初中数学青岛版九年级上学期 第2章 2.5解直角三角形的应用
一、单选题
1．（2020·大通模拟）如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60 方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（ ）
A． 海里 B． 海里 C．6海里 D． 海里
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由已知得：∠BAC=90°-60°=30°，
在直角三角形ABC中，
BC=AB tan30°
=12× =4 （海里）．
故答案为：D．
【分析】此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC运用三角函数求得渔船与灯塔C的距离BC．
2．（2020·石家庄模拟）如图， 是河堤横断面的迎水坡，堤高 ，水平距离 ，则斜坡 的坡度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】在 中，
斜坡AB的坡度 ，而堤高 ，水平距离 ，
斜坡AB的坡度是： ．
故答案为：A．
【分析】在 中，根据坡度的定义知道斜坡 的坡度 ，然后根据已知条件即可确定斜坡 的坡度．
3．（2020·大通模拟）如图，要测量小河两岸相对的两点 之间的距离，可以在小河边 的垂线 上取一点C，测得 米， ，则 的长为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】在Rt APC中，
因为
所以PA= 米
故答案为：B
【分析】在Rt APC中，根据 可得.
4．（2020·临潭模拟）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为（ ）
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故答案为：D.
【分析】过点C作CF⊥AD于F，由坡度i=可求得AE的值，根据等腰梯形的性质易得AE=DF，于是结合题意得AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF可求解.
5．（2020·铁西模拟）如图某公园入口有三级台阶，每级台阶高18cm，深30cm，拟将台阶改为斜坡设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是（ ）
A．270cm B．210cm C．180cm D．96cm
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴BD：CD=1：5，
∴CD=5BD=5×54=270（cm），
∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）.
∴AC的长度是210cm.
故答案为：B.
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案.
6．（2020·涪城模拟）如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，则铁塔高度是（ ）米
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设铁塔的高度为x米，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC=45°，
∴BC=CD=x米，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=30°，
，
∴AC= x米，
∵AB=30米，即AC-BC=30米，
∴ x-x=30，
解得：x=15 +15，
即铁塔的高度为（15 +15）米．
故答案为：D．
【分析】设铁塔的高度为x米，在Rt△BCD中，根据仰角为45°可得BC=CD=x米，然后在Rt△ACD中用含x的式子表示出AC的长度，根据AB=30米，列方程求出x的值即可．
7．（2020九下·镇江月考）一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ）
A．（30 -50，30） B．（30，30 -50）
C．（30 ，30） D．（30，30 ）
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，
∵一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，
∴OA=4×15=60，∠AOC=90°-60°=30°
∴AC=OA=×60=30
OC=OAcos∠AOC=60×cos30°=，
∴点A
∵在点A观测到其正西方向50海里处有一座小岛B，
∴点B.
故答案为：A.
【分析】由题意可求出OA，∠AOC的度数，再利用解直角三角形求出OC的长，就可得到点A的坐标，再根据点的坐标平移可得到点B的坐标。
8．（2020·皇姑模拟）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=18 ，BE=CD=1.5，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠ADE=30°，tan∠ADE= ，
∴ ，
∴AE=18，
∴ AB=AE+BE=19.5，
即教学楼的高度是19.5米，
故答案为：C.
【分析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，可得四边形BCDE是矩形，继而在在Rt△ADE中，利用∠ADE的正切求得AE长即可求得答案.
9．（2020·温州模拟）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=6米。现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的面积至少需要（ ）平方米。
A．6tanα+6 B． +6 C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由图可得：地毯的长度=AC+BC
=AC+AC tanα
=6+6tanα ，
∴地毯的面积=地毯的长度×宽度=（6+6tanα ）×1
= 6tanα+6 .
故答案为：A.
【分析】据图得出地毯的长度等于AC与BC的长度之和，根据三角函数定义求出BC的长度，则地毯的长度可求，于是代入矩形的面积公式求面积即可.
