初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.4平行线的性质
一、单选题
1.(2020·绵阳)在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( )
A.16° B.28° C.44° D.45°
2.(2020·淄博)如图,在四边形ABCD中,CD∥AB,AC⊥BC,若∠B=50°,则∠DCA等于( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
3.(2020八上·湛江开学考)如图,将直尺与三角尺叠放在一起,如果 ,那么 的度数为( )
A.62° B.56° C.28° D.72°
4.(2020八上·重庆开学考)如图,AD∥BC,BD为 的角平分线,DE、DF分别是 和 的角平分线,且 ,则以下 与 的关系正确的是( )
A. B.
C. D.
5.(2020·内江)如图,已知直线 , ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
6.(2020·包头)如图, 是 的外角, .若 , ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
7.(2020·遵义)一副直角三角板如图放置,使两三角板的斜边互相平行,每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上,则∠1的度数为( )
A.30° B.45° C.55° D.60°
二、填空题
8.(2020八上·南丹月考)如图3,一个宽度相等的纸条,如图折叠,则∠1的度数是 .
9.(2020八上·咸阳开学考)如图,已知AE∥BD,∠1=126°,∠2=40°,则∠C= °.
10.(2020·盘锦)如图,直线 , 的顶点 和 分别落在直线 和 上,若 , ,则 的度数是 .
11.(2020·雅安)如图, 与 都相交, ,则 .
三、综合题
12.(2020七下·通榆期末)如图,已知AM∥BN,∠A=60°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是 .
13.(2020七下·黄陵期末)如图,已知AB∥CD.直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,∠EFB=∠B,FH⊥FB.
(1)若∠B=20°,求∠DFH的度数;
(2)求证:FH平分∠GFD.
14.(2020七下·连山期末)如图,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由;
(2)若 ,求 的度数.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:延长 ,交 于F,
是等腰三角形, ,
,
,
,
,
,
故答案为:C.
【分析】延长 ,交 于F,根据等腰三角形的性质得出 ,根据平行线的性质得出 ,
2.【答案】C
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,
又∵∠B=50°,∴∠CAB=90°﹣∠B=40°,
∵CD∥AB,∴∠DCA=∠CAB=40°.
故答案为:C.
【分析】由AC⊥BC可得∠ACB=90°,又∠B=50°,根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB=40°,再根据平行线的性质可得∠DCA=∠CAB=40°.
3.【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质;平行线的性质
【解析】【解答】解:根据三角尺的特点可知∠BAC=90°,
∴∠DAC=90°-∠1=90°-28°=62°.
根据直尺的对边平行可得AB//EF,
∴∠2=∠DAC=62°.
故答案为:A.
【分析】先根据两锐角互余的性质求出∠DAC的度数,再由平行线的性质求解.
4.【答案】B
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:∵AD∥BC,
∴∠C=180°-∠ADC,∠ADB=∠CBD,
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2∠ADB,
∴∠ADB=90°-∠A,
∵DF平分∠ADC,
∵∠C=180°-2∠ADF=180°-2(∠ADB+∠BDF)=180°-2(90°-∠A+α),
∴∠C=∠A-2α,
即∠A=∠C+2α.
故答案为:B.
【分析】通过平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理等,先把∠ADB用含∠A的代数式表示,再把∠C用含∠ADB和∠BDF表示,把∠A和∠C联系起来,最后统一量,整理即得 与 的关系.
5.【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图,∵a∥b,
∴∠1=∠3=50°,
∴∠2=180° 50°=130°,
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质即可解决问题.
6.【答案】B
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】∵ ,
∴∠B=
∴∠A=180°-∠B-
故答案为:B.
【分析】根据平行线的性质及三角形的内角和定理即可求解.
7.【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:如图,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠D=45°,
故答案为:B.
【分析】由题意根据“两直线平行,内错角相等”可求解.
8.【答案】40°
【知识点】平行线的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:如图,取A、B、C、D、E、F,
∵AD∥BC,
∴∠EAB=180°-80°=100°,
∴∠DAC=(180°-∠EAB)÷2=40°,
∴∠1=∠DAC=40°.
故答案为:40°.
【分析】由平行线的性质可求∠EAB的大小,再由折叠的性质可求∠DAC的度数,最有再由平行线的性质即知∠1的度数。
9.【答案】14
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:如图,
∵AE∥BD,
∴∠CBD=∠1=126°,
∵∠BFC=∠2=40°,∠C+∠CBF+∠CFB=180°,
∴∠C=14°.
故答案为:14.
【分析】由AE∥BD,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠CBD的度数,又由对顶角相等,即可得∠CDB的度数,由三角形内角和定理即可求得∠C的度数.
10.【答案】20°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵直线 ,
∴ ,
又∵ , ,
∴ ,
故答案为:20°.
