初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.4解直角三角形

初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.4解直角三角形
一、单选题
1．（2020·长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（　　）
A． 米 B． 米 C．21米 D．42米
2．（2020·重庆B）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
3．（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2020·阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为　 　m（结果精确到 ，参考数据： ）.
5．（2020·赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为　 　米（结果保留根号）．
6．（2020·自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为 　 　 米 （结果保留根号）
三、解答题
7．（2020·锦州）如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里.甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东 方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东 方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离.（结果保留根号）
8．（2020·威海）居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为 ，底部的俯角为 ：又用绳子测得测角仪距地面的高度 为 ．求该大棱的高度（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ）
9．（2020·通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为 ，看这栋楼底部的俯角为 ，A处与楼的水平距离 为 ，若 ，求这栋楼高．
四、综合题
10．（2020·铁岭）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 ，在观测点 处测得大桥主架顶端 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离 为60米，且 垂直于桥面.（点 在同一平面内）
（参考数据 ）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度 .（结果精确到1米）
11．（2020·永州）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据： ）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
12．（2020·宜宾）如图， 两楼地面距离BC为 米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．
（1）求 的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 （米）.
故答案为：A．
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x.
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米.
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米.
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米.
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米.
故答案为：D.
【分析】由斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x.由勾股定理可得EF2+DF2＝DE2，即可求解EF、DF、CF，由AM＝EM tan43°可得AM、AC，即可求解AB.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF= ，
AB=AF+BF= ，
故答案为：A.
【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.
4．【答案】4.7
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，
由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，
则 ，
即 ，
故答案为：4.7.
【分析】如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到 即可解答.
5．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中， 米，
在Rt△ADB中， 米，
∴ 米．
故答案为： ．
【分析】由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC 和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．
6．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE= ，
∴DF=CE= ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
7．【答案】解：方法1：
解：如图1，延长 交 延长线于点F，
由题意得 ，
， ，
，
.
在 中， ，
，
，
，
（海里），
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里.
方法2：
解：如图2，
过点D作 于点M， 于点N，则四边形 为矩形.
.
在 中， ，
， ，
.
.
，
，
，
.
在 中， .
，
， .
.
在 中， ，
，
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里.
方法3：解：如图2，过点D作 于点M， 于点N，则四边形 为矩形.
.
设 ，则 ，
在 中， ，
，
， ，
.
在 中，
，
.
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为 （海里）.
方法4：
如图3，过点E作 于点G，
在 中， ，
，
，
.
在 中， ，
，
，
，
，
，
.
于点G，
，
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】方法1：延长 交 延长线于点F，种用外角的性质可求得 ，利用直角三角形求得 ，利用直角三角形的性质求出BF的长，然后依次求出CF，CD的长，问题得以解决；
方法2：过点D作 于点M， 于点N，利用直角三角形的性质，在 中， 先求得AB，再求AE；在 中，先求ME，BM，再求DN；最后在 中，求CD，问题得解；
方法3：设 ，则 ，利用直角三角形的性质，在 中，求出DM= ，从而求得 ，最后在 中，利用 列方程求出x值 ，进而求得CD，问题得解；
方法4：过点E作 于点G，利用直角三角形的性质，在 中，求得AB，在 中，求得AG，AD ，最后求得CD问题得解.
8．【答案】解：作AH⊥CD于H，如图：
则四边形ABDH是矩形，
∴HD＝AB＝31.6m，
在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan∠HAD＝ ，
∴AH＝ ≈40.51（m），
在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，
∴CH＝AH＝40.51m，
∴CD＝CH＋HD＝40.51＋31.6≈72.1（m），
答：该大楼的高度约为72.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作AH⊥CD于H，则四边形ABDH是矩形，得出HD＝AB＝31.6m，由三角函数定义求出AH≈40.51（m），证出CH＝AH＝40.51m，进而得出答案．
9．【答案】解：在Rt△ABD中，tanα= ，
则BD=AD tanα=90×0.27=24.3，
在Rt△ACD中，tanβ= ，
则CD=AD tanβ=90×2.73=245.7，
∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，
答：这栋楼高约为270米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据正切的定义分别求出BD、DC的长，求和即可.
10．【答案】（1）解： 垂直于桥面
在 中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度 为 米.
（2）解：在 中，
（米）
答：大桥主架在水面以上的高度 约为50米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度.（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可.
11．【答案】（1）解：过A点作 于点D，
∴ ，
由题意可得 ，
∴在 中， ，
∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）解：在 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即A，C之间的距离为79.50海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过A点作 于点D，在 中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在 中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.
12．【答案】（1）如图：过点A作 于点E，
∵在Rt△ABC中，
∵AE//BC
；
（2）∵在RtAED中，AE=BC= ，∠DAE=45°
∴DE=AE=
∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）如图：过点A作 于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得 ，即 、进一步可得∠EAC=30°，再结合 即可解答；（2）先根据题意求得DE=AE= ，然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可．
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一、单选题
1．（2020·长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（　　）
A． 米 B． 米 C．21米 D．42米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 （米）.
