1．cos 75°的值为________．
解析 cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝·－·＝.
答案
2．－cos 70°cos 20°＋sin 110°sin 20°＝________.
解析 原式＝－cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°＝－cos(70°＋20°)＝0.
答案 0
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos αcos β＝________.
解析 cos(α＋β)＋cos(α－β)＝＋，
即2cos αcos β＝.
∴cos αcos β＝.
答案
4．若a为锐角且cos α＝，则cos＝________.
解析 由α为锐角且cos α＝，可得sin α＝.于是cos＝coscos α＋sin αsin＝×＋×＝.
答案
5．cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是__________．
解析 cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°
＝cos 70°cos (360°－25°)＋sin(180°－70°)sin 25°
＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos (70°－25°)
＝cos 45°＝.
答案
6．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且＜a＜，0＜β＜，求cos(α＋β)的值．
解 ∵＜α＜，0＜β＜，
∴＜2α－β＜π，－＜α－2β＜，
∴由cos(2α－β)＝－得sin(2α－β)＝；
由sin(α－2β)＝得，cos(α－2β)＝.
∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝.
7．cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α等于________．
解析 将α＋β看作一个整体．因此原式＝cos(α＋β－α)＝cos β.
答案 cos β
8．若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为________．
解析 由
①2＋②2?cos(α－β)＝－.
答案 －
9.＝________.
解析 ＝
＝
＝
＝＝＝1.
答案 1
10．已知sin＝，且＜α＜，则cos α＝________.
解析 ∵sin＝，且＜α＜，∴＜α＋＜π，从而cos＝－＝－.
∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
答案
11．已知在△ABC中，A、B、C分别为其三个内角，若A－B为锐角且sin(A－B)＝，cos B＝，求cos A的值．
解 ∵cos B＝，
∴sin B＝ ＝ ＝.
cos(A－B)＝＝ ＝.
∴cos A＝cos[(A－B)＋B]
＝cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B
＝×－×＝.
12．已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．
解 ∵α、β∈且cos α＝，cos (α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.
13．(创新拓展)已知sin＝，0解 因为sin＝，
所以cos＝sin＝，
因此cos＝.
因为0因此sin＝，cos＝.
从而cos 2x＝cos＝×＋×＝，＝＝.
课件26张PPT。单击此处进入 活页规范训练课件11张PPT。3.1.1 两角和与差的余弦问题1：一、问题情境：两 角 和 与 差 的 余 弦问题2： 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？xoαyβ两 角 和 与 差 的 余 弦二、两角和与差的余弦公式：注：（1）角α和角β均是任意角；三、应用例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：【评】1、公式的直接应用；
2、两角和为 ，正、余弦相等；
3、正、余弦可互化.【变式】利用两角和（差）的余弦公式求【引申】【课后思考】能否求 的值？例2 化简:【评】公式的正用、逆用和灵活运用。例3、练习：【评】和差角公式与同角三角函数公式的综合运用，在由 的值求 的值，或由 的值求 的值时，要注意根据角的范围，确定三角函数值的符号。化简：能力提升：【引申】四、课堂小结: 1 、两角和与差的余弦公式： 2、 以上两公式的推导。 3、公式的正用，逆用及变用。五、作业：书：94页：习题3.1（1）1、2、3课件7张PPT。3.1.1两角和与差的余弦 创设情境如图，向量a＝(cos45o，sin45o）
b＝(cos60o ，sin60o )，试分别
计算a?b =|a|? |b |cosθ及a?b =x1x2+y1y2，比较两次计算
的结果，你能发现什么？ cos(60o-45o) = cos60ocos45o+sin60o sin45o．问题1 ：这个表达式揭示了哪些角的三角函数间的关系？揭示了60o和45o的正余弦与15o的余弦之间的关系. 问题2：以上关系能否推广到任意的两个角α与β之间呢？即cos(α－β)能否用α与β的三角函数来表示？cos(α－β)＝cosαcosβ+sinαsinβ创设情境问题3：如何证明问题4：若借助于向量证明，要
构造怎样的两个向量?令a＝(cosα， sinα)，b＝(cosβ，sinβ)． a?b＝|a|?| b |cos(β－α)＝cos(β－α)，
a ?b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
