初中数学苏科版九年级上册 2.4 圆周角 同步测试
一、单选题
1．（2020九上·昌平期末）下列命题正确是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧是等弧
B．等圆周角对等弧
C．任何一个三角形只有一个外接圆
D．过任意三点可以确定一个圆
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】A、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故本选项不符合题意；
B、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等；故本选项不符合题意；
C、任何一个三角形只有一个外接圆，故本选项符合题意；
D、缺少条件，过任意不共线的三点才可以确定一个圆，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据圆周角与弧的关系可判断出各选项，注意在等圆中这个条件．
2．（2020·宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点， ，P点可能是圆心的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：同弧的圆心角是圆周角的两倍，因此C满足该条件.
故答案为：C.
【分析】根据圆心角与圆周角的角度关系判断即可.
3．（2020·金昌模拟）如图， 是⊙ 的直径，点 在⊙ 上.若 ，则 等于（ ）
A．25° B．40° C．50° D．55°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝50°，
∴∠D＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°.
故答案为：B.
【分析】由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由∠D＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等即可求得∠B的度数，最后根据三角形的内角和即可求得∠BAC的度数.
4．（2020·绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
， ，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。
5．（2020·阜新）如图， 为⊙ 的直径，C，D是圆周上的两点，若 ，则锐角 的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
为 的直径，
故答案为：B.
【分析】连接 ，由直径所对的圆周角是直角，求解 ，利用同圆中同弧所对的圆周角相等可得答案.
6．（2020·吉林模拟）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝（ ）
A．80° B．100° C．120° D．160°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，
∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．
故答案为：D．
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．
7．（2020九上·诸暨期末）用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；
B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；
C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；
D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，
故答案为： C.
【分析】利用90°的圆周角所对的弦是直径进行逐一判断即可.
8．（2020·湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 内接于 ， ，
，
故答案为：B.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠ADC的度数。
9．（2020·镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°.
故答案为：C.
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数.
10．（2020·营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的内角和定理得∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的对角互补求∠ADC的度数.
二、填空题
11．（2020·白云模拟）四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是 °．
【答案】97
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∠BCD=180°-83=97°.
故∠BCD的度数是97°.
【分析】直接根据圆内接四边形的对角互补进行求解.
12．（2019·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 .
【答案】30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数为15°，
∴它所对的圆心角的度数为：30°.
故答案为：30°.
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由此即可得出答案.
13．（2020·湖州模拟）如图，圆心角∠AOB＝60°，则∠ACB的度数为 .
【答案】30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 所对的圆心角是∠AOB＝60°，
∴ 所对的圆周角∠ACB＝30°.
故答案为：30°.
【分析】由同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可得出答案.
14．（2020·阳新模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= °.
【答案】60
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∠OAB+∠B=180°.∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°.又∠D＝ ∠AOC，∴3∠D=180°，解得∠D=60°.∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°.∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°.故答案为60°.
【分析】由平行四边形的邻角互补可得∠OAB+∠B=180°，由圆内接四边形的对角互补可得∠D+∠B=180°，再根据圆周角定理可得∠D＝∠AOC，于是可求得∠D的度数，则∠AOC=2∠D，再根据四边形ABCD的内角和=360°可求解.
15．（2019九上·秀洲期中）如图，四边形 内接于圆 ， 为边 延长线上一点，已知弧 的度数为 ，则 ．
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 弧 的度数为 ，
，
四边形 内接于圆 ，
，
．
故答案为：
【分析】由弧 的度数为 可求出 的度数，再根据圆的内接四边形的性质，即可求得 的度数，继而求得答案
16．（2020·安庆模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上，满足AB//CD，且AB=AC，若∠B=110°，则∠DAC的度数为
【答案】75°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠C=180°
∴∠C=180°-∠B=180°-110°=70°
∵AB∥CD
∴∠B+∠BDC=180°
∴∠BDC=70°
又∵AB=AC
∴
∴∠ADC=∠ADB=∠BDC=35°
∴∠DAC=180°-∠C-∠ADC=75°.