10．（2020·温州模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（ ）
A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△ABH中
BH=AHtan∠BAH=100tanα；
在Rt△ACH中
CH=AHtan∠CAH=100tanβ；
∴BC=BH+CH=100tanα+100tanβ=100（tanα+tanβ）m.
故答案为：A.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长。
11．（2020·沈阳模拟）如图，在距离铁轨200米处的 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 处时，恰好位于 处的北偏东 方向上，10秒钟后，动车车头到达 处，恰好位于 处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒.
A． B． C．200 D．300
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作BD⊥AC于点D.
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴AD=BD tan∠ABD= （米），同理，CD=BD=200（米），则AC=200+ （米）.则平均速度是（200+ ）÷10= 米/秒.
故答案为：A.
【分析】作BD⊥AC于点D，可得△BCD为等腰直角三角形，可得CD=BD=200米，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，可得AD=BD tan∠ABD= ，从而求出AC=CD+AD的长，利用速度=路程÷时间即得结论.
12．（2020·衡水模拟）已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10 km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
A．8 B．9 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵∠MAB=45°，BM=10 ，
∴AB= = =20km，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
在Rt△ADB中，∠BAD=∠MAC﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，
tan∠BAD= = ，
∴AD= BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（ BD）2=202，
∴BD=10，∴AD=10 ，
在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，BC=4 ，∴CD=2 ，
∴AC=AD﹣CD=10 ﹣2 =8 km，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8 km．
故答案为：A．
【分析】首先在直角△ABM中利用勾股定理求出AB的长，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，易得∠BAC=30°，先在直角△ABD中，求出AD、BD的长，然后在直角△BCD中求出CD的长，进而可得到AC的长.
二、填空题
13．（2020·阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为 m（结果精确到 ，参考数据： ）.
【答案】4.7
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，
由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，
则 ，
即 ，
故答案为：4.7.
【分析】如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到 即可解答.
14．（2020·自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ ， 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为 米 （结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE= ，
∴DF=CE= ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
15．（2020九下·吉林月考）如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为12.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为 ，则AC的长为 米（用三角函数表示）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知，DE=AB=2.17，
∴CE=CD-DE=12.17-2.17=10（m）．
在Rt△CAE中，∠CAE= ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用CD、AB的长可求得CE，然后利用正弦函数可求得AC的长．
16．（2020·潮阳模拟）观光塔是某市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°。已知楼房高AB是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m。
【答案】135
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知：∠ADB=30°，∠DAC=60°
在Rt△ABD中，AD=
在Rt△ADC中，CD=AD·tan∠DAC=45×tan60°==45×=135（m）.
∴观光塔的高CD是135m.
【分析】由题意可知：∠ADB=30°，∠DAC=60°，先在Rt△ABD中，利用三角函数求出AD，然后在Rt△ADC中，利用三角函数求出CD.
