1．2cos2－1＝________.
解析 2cos2－1＝cos ＝.
答案
2.＝________.
解析
＝sin2 －cos2 ＝－cos＝.
答案
3．已知sin＋cos＝，则cos 2θ＝________.
解析 将sin＋cos＝平方得，1＋sin θ＝，
即sin θ＝－，于是cos 2θ＝1－2×2＝－.
答案 －
4．已知sin α＝，则sin4 α－cos4 α的值为________．
解析 sin4 α－cos4 α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
答案 －
5．已知sin＝－，则sin 2x的值等于________．
解析 ∵sin＝·(sin x＋cos x)＝－，sin x＋cos x＝－，(sin x＋cos x)2＝sin2x＋sin 2x＋cos2x＝1＋sin 2x＝2＝，∴sin 2x＝－.
答案 －
6．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，(1)求tan 2α的值；(2)求β.
解 (1)由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝＝.
∴tan α＝＝×＝4，于是tan 2α＝＝＝－.
(2)由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)得：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，所以β＝.
7．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－，β是第二象限角，则tan 2β的值是________．
解析 由已知cos(α＋β－α)＝－，即cos β＝－；又β是第二象限角，∴sin β＝，∴tan β＝－，
∴tan 2β＝＝＝.
答案
8．化简： － (θ为锐角)＝________.
解析 由于0°＜θ＜90°，所以0°＜＜45°.
原式＝－
＝＝＝2tan θ.
答案 2tan θ
9．已知角α在第一象限且cos α＝，则＝________.
解析 原式＝＝
＝2(cos α＋sin α)．
∵cos α＝，α是第一象限角
∴sin α＝.∴原式＝ .
答案
10．在△ABC中，已知cos 2C＝－，则sin C＝________.
解析 ∵cos 2C＝1－2sin2 C，∴sin2 C＝＝.
又C为△ABC中的角，∴sin C＝.
答案
11．已知cos＝，≤α＜，求cos的值．
解 ∵≤α＜，∴≤α＋＜，于是可由cos＝得到sin＝－.即cos α－sin α＝，sin α＋cos α＝－.两式相加得cos α＝－，两式相减得sin α＝－.而cos＝(cos 2α－sin 2α)，cos 2α＝2－2＝－，sin 2α＝2××＝.
所以cos＝＝－.
12．已知＜α＜π，tan α＋＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解 (1)∵tan α＋＝－，
∴3tan2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－或tan α＝－3.
∵＜α＜π，∴－1＜tan α＜0.
∴tan α＝－.
(2)由tan α＝－得
＝
＝
＝＝＝－.
13．(创新拓展)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(，)，若a·b＝且＜x＜，求的值．
解 ∵a·b＝cos x＋sin x＝2sin＝.
∴sin＝，∵＜x＜，∴＜x＋＜π.
∴cos＝－，tan＝－.
∴＝cos·tan
＝·
＝·
＝·＝－.