故cos(α－β) ＝cosαcosβ＋sinαsinβ．数学理论数学理论问题5：如何推导两角和的余弦cos(α＋β)的
公式？ cos(α＋β) ＝ cos(α － （－β） ）
= cosαcos （－ β）+sinαsin（ － β）
=cosαcosβ－sinαsinβ． 两角差的余弦公式
cos(α － β)＝cosαcosβ+sinαsinβ
两角和的余弦公式
cos(α+β)＝cosαcosβ － sinαsinβ例题讲解例1．利用两角和（差）的余弦公式证明下列
诱导公式：
（1）cos(－α)＝sinα；
（2）sin(－α)＝cosα．例2．利用两角和（差）的余弦公式，
求cos75°，cos15°．例题讲解例3．利用两角和（差）的余弦公式，化简：
（1） cos cos － sin sin ．
（2） cos(24o＋x)cos(21o－x) － sin(24o＋x)
sin(21o－x)．例4．已知sin?＝ ，??( ，π)，cos?＝ ，
β?(π， )，求cos(?+?)的值． 3.1.1 两角和与差的余弦
一、课题：两角和与差的余弦
二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；
2．掌握两角和的余弦公式的推导；
3．能初步运用公式来解决一些有关的简单的问题。
三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。
四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。
五、教学过程：
（一）复习：
1．数轴两点间的距离公式：．
2．点是终边与单位圆的交点，则．
（二）新课讲解：
1．两点间的距离公式及其推导
设是坐标平面内的任意两点，从点分别作轴的垂线，与轴交于点；再从点分别作轴的垂线
，与轴交于点．直线与相交于点，那么
， ．
由勾股定理，可得
∴．
2．两角和的余弦公式的推导
在直角坐标系内作单位圆，并作角与，使角的始边为，交⊙于点，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点，则点的坐标分别是，，
，，
，∴
得：
∴．（）
3．两角差的余弦公式
在公式中用代替，就得到 （）
说明：公式对于任意的都成立。
4．例题分析：
例：求值（1）； （2）； （3）．
解：（1）
= ；
（2）
；
（3）．
六、课堂练习：2（3）（4）．
七、小结：掌握 公式的推导，能熟练运用公式，注意公式的逆用。
八、作业：习题4．6 第三题（3）（4）（6）（8）
课件4张PPT。3.1两角和与差的三角函数课本题再现：设向量
试分别计算
比较两次计算的结果，你能发现什么？
发现：能否用 的三角函数与 的三角函数来表示？例1 利用两角和（差）的余弦公式证明 下列诱导公式：例2 利用两角和（差）的余弦公式，求例3 已知 求 的值。课件10张PPT。3.1.1 两角差的余弦公式学习目标:1、用向量方法建立两角差的余弦公式 2、两角差的余弦公式的简单应用 ∵ ∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)若θ∈[0，π ]，则若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)例1.利用差角余弦公式求 的值分析: cos15°=cos（45°-30°)= cos45°cos30°+sin45°sin30°例2、解：练习1已知
求 的值.解:∵∴小结:1、两角差的余弦公式对于任意角α,β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ2、公式的结构特点及应用作业：同步练习g3.0145两角和与差、二倍角公式
1、已知，那么的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、的值是 （ ）
A、1 B、2 C、4 D、
3、已知是第二象限角，且，则的值为 （ ）
A、－7 B、7 C、 D、
4、已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
5、若，则=（ ）
A． B． C． D．
6、若 （ ）
A． B． C． D．
7、 （ ）
A． B． C． D．
8、已知，则＿＿＿＿。
9、设中，，，则此三角形是＿＿＿＿＿＿三角形。
10、已知，求的值。
11、已知，求的值。
12、已知，求的值。
13、是否存在锐角，使得①；②同时成立？若存在，求出；若不存在，说明理由。
答案：
作业、1—7、ACBBA CD
8、 9、等边 10、 11、 12、
13、
课件18张PPT。两角和与差的余弦思考：下列公式是否正确？代值验证思考：如何求一个角的余弦值，以前我们学过哪些类似的方法？新课引入公式形成应用探究小结作业知识链接1.两向量夹角的范围？2.两向量数量积的坐标运算新课引入公式形成应用探究小结作业知识链接3.求两向量夹角的方法？新课引入公式形成应用探究小结作业设点P、Q分别为角 的终边与单位圆的交点
则思考：∠POQ是否为向量 与 的夹角？思考：∠POQ是否即为 ？新课引入公式形成应用探究小结作业结论新课引入公式形成应用探究小结作业两角差的余弦由上面公式如何推导出两角和的余弦公式？新课引入公式形成应用探究小结作业余余正正，符号相反探究一、应用求值例1、求值解：变式：求值新课引入公式形成应用探究小结作业例2、已知 ，
求解：新课引入公式形成应用探究小结作业新课引入公式形成应用探究小结作业探究二、逆用公式化简求值例3、求值解：变式：（1）求值
（2）证明新课引入公式形成应用探究小结作业（2）证明：新课引入公式形成应用探究小结作业逆用和差角公式可以将含正余弦两个三角函数名的式子化为只含有一个三角函数名得式子探究三、应用公式证明等式例4、证明证明：新课引入公式形成应用探究小结作业可以用此方法证明诱导公式，还可以进一步推导和差角的正弦公式新课引入公式形成应用探究小结作业例5.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB则△ABC是
