1．若<α<π，且cos α＝－，则sin＝________.
解析 cos α＝1－2sin2，sin2＝＝.
<<，∴sin＝.
答案
2．已知tan α＝－，则sin 2α的值等于________．
解析 sin 2α＝＝＝＝－.
答案 －
3．已知sin－cos＝－，450°<α<540°，则tan＝________.
解析 已知等式两边平方得sin α＝，450°<α<540°，
∴cos α＝－，∴tan＝＝2.
答案 2
4．设0≤x<2π，且＝sin x－cos x，则x的取值范围是________．
解析 由已知得sin x≥cos x，又0≤x<2π
∴≤x≤π.
答案 ≤x≤π
5．若＝1，则的值为________．
解析 ＝1，∴tan θ＝－.
＝＝
＝＝＝3.
答案 3
6．已知＝2，求cos 2x的值．
解 ∵
＝·＝sin x·
＝
＝＝＝tan x.
由已知，tan x＝2.
∴cos 2x＝cos2x－sin2x＝
＝＝＝－.
7．若cos2α－cos2 β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
解析 sin(α＋β)·sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)＝－(2cos2α－1－2cos2 β＋1)＝cos2 β－cos2α＝－m.
答案 －m
8．sin2 20°＋cos280°＋sin 20°cos 80°的值是________．
解析 原式＝＋＋(sin 100°－sin 60°)＝1－(cos 40°＋cos 20°)＋cos 10°－＝1－cos 30°cos 10°＋cos 10°－＝.
答案
9．已知2sin x＝1＋cos x，则tan＝________.
解析 把2sin x＝1＋cos x化为＝＝＝tan.
答案
10.的值为________．
解析 ＝
＝＝tan 15°＝tan(60°－45°)
＝＝＝2－.
答案 2－
11．已知sin(α＋β)＝－，cos β＝，<α<π，0<β<，求sin，cos和tan的值．
解 ∵<α<π，0<β<，∴<α＋β<π；
由sin(α＋β)＝－<0，知π<α＋β<π
∴cos(α＋β)＝－ ＝－.
又∵cos β＝，∴sin β＝＝.
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)·cos β＋sin(α＋β)·sin β＝－.又∵<<，∴sin>0，cos>0.
于是 sin＝ ＝ ＝，
cos＝ ＝， tan＝ ＝.
12．在△ABC中，求＋＋的值．
解 原式＝
＝
＝＝2.
13．(创新拓展)求函数f(θ)＝＋的最小正周期，并求f(θ)＝时θ的取值．
解 令tan＝t，得f(θ)＝＋
＝＋t＝
＝＝＝
＝tan.
又∵f(θ)＝，即tan＝.
∴－＝kπ＋.∴θ＝－2kπ－(k∈Z)．
课件26张PPT。单击此处进入 活页规范训练课件9张PPT。3.3几个三角恒等式创设情境 sin(?＋?)＝sin?cos?＋cos?sin?，
sin(?－?)＝sin?cos?－cos?sin?．
以上是用?，?的正余弦表示它们和（差）的正弦，反之，能否用?＋?和?－?的正弦表示?和?的正弦、余弦呢？能否用?＋?和?－?的正弦表示sin?cos?和cos?sin?呢？ 由 sin(?＋?)＝sin?cos?＋cos?sin?，
sin(?－?)＝sin?cos?－cos?sin?，
相加可得
sin?cos?＝ [sin(?＋?)＋sin(?－?)]． ①
相减可得
cos?sin?＝ [sin(?＋?)－sin(?－?)]． ②
由 cos(?＋?)＝cos?cos?－sin?sin?，
cos(?－?)＝cos?cos?＋sin?sin?，
相加可得
cos?cos?＝ [cos(?＋?)＋cos(?－?)]， ③
相减可得
sin?sin?＝－ [cos(?＋?)－cos(?－?)]．④ 数学理论数学理论令?＋?＝?，?－?＝?，分别代入①②③④式，可得 例题讲解例题讲解课堂训练 1．设?，?，?＋?均为锐角， a＝sin(?＋?)，
b＝sin?＋sin?，c＝cos?＋cos?，则 ( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜aA 2．已知?是第三象限角，且sin?＝－ ，则
tan 的值为 ( )
A． B． C．－ D．－D3．在△ABC中，求证：
sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBsinC．证明：sin2A＋sin2B－sin2C
＝sin2(B＋C)＋ －
＝sin2(B＋C)＋ (cos2C－cos2B)
＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)
＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]
＝sinA·2sinBsinC＝2sinAsinBsinC．课后思考已知3tan(?－ )＝tan(?＋ )，求证：sin2?＝1．高中苏教数学④3.3几个三角恒等式测试题
一、选择题
1．化为积的形式是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
2．已知，则的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
3．若，则的最大值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
4．若均为锐角，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
5．若等式成立，则必有（ ）
Ａ．， Ｂ．
Ｃ． Ｄ．中，至少有一个为
答案：Ｄ
二、填空题
6．化简的结果为 ．
答案：
7．已知，，则 ．
答案：
8．的值为 ．
答案：
三、解答题
9．若满足求的值．
解：
．
又，
．
．
10．已知函数，求使函数取得最大值的的集合．
解：
．
当，，
解得，
即使取得最大值的的集合为．
11．设，，若的最小值为，求的值．
答案：由，知，
或．
而
．
，．
①当，，
．
②当时，，
．
12．已知函数．
（1）写出函数的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数的图象关于直线对称，且，求的值．
解：（1）
，
．
由，得．
的单调递增区间为．
（2）的图象关于直线对称，
．
，．
课件15张PPT。倍角公式复习回顾：（１）（２）（３ ） （４）（５）（６）研究：我们如何根据公式：利用 的正弦和余弦来求 的值．解：只要使 即可得思考1：解得：可以用单独的或 来表示吗？思考2：利用注:1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数
公式与和角的三角函数公式之间关系.2、二倍角三角函数公式表示了一个角的三角
函数和它的二倍的角的三角函数间的关系,
不仅限于2α与α,也同样适用于α与α/2,
或α/2与α/4 等等,要注意倍数关系. （1）sin4α=2sin( )cos( );
（2）sinα=2sin( )cos( );
（3）cos 6α=cos2( )-sin2( )
=2cos2( )-1
=1-2sin2( );
（4）cos25α-sin25α=cos( );练习:2α2α3α3α3α3α10α4α3α解：因为 为锐角．所以例２ 用二倍角公式求值：例 3 化简1． 2． 3.4.例４一个半径为Ｒ的圆
里面有一个内接矩形，
问：什么时候矩形面积
最大？4sin2α －2=3、若tan ? = 3，求sin2? ? cos2? 的值。达标训练:１．２．３．课堂小结:课件25张PPT。已知三角函数值求角教学目标：
知识目标
1.由三角函数值求角；
2.三角函数求值.
能力目标
会由已知的三角函数值求角；
德育目标
1.培养学生的应用意识；
2.培养学生的逻辑推理能力；
3.提高学生的解题能力；
4.培养学生的思维能力. 教学重点：
由已知三角函数值求角 .
教学难点：
1.根据[0,2π)范围确定有已知三角函数值的角 。
2.对函数arcsinx，arccosx，arctanx的正确认识。
3.用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示所求的角。1.三角函数线
正弦、余弦、正切函数的图像与性质。知识链接:已知一个角（定义域内），能求出它的一个三角函数值，
反之，已知一个三角函数值，如何求出与它对应的角？问题课前预习:1.已知正弦值，求角pQ 为使符合条件sinx=a (-1≤a ≤1）的角x 有且只有一个，选择：反正弦函数的定义： 一般地，对于正弦函数y=sinx如果已知函数值y（y∈ [-1，1]）那么在 上有唯一的x值
和它对应，记为x=arcsiny,
（其中 ）称为反正弦函数。 即arcsiny（-1≤y≤1）表示 上正弦值等于y的那个角。（1）定义域是[-1，1]，值域
（2）sinα=b, α
arcsinb=α,b [-1，1]反正弦函数的性质：例2.（1）已知sinx=0.5，且
求x。（2）已知sinx=0.5，且x∈[0，2π]
求x。（3）已知sinx=-0.5，且x∈[0，2π]
求x。
（2）若，则x= （4）若 ，集合 且
，则x的值为 （3）若，则x=当三角函数值不是1或0时，已知角x的一个三角函数值求角，解法分以下几步：
1、决定角x 可能是第几象限角.
2、如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1 ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.