课件27张PPT。单击此处进入 活页规范训练3.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切（1）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（1）
二、教学目标：1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系；
2.会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；
3.领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生
学数学的兴趣。
三、教学重、难点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
2．提出问题：若，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（二）新课讲解：
1．二倍角公式的推导：
说明：（1）“倍角”的意义是相对的，如：是的二倍角；
（2）观察公式特征：“倍角”与“二次”的关系；
（3）利用三角函数关系式，
可将余弦的倍角公式变形为：，
，，统称为升
幂公式。 类似地也有公式（降幂公式）：
， 这两个形式今后常用；
（4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
．
【练习1】求值：（1）．
（2）． （3）．
（4）．
2．例题分析：
例1：已知，求，，的值。
解：∵， ∴．
∴；；．
【练习2】①已知：，则；．
②已知：，则．
例2：化简（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）
；
（2）；
（3）；
（4）．
说明：形如与的化简方法及基本形式。
五、小结：1．二倍角公式是和角公式的特例，体现了一般化归为特殊的基本的数学思想方法；
2．二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值复角（和、差、倍）的三角函数值没，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
六、作业：
补充：1．化简；
2．已知为第三象限角，且，求的值。
3.2.2 二倍角的正弦、余弦、正切（2）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（2）
二、教学目标：1.能顺向、逆向、变形运用倍角公式进行求值、化简；
2.结合三角函数值域求函数值域问题。
三、教学重、难点：1.公式的逆向运用及变式训练。
2.结合三角函数求值域。
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2．练习：
①．
②若，求的值。
（解答：）．
（二）新课讲解：
例1：利用三角公式化简：．
解：原式
．
例2：求证．
证明：原式等价于，
即： （*）
而（*）式右边
左边，
所以，（*）式成立，原式得证。
【变式练习】已知，求证：．
例3：求函数的值域。
解：，令，
则有，，
∴， 所以，函数的值域为．
例4：求的值域。
解：
（其中）
∵，
所以，的值域为．
五、课堂练习：求下列函数最大值和最小值：
①； （答案：）
②； （答案：）
③； （答案：）
六、小结：1.解题的关键是公式的灵活运用，特别是二倍角余弦公式形式多样，在解题中应予以重视；
2.结合三角函数求值域的常用方法。
七、作业：
补充：1．求值；
2．若，求为何值时，的值最小？
3.2.3 二倍角的正弦、余弦、正切（3）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（3）
二、教学目标：1.复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练，培养综合运用公式的能力；
2.能推导和了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
三、教学重、难点：掌握三个公式的推导方法，使学生体会到角的三角函数与的三角函数的内在联系，，角的三角函数与角的三角函数之间的内在联系；
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角公式
【练习1】化简：
（1）；
（2）． （（1）（2）两题答案：）．
总结：一般地，．
2．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：
，，．
（二）新课讲解：
1．半角公式：
，，．
说明：（1）只要知道角终边所在象限，就可以确定符号；
（2）公式的“本质”是用(角的余弦表示角的正弦、余弦、正切；
（3）还有一个有用的公式：（下面给出证明）。
2．例题分析：
例1：求证： ．
证法一： ．
证法二：
∴．
又由知与同号，且，
∴， 同理．
【练习2】已知，且，求的值。
（略解）原式．
（解法2）原式．
例2：求证：（1）；（2）．
证明：（1）将公式与公式的左边、右边分别相加，得
所以，．
（2）在（1）题中，令，则，．
把，的值代入，就有，
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．巩固倍角公式，会推导了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
七、作业：
补充：1．化简．
2．已知，且，求的值。
3．已知，且，求的值。
4．已知，且x是锐角，求的值。
5．已知，且，求的值。
3.2.4 二倍角的正弦、余弦、正切（4）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（4）
二、教学目标：1.继续研究二倍角公式的应用；
2.利用三角函数的性质建立目标函数解题。
三、教学重、难点：综合运用二倍角公式。
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角公式
2．降幂公式：
．
（二）新课讲解：
例1：已知，，且，为锐角，试求的值。
解：∵， ∴ ①
又∵， ∴ ②
①②，得：，
又∵， ∴，，
∴， 从而．
例2：已知，，成等差数列，，，成等比数列，求的值。
解：由已知条件得：
，，
∴，
，
，
解得：．
∵，
所以，．
例3：求证：．
证明：左边
右边．
所以，原式成立。
例4：已知：，与是方程的
两个根，求的值。
解：∵方程的两个根为
．
∴，且由得：， ．
所以，．
五、小结：倍角公式在求值，证明题中的应用。
六、作业：
补充：1．设，求；
2．已知：，求的值；
3．求；
4．求值；
5．求证：．
课件11张PPT。3.2二倍角的三角函数(1)创设情境问题一：
如何用
sin(?＋?)＝sin?cos?＋cos?sin?，
推导sin(?－?)？ 创设情境问题二：
在公式
sin(?＋?)＝sin?cos?＋cos?sin?