17．（2020·北京模拟）如图，小军在A时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是60°，当他在B时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是30°，若两次测得的影长之差 为 ，则树的高度为 ．（结果精确到0.1，参考数据： ）
【答案】3.5
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如下图所示，设树顶为F点，
根据题意可知 ， ，
通过三角形的外角性质可知 ，
则 ．
则三角形 是等腰三角形，则 m．
在直角三角形 中， ， ，
所以树高 m．
故答案为：3.5．
【分析】设树顶为F点（图见详解），根据题意可知 ， ，通过三角形的外角性质可知 ，从而可知 m，则通过锐角三角函数可求出在直角三角形 中的 即树的高度．
18．（2020·宝安模拟）如图，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部D处的俯角α为30°，又从A处测得乙楼底部C处的俯角β为60°，已知两楼之间的距离BC为18米，则乙楼CD的高度为 米。（结果保留根号）
【答案】12
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：
过点A作AE⊥CD于CD的延长线于点E
则AE=BC=18
在直角三角形AED中，∵∠DAE=a=30°
∴tan30°=
∴DE=6
在直角三角形AEC中，∵∠EAC=60°
∴tan60°==
∴CE=18
∴CD=CE-DE=12
【分析】过点A作AE⊥CD于CD的延长线于点E，则AE=BC=18，分别在直角三角形AED和直角三角形AEC中，根据角的正切，求出DE和CE的长度，即可得到答案。
19．（2020·历下模拟）如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD= （结果用根号表示）．
【答案】（300+100 ）m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如图：
∵在山顶C处测得景点B的俯角为45°，
∴∠BCE=45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∵BC=200m，
∴CE= BC=100 m；
∵∠A=30°，AB=600m，
∴BF= AB=300m，
∴CD=CE+ED=CE+BF=（300+100 ）m．
故答案为：（300+100 ）m．
【分析】过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，根据俯角的定义可得到△BCE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三边的关系计算出CE；而∠A＝30°，AB＝600m，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出BF，最后计算CD＝CE＋ED＝CE＋BF即可求解．
20．（2020·孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 的长为 .（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过A作 ，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形
由图中数据可知， ， ， ，
在 中， ，即
解得
是等腰三角形
则 的长为
故答案为： .
【分析】如图，先在 中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得.
三、解答题
21．（2020·锦江模拟）为保障师生复学复课安全，某校利用热成像体温检测系统，对入校师生进行体温检测．如图是测温通道示意图，在测温通道侧面A点测得∠DAB＝49°，∠CAB＝35°．若AB＝3m，求显示牌的高度DC．（sin35°≈0.57，tan35°≈0.70，sin49°＝0.75，tan49°≈1.15，结果精确到0.1m）．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB═35°，
∴tan35°＝ ，
∴BC＝AB tan35°＝3tan35°，
同理可得：BD＝AB tan49°＝3tan49°，
∴DC＝BD﹣BC＝3（tan49°﹣tan35°）
≈3（1.15﹣0.70）
≈1.4（m）．
答：显示牌的高度DC约为1.4m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先解直角三角形求出BC，BD的长，然后利用DC＝BD－BC即可解答．
22．（2020·呼伦贝尔） 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为 ．某时发生的地震对地面上以点C为圆心， 为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从 两地处测得点C的方位角如图所示， ．高速铁路是否会受到地震的影响．请通过计算说明理由．
【答案】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD=α，∠BCD=β，
∴tan∠ACD=tanα= ，tan∠BCD=tanβ= ，
∴AD = CD·tanα，BD = CD·tanβ，
由AD+ BD= AB，得CD·tanα+CD·tanβ=AB=100，
则 ＞30，
∴高速公路会受到地震影响．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】首先过C作CD⊥AB与D，由题意得AD = CD·tanα，BD = CD·tanβ，继而可得CD·tanα + CD·tanβ = AB，则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区．
23．（2020·遂宁）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【答案】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM＝ ，
∴EM＝ ＝ ≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN＝ ，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可．
24．（2020·徐州模拟）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 处测得码头 的船的东北方向，航行40分钟后到达 处，这时码头 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 的最近距离.（结果精确的0.1海里，参考数据 ）
【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，
由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB=30× =20，
∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，∴∠DAB=30°，∴BD= AB=10，
由勾股定理可知：AD=10
∵BC∥AN，∴∠BCD=45°，∴CD=BD=10，∴AC=10 +10
∵∠DAB=30°，∴CE= AC=5 +5≈13.7
答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD的长度，进而可求出CE的长度.
