－2y－3＝0，
∴y＝3或y＝－1.
当y＝3时，x＝－6.于是有
＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)．
∴||＝4，||＝8.
∴S四边形ABCD＝||·||＝16.
同理y＝－1时，x＝2.
于是有＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)．
∴||＝8，||＝4.
∴S四边形ABCD＝||·||＝16.
即或
S四边形ABCD＝16.
17．(本小题满分14分)如图所示，一艘小船从河岸A处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处，如果小船保持原来的速度逆水向上游与岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min恰好到达正对岸B处，求河的宽度d.
解：由题意作出示意图．图1为船第一次运动速度合成图．
图2为船第二次运动速度合成图．
设河水流速为v水，船速为v船，
由题意，得两次运动时间分别为t1＝，t2＝.
沿河岸方向有BC＝|v水|t1；
由第二次垂直河岸，有|v船|cosα＝|v水|.
将t1＝10 min，t2＝12.5 min，BC＝120 m代入以上各式，解得d＝200 m.
所以河的宽度为200 m.
18．(本小题满分16分)已知a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数k，使ka＋b与a－2b垂直？
解：(1)因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，所以|a＋b|＝|c|，所以(a＋b)2＝|c|2，即a2＋2a·b＋b2＝c2，所以a·b＝＝，所以cosθ＝＝，所以θ＝60°.
(2)若存在实数k，使ka＋b与a－2b垂直，则(ka＋b)·(a－2b)＝ka2－2b2－2ka·b＋a·b＝－6k－＝0，解得k＝－.所以存在实数k使得ka＋b与a－2b垂直．
19．(本小题满分16分)以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，若B＝90°，求点B和的坐标．
解：设B(x，y)，则||＝.
∵B(x，y)，A(5,2)，
∴||＝，
∴＝，
即10x＋4y＝29.①
又∵⊥，
∴·＝0，
又∵＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，
∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2－5x＋y2－2y＝0.②
由①②组成方程组为
解得或
∴B点的坐标为或.
∴＝或＝.
20．(本小题满分16分)如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
解：法一：∵⊥，∴·＝0，
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2·cosθ.
故当cosθ＝1即θ＝0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
法二：以A为坐标原点，两直角边AB、AC分别为x轴、y轴建立直角坐标系，如图．
设||＝c，||＝b，
则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，
且||＝2a，||＝a，
设点P(x，y)，则Q(－x，－y)，
∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，
＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)·(－x)＋y(－y－b)
＝－(x2＋y2)＋cx－by＝－a2＋cx－by.
∵cosθ＝＝，
∴cx－by＝a2·cosθ，
∴·＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即θ＝0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
第十一课时? 小结与复习（一）?
●教学目标
（一）知识目标
1.本身知识网络结构；
2.向量概念；
3.向量的运算律；
4.重要的定理、公式.
（二）能力目标
1.了解本章知识网络结构；
2.进一步熟悉基本概念及运算律；
3.理解重要定理、公式并能熟练应用；
4.加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力.
（三）德育目标
1.认识事物之间的相互转化；
2.培养学生的数学应用意识.?
●教学重点
突出本章重、难点内容.?
●教学难点
通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别.?
●教学方法
自学辅导法
在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度.?
●教具准备
投影仪、幻灯片（三张）
第一张：本章知识网络图（记作§5.13.1 A）
第二张：向量运算法则（记作§5.13.1 B）
第三张：本节例题（记作§5.13.1 C）?
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法.这一节，我们开始对本章进行小结与复习.
Ⅱ.讲授新课
［师］首先我们通过投影屏幕来看向量知识的网络结构（给出幻灯片§5.13.1 A）
1.本章知识网络结构
2.本章重点及难点
（1）本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；
（2）本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等；
（3）对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用.
3.向量的概念
（1）向量的基本要素：大小和方向.
（2）向量的表示：几何表示法：，a；坐标表示法：a＝xi＋yj＝（x，y）.
（3）向量的长度：即向量的大小，记作|a|.
（4）特殊的向量：零向量a＝0|a|＝0.
单位向量a0为单位向量|a0|＝1.
（5）相等的向量：大小相等，方向相同（x1，y1）＝（x2，y2）
（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.
4.向量的运算
（给出幻灯片§5.13.1 B）
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向
量
的
加
法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
a＋b
＝（x1＋x2，y1＋y2）
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向
量
的
减
法
三角形法则
a－b
＝（x1－x2，y1－y2）
a－b＝a＋（－b）
?
数
乘
向
量
λa是一个向量，满足：
1.|λa|＝|λ||a|；?