中如果用?替换?，有什么结论？ 数学理论问题三：
你能用类似的方法得出cos2?，tan2?的公
式吗？ 例题讲解例1 求下列各式的值：
(1) ；
(2) 1－2sin275°；
(3) ；
(4)
(5) ．例题讲解点评：灵活运用公式的前提是熟悉公式的各种形式． 例题讲解例题讲解点评：使用公式时要积极创造使用公式的条件． 课堂训练 1．(1)已知?是第三象限角，且sin4?＋cos4?＝ ，
则sin2?＝______．
(2)y＝ sin2xcos2x为周期是___的___函数．（填
“奇”或“偶”）
(3)sin?＝ ，则sin2(?－ )＝_______．奇2．已知 ＜?＜2?，化简： ．解：因为 ＜?＜2?，所以 ＜ ＜?．
所以 ＝
＝
＝ ＝－课后思考课件7张PPT。3.2二倍角的三角函数(2)数学理论 在解题过程中，要注意公式的灵活运用，并注意总结一些常用的方法．以下各式在解题过程中应用较多，它们都是二倍角公式的变形． 例题讲解例2 求函数y＝cos2x＋cosxsinx的值域． 课堂训练 1．已知sin22?＋sin2?·cos?－cos2?＝1，
?∈(0， )，求sin?，tan?．解：因为sin22?＋sin2?·cos?－cos2?＝1，
所以4sin2?·cos2?＋2sin?cos2?＝2cos2?．
所以cos2?(2sin2?＋sin?－1)＝0．
所以cos2?(sin?＋1)(2sin?－1)＝0．
因为?∈(0， )，所以cos2?＞0，sin?＋1＞0．
故sin?＝ ，?＝ ，所以tan?＝ ．课堂训练2．求证：解：课后思考高中苏教数学④3.1～3.2测试题
一、选择题
1．已知，，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或
答案：Ａ．
2．如果，那么等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
3．已知均为锐角，且，，，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ．
4．在中，，，，，则之间的大小关系为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
5．化简：的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ．
6．若为锐角三角形的两个锐角，则的值（ ）
Ａ．不大于 Ｂ．小于 Ｃ．等于 Ｄ．大于
答案：Ｄ．
二、填空题
7．若，则______．
答案：
8．若，则的取值范围是______．
答案：
三、解答题
9．在中，，且，求角的度数．
解：且，
，
．
由，
，
，可看作方程的两根．
解方程得，．
当，时，，．
当，时，，．
10．若已知方程有两个实根，且其中一个根是，求的值．
解：方程有两个实根，
，即．
设另一个根为，则由根与系数的关系可得，
，于是，
故，即，
（满足）．
．
11．已知函数，求函数的最大值及对应自变量的集合．
解：
，
取最大值，只需，
即，
．
当函数取最大值时，自变量的集合为．
12．如图，在某点处测得建筑物的项点的仰角为，沿前进米至点处测得顶点的仰角为，再继续前进米至点，测得顶点的仰角为，求的大小及建筑物的高．
解：由已知米，米，，，，
在中，，
在中，，
．
同理可得：．
，
即，
而
．
同理可得．
，
，结合题意可知：，，
（米）．
课件16张PPT。3.2 简单的三角恒等变换学习目标:1.利用已有的公式进行简单的恒等变换 2.三角恒等变换在数学中的应用．半角公式例1.化简解:例2．化简：解法1：解法2： 解法3：解法4：练习1.已知函数f(x)=log (sinx-cosx)
（1）求它的定义域与值域
（2）求它的单调区间
（3）判断奇偶性
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期
（3）f(x)定义域不关于原点对称。即不是奇函数，也不是偶函数。练习2.f(x)=cos2x+asinx- - (0≤x≤ )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：小结:对公式我们不仅要会直接的运用，还要会逆用、还要会变形用，还要会与其它的公式一起灵活的运用。 作业:课件8张PPT。二倍角的三角函数复习旧知识两角和与差的正弦
两角和与差的正切两角和与差的余弦讲授新课
