1．已知tan α＝4，＝，则tan(α＋β)＝________.
解析 tan β＝3.∴tan(α＋β)＝＝＝－.
答案 －
2．在三角形ABC中，已知tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan C＝________.
解析 由已知得，tan A＋tan B＝－，tan Atan B＝－.所以tan(A＋B)＝＝－2，故tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.
答案 2
3.＝________.
解析 原式＝＝tan 120°＝－.
答案 －
4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°的值是________．
解析 tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°
＝tan(20°＋40°)·(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 20°·tan 40°
＝－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝.
答案
5．已知tan α＝2，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.
解析 tan β＝tan＝＝＝－13.
答案 －13
6．已知tan＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解 (1)∵tan＝，∴＝.
∴2＋2tan α＝1－tan α，∴tan α＝－.
(2)＝tan α－＝－－＝－.
7．已知tan＝2，则的值为________．
解析 tan＝2，∴＝2，解得tan α＝.＝
＝＝＝.
答案
8.的值为________．
解析 原式＝－＝＝＝＝.
答案
9．在△ABC中，若0解析 tan C＝－tan(A＋B)＝－，
因为00且tan B>0，
∴tan C<0，∴C为钝角，△ABC为钝角三角形．
答案 钝角
10．已知A、B为△ABC的内角，并且(1＋tan A)(1＋tan B)＝2则A＋B＝________.
解析 (1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan A·tan B＝2，又∵tan(A＋B)＝
∴1＋tan(A＋B)－tan(A＋B)·tan A·tan B＋tan A·tan B＝2
∴tan(A＋B)＝1又因为A、B都为三角形内角
∴A＋B＝.
答案
11．设tan α、tan β是方程x2－3x－3＝0的两实根．
求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
解 由题意知：tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，
∴tan(α＋β)＝＝.
∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝
＝
＝＝－3.
12．已知tan α，tan β是一元二次方程3x2＋5x－2＝0的两个根，且α∈，β∈.
(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．
解 (1)解方程3x2＋5x－2＝0，得x1＝，x2＝－2.
∵α∈，β∈，∴tan α＝，tan β＝－2.
∴tan(α－β)＝＝＝7.
(2)由(1)得tan(α＋β)＝＝＝－1.
∵α∈，β∈，
∴α＋β∈，∴α＋β＝π.
13．(创新拓展)是否存在锐角α和β，使得(1)α＋2β＝；
(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解 由(1)得＋β＝，
∴tan＝＝.
将(2)代入上式，得tan＋tan β＝3－.
∴tan，tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，解此方程得x1＝1，x2＝2－.
由于0＜＜，所以tan不可能等于1，从而tan＝2－，tan β＝1，∵0＜β＜，∴β＝
将β＝代入(1)得α＝，∴存在锐角α＝，β＝，使(1)(2)同时成立.
课件24张PPT。单击此处进入 活页规范训练3.1.4 两角和的正弦、余弦、正切
一、课题：两角和的正弦、余弦、正切
二、教学目标：1.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，选用恰当的公式解决问题；
2.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
三、教学重、难点：根据具体问题选择恰当的三角公式并进行有益的变形。
四、教学过程：
（一）复习：公式.
