初中数学北师大版八年级上学期 第六章 6.4数据的离散程度
一、单选题
1．（2020·盘锦）在市运动会射击比赛选拔赛中，某校射击队甲、乙、丙、丁四名队员的10次射击成绩如图所示.他们的平均成绩均是9.0环，若选一名射击成绩稳定的队员参加比赛，最合适的人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解： 他们的平均成绩均是9.0环
丁的方差最小.
故答案为：D.
【分析】根据折线统计图找到数据，再根据方差公式即可得出答案.
2．（2020·烟台）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（ ）
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，
故答案为：C．
【分析】由每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，据此可得答案．
3．（2020·抚顺）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是 ， ， ， ，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵3.6＜4.6＜6.3＜7.3，
∴数学成绩最稳定的是甲.
故答案为：A.
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此判断即可.
4．（2020·咸宁）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A．乙的最好成绩比甲高 B．乙的成绩的平均数比甲小
C．乙的成绩的中位数比甲小 D．乙的成绩比甲稳定
【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：由图可知：
甲运动员的成绩为：6、7、10、8、9，
乙运动员的成绩为：8、9、8、7、8，
A、甲的最好成绩为10环，乙的最好成绩为9环，故此选项错误；
B、甲的成绩平均数为：（6+7+10+8+9）÷5=8，
乙的成绩平均数为：（8+9+8+7+8）÷5=8，
一样大，故此选项错误；
C、甲的成绩的中位数为8，乙的成绩的中位数为8，一样大，故此选项错误；
D、甲的成绩的方差为 =2，
乙的成绩的方差为 =0.4，
0.4＜2，所以乙的成绩比甲稳定，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】方差衡量随机变量或一组数据的离散程度，用方差比较甲乙成绩的稳定性，方差越小越稳定。
5．（2020·遵义）某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.5 B．中位数是36.7
C．平均数是36.6 D．方差是0.4
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故A选项正确，符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故B选项错误，不符合题意；
平均数为： ×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故C选项错误，不符合题意；
S2＝ [（36.3﹣36.5）2+（36.4﹣36.5）2+3×（36.5﹣36.5）2+（36.6﹣36.5）2+（36.7﹣36.5）2]＝ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按从小到大排列后，①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据平均数及方差的计算方法分别算出这组数据的平均数及方差，进而即可判断得出答案.
二、填空题
6．（2020·通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据众数是 ；a的值是 ；方差是 ．
【答案】3；1；1.6
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意得，
3+a+3+5+3=3×5，
解得：a=1，
则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，
方差为： = =1.6，
故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6
【分析】根据平均数的定义先求出a的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案．
7．（2020·丹东）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）.
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵乙所得环数为：2，3，5，7，8，
∴乙所得环数的平均数为 ，
∴乙所得环数的方差为 ，
∵ ，
∴成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲.
【分析】求出乙所得环数的方差，然后和甲所得环数的方差进行比较即可.
8．（2020·营口）从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52.若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 .
【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴选手丙的成绩更稳定，即适合参加比赛的选手是丙.
故答案为：丙.
【分析】根据方差表示数据的波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定即可解答.
9．（2020·绥化）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为 ，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲的方差是 ，乙的方差是 ，0.73＞0.70，
∴甲比乙的成绩稳定.
∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学.
故答案是：甲．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
10．（2020·台州）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为 与 ，则 填"＞”、“＝”、 “＜"中的一个）
【答案】<
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大，
所以s甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小．
三、综合题
11．（2020·温州）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示。
（1）要评价这两家酒店7~12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量。
（2）已知A，B两家酒店7~12月的月盈利的方差分别为1.073(平方万元)，0.54(平方万元)。根据所给的方差和你在(1)中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由。
【答案】（1）解：选择两家酒店月盈利的平均值；
=2.5（万元）
=2.3(万元)
（2）解：平均数，方差反映酒店的经营业绩， 酒店的经营状况较好．
理由：A酒店盈利的平均数为2.5，B酒店盈利的平均数为2.3．A酒店盈利的方差为1.073，B酒店盈利的方差为0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是 酒店比较大，故A酒店的经营状况较好．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差；常用统计量的选择；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）利用折线统计图可得到两家酒店下半年每月的盈利，再利用平均数公式分别可求出两家酒店月盈利的平均值。
（2）从两家酒店的月盈利的平均水平，方差进行分析即可。
12．（2020八下·潜江期末）
8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）.