二倍角公式公式左端的角是右端角的二倍在这两个公式中分别求出sin2a和cos2a灵活运用公式 思考小结课件11张PPT。二倍角的正弦、余弦、正切 回忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式能否通过上述公式利用单角表示： ， ， ？复习导入（一） 二倍角公式（１）左边角是右边角的二倍（3）二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式（一） 二倍角公式二倍角具有相对性（一） 二倍角公式（一） 二倍角公式1、应用公式求三角函数值例1．已知 ， ．求 ， ，
的值． 1、应用公式求三角函数值2、应用倍角公式证明三角关系式例2．证明：练习： 证明：３、应用公式化简三角函数式例3．化简：解：原式练习．化简： １、本节课学习的二倍角公式是在两角和的三角函数公式的基础上导出的，记忆时注意联想相应的公式。
２、二倍角公式适用于二倍角与单角的三角函数间的互化问题。广泛应用于三角函数式的求值，化简，证明，应灵活理解“二倍角”的含义，熟悉公式的逆用，并注意公式成立的条件。课堂小结总 课 题
二倍角的三角函数
总课时
第35课时
分 课 题
二倍角的三角函数（1）
分课时
第1课时
教学目标
能记住二倍角公式，会运用二倍角公式进行求值、化简和证明，同时懂得这一公式在运用当中所起到的用途。培养观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。
重点难点
记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明；在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式
?引入新课
1、
2、函数与图象之间的位置关系？
3、角的三角函数与角的三角函数之间有怎样的关系？
4、学生活动：
由，，公式中，令可以得到的结果：（倍角公式）
；
；
_______________。
?例题剖析
例1、已知，，求的值。
例2、求证：。
例3、不查表，求下列各式的值。
（1） （2） （3） （4）
?巩固练习
1、求下列各式的值：
（1）= ；（2）= ；（3） ；
（4） ；（5） 。
2、已知 则角的终边在第___________象限。
3、已知，求的值。
4、已知，求的值
5、证明：
（1） （2）
（3） （4）
?课堂小结
记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、求下列各式的值：
（1）= ； （2）= ；
（3）= ； （4）= ．
2、化简：
（1）= ； （2）=
（3）= ； （4）= ．
3、若，则______________。
4、已知，且求的值。
二、提高题
5、已知，求的值。
6、求证：
（1） （2）
（3） （4）
三、能力题
7、已知，化简
8、已知，求的值
总 课 题
二倍角的三角函数
总课时
第36课时
分 课 题
二倍角的三角函数（2）
分课时
第 2 课时
教学目标
灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。
重点难点
记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明。在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式。
?引入新课
1、 ； = = ；
_______________ ；；。
2、化简：= ；
=
=
?例题剖析
例1、化简。
例2 、求证：
例3、在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
?巩固练习
1、化简：（1） （2）；
（3） （4）
2、证明：（1）
（2）
3、已知, 且,都是锐角，求的值。
4、试说明图象之间有什么关系？
?课堂小结
灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、已知=，则的值等于______________.
2、若，则化简=
3、若，则的值为_____________.
4、用表示。
5、求值：
二、提高题
6、求值
7、已知，求的值
三、能力题
8、如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么的长度取决于角的大小，探求，之间的关系，并导出用表示的函数关系式。
9、已知，，
求证：。
1．(2010年高考福建卷改编)1－2sin222.5°的结果等于________．
解析：原式＝cos45°＝.
答案：
2．计算sin105°cos75°的值为__________．
解析：sin105°cos75°＝sin(180°－75°)cos75°＝sin75°cos75°＝sin150°＝sin30°＝.
答案：
3．已知sinθ＝－，3π＜θ＜，则tan2θ＝__________.
解析：因为sinθ＝－，3π＜θ＜，所以cosθ＝－，tan2θ＝＝＝.