3、根据角x可能是第几象限角，得出( 0 , 2π ) 内对应的角____
第二象限角：π - x1；第三象限角： π + x1
第四象限角： 2π - x1方法小结:例 3（ 1）已知 ，且 ，
求x ；
（2）已知 ，且 ，
求 x 的取值集合；
（3）已知 ，且 ，
求 x 的取值集合。2.已知余弦值和正切值，求角 为使符合条件cosx=a (-1≤a ≤1）
的角x 有且只有一个，选择：在区间[0，π]上符合条件cosx=y（-1≤y≤1）的角x，记x=arccosy。叫做y的反余弦。
（1）定义域是[-1，1]，值域[0， ]
（2）cosα=b,
arccosb=α,b [-1，1]反余弦函数的性质：练习2：（1）已知 ， ，求x的取值集合．（2）已知 ， ，求x的取值集合（3）若 ，则x的值（ ） B
（1）定义域是______，值域_______
（2）tanα=b, a∈
arctanb=α,b∈ R反正切函数的性质：达标训练:课本60页 练习A 1，3
4、 （1）（2）（3）
5、（1）（2）（3）（4）
课本61页 练习B 2
1、给值求角的步骤，当三角函数值不是 1和0时可概括为： 定象限，找锐角，写形式，如果要求出[ 0 ，2π]范围以外的角则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果。2、若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。 3、用反正弦符号表示角。课堂小结:课后作业:课本61页 练习B 2
1、（1）（2）（4）
3课件13张PPT。半角公式 请大家回忆二倍角的正弦、余弦、正切的公式 。
(1)你能从中求出 , 吗? (2)我们发现 的半角,那么 是谁的半角呢?代入后会有什么结论呢? 知识链接课前预习因为cosα＝2cos2－1＝1－2sin2
所以sin＝±cos＝±
tan＝±
我们把称为半角公式．
sin＝±cos＝±
tan＝±思考讨论：
1.公式的“本质”是用?角的余弦表示 的正弦、余弦、正切。2.根号前均有“± ”它由角“ ”所在象限来确定
的，如果没有给定角的范围，“± ”应保留。注意： 3.公式（3）成立的条件:4.半角之间的相对性。
公式的应用：
例1 求 值。讲评：解题关键是定号。因为 是第一象限角
例2：已知 求 值。（1）欲求 的三角函数值，只需已知角 的余弦值（2）由角 的范围求角 的范围，再根据 角的
所在象限确定符号。
讲评： (1).运用了分类讨论思想；
已知 是第三象限角,
求 值。变式1：讲评:(2). 解题关键是定号。
变式2：已知 求 值。分析：（1）已知角 和所求角 均与角 具有“倍、半”关系；讲评：由角的变换 体会“半、倍”关系的相对性。（2）由 求 值；（3）再由 求“ ” 的值。例3求证：证明:或讲评：（1）三角变换选择公式的依据是：使角统一；名统一；结构统一。(2)成立的条件分别是：
（3）
例4.求证：讲评：（1）选择公式的依据：三统一即角统一、名统
一、结构统一。（2）注意化归转化思想、整体考察思想的运用。证明：1.求 的值域、单调性、周期性并判断其奇偶性。
2.化简：
达标练习
1.记忆今天所学习的半角公式、升幂公式降幂公
式及半角正切的有理表达式。2.注意公式定义域，求值时符号的选择，及公式
的灵活运用即正用、逆用、和变用。3.三角变换过程中常用的思维策略的： “三统一”
即角统一；名统一；结构统一，它是选择公式
的依据。4.注意化归转化思想、方程思想与分类讨论思想
及整体考察思想的运用。课堂小结课件18张PPT。同角三角函数的基本关系式一、学习目标：
(一)知识与技能
1．同角三角函数的基本关系式．
2．已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值．
3．利用同角三角函数关系式化简、证明三角函数式．
(二)过程与方法
1．牢固掌握同角三角函数的八个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的思维能力．
2．灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法．
二、教学重点、难点
教学重点：理解并掌握同角三角函数关系式．
教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．
1、复习：任意角三角函数定义 ； ；
； ；2、推导同角三角函数关系式 因为 ，所以有商数关系．还存在平方关系，请计算 的值．由三角函数定义我们可以看到：同角三角函数的基本关系式：例1 已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值．解：又因为角 是第二象限角，所以 从而例2 已知 ，求 的值．解：所以 是第二或第三象限角.如果 是第二象限角，那么如果 是第三象限角，那么为什么？反馈练习1：1. 已知 ,求 的值.化简：反馈练习2：例5:证明下面恒等式：
本课小结：达标训练：
3、 （1）α是第三象限角，化简 ????????????????