班级 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率
一班 2.11 7 92.5% 20%
二班 6.85 4.28 8 10%
根据图表信息，回答问题：
（1）直接写出表中a，b，c，d的值；
（2）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些；
（3）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些。你认为谁的推断比较科学合理，更客观些，为什么？
【答案】（1）解： ；
（2）二；一
（3）解：乙同学的说法较合理，
平均分受极端值的影响，众数、中位数则是反映一组数据的集中趋势和平均水平，因此用众数和中位数进行分析要更加客观，二班的众数和中位数都比一班的要好，因此乙同学推断比较科学合理，更客观.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)解：通过观察图中数据可得：
；
；
二班共有： 人，
∵图中数据已经按照从小到大的顺序排列，
∴中位数为20、21的平均数，即： ；
二班合格的人数有： 人，总人数为40人，
∴ ，
故答案为： ；
（ 2 ）一班方差为：2.11，二班方差为4.28，∴二班的成绩波动较大，
一班优秀率为20%，合格率为92.5%，二班的优秀率为10%，合格率为85%，∴一班的阅读水平更好些；
故答案为：二；一；
【分析】（1）求出一班的成绩总和除以人数即可得出一班的平均分；观察图即可得出一班众数；把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，即可得到二班的中位数；用二班合格的人数除以二班总人数即可得到二班的合格率；（2）利用方差、优秀率、合格率的意义下结论即可；（3）从平均数、众数、中位数对整体数据影响的情况考虑分析即可.
13．（2020八下·上蔡期末）在学校举办的一次文艺汇演比赛中，八（1）班和八（2）班参加表演比赛的女生身高（单位： ）分别是：
八（1）班：163，164，165，165，165，165，166，167.
八（2）班：162，164，164，165，166，166，166，167.
（1）把表格补充完整
身高 班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 165 165 165
八（2）班 165
（2）从数据来看，哪个班女生的身高更整齐？请你从方差的角度说明理由.
【答案】（1）解：
身高 班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 165 165 165
八（2）班 165 165.5 166
（2）解：将两组数据都减去165得：
八（1）班：－2，－1，0，0，0，0，1，2；
八（2）班：－3，－1，－1，0，1，1，1，2
八（1）班方差：
八（2）班方差：
∵
∴八（1）班女生的身高更整齐.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义，可求解中位数；根据众数的定义，可求解众数；（2）求出每个班级参与汇演的女生身高的方差，再比较大小即可求解.
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第六章 6.4数据的离散程度
一、单选题
1．（2020·盘锦）在市运动会射击比赛选拔赛中，某校射击队甲、乙、丙、丁四名队员的10次射击成绩如图所示.他们的平均成绩均是9.0环，若选一名射击成绩稳定的队员参加比赛，最合适的人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2020·烟台）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（ ）
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
3．（2020·抚顺）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是 ， ， ， ，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2020·咸宁）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A．乙的最好成绩比甲高 B．乙的成绩的平均数比甲小
C．乙的成绩的中位数比甲小 D．乙的成绩比甲稳定
5．（2020·遵义）某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.5 B．中位数是36.7
C．平均数是36.6 D．方差是0.4
二、填空题
6．（2020·通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据众数是 ；a的值是 ；方差是 ．
7．（2020·丹东）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）.
8．（2020·营口）从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52.若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 .
9．（2020·绥化）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为 ，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学．
10．（2020·台州）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为 与 ，则 填"＞”、“＝”、 “＜"中的一个）
三、综合题
11．（2020·温州）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示。
（1）要评价这两家酒店7~12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量。
（2）已知A，B两家酒店7~12月的月盈利的方差分别为1.073(平方万元)，0.54(平方万元)。根据所给的方差和你在(1)中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由。
12．（2020八下·潜江期末）
8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）.
班级 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率
一班 2.11 7 92.5% 20%
二班 6.85 4.28 8 10%
根据图表信息，回答问题：
（1）直接写出表中a，b，c，d的值；
（2）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些；
（3）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些。你认为谁的推断比较科学合理，更客观些，为什么？
13．（2020八下·上蔡期末）在学校举办的一次文艺汇演比赛中，八（1）班和八（2）班参加表演比赛的女生身高（单位： ）分别是：
八（1）班：163，164，165，165，165，165，166，167.
八（2）班：162，164，164，165，166，166，166，167.
（1）把表格补充完整
身高 班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 165 165 165
八（2）班 165
（2）从数据来看，哪个班女生的身高更整齐？请你从方差的角度说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解： 他们的平均成绩均是9.0环
丁的方差最小.
故答案为：D.
【分析】根据折线统计图找到数据，再根据方差公式即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，
故答案为：C．
【分析】由每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，据此可得答案．
3．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵3.6＜4.6＜6.3＜7.3，
∴数学成绩最稳定的是甲.