答案：
4．若tan＝3＋2，则＝__________.
解析：由tan(α＋)＝＝3＋2，得tanα＝，
∴＝＝tanα＝.
答案：
一、填空题
1．已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是__________．
解析：f(x)＝sin2x－sinxcosx＝－sin2x＝－cos(2x－)＋，故函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
2．已知tan＝3，则＝__________.
解析：∵tan＝3，∴原式＝＝＝＝tan＝3.
答案：3
3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝__________.
解析：由tan(π＋2α)＝－得tan2α＝－，又tan2α＝＝－，解得tanα＝－或tanα＝2，又α是第二象限的角，∴tanα＝－.
答案：－
4．(2010年高考浙江卷)函数f(x)＝sin－2·sin2x的最小正周期是__________．
解析：f(x)＝sin2x－cos2x－2·
＝sin2x＋cos2x－＝sin－.
故最小正周期为π.
答案：π
5．若＝－，则cosα＋sinα的值为__________．
解析：原式可化为＝－，化简，可得sinα＋cosα＝.
答案：
6．已知sin＝－，则sin2x的值等于__________．
解析：sin2x＝cos＝cos
＝1－2sin2＝1－2×2＝.
答案：
7．若sin＝，则cos＝__________.
解析：cos＝sin＝sin＝.∴cos＝cos2＝2cos2－1＝－.
答案：－
8．已知 ＝－cos，那么θ的取值范围是__________．
解析：由已知得 ＝－cos，
①cosθ＜0，θ∈φ，
②，
∴，∴cos≤－，
∴2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，
∴(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
二、解答题
9．已知π＜α＜π，化简＋ .
解：∵π＜α＜π，∴＜＜π.
∵＝＝－cos，
＝＝sin，
∴＋
＝＋
＝＋
＝－cos.
10．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈，求sinα及tanα的值．
解：由题意得sin22α＋sin2αcosα＝1＋cos2α＝2cos2α，
∴2sin2αcos2α＋sinαcos2α－cos2α＝0.∵α∈，
∴cosα≠0，∴2sin2α＋sinα－1＝0，即(2sinα－1)(sinα＋1)＝0.∵sinα＋1≠0，∴2sinα－1＝0，∴sinα＝.∵0＜α＜，∴α＝，∴tanα＝.
11．已知cos＝，＜x＜，求的值．
解：法一：因为＝
＝＝
＝sin2x·＝sin2xtan.
又因为＜x＜，所以＜x＋＜2π.
而cos＝＞0，
所以＜x＋＜2π，所以sin＝－，
所以tan＝－.
又因为sin2x＝－cos＝－cos＝－2cos2＋1＝－＋1＝.
所以原式＝sin2xtan＝×＝－.
法二：因为＜x＜，所以＜x＋＜2π.
又因为cos＝＞0，
所以＜x＋＜2π，所以sin＝－，
所以所以
所以
所以tanx＝7，
sin2x＝2sinxcosx＝2××＝.
所以原式＝＝－.
第七课时? 二倍角的正弦、余弦、正切(一)
教学目标：
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.
教学重点：
二倍角公式的推导及简单应用.
教学难点：
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.
先回忆和角公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα
即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α
即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)
tan(α＋β)＝
当α＝β时，tan2α＝
Ⅱ.讲授新课
同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α
同学们是否也考虑到了呢?
另外运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠＋kπ及α≠＋ (k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝＋，k∈Z时tan2α的值不存在).
当α＝＋kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：
即：tan2α＝tan2(＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0
(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα
例如：sin＝≠2sin＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.
同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 的2倍，将 作为 的2倍，将3α作为 的2倍等等.
下面，来看一些例子：
［例1］已知sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝，α∈(，π)
∴cosα＝－＝－＝－
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，
tan2α＝＝－×＝－.
练习题：
1.已知cosα＝m，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵cosα＝m，α在第二象限.