2.λ＞0时,λa与a同向;
λ＜0时，λa与a反向；
λ＝0时，λa＝0
λa＝（λx，λy）
λ（μa）＝（λμ）a
（λ＋μ）a＝λa＋μa
λ（a＋b）＝λa＋λb?
a∥ba＝λb
向
量
的
数
量
积
a·b是一个数：
1.a≠0，且b≠0时，a·b＝|a||b|cos＜a，b＞
2.a＝0或b＝0时，a·b＝0
a·b＝x1x2＋y1y2
a·b＝b·a?
（λa）·b＝a·（λb）?
＝λ（a·b）
（a＋b）·c＝a·c＋b·c
a2＝|a|2，|a|＝
|a·b|≤|a||b|
5.重要定理、公式
（1）平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0.
（3）两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
（4）线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则
（线段的定比分点的向量公式）
（线段定比分点的坐标公式）
当λ＝1时，得中点公式：
（5）平移公式
设点P（x，y）按向量a＝（h，k）平移后得到点P′（x′，y′），则＋a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（h，k）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－k＝f（x－h）
（6）正、余弦定理
正弦定理：．
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
［师］下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量知识的应用.
（通过幻灯片§5.13.1 C给出本节例题）?
［例1］设坐标平面上有三点A、B、C，i，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线.
分析：可以假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线∥存在实数λ，使＝λ，从而建立方程来探索.
解法一：假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，
∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ（i＋mj），
∴m＝－2.
∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
解法二：假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝（1，0），j＝（0，1）
∴＝（1，0）－2（0，1）＝（1，－2），
＝（1，0）＋m（0，1）＝（1，m），
由A、B、C三点共线，即∥，
故1·m－1·（－2）＝0，解得m＝－2.
∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
评述：（1）共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择；
（2）本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在时；假设否定法——当不存在时.
Ⅲ.课堂练习
1.判断题
（1）＋＝0（）
（2）0＝0（×）
（3）－＝（×）
2.选择题
已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )
A．a与b相等
B．如果a与b平行，那么a与b相等
C. a·b＝1
D．a2＝b2
答案：D
3.已知A、B、C是直线l上的顺次三点，指出向量、、、中，哪些是方向相同的向量.
答案：与方向相同，与方向相同.
4.已知为与的和向量，且＝a，＝b，分别用a、b表示，.
解：＝（a－b），＝（a＋b）.
5.已知ABCDEF为正六边形，且＝a，＝b，用a，b表示向量、、、、、、、.
解：＝－a，＝a＋b，
＝（a＋b），＝－（a＋b），
＝（a－b），CD＝（b－a），
＝a＋b，＝b－a.
6.已知点A（－3，－4）、B（5，－12）
（1）求的坐标及||；
（2）若，求及的坐标；
（3）求·.
解：（1）＝（8，－8），||＝8
（2）＝（2，－16），＝（－8，8）
（3）·＝33.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P149复习参考题五 7，11，13，15，17，19.
（二）1.预习内容
（1）三角形的有关性质；
（2）向量数量积的性质及坐标表示.
2.预习提纲
（1）向量加、减法基本原则的适用前提；
（2）向量数量积坐标表示的形式特点.?
●板书设计?
§5.13.1 小结与复习（一）
1.向量知识网络结构
2.本章重难点归纳
（1）重点
（2）难点
3.向量基本概念
4.本章运算律、性质
5.重要公式、定理?
●备课资料
1.三点共线的证明
对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明.因为，定比分点问题中所涉及的三个点必然共线，而三个点共线时，必然构成定比分点.
［例1］已知A（－1，－1）、B（1，3）、C（2，5），求证A、B、C三点共线.
证明：设点B′（1，y）是的一个分点，且＝λ，则1＝
解得λ＝2.
∴y＝＝3.
即点B′与点B重合.
∵点B′在上，
∴点B在上，
∴A、B、C三点共线.
2.利用正、余弦定理判断三角形形状
［例2］根据下列条件，判断△ABC的形状
（1）acosA＝bcosB
（2）sin2Α＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB.
解：（1）∵acosA＝bcosB
∴
∴，
即sinAcosA＝sinBcosB
∴sin2A＝sin2B
∴2A＝2B或2A＝π－2B
∴A＝B或A＋B＝
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
（2）∵sin2A＋sin2B＝sin2C
∴，
∴a2＋b2＝c2
故△ABC是直角三角形，且C＝90°，
∴cosB＝，代入c＝2acosB
得cosB＝
∴B＝45°，A＝45°
综上，△ABC是等腰直角三角形.
评注：（1）条件中有边有角，一般须化边为角或化角为边，题（1）也可以化角为边.
（2）题（1）结论中用“或”，题（2）中用“且”结论也就不同，切不可混淆.
［例3］在△ABC中，若a2＝b（b＋c），则A与B有何关系?
解：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC）
∴sin2A－sin2B＝sinB·sinC，
（sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC，
sin（A＋B）sin（A－B）＝sinB·sinC
∵sin（A＋B）＝sinC，
∴sin（A－B）＝sinB，
∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B（舍去）
故A与B的关系是A＝2B.