（2）若 ????????????????? =2tanα，求α的范围.2、已知cotα=m(m≠0)，求cosα. 1、下列结论中能成立的是（ ）
A．sinα= ?且cosα= ?
B．tanα=2且cotα= ?
C．tanα=1且cosα= ???
D．sinα=1且tanα·cosα=1课后作业：25页A组3、
B组2、（1）（4）
4、总 课 题
三角恒等变换
总课时
第37课时
分 课 题
几个三角恒等式
分课时
第 1 课时
教学目标
能从两角和与差的正、余弦公式推导出积化和差、和差化积公式、万能公式；能综合运用和、差与倍角的三角公式进行恒等变换，体会化归思想在解题中的应用。
重点难点
能综合运用和、差与倍角的三角公式进行恒等变换
?引入新课
______________________________________________________；
______________________________________________________；
______________________________________________________；
____________________________________________________；
?例题剖析
例1、证明下列积化和差公式：
（1）
（2）
例2、证明下列和差化积公式：
（1）
（2）
例3、证明半角公式：
（1） （2）
?巩固练习
1、证明下列积化和差公式：
（1）
（2）
2、证明下列积化和差公式：
（1）
（2）
3、已知，且，试求和的值。
?课堂小结
能综合运用和、差与倍角的三角公式进行恒等变换
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、的周期为___________________________；
2、已知，则的值为________________________；
3、计算：________________________；
4、计算：________________________；
5、计算：________________________；
二、提高题
6、已知，，计算。
7、计算：
8、计算：
三、能力题
9、求证：
10、已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值。
1．已知cosθ＝－，＜θ＜3π，那么sin＝__________.
解析：∵＜θ＜3π，∴＜＜.∴sin＜0.
由cosθ＝1－2sin2，得sin＝－
＝－ ＝－.
答案：－
2．函数y＝的最小正周期是__________．
解析：由万能公式，得y＝cos4x，∴T＝＝＝.
答案：
3．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于__________．
解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)·(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.
答案：－a
4．若θ是第二象限的角，且cos＜0，则的值是__________．
解析：θ是第二象限的角，且cos＜0，
∴2kπ＋π＜＜2kπ＋π，k∈Z，
＝
＝＝－1.
答案：－1
一、填空题
1．已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是__________．
解析：∵sinα＝，α是第二象限角，∴cosα＝－＝－ ＝－，∴tanα＝＝×＝－.又tan(α＋β)＝1，∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.
答案：7
2．函数y＝的最小正周期是________．
解析：y＝＝tan，
∴T＝＝.
答案：
3．y＝cosx＋cos的最大值是__________．
解析：y＝2coscos＝cos，
∴ymax＝.
答案：
4．y＝sincosx的最小值是__________．
解析：y＝[sin(2x－)＋sin(－)]＝sin(2x－)－，∴ymin＝－－＝－.
答案：－
5．设sinα＝，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)的值等于__________．
解析：∵sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝－.
∵tan(π－β)＝，∴tanβ＝－，tan2β＝－，
∴tan(α－2β)＝＝＝.
答案：
6．若tanθ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是__________．
解析：因为tanθ＝3，所以sin2θ＝＝＝，cos2θ＝＝＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－＝.
答案：
7．已知3tan＝tan，则sin2α＝__________.
解析：因为3tan＝tan，
所以＝，
即3sincos＝sincos，
利用积化和差公式可得＝，整理得sin2α＝1.
答案：1
8．已知cos＝，则cos－sin2的值是__________．
解析：∵cos＝cos＝－cos
＝－.而sin2＝1－cos2＝1－＝.∴原式＝－－＝－.
答案：－
二、解答题
9．已知4sin2x－6sinx－cos2x＋3cosx＝0，求的值．
解：∵4sin2x－6sinx－cos2x＋3cosx＝0，
∴(2sinx－cosx)[(2sinx＋cosx)－3]＝0.
∵2sinx＋cosx－3≠0，
∴2sinx－cosx＝0，∴tanx＝，
∴tan2x＝＝，sin2x＝＝，
cos2x＝＝，
∴＝＝.
10．已知sinφcosφ＝，且＜φ＜，求sinφ，cosφ的值．
解：法一：∵sinφcosφ＝，∴sin2φ＝.
又∵＜φ＜，
∴＜2φ＜π，∴cos2φ＜0，
∴cos2φ＝－＝－ ＝－.
