初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.5 相似三角形判定定理的证明
一、单选题
1．（2020·永州）如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
2．（2020·宁波模拟）如图，正方形ABCD中，点E为BC右侧一点，∠AEC=90°，作DF⊥AE于点F，若CE=AF=2则正方形的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AE和BC交于点M，
∵正方形ABCD，
∴设AD=AB=BC=x，∠DAF+∠MAB=90°，∠B=90°
∵DF⊥AE
∴∠MAB+∠AMB=90°，∠B=∠DFA=90°
∴∠AMB=∠DAF
∴△DFA∽△ABM
∴即
解之：
同理可证△DFA∽△CEM
∴即
解之：
∵CM+BM=BC
∴
解之：x2=20
经检验x2=20是原方程的根.
∴正方形的面积为20.
故答案为：C.
【分析】设AE和BC交于点M，利用正方形的性质可知设AD=AB=BC=x，∠DAF+∠MAB=90°，∠B=90° ；再证明∠AMB=∠DAF，∠B=∠DFA，由此可证得△DFA∽△ABM，利用相似三角形的对应边成比例可表示出BM的长，同理可证△DFA∽△CEM，利用相似三角形的性质可表示出CM的长；然后根据CM+BM=BC，建立关于x的方程，解方程求出x2即可。
3．（2020·锦江模拟）如图，点D，E分别为△ABC边AB，AC上的一点，且DE∥BC，S△ADE＝4，S四边形DBCE＝5，则△ADE与△ABC相似比为（ ）
A．5：9 B．4：9 C．16：81 D．2：3
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴ ，
即△ADE与△ABC相似比为2：3．
故答案为：D．
【分析】先说明△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解即可．
4．（2020·永州模拟）如图，在三角形ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，AM＝ AB，AN＝ AC，则三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AM＝ AB，AN＝ AC，∠MAN＝∠BAC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴△MAN∽△BAC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：15，
故答案为：B．
【分析】根据AM＝ AB，AN＝ AC，∠MAN＝∠BAC，可以得到△MAN∽△BAC，然后相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而可以得到△AMN和△ABC的面积之比，然后即可得到三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比，本题得以解决．
5．（2020·保康模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A．1.25尺 B．56.5尺 C．6.25尺 D．57.5尺
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，
即5：AD=0.4：5，
解得AD=62.5，
BD=AD AB=62.5 5=57.5尺.
故答案为：D.
【分析】根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△ADE，于是可得比例式AB：AD=BF：DE求得AD的值，再根据BD=AD AB可求解.
6．（2020·上海模拟）如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，
∴
解得：x= ，
则EH=3x= ．
故答案为B．
【分析】设EH=3x，则EF=2x，△AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长．
二、填空题
7．（2020·锦州）如图，在 中，D是 中点， ，若 的周长为6，则 的周长为 .
【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵D是 中点，
∴ ，即 与 的相似比为1：2，
∴ 与 的周长比为1：2，
∵ 的周长为6，
∴ 的周长为12，
故答案为：12.
【分析】由 ，可知 ，再由D是 中点，可得到相似比，即可求出 的周长.
8．（2020·威海）如图，点C在 的内部，∠OCA=∠OCB ， 与 互补，若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，
∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，
∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，
∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，
∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，
∴△ACO∽△OCB，
∴ ，
∴OC2＝2× 1.5 ＝3，
∴OC＝ ，
故答案为： ．
【分析】通过证明△ACO∽△OCB，可得 ，可求出OC．
9．（2020·苏州）如图，在 中，已知 ， ，垂足为D， .若 是 的中点，则 .
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
为 的中点，
，
∴ ，
，
故答案为：1.
【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得 ，由AB=2则可求出结论.
10．（2020·黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ CD＝ AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴ ＝ ＝ ，
∵CD＝2，
∴PQ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝ CD＝ AB，易得△BPQ∽△DBC，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
11．（2020·上城模拟）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则 = .
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F
∴四边形BEFC是梯形
∵G是重心，
∴点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，
∴DG是梯形BEFC的中位线
∴BE+CF=2DG
∵BE∥AD，CF∥AD
∴
故答案为：1.
【分析】 过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F，易证四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，利用梯形的中位线定理可得到BE+CF=2DG，利用平行线分线段成比例定理可求出的值。
12．（2020·上海模拟）如图，点D是△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠B，并且 ，那么 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ACD与△ABC中，
∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∴AD= ，AB= AC
∴BD=AB-AD=
∴ ∶ =1∶2
故答案为1∶2．
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，最后根据相似三角形的性质和线段的和差即可解答．
三、解答题
13．（2020·大通模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB．
【答案】证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴ ＝ ＝ ，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据已知的线段长度知 ＝ ，又∠DAE＝∠CAB可得△ADE∽△ACB.