25．（2020·东丽模拟）如图，甲楼AB高20米，乙楼CD高10米，两栋楼之间的水平距离BD＝30m，为了测量某电视塔EF的高度，小明在甲楼楼顶A处观测电视塔塔顶E，测得仰角为37°，小明在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶E，测得仰角为45°，求该电视塔的高度EF．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ）
【答案】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，垂足为M、N，
设EM为xm，则EN为（10+x）m．
在Rt△CEN中，tan45°＝ ，
∴CN＝10+x，
∴AM＝40+x，
在Rt△AEM中，tan37°＝ ，即 ，
解得，x≈120，
则EF＝x+20＝140（m）
答：电视踏高度EF约为140m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，根据正切的定义求出CN，得到AM，根据正切的定义列式计算即可．
26．（2020·南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东 方向航行至D处， 在B、C处分别测得 ， 求轮船航行的距离AD (参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：如图，过点D作 ，垂足为H
在 中，
在 中，
在 中，
（km）
因此，轮船航行的距离 约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点D作 ，垂足为H，通过解 和 得 和 ，根据 求得DH，再解 求得AD即可.
27．（2020·抚顺）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点 处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离.（结果保留根号）
【答案】解：过点A作 于点D
根据题意，得
∵
∴
∴
在 中
∵ ，
∴
∵
∴
在 中
∵ ，
∴
答：货船与港口A之间的距离是 海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 过点A作 于点D ，可得∠ADB=90°，利用平角定义可求出∠ABC=60°，利用三角形内角和可求出∠BAD=30°，可求出∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°，在Rt△ABD中，可得AD=AB·sin∠ABD=40米，在Rt△ACD中，AC==40米，从而求出结论.
28．（2020·丹东）如图，小岛 和 都在码头 的正北方向上，它们之间距离为 ，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头 的正西方向 处时，测得 ，渔船速度为 ，经过 ，渔船行驶到了 处，测得 ，求渔船在 处时距离码头 有多远？（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：依题可得， km，
设 km，则 km，
在 中，
，
，
，
，
km，
km，
在 中，
，
，
解得：
即渔船在 处时距离码头 约14.2km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意，可求出 km， km，则可得 km，在 中利用三角函数可得 ，所以 km，然后在 中，根据三角函数列出关于 的方程，解方程即可得出答案.
1 / 1初中数学青岛版九年级上学期 第2章 2.5解直角三角形的应用
一、单选题
1．（2020·大通模拟）如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60 方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（ ）
A． 海里 B． 海里 C．6海里 D． 海里
2．（2020·石家庄模拟）如图， 是河堤横断面的迎水坡，堤高 ，水平距离 ，则斜坡 的坡度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·大通模拟）如图，要测量小河两岸相对的两点 之间的距离，可以在小河边 的垂线 上取一点C，测得 米， ，则 的长为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
4．（2020·临潭模拟）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为（ ）
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
5．（2020·铁西模拟）如图某公园入口有三级台阶，每级台阶高18cm，深30cm，拟将台阶改为斜坡设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是（ ）
A．270cm B．210cm C．180cm D．96cm
6．（2020·涪城模拟）如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，则铁塔高度是（ ）米
A． B． C． D．
7．（2020九下·镇江月考）一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ）
A．（30 -50，30） B．（30，30 -50）
C．（30 ，30） D．（30，30 ）
8．（2020·皇姑模拟）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
9．（2020·温州模拟）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=6米。现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的面积至少需要（ ）平方米。
A．6tanα+6 B． +6 C． D．
10．（2020·温州模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（ ）
A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m
C． D．
11．（2020·沈阳模拟）如图，在距离铁轨200米处的 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在 处时，恰好位于 处的北偏东 方向上，10秒钟后，动车车头到达 处，恰好位于 处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒.
A． B． C．200 D．300
12．（2020·衡水模拟）已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10 km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
A．8 B．9 C．6 D．7
二、填空题
13．（2020·阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为 m（结果精确到 ，参考数据： ）.