故答案为：A．
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
2．（2020·重庆B）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x.
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米.
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米.
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米.
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米.
故答案为：D.
【分析】由斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x.由勾股定理可得EF2+DF2＝DE2，即可求解EF、DF、CF，由AM＝EM tan43°可得AM、AC，即可求解AB.
3．（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF= ，
AB=AF+BF= ，
故答案为：A.
【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.
二、填空题
4．（2020·阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为　 　m（结果精确到 ，参考数据： ）.
【答案】4.7
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，
由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，
则 ，
即 ，
故答案为：4.7.
【分析】如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到 即可解答.
5．（2020·赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为　 　米（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中， 米，
在Rt△ADB中， 米，
∴ 米．
故答案为： ．
【分析】由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC 和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．
6．（2020·自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为 　 　 米 （结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE= ，
∴DF=CE= ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
三、解答题
7．（2020·锦州）如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里.甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东 方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东 方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离.（结果保留根号）
【答案】解：方法1：
解：如图1，延长 交 延长线于点F，
由题意得 ，
， ，
，
.
在 中， ，
，
，
，
（海里），
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里.
方法2：
解：如图2，
过点D作 于点M， 于点N，则四边形 为矩形.
.
在 中， ，
， ，
.
.
，
，
，
.
在 中， .
，
， .
.
在 中， ，
，
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里.
方法3：解：如图2，过点D作 于点M， 于点N，则四边形 为矩形.
.
设 ，则 ，
在 中， ，
，
， ，
.
在 中，
，
.
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为 （海里）.
方法4：
如图3，过点E作 于点G，
在 中， ，
，
，
.
在 中， ，
，
，
，
，
，
.
于点G，
，
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为 海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】方法1：延长 交 延长线于点F，种用外角的性质可求得 ，利用直角三角形求得 ，利用直角三角形的性质求出BF的长，然后依次求出CF，CD的长，问题得以解决；
方法2：过点D作 于点M， 于点N，利用直角三角形的性质，在 中， 先求得AB，再求AE；在 中，先求ME，BM，再求DN；最后在 中，求CD，问题得解；
方法3：设 ，则 ，利用直角三角形的性质，在 中，求出DM= ，从而求得 ，最后在 中，利用 列方程求出x值 ，进而求得CD，问题得解；
方法4：过点E作 于点G，利用直角三角形的性质，在 中，求得AB，在 中，求得AG，AD ，最后求得CD问题得解.
8．（2020·威海）居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为 ，底部的俯角为 ：又用绳子测得测角仪距地面的高度 为 ．求该大棱的高度（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ）
【答案】解：作AH⊥CD于H，如图：
则四边形ABDH是矩形，
∴HD＝AB＝31.6m，
在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan∠HAD＝ ，
∴AH＝ ≈40.51（m），
在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，
∴CH＝AH＝40.51m，
∴CD＝CH＋HD＝40.51＋31.6≈72.1（m），
答：该大楼的高度约为72.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作AH⊥CD于H，则四边形ABDH是矩形，得出HD＝AB＝31.6m，由三角函数定义求出AH≈40.51（m），证出CH＝AH＝40.51m，进而得出答案．
9．（2020·通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为 ，看这栋楼底部的俯角为 ，A处与楼的水平距离 为 ，若 ，求这栋楼高．
【答案】解：在Rt△ABD中，tanα= ，
则BD=AD tanα=90×0.27=24.3，
在Rt△ACD中，tanβ= ，
则CD=AD tanβ=90×2.73=245.7，
∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，
答：这栋楼高约为270米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据正切的定义分别求出BD、DC的长，求和即可.
四、综合题
10．（2020·铁岭）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 ，在观测点 处测得大桥主架顶端 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离 为60米，且 垂直于桥面.（点 在同一平面内）
（参考数据 ）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度 .（结果精确到1米）
【答案】（1）解： 垂直于桥面
在 中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度 为 米.
（2）解：在 中，
（米）
答：大桥主架在水面以上的高度 约为50米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度.（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可.
11．（2020·永州）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据： ）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
【答案】（1）解：过A点作 于点D，
∴ ，
由题意可得 ，
∴在 中， ，
∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）解：在 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即A，C之间的距离为79.50海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过A点作 于点D，在 中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在 中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.
12．（2020·宜宾）如图， 两楼地面距离BC为 米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．
（1）求 的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）如图：过点A作 于点E，
∵在Rt△ABC中，
∵AE//BC
；
（2）∵在RtAED中，AE=BC= ，∠DAE=45°
∴DE=AE=
∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）如图：过点A作 于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得 ，即 、进一步可得∠EAC=30°，再结合 即可解答；（2）先根据题意求得DE=AE= ，然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可．
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