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)锐角三角形 (D)不确定.探究四、公式的综合应用解：由题意得∴角C为直角，三角形为直角三角形∴A+B为直角变式：三角形ABC中，若则三角形ABC的形状A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 解：由题意得∴角C为钝角，三角形为钝角三角形∴A+B为锐角新课引入公式形成应用探究小结作业新课引入公式形成应用探究小结作业小结：1.和差角的余弦公式2.公式的应用中，探究二可以将一个式子化为只含有一个三角函数名得式子；
探究三进一步推导和差角的正弦公式新课引入公式形成应用探究小结作业作业：1.课本135页A组2.（2）（4）
B组22. 根据探究三推导和差角的正弦公式，预习下一节，并根据探究二重点探究3.1.2的例4与例5再见总 课 题
两角和与差的三角函数
总课时
第30课时
分 课 题
两角和与差的余弦
分课时
第 1 课时
教学目标
会用向量的数量积推导两角差的余弦公式，并体会向量与三角函数之间的关系；会用余弦的差角公式余弦的和角公式，理解化归思想；能用和差角的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明。
重点难点
余弦差角公式的推导及运用
?引入新课
1、已知向量，夹角为，则= =
2、由两向量的数量积研究两角差的余弦公式
= ，简记作：
思考：如何用距离公式推导公式
在上述公式中，用代替得两角和的余弦公式：
= ，简记作：
思考：你能直接用数量积推导两角和的余弦公式吗？
?例题剖析
利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：
例2、利用两角和（差）的余弦公式，求的值。
例3、已知，求的值。
思考：在例3中，你能求出的值吗？
例4、若，
求
注意：角的变换要灵活，
如等
?巩固练习
1、化简：（1）=
（2）=
（3）=
2、利用两角和（差）余弦公式证明：
（1） （2）
3、已知求的值
?课堂小结
两角和与差的余弦公式的推导；和（差）角余弦公式的运用于求值、化简、求角等
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、=
2、在中，已知，则的形状为
3、计算（1）
（2）=
4、化简：（1）=
（2）
5、已知都是锐角，，则=
6、已知=
二、提高题
7、（1）已知；
（2）已知。
8、已知，求的值。
三、能力题
9、设为锐角，求证：。
10、设为坐标原点，和为单位圆上两点，且。求证：
1．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为__________．
解析：cos45°cos15°＋sin15°sin45°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.
答案：
2．下列4组数中，使cosαcosβ－sinαsinβ＝成立的一组是__________．
①α＝46°，β＝16°；②α＝78°，β＝18°；③α＝24°，β＝36°；④α＝14°，β＝16°.
答案：③
3．sin195°＝__________.
解析：sin195°＝sin(90°＋105°)＝cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝×－×＝.
答案：
4．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.
解析：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.
答案：
一、填空题
1．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为__________．
解析：sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)＝sin(65°－x)·sin[90°－(x－20°)]＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)sin(110°－x)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝cos(110°－x－65°＋x)＝cos45°＝.
答案：
2.cos15°＋sin15°的值是__________．
解析：cos15°＋sin15°＝2＝2cos(60°－15°)＝2cos45°＝2.
答案：2
3．已知：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－，且180°＜α＜270°，则tanα等于__________．
解析：由已知知cos[(α＋β)－β]＝－，即cosα＝－.又180°＜α＜270°，所以sinα＝－，所以tanα＝＝.
答案：
4．若三角形两内角α，β满足tanα·tanβ＞1，则这个三角形是__________．
解析：因为tanα·tanβ＞1，所以α，β均为锐角，＞1，所以cosαcosβ－sinαsinβ＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．
答案：锐角三角形
5．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，90°＜α－β＜180°，270°＜α＋β＜360°，则cos2α的值为__________．
解析：∵2α＝(α－β)＋(α＋β)，
∴cos2α＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)．
∵90°＜α－β＜180°，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵270°＜α＋β＜360°，cos(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝－.