故答案为：A.
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此判断即可.
4．【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：由图可知：
甲运动员的成绩为：6、7、10、8、9，
乙运动员的成绩为：8、9、8、7、8，
A、甲的最好成绩为10环，乙的最好成绩为9环，故此选项错误；
B、甲的成绩平均数为：（6+7+10+8+9）÷5=8，
乙的成绩平均数为：（8+9+8+7+8）÷5=8，
一样大，故此选项错误；
C、甲的成绩的中位数为8，乙的成绩的中位数为8，一样大，故此选项错误；
D、甲的成绩的方差为 =2，
乙的成绩的方差为 =0.4，
0.4＜2，所以乙的成绩比甲稳定，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】方差衡量随机变量或一组数据的离散程度，用方差比较甲乙成绩的稳定性，方差越小越稳定。
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故A选项正确，符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故B选项错误，不符合题意；
平均数为： ×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故C选项错误，不符合题意；
S2＝ [（36.3﹣36.5）2+（36.4﹣36.5）2+3×（36.5﹣36.5）2+（36.6﹣36.5）2+（36.7﹣36.5）2]＝ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按从小到大排列后，①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据平均数及方差的计算方法分别算出这组数据的平均数及方差，进而即可判断得出答案.
6．【答案】3；1；1.6
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意得，
3+a+3+5+3=3×5，
解得：a=1，
则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，
方差为： = =1.6，
故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6
【分析】根据平均数的定义先求出a的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案．
7．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵乙所得环数为：2，3，5，7，8，
∴乙所得环数的平均数为 ，
∴乙所得环数的方差为 ，
∵ ，
∴成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲.
【分析】求出乙所得环数的方差，然后和甲所得环数的方差进行比较即可.
8．【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴选手丙的成绩更稳定，即适合参加比赛的选手是丙.
故答案为：丙.
【分析】根据方差表示数据的波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定即可解答.
9．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲的方差是 ，乙的方差是 ，0.73＞0.70，
∴甲比乙的成绩稳定.
∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学.
故答案是：甲．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
10．【答案】<
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大，
所以s甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小．
11．【答案】（1）解：选择两家酒店月盈利的平均值；
=2.5（万元）
=2.3(万元)
（2）解：平均数，方差反映酒店的经营业绩， 酒店的经营状况较好．
理由：A酒店盈利的平均数为2.5，B酒店盈利的平均数为2.3．A酒店盈利的方差为1.073，B酒店盈利的方差为0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是 酒店比较大，故A酒店的经营状况较好．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差；常用统计量的选择；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）利用折线统计图可得到两家酒店下半年每月的盈利，再利用平均数公式分别可求出两家酒店月盈利的平均值。
（2）从两家酒店的月盈利的平均水平，方差进行分析即可。
12．【答案】（1）解： ；
（2）二；一
（3）解：乙同学的说法较合理，
平均分受极端值的影响，众数、中位数则是反映一组数据的集中趋势和平均水平，因此用众数和中位数进行分析要更加客观，二班的众数和中位数都比一班的要好，因此乙同学推断比较科学合理，更客观.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)解：通过观察图中数据可得：
；
；
二班共有： 人，
∵图中数据已经按照从小到大的顺序排列，
∴中位数为20、21的平均数，即： ；
二班合格的人数有： 人，总人数为40人，
∴ ，
故答案为： ；
（ 2 ）一班方差为：2.11，二班方差为4.28，∴二班的成绩波动较大，
一班优秀率为20%，合格率为92.5%，二班的优秀率为10%，合格率为85%，∴一班的阅读水平更好些；
故答案为：二；一；
【分析】（1）求出一班的成绩总和除以人数即可得出一班的平均分；观察图即可得出一班众数；把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，即可得到二班的中位数；用二班合格的人数除以二班总人数即可得到二班的合格率；（2）利用方差、优秀率、合格率的意义下结论即可；（3）从平均数、众数、中位数对整体数据影响的情况考虑分析即可.
13．【答案】（1）解：
身高 班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 165 165 165
八（2）班 165 165.5 166
（2）解：将两组数据都减去165得：
八（1）班：－2，－1，0，0，0，0，1，2；
八（2）班：－3，－1，－1，0，1，1，1，2
八（1）班方差：
八（2）班方差：
∵
∴八（1）班女生的身高更整齐.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义，可求解中位数；根据众数的定义，可求解众数；（2）求出每个班级参与汇演的女生身高的方差，再比较大小即可求解.
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