∴sinα＝＝
∴sin2α＝2sinαcosα＝2·m＝2m
cos2α＝2cos2α－1＝2m2－1
tan2α＝＝
或由tanα＝＝
tan2α＝＝
2.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ
分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.
解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ
＝＋－cos2θ
＝1＋［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－cos2θ
＝1＋［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－cos2θ
＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ
＝1＋cos2θ－cos2θ＝1
评述：二倍角公式的等价变形：
sin2α＝，cos2α＝，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.
［例2］若270°＜α＜360°，化简：
解：∵cos2α＝2cos2α－1，cosα＝2cos2－1
∴
＝＝
又∵270°＜α＜360° 135°＜＜180°
∴原式＝＝＝＝－cos
［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°
∴原式＝cos80°cos40°cos20°
＝×＝×
＝×＝×＝
［例4］求证：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3
证明：8cos4θ＝8(cos2θ)2＝8()2＝2(cos22θ＋2cos2θ＋1)
＝2()＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3
Ⅲ.课堂练习
课本P108 1、2、3、4.
Ⅳ.课时小结
理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题 1、2、3、4.
第九课时? 二倍角的正弦、余弦、正切(三)
教学目标：
灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.
教学重点：
和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.
教学难点：
二倍角公式的变形式的灵活应用.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.
先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面积
S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2
当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝S
不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是a，矩形的面积最大，于是问题得到解决.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求证sin2＝
分析：此等式中的α可作为的2倍.
证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得
cosα＝1－2sin2 ∴sin2＝
请同学们试证以下两式:
(1)cos2＝ (2)tan2＝
证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，
即得cosα＝2cos2－1， ∴cos2＝
(2)由tan2＝ sin2＝ cos2＝
得tan2＝
这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.
另外，在这三式中，如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan.
下面，再来看一例子.
［例2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
分析：只要将S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推证.
证明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①＋②得：
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ
即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］
请同学们试证下面三式：
(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
证明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ
即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ
即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ
即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.
和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.
［例3］求证sinθ＋sin＝2sincos分析：θ可有＋代替， ＝－
证明：左式＝sinθ＋sin
＝sin［＋］＋sin［－］
＝sincos＋cossin＋sincos－cossin
＝2sincos＝右边
请同学们再证下面三式.
(1)sinθ－sin＝2cos·sin；
(2)cosθ＋cos＝2cos·cos；
(3)cosθ－cos＝－2sin·sin.
证明：(1)令θ＝＋，＝－
则左边＝sinθ－sin
＝sin［＋］－sin［－］
＝sincos＋cossin－sincos＋cossin
＝2cossin＝右边
(2)左边＝cosθ＋cos
＝cos［＋］＋cos［－］
＝coscos－sinsin＋coscos＋sinsin
＝2coscos＝右边
(3)左边＝cosθ－cos
＝cos［＋］－cos［－］
＝coscos－sinsin－coscos－sinsin
＝－2sinsin＝右边.
这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆.
Ⅲ.课堂练习
1.已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝
证法一：由已知得3sin2α＝cos2β ①
3sin2α＝2sin2β ②
①÷②得tanα＝＝＝tan（－2β）
∵α、β为锐角，∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，
∴－＜－2β＜
∴α＝－2β，α＋2β＝
证法二：由已知可得：
3sin2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β
∴cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinα·sin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0
又由α＋2β∈(0，)
∴α＋2β＝
证法三：由已知可得
∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β
＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3sinα
又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③
①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1
∴sinα＝，即sin(α＋2β)＝1
又0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝
评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.
2.在△ABC中，sinA是cos(B＋C)与cos(B－C)的等差中项，试求(1)tanB＋tanC的值.
(2)证明tanB＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)
(1)解：△ABC中，sinA＝sin(B＋C)
∴2sin(B＋C)＝cos(B＋C)＋cos(B－C)
∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC
∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1
(2)证明：又由上：tanβ＝1－tanC
＝(1＋tanC)· ＝(1＋tanC)·tan(45°－C)＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)
Ⅳ.课时小结
通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.