∴cos2α＝×－×＝－.
答案：－
6．若α、β均为锐角，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝__________.
解析：∵α为锐角，且cosα＝，
∴sinα＝.
∵α与β均为锐角，且cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－×＋×＝.
答案：
7．设0≤α＜2π，若sinα＞cosα，则α的取值范围是__________．
答案：
8．已知α∈，sin＝，则cos2α的值为________．
解析：∵α∈，∴－α∈，
∴cos＝ ＝，
又∵sin＝sin＝cos，
cos＝sin，
∴cos2α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝2sincos
＝2××＝.
答案：
二、解答题
9．已知cos＝－，sin＝，且0＜α＜＜β＜π，求cos(β－α)的值．
解：∵0＜α＜＜β＜π，
∴＜＋α＜＜＋β＜.
∵cos＝－＜0，
∴＜＋α＜.
∴sin＝
＝ ＝.
∵sin＝sin
＝sin＝＞0，
∴＜＋β＜π.
∴cos＝－
＝－ ＝－.
∴cos(β－α)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
10．在△ABC中，已知tanA＝，试判断△ABC的形状．
解：∵tanA＝，
∴＝，
∴sinAsinC－sinAsinB＝cosAcosB－cosAcosC，
∴cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosB＋sinAsinB，
∴cos(A－C)＝cos(A－B)，
∴A－C＝A－B或A－C＝B－A.
即B＝C或2A＝B＋C.
∴△ABC为等腰三角形或A等于60°的三角形．
11．已知x∈，求函数y＝cos－cos的值域．
解：y＝cos－cos
＝cos－cos
＝cos－sin
＝
＝
＝cos＝cos.
因为x∈，所以－≤－x≤，
所以cos∈，
所以函数y的值域是.
两角和与差的余弦
掌握S（α±β），Ｃ（α±β)及T（α±β）的灵活应用，综合应用上述公式的技能；培养学生观察、推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练，提高学生的数学素质.
教学重点：
S（α±β），C（α±β），T（α±β）的灵活应用.
教学难点：
灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ(S（α±β））
cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ(C（α±β））
tan（α±β）＝（T（α±β））
Ⅱ.讲授新课
这三个公式即为两角和(差)公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系.首先，可考虑一下这组公式的推导体系.
我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式，然后利用单位圆，三角函数的定义，最先推导出余弦的和角公式Ｃ（α＋β），然后按如下顺序推导其余公式：
Ｃ（α＋β）→Ｃ（α－β）→S（α＋β）→S（α－β）→T（α＋β）→T（α－β）.
它们又有什么内在联系呢?
下面，结合例题来看一下如何灵活运用这组公式：
［例1］求证＝1－
分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明：左边＝
＝＝1－＝1－＝右边，
∴原式成立.
或：右边＝1－＝
＝
＝＝左边 ∴原式成立.
［例2］已知sinβ＝m·sin（2α＋β），求证：tan（α＋β）＝tanα
分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.
证明：由sinβ＝msin（2α＋β）
sin［（α＋β）－α］＝ｍsin［（α＋β）＋α］
sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα
＝ｍ［sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα］
（1－m）·sin（α＋β）cosα＝（1＋m）·cos（α＋β）sinα
tan（α＋β）＝tanα
评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.
［例3］求tan70°＋tan50°－tan50°tan70°的值.
分析：观察所求式子，联想有关公式T（α＋β），注意到它的变形式：
tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）.运用之可求解.
解：原式＝tan（70°＋50°）（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°
＝－（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°
＝－＋tan70°tan50°－tan50°tan70°＝－
∴原式的值为－.
Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式：
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
(2)－－sinx－cosx
解：(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
＝cos［（α＋β）－β］＝cosα
这一题可能有些学生要将cos（α＋β）与?sin（α＋β）?按照两角和的正、余弦公式展开，从而误入歧途，老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个式子直接运用公式以化简.
(2) －－sinx－cosx
＝－－sinx－cosx
＝－－（sinx＋cosx）
＝－（sinx＋cosx）＝0
这一题目运用了解三角函数题目时常用的方法“切割化弦”.