14．（2020·自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ ， 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为 米 （结果保留根号）
15．（2020九下·吉林月考）如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为12.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为 ，则AC的长为 米（用三角函数表示）．
16．（2020·潮阳模拟）观光塔是某市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°。已知楼房高AB是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m。
17．（2020·北京模拟）如图，小军在A时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是60°，当他在B时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是30°，若两次测得的影长之差 为 ，则树的高度为 ．（结果精确到0.1，参考数据： ）
18．（2020·宝安模拟）如图，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部D处的俯角α为30°，又从A处测得乙楼底部C处的俯角β为60°，已知两楼之间的距离BC为18米，则乙楼CD的高度为 米。（结果保留根号）
19．（2020·历下模拟）如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD= （结果用根号表示）．
20．（2020·孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 的长为 .（结果保留根号）
三、解答题
21．（2020·锦江模拟）为保障师生复学复课安全，某校利用热成像体温检测系统，对入校师生进行体温检测．如图是测温通道示意图，在测温通道侧面A点测得∠DAB＝49°，∠CAB＝35°．若AB＝3m，求显示牌的高度DC．（sin35°≈0.57，tan35°≈0.70，sin49°＝0.75，tan49°≈1.15，结果精确到0.1m）．
22．（2020·呼伦贝尔） 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为 ．某时发生的地震对地面上以点C为圆心， 为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从 两地处测得点C的方位角如图所示， ．高速铁路是否会受到地震的影响．请通过计算说明理由．
23．（2020·遂宁）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
24．（2020·徐州模拟）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 处测得码头 的船的东北方向，航行40分钟后到达 处，这时码头 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 的最近距离.（结果精确的0.1海里，参考数据 ）
25．（2020·东丽模拟）如图，甲楼AB高20米，乙楼CD高10米，两栋楼之间的水平距离BD＝30m，为了测量某电视塔EF的高度，小明在甲楼楼顶A处观测电视塔塔顶E，测得仰角为37°，小明在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶E，测得仰角为45°，求该电视塔的高度EF．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ）
26．（2020·南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东 方向航行至D处， 在B、C处分别测得 ， 求轮船航行的距离AD (参考数据： ， ， ， ， ， ）
27．（2020·抚顺）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点 处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离.（结果保留根号）
28．（2020·丹东）如图，小岛 和 都在码头 的正北方向上，它们之间距离为 ，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头 的正西方向 处时，测得 ，渔船速度为 ，经过 ，渔船行驶到了 处，测得 ，求渔船在 处时距离码头 有多远？（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由已知得：∠BAC=90°-60°=30°，
在直角三角形ABC中，
BC=AB tan30°
=12× =4 （海里）．
故答案为：D．
【分析】此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC运用三角函数求得渔船与灯塔C的距离BC．
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】在 中，
斜坡AB的坡度 ，而堤高 ，水平距离 ，
斜坡AB的坡度是： ．
故答案为：A．
【分析】在 中，根据坡度的定义知道斜坡 的坡度 ，然后根据已知条件即可确定斜坡 的坡度．
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】在Rt APC中，
因为
所以PA= 米
故答案为：B
【分析】在Rt APC中，根据 可得.
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故答案为：D.
【分析】过点C作CF⊥AD于F，由坡度i=可求得AE的值，根据等腰梯形的性质易得AE=DF，于是结合题意得AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF可求解.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴BD：CD=1：5，
∴CD=5BD=5×54=270（cm），
∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）.
∴AC的长度是210cm.
故答案为：B.
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设铁塔的高度为x米，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC=45°，
∴BC=CD=x米，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=30°，
，
∴AC= x米，
∵AB=30米，即AC-BC=30米，
∴ x-x=30，
解得：x=15 +15，
即铁塔的高度为（15 +15）米．
故答案为：D．
【分析】设铁塔的高度为x米，在Rt△BCD中，根据仰角为45°可得BC=CD=x米，然后在Rt△ACD中用含x的式子表示出AC的长度，根据AB=30米，列方程求出x的值即可．
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，
∵一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，
∴OA=4×15=60，∠AOC=90°-60°=30°
∴AC=OA=×60=30
OC=OAcos∠AOC=60×cos30°=，
∴点A
∵在点A观测到其正西方向50海里处有一座小岛B，
∴点B.
故答案为：A.