3.利用正、余弦定理证明三角恒等式
［例4］在△ABC中，求证.
证明：由余弦定理，知
a2＋b2－c2＝2abcosC，
a2－b2＋c2＝2cacosB，
∴.
评注：对于含有a2、b2、c2的形式，常用余弦定理化边为角.
［例5］在△ABC中，已知2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ①
cos2A＋3cosA＋3cos（B－C）＝1 ②
求：a∶b∶c.
解：由①得2a2＝3b2＋3c2 ③
∵cosA＝－cos（B＋C）
由②得3cos（B－C）－3cos（B＋C）
＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C.
∴cos（B－C）－cos（B＋C）＝sin2B＋sin2C，
2sinBsinC＝sin2B＋sin2C
即（sinB－sinC）2＝0，
∴sinB＝sinC，
∴2RsinB＝2RsinC，
∴b＝c代入③得
a＝b.
∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶1.
4.向量知识在近几年高考中的体现
［例6］(2001年全国高考)若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2）,则c等于
A.－a+b B. a－b
C.a－b D.－a+b
分析：本题主要考查平面向量的加、减运算,数与向量的乘法运算,以及简单计算的技能.
解法一：设实数x、y满足c=xa+yb
则有（x+y，x－y）=（－1，2），
所以.
解得x=，y=－.
故选B.
解法二：逐项检验如下：
∵－a+b=（1，－2）≠c，
故排除A.
又∵a－b=（－1，2）=c
故选B.
解法三：（图解法）
依题设可作向量图，如右图：
令c=xa+yb，根据向量加法的平行四边形法则，观察图形，可知系数x＞0，y＜0，且应有|y|＞|x|，从而可以排除A、C、D.
故选B.
［例7］（2000年上海高考）向量=（－1，2），向量=（3，m），若⊥，则m= .
解：=－=（4，m－2），
由两非零向量垂直的充要条件可得－1×4+2（m－2）=0，
解得m=4.?
第十二课时? 小结与复习（二）
●教学目标
（一）知识目标
1.构造向量法；
2.平面几何性质应用.
（二）能力目标
1.熟悉向量的性质及运算律；
2.能根据向量性质特点构造向量；
3.熟练平面几何性质在解题中应用；
4.熟练向量求解的坐标化思路.
（三）德育目标
1.认识事物之间的内在联系；
2.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识.
●教学重点
1.向量的坐标表示的应用；
2.构造向量法的应用.
●教学难点
构造向量法的适用题型特点的把握.
●教学方法
启发引导式
针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.
对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力.
●教具准备
投影仪、幻灯片
第一张：数量积的性质（记作§5.13.2 A）
第二张：本节例题（记作§5.13.2 B）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起复习了本章的基本概念、性质、运算律及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析重点学习平面几何性质及构造向量法在解题时的应用.
Ⅱ.例题分析
［师］首先，我们一起回顾一下向量的数量积的有关性质（给出幻灯片§5.13.2 A）.
在熟悉了上述性质后，我们来看下面的例题.（给出幻灯片§5.13.2 B）?
［例1］利用向量知识证明下列各式
（1）x2＋y2≥2xy
（2）|x|2＋|y|2≥2x·y
分析：（1）题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系.
（2）题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证.
证明：（1）设a＝（x，y），b＝（y，x）则
a·b＝xy＋yx＝2xy
|a||b|＝·＝x2＋y2
又a·b＝|a||b|cosθ（其中θ为a，b夹角）≤|a||b|
∴x2＋y2≥2xy
（2）设x，y的夹角为θ，
则x·y＝|x||y|cosθ≤|x||y|≤
∴|x|2＋|y|2≥2x·y
评述：（1）上述结论表明，重要不等式a2＋b2≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立.
（2）在（2）题证明过程中，由于|x|，| y |是实数，故可以应用重要不等式求证.
［例2］利用向量知识证明
（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量.
证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）
则a·b＝a1b1＋a2b2，
|a|2＝a12＋a22，|b|2＝b12＋b22
∵a·b＝|a||b|cosθ≤|a||b|.（其中θ为a，b夹角）
∴（a·b）2≤|a2|b|2
∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.
［例3］已知f（x）＝
求证：|f（a）－f（b）|＜|a－b|（a≠b）
分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于f（a）、f（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证.下面给出两种证法.
证法一：∵f（a）＝，
f（b）＝，
∴要证明|f（a）－f（b）|＜|a－b|
只需证明|－|2＜|a－b|2
即1＋a2＋1＋b2－2＜a2＋b2－2ab
即＞1＋ab
只需证明［］2＞（1＋ab）2
即1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2
即a2＋b2＞2ab
∵a2＋b2≥2ab，又a≠b
∴a2＋b2＞2ab
∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|
证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）
则|a|＝，|b|＝
a－b＝（0，a－b）
|a－b|＝|a－b|
由||a|－|b||≤|a－b|，其中当|a|＝|b|
即a＝b时，取“＝”，而a≠b
∴||a|－|b||＜|a－b|
即||＜|a－b|
∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|.