【分析】根据两直线平行内错角相等可得到 ,从而计算出 的度数.
11.【答案】130°
【知识点】余角、补角及其性质;平行线的性质
【解析】【解答】解:∵a∥b,
∴∠1=∠3=50°,
∴∠2=180°-50°=130°,
故答案为130°.
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3,再用补角的定义得出∠2.
12.【答案】(1)解:∵AM∥BN,
∴∠A+∠ABN=180°.
∵∠A=60°,
∴∠ABN=180°-60°=120°.
∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,
∴∠CBP= ∠ABP,∠DBP= ∠NBP.
∴∠CBD=∠CBP +∠DBP= ∠ABN=60°
(2)解:不变化,∠APB=2∠ADB.
证明:∵AM∥BN,
∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN.
又∵BD平分∠PBN,
∴∠PBN=2∠DBN.
∴∠APB=2∠ADB
(3)30°
【知识点】平行线的性质;角平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据直线平行的性质,计算得到∠ABN的度数,继而由角平分线的性质,求出∠CBD的度数即可;
(2)根据直线平行的性质,角平分线的性质,由等量代换即可得到∠APB=2∠ADB
(3)根据∠ACB=∠ABD,即可得到∠ABC的度数。
13.【答案】(1)解:∵AB∥CD,∠B=20°,
∴∠B=∠BFD=20°,
∵FH⊥FB,
∴∠BFH=90°,
∴∠DFH=∠BFH﹣∠BFD=70°
(2)解:∵AB∥CD,
∴∠B=∠BFD,
∵∠EFB=∠B,
∴∠EFB=∠BFD,
∵∠BFH=90°,
∴∠BFD+∠DFH=90°,∠GFH+∠BFE=90°,
∴∠DFH=∠GFH,
∴FH平分∠GFD.
【知识点】垂线的概念;平行线的性质
【解析】【分析】(1)由平行线的性质可得∠B=∠BFD=20°,由垂线的性质可得∠BFH=90°,即可求解;(2)由平行线的性质可得∠B=∠EFB=∠BFD,由余角的性质可得∠DFH=∠GFH,可得结论.
14.【答案】(1)解: 。理由如下:
(2)解: , ,
,
,
,
,
的度数为50°.
【知识点】平行线的判定;平行线的性质
【解析】【分析】(1)由于∠AGF=∠ABC,可判断 ,则 ,由 得出 判断出 ;
(2)由 , 得到 ,由 得出 ,得出 的度数.
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一、单选题
1.(2020·绵阳)在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( )
A.16° B.28° C.44° D.45°
【答案】C
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:延长 ,交 于F,
是等腰三角形, ,
,
,
,
,
,
故答案为:C.
【分析】延长 ,交 于F,根据等腰三角形的性质得出 ,根据平行线的性质得出 ,
2.(2020·淄博)如图,在四边形ABCD中,CD∥AB,AC⊥BC,若∠B=50°,则∠DCA等于( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】C
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,
又∵∠B=50°,∴∠CAB=90°﹣∠B=40°,
∵CD∥AB,∴∠DCA=∠CAB=40°.
故答案为:C.
【分析】由AC⊥BC可得∠ACB=90°,又∠B=50°,根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB=40°,再根据平行线的性质可得∠DCA=∠CAB=40°.
3.(2020八上·湛江开学考)如图,将直尺与三角尺叠放在一起,如果 ,那么 的度数为( )
A.62° B.56° C.28° D.72°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质;平行线的性质
【解析】【解答】解:根据三角尺的特点可知∠BAC=90°,
∴∠DAC=90°-∠1=90°-28°=62°.
根据直尺的对边平行可得AB//EF,
∴∠2=∠DAC=62°.
故答案为:A.
【分析】先根据两锐角互余的性质求出∠DAC的度数,再由平行线的性质求解.
4.(2020八上·重庆开学考)如图,AD∥BC,BD为 的角平分线,DE、DF分别是 和 的角平分线,且 ,则以下 与 的关系正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:∵AD∥BC,
∴∠C=180°-∠ADC,∠ADB=∠CBD,
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2∠ADB,
∴∠ADB=90°-∠A,
∵DF平分∠ADC,
∵∠C=180°-2∠ADF=180°-2(∠ADB+∠BDF)=180°-2(90°-∠A+α),
∴∠C=∠A-2α,
即∠A=∠C+2α.
故答案为:B.
【分析】通过平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理等,先把∠ADB用含∠A的代数式表示,再把∠C用含∠ADB和∠BDF表示,把∠A和∠C联系起来,最后统一量,整理即得 与 的关系.
5.(2020·内江)如图,已知直线 , ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图,∵a∥b,
∴∠1=∠3=50°,
∴∠2=180° 50°=130°,
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质即可解决问题.