四、综合题
14．（2020八下·长春月考）已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．
【答案】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1
∴AB：CB=BD：BA
∵∠ABD=∠CBA
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴△ABD∽△CDE
∴AB：BD=CD：D
∴2：1=3：DE
∴DE=1.5．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在△ABD与△CBA中，有∠B=∠B，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；（2）由（1）知△ABD∽△CBA，又DE∥AB，易证△CDE∽△CBA，则：△ABD∽△CDE，然后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．
15．（2020·芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E，交AD于点H过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F．
（1）求证：△ABH∽△BFC；
（2）求证：BH2＝HE HF；
（3）若AB＝2，∠BAC＝45°，求BH的长．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∵BE⊥AC，
∴∠BDH＝∠AEH＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠DBH＝∠DAC＝∠BAD，
∵CF∥AB，
∴∠ABH＝∠F，
∴△ABH∽△BFC；
（2）证明：连接CH．∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴BH＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABH＝∠ACH，
∵CF∥AB，
∴∠ABH＝∠F，
∴∠HCE＝∠F，
∵∠CHE＝∠CHF，
∴△CHE∽△FHC，
∴ ，
∴HC2＝HE HF，
∵BH＝HC，
∴BH2＝HE HF；
（3）解：延长CH交AB于M，由题意CM⊥AB，
∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∴AE＝AB cos45°＝2× ＝ ，
∵∠HAM＝∠HAE，∠HMA＝∠HEA，∠AMH＝∠AEH＝90°，
∴△AHM≌△AHE（AAS），
∴AM＝AE＝ ，
∴BM＝AB﹣AM＝2﹣ ，
在Rt△BHM中，BH＝ ＝2 ﹣2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；（2）连接CH，首先证明BH＝HC，再证明△CHE∽△FHC可得结论；（3）延长CH交AB于M，由题意CM⊥AB．利用全等三角形的性质证明AM＝AE＝2，求出BM即可解决问题．
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.5 相似三角形判定定理的证明
一、单选题
1．（2020·永州）如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
2．（2020·宁波模拟）如图，正方形ABCD中，点E为BC右侧一点，∠AEC=90°，作DF⊥AE于点F，若CE=AF=2则正方形的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．25
3．（2020·锦江模拟）如图，点D，E分别为△ABC边AB，AC上的一点，且DE∥BC，S△ADE＝4，S四边形DBCE＝5，则△ADE与△ABC相似比为（ ）
A．5：9 B．4：9 C．16：81 D．2：3
4．（2020·永州模拟）如图，在三角形ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，AM＝ AB，AN＝ AC，则三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·保康模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A．1.25尺 B．56.5尺 C．6.25尺 D．57.5尺
6．（2020·上海模拟）如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
7．（2020·锦州）如图，在 中，D是 中点， ，若 的周长为6，则 的周长为 .
8．（2020·威海）如图，点C在 的内部，∠OCA=∠OCB ， 与 互补，若 ， ，则 ．
9．（2020·苏州）如图，在 中，已知 ， ，垂足为D， .若 是 的中点，则 .
10．（2020·黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ .
11．（2020·上城模拟）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则 = .
12．（2020·上海模拟）如图，点D是△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠B，并且 ，那么 ．
三、解答题
13．（2020·大通模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB．
四、综合题
14．（2020八下·长春月考）已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．
15．（2020·芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E，交AD于点H过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F．
（1）求证：△ABH∽△BFC；
（2）求证：BH2＝HE HF；
（3）若AB＝2，∠BAC＝45°，求BH的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AE和BC交于点M，
∵正方形ABCD，
∴设AD=AB=BC=x，∠DAF+∠MAB=90°，∠B=90°
∵DF⊥AE
∴∠MAB+∠AMB=90°，∠B=∠DFA=90°
∴∠AMB=∠DAF
∴△DFA∽△ABM
∴即
解之：
同理可证△DFA∽△CEM
∴即
解之：
∵CM+BM=BC
∴
解之：x2=20
经检验x2=20是原方程的根.
∴正方形的面积为20.
故答案为：C.