【分析】由题意可求出OA，∠AOC的度数，再利用解直角三角形求出OC的长，就可得到点A的坐标，再根据点的坐标平移可得到点B的坐标。
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=18 ，BE=CD=1.5，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠ADE=30°，tan∠ADE= ，
∴ ，
∴AE=18，
∴ AB=AE+BE=19.5，
即教学楼的高度是19.5米，
故答案为：C.
【分析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，可得四边形BCDE是矩形，继而在在Rt△ADE中，利用∠ADE的正切求得AE长即可求得答案.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由图可得：地毯的长度=AC+BC
=AC+AC tanα
=6+6tanα ，
∴地毯的面积=地毯的长度×宽度=（6+6tanα ）×1
= 6tanα+6 .
故答案为：A.
【分析】据图得出地毯的长度等于AC与BC的长度之和，根据三角函数定义求出BC的长度，则地毯的长度可求，于是代入矩形的面积公式求面积即可.
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△ABH中
BH=AHtan∠BAH=100tanα；
在Rt△ACH中
CH=AHtan∠CAH=100tanβ；
∴BC=BH+CH=100tanα+100tanβ=100（tanα+tanβ）m.
故答案为：A.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长。
11．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作BD⊥AC于点D.
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴AD=BD tan∠ABD= （米），同理，CD=BD=200（米），则AC=200+ （米）.则平均速度是（200+ ）÷10= 米/秒.
故答案为：A.
【分析】作BD⊥AC于点D，可得△BCD为等腰直角三角形，可得CD=BD=200米，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，可得AD=BD tan∠ABD= ，从而求出AC=CD+AD的长，利用速度=路程÷时间即得结论.
12．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵∠MAB=45°，BM=10 ，
∴AB= = =20km，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，
在Rt△ADB中，∠BAD=∠MAC﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，
tan∠BAD= = ，
∴AD= BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（ BD）2=202，
∴BD=10，∴AD=10 ，
在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，BC=4 ，∴CD=2 ，
∴AC=AD﹣CD=10 ﹣2 =8 km，
答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8 km．
故答案为：A．
【分析】首先在直角△ABM中利用勾股定理求出AB的长，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，易得∠BAC=30°，先在直角△ABD中，求出AD、BD的长，然后在直角△BCD中求出CD的长，进而可得到AC的长.
13．【答案】4.7
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，
由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，
则 ，
即 ，
故答案为：4.7.
【分析】如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到 即可解答.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE= ，
∴DF=CE= ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知，DE=AB=2.17，
∴CE=CD-DE=12.17-2.17=10（m）．
在Rt△CAE中，∠CAE= ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用CD、AB的长可求得CE，然后利用正弦函数可求得AC的长．
16．【答案】135
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知：∠ADB=30°，∠DAC=60°
在Rt△ABD中，AD=
在Rt△ADC中，CD=AD·tan∠DAC=45×tan60°==45×=135（m）.
∴观光塔的高CD是135m.
【分析】由题意可知：∠ADB=30°，∠DAC=60°，先在Rt△ABD中，利用三角函数求出AD，然后在Rt△ADC中，利用三角函数求出CD.