6.(2020·包头)如图, 是 的外角, .若 , ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】∵ ,
∴∠B=
∴∠A=180°-∠B-
故答案为:B.
【分析】根据平行线的性质及三角形的内角和定理即可求解.
7.(2020·遵义)一副直角三角板如图放置,使两三角板的斜边互相平行,每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上,则∠1的度数为( )
A.30° B.45° C.55° D.60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:如图,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠D=45°,
故答案为:B.
【分析】由题意根据“两直线平行,内错角相等”可求解.
二、填空题
8.(2020八上·南丹月考)如图3,一个宽度相等的纸条,如图折叠,则∠1的度数是 .
【答案】40°
【知识点】平行线的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:如图,取A、B、C、D、E、F,
∵AD∥BC,
∴∠EAB=180°-80°=100°,
∴∠DAC=(180°-∠EAB)÷2=40°,
∴∠1=∠DAC=40°.
故答案为:40°.
【分析】由平行线的性质可求∠EAB的大小,再由折叠的性质可求∠DAC的度数,最有再由平行线的性质即知∠1的度数。
9.(2020八上·咸阳开学考)如图,已知AE∥BD,∠1=126°,∠2=40°,则∠C= °.
【答案】14
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理
【解析】【解答】解:如图,
∵AE∥BD,
∴∠CBD=∠1=126°,
∵∠BFC=∠2=40°,∠C+∠CBF+∠CFB=180°,
∴∠C=14°.
故答案为:14.
【分析】由AE∥BD,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠CBD的度数,又由对顶角相等,即可得∠CDB的度数,由三角形内角和定理即可求得∠C的度数.
10.(2020·盘锦)如图,直线 , 的顶点 和 分别落在直线 和 上,若 , ,则 的度数是 .
【答案】20°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵直线 ,
∴ ,
又∵ , ,
∴ ,
故答案为:20°.
【分析】根据两直线平行内错角相等可得到 ,从而计算出 的度数.
11.(2020·雅安)如图, 与 都相交, ,则 .
【答案】130°
【知识点】余角、补角及其性质;平行线的性质
【解析】【解答】解:∵a∥b,
∴∠1=∠3=50°,
∴∠2=180°-50°=130°,
故答案为130°.
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3,再用补角的定义得出∠2.
三、综合题
12.(2020七下·通榆期末)如图,已知AM∥BN,∠A=60°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是 .
【答案】(1)解:∵AM∥BN,
∴∠A+∠ABN=180°.
∵∠A=60°,
∴∠ABN=180°-60°=120°.
∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,
∴∠CBP= ∠ABP,∠DBP= ∠NBP.
∴∠CBD=∠CBP +∠DBP= ∠ABN=60°
(2)解:不变化,∠APB=2∠ADB.
证明:∵AM∥BN,
∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN.
又∵BD平分∠PBN,
∴∠PBN=2∠DBN.
∴∠APB=2∠ADB
(3)30°
【知识点】平行线的性质;角平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据直线平行的性质,计算得到∠ABN的度数,继而由角平分线的性质,求出∠CBD的度数即可;
(2)根据直线平行的性质,角平分线的性质,由等量代换即可得到∠APB=2∠ADB
(3)根据∠ACB=∠ABD,即可得到∠ABC的度数。
13.(2020七下·黄陵期末)如图,已知AB∥CD.直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,∠EFB=∠B,FH⊥FB.
(1)若∠B=20°,求∠DFH的度数;
(2)求证:FH平分∠GFD.
【答案】(1)解:∵AB∥CD,∠B=20°,
∴∠B=∠BFD=20°,
∵FH⊥FB,
∴∠BFH=90°,
∴∠DFH=∠BFH﹣∠BFD=70°
(2)解:∵AB∥CD,
∴∠B=∠BFD,
∵∠EFB=∠B,
∴∠EFB=∠BFD,
∵∠BFH=90°,
∴∠BFD+∠DFH=90°,∠GFH+∠BFE=90°,
∴∠DFH=∠GFH,
∴FH平分∠GFD.
【知识点】垂线的概念;平行线的性质
【解析】【分析】(1)由平行线的性质可得∠B=∠BFD=20°,由垂线的性质可得∠BFH=90°,即可求解;(2)由平行线的性质可得∠B=∠EFB=∠BFD,由余角的性质可得∠DFH=∠GFH,可得结论.
14.(2020七下·连山期末)如图,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由;
(2)若 ,求 的度数.
【答案】(1)解: 。理由如下:
(2)解: , ,
,
,
,
,
的度数为50°.
【知识点】平行线的判定;平行线的性质
【解析】【分析】(1)由于∠AGF=∠ABC,可判断 ,则 ,由 得出 判断出 ;
(2)由 , 得到 ,由 得出 ,得出 的度数.
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