2.证明下列各式
(1) ＝
(2)tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）＝tan2α－tan2β
(3) －2cos（α＋β）＝
证明：(1)右边＝＝
＝＝左边
(2）左边＝tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）
＝××（1－tan2αtan2β）
＝×（1－tan2αtan2β）
＝tan2α－tan2β＝右边
(3)左边＝－2cos（α＋β）
＝
＝＝
＝＝右边
3.(1)已知sin（α＋45°）＝，45°＜α＜135°，求sinα.
(2)求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值.
解：(1)∵45°＜α＜135°， ∴90°＜α＋45°＜180°
又∵sin（α＋45°）＝， ∴cos（α＋45°）＝－
∴sinα＝sin［（α＋45°）－45°］
＝sin（α＋45°）cos45°－cos（α＋45°）sin45°
＝×＋×＝
这题若仔细分析已知条件，可发现所给α的取值范围不能确定cosα的取值，所以需要将α化为（α＋45°）－45°，整体运用α＋45°的三角函数值，从而求得sinα的值.
（2）tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°
＝tan（11°＋34°）（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°
＝tan45°（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°
＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1
注意运用公式的等价变形式.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，大家应初步掌握和、差角公式的基本运用.
Ⅴ.课后作业
课本P106 5，6，7，8
第一课时 两角和与差的余弦
教学目标：
掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
余弦的差角公式及简单应用
教学难点：
余弦的差角公式的推导
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?
Ⅱ.讲授新课
接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.
在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.
设向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），则：
a·b＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β）
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有
a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ
所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C（α－β））
两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?
cos ［α－（－β）］
＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β）
＝cos αcos β－sinαsinβ
即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ （C（α＋β））
请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?
(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.
(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.
请同学们仔细观察它们各自的特点.
(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.
(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.
不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.
如：求cos 15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值.
即：cos 15°＝cos（45°－30°）
＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30°
＝·＋·＝
或：cos 15°＝cos （60°－45°）
＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45°
＝·＋·＝
请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果?
cos（－α）＝coscos α＋sinsinα＝sinα
即：cos（－α）＝sinα
再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果.
cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α）
即：sin（－α）＝cosα
Ⅲ.课堂练习
1.求下列三角函数值
①cos （45°＋30°）②cos 105°
解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°
＝·－·＝
②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45°
＝·－·＝
2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ.
解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β）
将cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝
3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.
解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝
4.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，?－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值.
解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点，
得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－.
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝（－）×（－）－×（－）＝
5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值.
解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－
可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝
即：2cosαcosβ＝ ①
cos（α－β）－cos（α＋β）＝1
即：2sinαsinβ＝1 ②
由②÷①得＝tanα·tanβ＝
∴tanα·tanβ的值为.
6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值.
解：由已知cosα－cosβ＝
得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝ ①
由sinα－sinβ＝－
得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝ ②
由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝
即：2－2cos（α－β）＝
∴cos（α－β）＝
Ⅳ.课时小结
两公式的推导及应用.
Ⅴ.课后作业
课本P96习题 1，2，3
两角和与差的余弦
1．下列命题中的假命题是 （ ）
A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？
3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.
4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－
求：cos （α＋β）.
5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.
6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.
两角和与差的余弦答案
1．B
2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？
解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π
即：A＋B＝π－C
由已知得cos A·cos B－sinA·sinB＞0，即：cos（A＋B）＞0
∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0
∴C一定为钝角
∴△ABC一定为钝角三角形.
3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.
分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想.
解：令cosα＋cosβ＝x，则得方程组：
①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x2＋
∴cos (α－β)＝
∵|cos (α－β)|≤1， ∴| |≤1
解之得：－≤x≤
∴cosα＋cosβ的最大值是，最小值是－.
4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－
求：cos （α＋β）.
解：由已知：α∈（，）
－α∈（－，－）－α∈（－，0）
又∵cos （－α）＝， ∴sin（－α）＝－
由β∈（0，）＋β∈（，）
又∵sin（＋β）＝sin［π＋（＋β）］＝－sin（＋β）＝－
即sin（＋β）＝， ∴cos（＋β）＝
又（＋β）－（－α）＝α＋β
∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］
＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α）
＝×＋×（－）＝－
5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.
解：∵0＜α·β＜，∴0＜α＋β＜π
由cos （α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝
又∵cosα＝，∴sinα＝
∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］
＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα
＝（－）×＋×＝
评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.
6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.
分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.
解：由sinA＝＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，
又cos B＝＜，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝
若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.
∴0°＜A＜45°，即cos A＝.
∴cos C＝－cos（A＋B）＝.