Ⅴ.课后作业
课本P111习题 7、8、10.
二倍角的正弦、余弦、正切
1．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．sin10°sin30°sin50°sin70°的值是 （ ）
A. B. C. D.
3．已知f(sinx)＝cos2x，则f(x)等于 （ ）
A.2x2－1 B.1－2x2 C.2x D.－2x
4．设sinα∶sin＝8∶5，则cosα等于 （ ）
A. B. C. D.1
5．（sin＋cos)(sin－cos)＝ .
6．化简cos(－α)·cos（＋α)＝ .
7．sin2－＝ .
8．＝ .
9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.
11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).
二倍角的正弦、余弦、正切答案
1．D 2．A 3．B 4．B 5．－ 6．cos2α 7．－ 8．
9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).
解：由α∈(0， )得sinα＝＝，cosα＝
∵β∈(π， )，
∴cosβ＝－＝－
代入cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×(－)－×(－)＝－
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.
两式平方相加，得1＋1＋2（cosα·cosβ＋sinαsinβ)＝＋＝
∴cos(α－β)＝－，cos2＝＝＝
∴cos＝±
11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).
∵－＜α＜，∴＜α＋＜π
∴cos(α＋)＝－＝－
∵＜β＜，∴－＜－β＜0
∴sin(－β)＝－＝－
∴cos(α－β)＝－cos［(α＋)＋(－β)］
＝sin(α＋)sin(－β)－cos(α＋)·cos(－β)＝×(－)－(－)×＝.
第八课时? 二倍角的正弦、余弦、正切(二)
教学目标：
掌握和角、差角、倍角公式的一些应用，解决一些实际问题；培养学生理论联系实际的观点和对数学的应用意识.
教学重点：
和角、差角、倍角公式的灵活应用.
教学难点：
如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
回顾上节课所推导的二倍角的正弦、余弦、正切公式.
Ⅱ.讲授新课
现在我们继续探讨和角、差角、倍角公式的一些应用.
［例1］求证＝.
分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.
证明：原式等价于＝tan2θ
而上式左边＝＝
＝＝tan2θ＝右边
∴上式成立. 即原式得证.
［例2］利用三角公式化简sin50°(1＋tan10°)
解：原式＝sin50°(1＋)
＝sin50°·
＝2sin50°·
＝2cos40°· ＝＝＝1
或：原式＝sin50°(1＋tan60°tan10°)
＝sin50°(1＋)
＝sin50°·
＝sin50°· ＝
＝＝＝1
评述：在三角函数式的求值、化简与恒等变形中，有两种典型形式应特别注意，它们在解决上述几类问题中，起着重要作用，这两种典型形式是：
sinx＋cosx＝sin(x＋)；sinx＋cosx＝2sin(x＋)；
cosx＋sinx＝2sin(x＋)
Ⅲ.课堂练习
课本P110 1、2、3.
练习题：
1.若－2π＜α＜－，则的值是 ( )
A.sin B.cos C.－sin D.－cos
解：＝＝＝
∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，∴cos＜0
∴原式＝－cos
2.已知tan＝，求的值.
解：＝
＝＝tan＝
∴的值为.
3.证明－sin2θ＝4cos2θ
证法一：左边＝－2sinθcosθ
＝－2sinθcosθ
＝
＝
＝＝4cos2θ＝右边
证法二：∵(4cos2θ＋sin2θ)(2tanθ－1)
＝8sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ－2sinθcosθ
＝6sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ
又∵3sin2θ－4cos2θ＝6sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ
∴(4cos2θ＋sin2θ)(2tanθ－1)＝3sin2θ－4cos2θ
∴＝4cos2θ＋sin2θ
即：－sin2θ＝4cos2θ
Ⅳ.课时小结
进一步熟练掌握和角、差角、倍角公式的灵活应用，注意要正确使用公式进行三角式的化简、求值、证明.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题 5、6