评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的
认识.
［师］上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性.下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.
［例4］已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证AC⊥BD.
分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件.
证法一：∵
∴
∴⊥
证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B（0，0），A（a，b），C（c，0）则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2
∵＝（c，0）－（a，b）＝（c－a，－b），
＝（a，b）＋（c，0）＝（c＋a，b）
∴·＝c2－a2－b2＝0
∴⊥
即：AC⊥BD
评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便.通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.
［例5］若非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|.
证明：a⊥b.
分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法.
证法一：（根据平面图形的几何性质）
设＝a，＝b，
由已知可得a与b不平行，
由|a＋b|＝|a－b |得以、为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等.
所以OACB是矩形，
∴⊥
∴a⊥b
证法二：∵|a＋b|＝| a－b|
∴（a＋b）2＝（a－b）2
∴a2＋2a·b＋b 2＝a2－2a·b＋b 2
∴a·b＝0
∴a⊥b
证法三：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
|a＋b|＝，
|a－b|＝，
∴，
化简得：x1x2＋y1y2＝0，
∴a·b＝0，∴a⊥b.
［例6］已知向量a是以点A（3，－1）为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.
分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程.
解：设a的终点坐标为（m，n）
则a＝（m－3，n＋1）
由①得n＝（3m－13），代入②得
25m2－150m＋209＝0
解得 或
∴a的终点坐标是（）或（）
评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆.
［师］上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来.
Ⅲ.课堂练习
1.已知a＝（1，0），b＝（1，1），当λ为何值时，a＋λb与a垂直.
解：a＋λb＝（1，0）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）
∵（a＋λb）⊥a，
∴（a＋λb）·a＝0
∴（1＋λ）＋0·λ＝0，
∴λ＝－1
即当λ＝－1时，a＋λb与a垂直.
2.已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角为30°，求|a＋b|，|a－b|.
解：|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos30°＋|b|2＝（）2＋2××2×＋22＝13
∴|a＋b|＝，
∵|a－b|2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos30°＋b2＝（）2－2××2×＋22＝1
∴|a－b|＝1
3.已知|a|＝3，|b|＝2，a|与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直?
解：若c⊥d，则c·d＝0
∴（3a＋5b）·（ma－3 b）＝0
∴3m|a|2＋（5m－9）a·b－15|b|2＝0
∴3m|a|2＋（5m－9）|a|| b |cos60°－15|b|2＝0
即27m＋3（5m－9）－60＝0
解得m＝.
4.已知a＋b＝c，a－b＝d
求证：|a|＝|b|c⊥d
证明：（1）c⊥d（a＋b）（a－b）＝0a2－b2＝0a2＝b2|a|＝|b|，
（2）|a|＝|b|a2＝b2a2－b2＝0（a＋b）（a－b）＝0c⊥d.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法.
Ⅴ.课后作业
课本P150 A组 27，28.
B组 5，6，7，8.
●板书设计?
§5.13.2 小结与复习
1.本节主要方法
（1）构造向量法
（2）向量坐标化
2.例题分析
3.学习练习
●备课资料
1.三角形内角和性质
定理：在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，则A＋B＋C＝180°
推论（1）：B＝60°2B＝A＋C
推论（2）：若A＜90°，则有sinB＞cosC，
cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC.
推论（3）：sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，
tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.
推论（4）：sin＝cos，cos＝sin，
tan＝cot，cot＝tan.
2.三角形内角和性质应用举例
［例1］△ABC中，若，求证：A、B、C成等差数列.
证明：由条件得，
由推论（3）得sin（B＋C）＝sinA.
∴sin（B－C）＝sinA－sinC
∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC
即2cosBsinC＝sinC
∵sinC≠0，∴cosB＝，∴B＝.
故由推论（1）得2B＝A＋C.
所以A、B、C成等差数列.
［例2］在锐角△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC
证明：∵△ABC是锐角三角形，
∴A＜90°，根据推论（2）有：sinB＞cosC ①
B＜90°，根据推论（2）有：sinC＞cosA ②
C＜90°，根据推论（2）有：sinA＞cosB ③
∴①＋②＋③得：
sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.
［例3］已知△ABC，求证（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝0.
证明：根据正弦定理和推论（4），
有（a－b）cot＝2R（sinA－sinB）·tan
＝4Rsinsin，
∴（a－b）cot＝2R（cosB－cosA）
同理，（b－c）cot＝2R（cosC－cosB）；
（c－a）cot＝2R（cosA－cosC）.
三式相加可得
（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）·cot＝0.