【分析】设AE和BC交于点M，利用正方形的性质可知设AD=AB=BC=x，∠DAF+∠MAB=90°，∠B=90° ；再证明∠AMB=∠DAF，∠B=∠DFA，由此可证得△DFA∽△ABM，利用相似三角形的对应边成比例可表示出BM的长，同理可证△DFA∽△CEM，利用相似三角形的性质可表示出CM的长；然后根据CM+BM=BC，建立关于x的方程，解方程求出x2即可。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴ ，
即△ADE与△ABC相似比为2：3．
故答案为：D．
【分析】先说明△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解即可．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AM＝ AB，AN＝ AC，∠MAN＝∠BAC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴△MAN∽△BAC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：15，
故答案为：B．
【分析】根据AM＝ AB，AN＝ AC，∠MAN＝∠BAC，可以得到△MAN∽△BAC，然后相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而可以得到△AMN和△ABC的面积之比，然后即可得到三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比，本题得以解决．
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，
即5：AD=0.4：5，
解得AD=62.5，
BD=AD AB=62.5 5=57.5尺.
故答案为：D.
【分析】根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△ADE，于是可得比例式AB：AD=BF：DE求得AD的值，再根据BD=AD AB可求解.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，
∴
解得：x= ，
则EH=3x= ．
故答案为B．
【分析】设EH=3x，则EF=2x，△AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长．
7．【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵D是 中点，
∴ ，即 与 的相似比为1：2，
∴ 与 的周长比为1：2，
∵ 的周长为6，
∴ 的周长为12，
故答案为：12.
【分析】由 ，可知 ，再由D是 中点，可得到相似比，即可求出 的周长.
8．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，
∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，
∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，
∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，
∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，
∴△ACO∽△OCB，
∴ ，
∴OC2＝2× 1.5 ＝3，
∴OC＝ ，
故答案为： ．
【分析】通过证明△ACO∽△OCB，可得 ，可求出OC．
9．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
为 的中点，
，
∴ ，
，
故答案为：1.
【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得 ，由AB=2则可求出结论.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ CD＝ AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴ ＝ ＝ ，
∵CD＝2，
∴PQ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝ CD＝ AB，易得△BPQ∽△DBC，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
11．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F
∴四边形BEFC是梯形
∵G是重心，
∴点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，
∴DG是梯形BEFC的中位线
∴BE+CF=2DG
∵BE∥AD，CF∥AD
∴
故答案为：1.
【分析】 过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F，易证四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，利用梯形的中位线定理可得到BE+CF=2DG，利用平行线分线段成比例定理可求出的值。
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ACD与△ABC中，
∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∴AD= ，AB= AC
∴BD=AB-AD=
∴ ∶ =1∶2
故答案为1∶2．
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，最后根据相似三角形的性质和线段的和差即可解答．
13．【答案】证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴ ＝ ＝ ，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据已知的线段长度知 ＝ ，又∠DAE＝∠CAB可得△ADE∽△ACB.
14．【答案】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1
∴AB：CB=BD：BA
∵∠ABD=∠CBA
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴△ABD∽△CDE
∴AB：BD=CD：D
∴2：1=3：DE
∴DE=1.5．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在△ABD与△CBA中，有∠B=∠B，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；（2）由（1）知△ABD∽△CBA，又DE∥AB，易证△CDE∽△CBA，则：△ABD∽△CDE，然后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．
15．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∵BE⊥AC，
∴∠BDH＝∠AEH＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠DBH＝∠DAC＝∠BAD，
∵CF∥AB，
∴∠ABH＝∠F，
∴△ABH∽△BFC；
（2）证明：连接CH．∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴BH＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABH＝∠ACH，
∵CF∥AB，
∴∠ABH＝∠F，
∴∠HCE＝∠F，
∵∠CHE＝∠CHF，
∴△CHE∽△FHC，
∴ ，
∴HC2＝HE HF，
∵BH＝HC，
∴BH2＝HE HF；
（3）解：延长CH交AB于M，由题意CM⊥AB，
∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∴AE＝AB cos45°＝2× ＝ ，
∵∠HAM＝∠HAE，∠HMA＝∠HEA，∠AMH＝∠AEH＝90°，
∴△AHM≌△AHE（AAS），
∴AM＝AE＝ ，
∴BM＝AB﹣AM＝2﹣ ，
在Rt△BHM中，BH＝ ＝2 ﹣2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；（2）连接CH，首先证明BH＝HC，再证明△CHE∽△FHC可得结论；（3）延长CH交AB于M，由题意CM⊥AB．利用全等三角形的性质证明AM＝AE＝2，求出BM即可解决问题．
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