17．【答案】3.5
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如下图所示，设树顶为F点，
根据题意可知 ， ，
通过三角形的外角性质可知 ，
则 ．
则三角形 是等腰三角形，则 m．
在直角三角形 中， ， ，
所以树高 m．
故答案为：3.5．
【分析】设树顶为F点（图见详解），根据题意可知 ， ，通过三角形的外角性质可知 ，从而可知 m，则通过锐角三角函数可求出在直角三角形 中的 即树的高度．
18．【答案】12
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：
过点A作AE⊥CD于CD的延长线于点E
则AE=BC=18
在直角三角形AED中，∵∠DAE=a=30°
∴tan30°=
∴DE=6
在直角三角形AEC中，∵∠EAC=60°
∴tan60°==
∴CE=18
∴CD=CE-DE=12
【分析】过点A作AE⊥CD于CD的延长线于点E，则AE=BC=18，分别在直角三角形AED和直角三角形AEC中，根据角的正切，求出DE和CE的长度，即可得到答案。
19．【答案】（300+100 ）m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如图：
∵在山顶C处测得景点B的俯角为45°，
∴∠BCE=45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∵BC=200m，
∴CE= BC=100 m；
∵∠A=30°，AB=600m，
∴BF= AB=300m，
∴CD=CE+ED=CE+BF=（300+100 ）m．
故答案为：（300+100 ）m．
【分析】过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，根据俯角的定义可得到△BCE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三边的关系计算出CE；而∠A＝30°，AB＝600m，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出BF，最后计算CD＝CE＋ED＝CE＋BF即可求解．
20．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过A作 ，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形
由图中数据可知， ， ， ，
在 中， ，即
解得
是等腰三角形
则 的长为
故答案为： .
【分析】如图，先在 中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得.
21．【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB═35°，
∴tan35°＝ ，
∴BC＝AB tan35°＝3tan35°，
同理可得：BD＝AB tan49°＝3tan49°，
∴DC＝BD﹣BC＝3（tan49°﹣tan35°）
≈3（1.15﹣0.70）
≈1.4（m）．
答：显示牌的高度DC约为1.4m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先解直角三角形求出BC，BD的长，然后利用DC＝BD－BC即可解答．
22．【答案】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD=α，∠BCD=β，
∴tan∠ACD=tanα= ，tan∠BCD=tanβ= ，
∴AD = CD·tanα，BD = CD·tanβ，
由AD+ BD= AB，得CD·tanα+CD·tanβ=AB=100，
则 ＞30，
∴高速公路会受到地震影响．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】首先过C作CD⊥AB与D，由题意得AD = CD·tanα，BD = CD·tanβ，继而可得CD·tanα + CD·tanβ = AB，则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区．
23．【答案】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM＝ ，
∴EM＝ ＝ ≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN＝ ，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可．
24．【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，
由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB=30× =20，
∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，∴∠DAB=30°，∴BD= AB=10，
由勾股定理可知：AD=10
∵BC∥AN，∴∠BCD=45°，∴CD=BD=10，∴AC=10 +10
∵∠DAB=30°，∴CE= AC=5 +5≈13.7
答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD的长度，进而可求出CE的长度.
25．【答案】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，垂足为M、N，
设EM为xm，则EN为（10+x）m．
在Rt△CEN中，tan45°＝ ，
∴CN＝10+x，
∴AM＝40+x，
在Rt△AEM中，tan37°＝ ，即 ，
解得，x≈120，
则EF＝x+20＝140（m）
答：电视踏高度EF约为140m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，根据正切的定义求出CN，得到AM，根据正切的定义列式计算即可．
26．【答案】解：如图，过点D作 ，垂足为H
在 中，
在 中，
在 中，
（km）
因此，轮船航行的距离 约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点D作 ，垂足为H，通过解 和 得 和 ，根据 求得DH，再解 求得AD即可.
27．【答案】解：过点A作 于点D
根据题意，得
∵
∴
∴
在 中
∵ ，
∴
∵
∴
在 中
∵ ，
∴
答：货船与港口A之间的距离是 海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 过点A作 于点D ，可得∠ADB=90°，利用平角定义可求出∠ABC=60°，利用三角形内角和可求出∠BAD=30°，可求出∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°，在Rt△ABD中，可得AD=AB·sin∠ABD=40米，在Rt△ACD中，AC==40米，从而求出结论.
28．【答案】解：依题可得， km，
设 km，则 km，
在 中，
，
，
，
，
km，
km，
在 中，
，
，
解得：
即渔船在 处时距离码头 约14.2km.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意，可求出 km， km，则可得 km，在 中利用三角函数可得 ，所以 km，然后在 中，根据三角函数列出关于 的方程，解方程即可得出答案.
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