（二）新课讲解：
例1：已知，求的值。
方法：切化弦。
解：
．
【变题一】证明：；
【变题二】求的值。
例2：求证：．
证明：左边
右边．
例3：已知：，求证：．
证明：因为
即
∴ ，
即：．
例4：已知是偶函数，求的值．
解：∵是偶函数， ∴，
即，
由两角和与差公式展开并化简，得，
上式对恒成立的充要条件是
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．求三角函数值时，要观察题中给出条件及所求结论的特征，特别是角的特征，寻找恰当的方法（切、割化弦；将式子化为一个角的一个三角函数式等），解决问题；
2．证明三角恒等式时，首先观察等式两边的角之间的关系，再选用恰当的公式加以证明。
七、作业：
补充：
1．求值：（1）的值；
（2）．
2．已知，，求∶；
3．在中，．
课件9张PPT。3.1.3两角和与差的正切创设情境 1．根据我们前面所学的知识，你能求出tan15o的值吗？创设情境2．能否用tan?和tan?表示tan(?＋?)？
3．如何用tan?和tan?表示tan(?－?)？数学理论例题讲解例1 求下列各式的值： (1)tan75o；例题讲解 点评：(1)运用公式时，不能仅局限在从左到右的正用，还要善于会从右到左的逆用；
(2)单角和复角是相对的．60o＋?与30o＋?也均可看成单角，那么30o角就是它们的差角(复角)，故(3)可直接运用公式． 例题讲解 例2 已知tan? ，tan?是方程x2＋5x－6＝0的两根，求tan(?＋?)的值． 分析：本题既可以根据方程解出tan?，tan?，再代入公式计算，也可以不解方程，通过计算tan?＋tan?， tan? tan?的值来求tan(?＋?)． 点评：对于求tan(?＋?)而言tan?和tan?不是必要，根据公式T(?＋?)只需知道tan?＋tan?和tan? tan?的值即可． 课堂训练1．求下列各式的值：
(1) ；解：(1) ＝tan(75?－15?)＝tan60?．
(2)tan20?＋tan40?＋ tan20?tan40?
＝tan20?＋tan(60?－20?)＋ tan(60?－20?)tan20?
＝tan20?＋ ＋ × ·tan20?
＝
＝ ．(2)tan20?＋tan40?＋ tan20?tan40?． 2．已知tan?＋tan?＝2，tan(?＋?)＝4，且tan?＜tan?，试求tan?和tan?．解：由tan?＋tan?＝2， tan(?＋?)＝4，得
1－tan?tan?＝ ，即tan?tan?＝ ．
所以tan?，tan?是方程 x2－2x＋ ＝0的两根．
解得x＝ ．
因为tan?＜tan?，所以
tan?＝1－ ，tan?＝1＋ ．两角和与差的三角函数
一、选择题：
1、函数y=sinxcosx+ cos2x－ 的最小正周期是 （ ）
A．π B．2π C． D．
2、函数f(x) = 的值域为 （ ）
A． B． C．[－4,0] D．[0,4]
3、设t = sinθ+cosθ,且sin3θ+cos3θ<0,则t的取值范围是 （ ）
A．[－ ,0] B．(－1,0)∪(1, )
C．[－ , ] D．(－,0)∪( ,+ ∞)
4、已知tan(α+β) = , tan(β－ )= ,那么tan(α+ )为 （ ）
A． B． C． D．
5、已知关于x的方程2cosx+6sinx+1=0的两根分别为α、β,且α、β∈(0,2π),α≠β,则
sin(α+β)等于 （ ）
A． B．
C． D．
6、设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是 （ ）
A．tanαtanβ<1 B．sinα+sinβ<
C．cosα+cosβ>1 D．tan(α+β)7、在ΔABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为 （ ）
A． B． C．或 D．或
8、 已知函数f(x)=2asin2x－2 sinxcosx+a+b(a<0)的定义域是[0, ],值域为[－5,1],则a、b值 分别为 （ ）
A．a=2, b=－5 B．a＝－2,b=2 C．a=－2, b=1 D．a=1,b=－2
二、填空题：
9、设α、β均为锐角，cosα＝ ，cos(α+β）=－ ,则cosβ＝＿＿＿.
10、 tan300°+cot405°的值为_______.
11、(1+ tanα)(1+tanβ)= 4,且α,β都是锐角,则α+β=______.
12、化简： = ________.
三、解答题：
13、已知α,β∈(0,π),且tanα,tanβ是方程x2－5x+6=0的两根.
①求α+β的值.
②求cos(α－β)的值.
14、已知求.
15、是否存在锐角α和β，使得①α+2β=； ②tanβ=(2－ )cot 同时成 立？若存在,请求出α和β的值；若不存在,请说明理由.
16、二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知无论α,β为任何实数,f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.
①求证：b+c= －1.
②求证：c≥3
③若f(sinα)的最大值为8,求f(x)的解析式.
参考答案
两角和与差的三角函数
一、AAACC DAC
二、（9） （10） （11） （12）
三、（13）①由根与系数的关系得：
②由（1）得
由（2）得
的两个根，解得：