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠C，再利用平行线的性质求出∠BDC，再利用圆周角定理的推论求出∠ADC，最后在△ADC中利用三角形的内角和定理求出∠DAC。
17．（2019九上·越城月考）如图，已知点C是 的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB= 度.
【答案】1100
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB=250°，
而∠ACB=125°，
∴∠AOB=360°-250°=110°.
故答案为110°.
【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=125°，得到它所对的圆心角∠AOB=2∠ACB=250°，用360°-250°即可得到圆心角∠AOB.
18．（2019·台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为 .
【答案】52°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°，
∴∠ADC=116°，
又∵点D关于AC对称的点E在BC上，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=116°-64°=52°.
故答案为：52°.
【分析】由圆内接四边形性质及对称性质得∠AEC=∠ADC=116°，再由三角形外角性质即可求得∠BAE度数.
三、解答题
19．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (4)）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC= =8（cm），
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，
∴ = ，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=AB cos45°=10× =5 （cm）
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；
20．（2018九上·磴口期中）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，DB=DC求证：∠CAD=∠EAD．
【答案】解： ，
，
， ，
，
，
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角的性质即可得到∠DBC=∠DCB，根据圆内接四边形的性质进行计算即可得到答案。
21．（人教版九年级数学上册 24.1.4 圆周角（二） 同步练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB
（2）解：∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCD=180°，再由∠DCE+∠BCD=180°等量代换得出∠A=∠DCE，再由等边对等角得出
∠DCE=∠AEB，最后得出∠A=∠AEB。
（2）先证得△ABE是等腰三角形，再由垂径定理得出CF=DF，易得EO是CD的垂直平分线，ED=EC，再分别证△DCE、△ABE是等边三角形即可。
22．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【答案】解：（1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=，
∴OP=3tan30°=，
在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，
∴PQ==；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ==，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，
∴PQ长的最大值为=．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值= ．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
【答案】（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，
∴∠1=∠2．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．
1 / 1初中数学苏科版九年级上册 2.4 圆周角 同步测试
一、单选题
1．（2020九上·昌平期末）下列命题正确是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧是等弧
B．等圆周角对等弧
C．任何一个三角形只有一个外接圆
D．过任意三点可以确定一个圆
2．（2020·宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点， ，P点可能是圆心的是（ ）.
A． B．
C． D．
3．（2020·金昌模拟）如图， 是⊙ 的直径，点 在⊙ 上.若 ，则 等于（ ）
A．25° B．40° C．50° D．55°
4．（2020·绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
5．（2020·阜新）如图， 为⊙ 的直径，C，D是圆周上的两点，若 ，则锐角 的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
6．（2020·吉林模拟）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝（ ）
A．80° B．100° C．120° D．160°
7．（2020九上·诸暨期末）用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
9．（2020·镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
10．（2020·营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
二、填空题
11．（2020·白云模拟）四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是 °．
12．（2019·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是 .
13．（2020·湖州模拟）如图，圆心角∠AOB＝60°，则∠ACB的度数为 .
14．（2020·阳新模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= °.
15．（2019九上·秀洲期中）如图，四边形 内接于圆 ， 为边 延长线上一点，已知弧 的度数为 ，则 ．
16．（2020·安庆模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上，满足AB//CD，且AB=AC，若∠B=110°，则∠DAC的度数为
17．（2019九上·越城月考）如图，已知点C是 的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB= 度.
18．（2019·台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为 .
三、解答题
19．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (4)）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．
20．（2018九上·磴口期中）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，DB=DC求证：∠CAD=∠EAD．
21．（人教版九年级数学上册 24.1.4 圆周角（二） 同步练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
22．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】A、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故本选项不符合题意；
B、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等；故本选项不符合题意；
C、任何一个三角形只有一个外接圆，故本选项符合题意；
D、缺少条件，过任意不共线的三点才可以确定一个圆，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据圆周角与弧的关系可判断出各选项，注意在等圆中这个条件．
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：同弧的圆心角是圆周角的两倍，因此C满足该条件.