∵sinφ＞0，cosφ＞0，
∴sinφ＝ ＝ ＝，
cosφ＝ ＝ ＝.
法二：(sinφ＋cosφ)2＝1＋2sinφcosφ＝1＋＝.
∵＜φ＜，∴sinφ＞0，cosφ＞0，
∴sinφ＋cosφ＝.①
∵＜φ＜，∴sinφ＞cosφ＞0，
∴sinφ－cosφ＞0.
又∵(sinφ－cosφ)2＝1－2sinφcosφ＝1－＝，
∴sinφ－cosφ＝.②
解①②组成的方程组，得sinφ＝，cosφ＝.
11．求证：＝sin2α.
证明：左边＝＝
＝＝
＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
课件19张PPT。角的概念的推广复习提问:1.在初中角是如何定义的？定义1：有公共端点的两条射线组成的几何
图形叫做角。顶点边边定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。ABo顶点始边 终边2.角是如何度量的?角的单位是度.规定:周角的1/360为1度的角.3.我们学过那些角?它们的大小是多少? 锐角:大于0度小于90度 直角等于90度
钝角:大于90度小于180度 平角等于180度
周角等于360度 我们以前所学过的角都是大于0度小于或等于360度的角. 生活中的角是不是都在范围(00 ,3600 ]内？ 体操运动员转体720°，跳水运动员向内、向外转体1080°. 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 汽车在前进和倒车时，车轮转动的角度如何表示才比较合理?? 工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度如何表示比较合适???????引入新授 逆时针 顺时针1.任意角定义：正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转时形成的角任意角记法：角 或 ，可简记为 说明：1：角的正负由旋转方向决定2：角可以任意大小，绝对值大小由
旋转次数及终边位置决定AOB始边终边终边始边ABO45°45°∠AOB=45°∠AOB=-45°例1、射线OA绕端点O旋转90°到射线OB位置，
接着再旋转-30°到0C位置，求∠AOC∠ABC=∠AOB+∠BOC
=90°+(-30°)
=90°-30°=60°规律：各角和的旋转量等于各角旋转量的和练习：射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接 着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，求∠AOD的大小2.象限角的定义1)将角的顶点与原点重合2)始边重合于X轴的非负半轴终边落在第几象限就是第几象限角 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
坐标轴上的角： 如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：角的终边落在x轴或y轴上。轴线角的定义:终边落在坐标轴上的角叫做轴线角.例21、锐角是第几象限的角？2、第一象限的角是否都是锐角？3、小于90°的角都是锐角吗？答：锐角是第一象限的角。答：第一象限的角并不都是锐角。答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限，就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角；
③-300°的角与160°的角的终边相同
④相等的角的终边一定相同；
⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是
?(1).(2).(4).例3 试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
3900
= 3600 + 300 7500
= 2×3600 + 300 -3300
=(-1)×3600 + 300 (k=1)(k=2)(k=-1)与α终边相同的角的一般形式为注意： ⑴k∈Z， ⑵a是任意角，
⑶ k·360°与a之间是“＋”
⑷终边相同的角不一定相等，但相等的角终边相同，
终边相同的角有无数多个，它们的差是360°的整数倍。例4、在0 °到360 °范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？（1）-120°（2）640 °（3） -950 °12'解（1）-120°=-360 °+240 °
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角，它是第三象限角。 （2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角。 （3）-950°12’ = -3×360°+129°48'
所以与-950°12’ 角终边相同的角是129°48 ’ 角，它是第二象限角。 例5 写出终边落在x轴上的角的集合。解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为S1={β| β=00+k?3600, k ∈Z}={β| β=0°+2 k ?180°, k ∈Z}终边落在x轴负半轴上的角的集合为S2={β| β=1800+ k ?3600, k ∈Z}={β| β=1800+2 k ?1800, k ∈Z}={β| β=(2 k +1)?1800, k ∈Z}S=S1∪S2所以 终边落在x轴上的角的集合为∪={β| β=m?1800 ，m∈Z}={β| β=2 k ?180°, k ∈Z}{β| β=(2 k +1)?1800, k ∈Z}例6 写出与下列各角终边相同的角的集合
S,并把S中适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来 （1） 600（2）-210（3）363014’（1）β=k·3600+600其中k=-1,0,1.（2）β=k·3600+(-21)0其中k=0,1,2.（3）β=k·3600+363014ˊ其中k=-2,-1,0.提示：
