3.1.2 两角和与差的正弦
一、课题：两角和与差的正弦
二、教学目标：1.能推导，的诱导公式，并能灵活运用；
2.掌握公式的推导，并能熟练进行公式正逆向运用。
三、教学重点：公式及诱导公式的推导、运用；
四、教学难点：公式及诱导公式的运用。
五、教学过程：
（一）复习：
1．公式；
2．练习：
化简：（1）；（2）；（3）．
（二）新课讲解：
1．诱导公式
（1）；
（2）把公式（1）中换成，则．
即： ．
2．两角和与差的正弦公式的推导
即： （）
在公式中用代替，就得到：
（）
说明：（1）公式对于任意的都成立。
练习：习题4.6第二题，补充证明： .
（2），的三角函数等于的余名三角函数，前面再加上一个把看作锐角时原三角函数的符号；
（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。
3．例题分析：
例1：求值(1)； (2)； （3）．
解：（1）= ；
（2）
；
（3）．
例2：已知，，求，．
解： ， ∴，
， ∴，
∴，
．
又，
∴ ．
例3：已知，求及的值。
解： ， ∴在二，三象限，
当在第二象限时，，
∴，
，
当在第三象限时，，
∴，
．
五、课堂练习：4,5(1)(2)(3)(4) ．
六、小结：掌握 公式的推导，能熟练运用公式，注意公式的逆用。
七、作业：习题4．6 第3题（1）（2）（5）（7），第5题。
1．计算：sin 75°＝________.
解析 sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝.
答案
2．cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°的值是________．
解析 原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－.
答案 －
3．已知sin α＝－，α是第四象限角，则sin＝
________.
解析 由sin α＝－，α是第四象限角，
得cos α＝＝ ＝，
sin＝sincos α－cossin α
＝×－×＝.
答案
4．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为________．
解析 f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x
＝2sin，T＝＝2π.
答案 2π
5．化简sin＋α＋cos＋α的结果是________．
解析 原式＝sin cos α＋cossin α＋coscos α－sin ·sin α＝cos α.
答案 cos α
6．已知α∈0，，β∈－，0，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
解 ∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵β∈，sin β＝，∴cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
∴α＝.
7．已知sin(45°－α)＝－，且45°＜α＜90°，则sin α＝________.
解析 ∵45°＜α＜90°，∴－45°＜45°－α＜0°，
∴cos(45°－α)＝，∴sin α＝sin[45°－(45°－α)]
＝sin 45°cos(45°－α)－cos 45°sin(45°－α)
＝×－×＝.
答案
8．(tan 10°－)＝________.
解析 原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝＝·
＝－＝－2.
答案 －2
9．若sin x＋cos x＝，则锐角x的值为________．(用弧度表示)
解析 sin x＋cos x＝2＝2sin
即2sin＝，∴sin＝
∵x∈，∴x＋∈，
∴x＋＝，∴x＝
答案
10．函数y＝cos x＋cos的最大值是________．
解析 y＝cos x＋cos
＝cos x＋cos xcos－sin xsin
＝cos x－sin x
＝
＝cos.
当cos＝1时ymax＝.
答案
11．已知3sin β＝sin(2α＋β)，求证tan(α＋β)＝2tan α.
证明 由已知得
3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝
sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
12．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．
解 ∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin αcos β＝，cos αsin β＝，＝＝5.
13．(创新拓展)已知sin α＋cos β＝，cos α＋sin β＝－，求sin(α＋β)的值；
解 已知sin α＋cos β＝ ①，cos α＋sin β＝－②，
①2＋②2得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α＋2cos αsin β＋sin2 β＝2＋2.
∵sin2α＋cos2α＝1，sin2 β＋cos2 β＝1，sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)，∴2＋2sin(α＋β)＝，即sin(α＋β)＝.
课件25张PPT。单击此处进入 活页规范训练课件12张PPT。 3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式作业讲评 P134 B2余弦和差公式练习探究：如何由余弦公式推出正弦公式探究：如何由余弦公式推出正弦公式你能想出其他方法吗？探究：如何由余弦公式推出正弦公式探究：正切和差公式练习：小结不需记忆，但要了解作业A． 小结
B． A7， A9
C． 复习诱导公式