故答案为：C.
【分析】根据圆心角与圆周角的角度关系判断即可.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝50°，
∴∠D＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°.
故答案为：B.
【分析】由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由∠D＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等即可求得∠B的度数，最后根据三角形的内角和即可求得∠BAC的度数.
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
， ，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
为 的直径，
故答案为：B.
【分析】连接 ，由直径所对的圆周角是直角，求解 ，利用同圆中同弧所对的圆周角相等可得答案.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，
∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．
故答案为：D．
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；
B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；
C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；
D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，
故答案为： C.
【分析】利用90°的圆周角所对的弦是直径进行逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 内接于 ， ，
，
故答案为：B.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠ADC的度数。
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°.
故答案为：C.
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数.
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的内角和定理得∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的对角互补求∠ADC的度数.
11．【答案】97
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∠BCD=180°-83=97°.
故∠BCD的度数是97°.
【分析】直接根据圆内接四边形的对角互补进行求解.
12．【答案】30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数为15°，
∴它所对的圆心角的度数为：30°.
故答案为：30°.
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由此即可得出答案.
13．【答案】30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 所对的圆心角是∠AOB＝60°，
∴ 所对的圆周角∠ACB＝30°.
故答案为：30°.
【分析】由同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可得出答案.
14．【答案】60
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∠OAB+∠B=180°.∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°.又∠D＝ ∠AOC，∴3∠D=180°，解得∠D=60°.∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°.∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°.故答案为60°.
【分析】由平行四边形的邻角互补可得∠OAB+∠B=180°，由圆内接四边形的对角互补可得∠D+∠B=180°，再根据圆周角定理可得∠D＝∠AOC，于是可求得∠D的度数，则∠AOC=2∠D，再根据四边形ABCD的内角和=360°可求解.
15．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 弧 的度数为 ，
，
四边形 内接于圆 ，
，
．
故答案为：
【分析】由弧 的度数为 可求出 的度数，再根据圆的内接四边形的性质，即可求得 的度数，继而求得答案
16．【答案】75°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠C=180°
∴∠C=180°-∠B=180°-110°=70°
∵AB∥CD
∴∠B+∠BDC=180°
∴∠BDC=70°
又∵AB=AC
∴
∴∠ADC=∠ADB=∠BDC=35°
∴∠DAC=180°-∠C-∠ADC=75°.
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠C，再利用平行线的性质求出∠BDC，再利用圆周角定理的推论求出∠ADC，最后在△ADC中利用三角形的内角和定理求出∠DAC。
17．【答案】1100
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB=250°，
而∠ACB=125°，
∴∠AOB=360°-250°=110°.
故答案为110°.
【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=125°，得到它所对的圆心角∠AOB=2∠ACB=250°，用360°-250°即可得到圆心角∠AOB.
18．【答案】52°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°，
∴∠ADC=116°，
又∵点D关于AC对称的点E在BC上，
∴∠AEC=∠ADC=116°，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=116°-64°=52°.
故答案为：52°.
【分析】由圆内接四边形性质及对称性质得∠AEC=∠ADC=116°，再由三角形外角性质即可求得∠BAE度数.
19．【答案】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC= =8（cm），
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，
∴ = ，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=AB cos45°=10× =5 （cm）
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；
20．【答案】解： ，
，
， ，
，
，
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角的性质即可得到∠DBC=∠DCB，根据圆内接四边形的性质进行计算即可得到答案。
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB
（2）解：∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCD=180°，再由∠DCE+∠BCD=180°等量代换得出∠A=∠DCE，再由等边对等角得出
∠DCE=∠AEB，最后得出∠A=∠AEB。
（2）先证得△ABE是等腰三角形，再由垂径定理得出CF=DF，易得EO是CD的垂直平分线，ED=EC，再分别证△DCE、△ABE是等边三角形即可。
22．【答案】解：（1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=，
∴OP=3tan30°=，
在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，
∴PQ==；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ==，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，
∴PQ长的最大值为=．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值= ．
23．【答案】（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，
∴∠1=∠2．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．
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