人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·黄陂开学考）如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论一定成立的是（ ）
A．AC=BC B．AO=OC C． D．
2．（2020八下·陆川期末）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·温州期末）如图，四边形 是平行四边形， 是 延长线上的一点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八下·武侯期末）在 ABCD中，已知∠A=60°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
5．（2020八下·海州期末）平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等
6．（2020八上·安阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB
7．（2020九上·杭州开学考）如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的长度是（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2020·河池）如图，在 中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．5
9．（2020九上·宝安开学考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD═60°，AD＝2AB，连接OE．下列结论：①S平行四边形ABCD＝AB BD；
②DB平分∠ADE；③AB＝DE；④S△CDE＝S△BOC，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020八下·海勃湾期末）如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，且 ；G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八上·渝北月考）如图，在平行四边形 中， 平分 ， ， ，则 的周长是 .
12．（2020八上·台州月考）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， 点 A，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5 的方格纸中，找出格点 C 使△ABC 的面积为 2，则满足条件的格点 C 的个数是 个.
13．（2020九上·镇海开学考）如图，平行四边形 中， ， 相交于点 ，若 ， ，则△ 的周长为 .
14．（2020·邵阳）如图，在 中， ，斜边 ，过点C作 ，以 为边作菱形 ，若 ，则 的面积为 ．
三、解答题
15．（2020·淄博）已知：如图，E是 ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
16．（2020八下·曲阜期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．
17．（2020八下·平阴期末）已知：如图， 的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD、CB分别相交于点E、F．求证：OE＝OF．
四、综合题
18．（2020·瑶海模拟）如图，已知两个全等的等腰三角形如图所示放置，其中顶角顶点（点A）重合在一起，连接BD和CE，交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）当四边形ABFE是平行四边形时，且AB＝2，∠BAC＝30°，求CF的长．
19．（2019·九龙坡模拟）如图，在 ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，且AE⊥AD.
（1）若BG=2，BC= ，求EF的长度；
（2）求证：CE+ BE=AB.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；A，C，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出 .
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形 是平行四边形，
由邻补角的定义得：
故答案为：A.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据邻补角的定义即可得.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°；
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角相等即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等进行判断.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，
∴AB=CD，
当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，
∴选项A正确；
当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项B正确；
当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，
∴选项C不正确；
当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝6，
∴∠ABE＝∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝4，
∴DE＝CD﹣CE＝6﹣4＝2.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边的性质，可证得AB∥CD，CD＝AB＝6；再利用平行线的性质及角平分线的定义可以推出∠CBE＝∠CEB，利用等角对等边可求出CE的长，然后根据DE＝CD﹣CE，可求出DE的长。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=5，
∵EA=3，ED=4，
在△AED中， ，即 ，
∴∠AED=90°，
∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，
在Rt△EDC中， .
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。
9．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=60 ，∠ADC=120 ，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵ DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠BCD=∠CED=60 ，
∴ CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，
∵ AD＝2AB，
∴BE=DE，
∴∠CBD=∠BDE=30 ，
∴∠ADB=30 ，
∴∠ABD=90 ，即AB⊥BD，
∴ S平行四边形ABCD＝AB BD，故①正确；
∵∠ADB=∠BDE=30 ，
∴ DB平分∠ADE，故②正确；
∵AB=CD，CD=DE，
∴AB=DE，故③正确；
设平行四边形的高为h，
∴S△CDE =CE·h=·BC·h=，
S△BOC =·BC·h=，故④正确.
故选D.
【分析】根据题意证出 CDE是等边三角形，再证明∠ADB=30 ，即证出AB⊥BD，根据平行四边形的面积得出①正确；由∠ADB=∠BDE=30 ， 得出DB平分∠ADE，故②正确；由AB=CD=DE，得出③正确；分别求出S△CDE=，S△BOC =，得出S△CDE=S△BOC，得出④正确，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ， ，
， ．
点 是 的对称中心，
，
．
即 与 之间的等量关系是 ．
故答案为：B．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 ， ，再由点 是 的对称中心， 根据平行四边形的性质可得 ，从而得出 与 之间的等量关系 ．
11．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC BE=5 2=3，
∴CD=AB=3，
∴ ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
12．【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，图中这样的点C有5个.
故答案为：5.
【分析】首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线.找到所有的格点即可.即有5个.
13．【答案】14
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6
∵AC+BD=16
∴2OC+2OB=16
∴OC+OB=8
∴△BCO的周长为OC+OB+BC=8+6=14.
故答案为：14.
【分析】利用平行四边形的性质可知AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6，由AC+BD=16，可求出OC+OB的值，然后可求出△BOC的周长。
14．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE= ，
又∵∠ABE=30°
∴在Rt△BHE中，EH= ，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE=CG= ，
∴ 的面积为 ．
【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中 ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴ED＝BF，
∴BD﹣CF＝BD﹣DE，
∴BE＝DF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD然后证明△ABF≌△CDE，进而可得BF＝DE，再利用等式的性质进行计算即可．
17．【答案】解： 四边形ABCD是平行四边形，
，
，
在 和 中， ，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据平行线的性质可得 ， ，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
18．【答案】（1）证明：∵△ABC≌△ADE，AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠DAE＝30°，
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥CE，AB＝EF，
由（1）知：AB＝AC＝AE，
∴AB＝AC＝AE＝2，
即EF＝2，
过A作AH⊥CE于H，
∵AB∥CE，∠BAC＝30°，
∴∠ACH＝∠BAC＝30°，
在Rt△ACH中，AH＝ ＝ ＝1，CH＝ ＝ ＝ ，
∵AC＝AE，CH⊥CE，
∴CE＝2CH＝2 ，
∴CF＝CE﹣EF＝2 ﹣2．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定得出△BAD≌△CAE，即可得出答案；（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的性质得出EF＝AB＝2，解直角三角形求出CH，求出CE，即可求出答案．
19．【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴
∵ 45°， ∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴
在 中， ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ∴
（2）解：证明：过点 作 交 于 ，
∵ 45°， ∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 45°， ∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先在Rt△BGC中，利用勾股定理求出CG；再在等腰Rt△BGE中求出GE，从而可求CE。然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，继而得∠EFC=45°，△ECF是等腰直角三角形，可得EF=EC.
（2）作EH⊥BE，可得△BEH是等腰直角三角形，则BH=BE；又易得△BEC≌△HEA，根据全等三角形的性质得AH=CE，从而得证。
1 / 1人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·黄陂开学考）如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论一定成立的是（ ）
A．AC=BC B．AO=OC C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；A，C，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.
2．（2020八下·陆川期末）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出 .
3．（2020八下·温州期末）如图，四边形 是平行四边形， 是 延长线上的一点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形 是平行四边形，
由邻补角的定义得：
故答案为：A.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据邻补角的定义即可得.
4．（2020八下·武侯期末）在 ABCD中，已知∠A=60°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°；
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角相等即可得出答案．
5．（2020八下·海州期末）平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等进行判断.
6．（2020八上·安阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，
∴AB=CD，
当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，
∴选项A正确；
当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项B正确；
当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，
∴选项C不正确；
当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论.
7．（2020九上·杭州开学考）如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的长度是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝6，
∴∠ABE＝∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝4，
∴DE＝CD﹣CE＝6﹣4＝2.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边的性质，可证得AB∥CD，CD＝AB＝6；再利用平行线的性质及角平分线的定义可以推出∠CBE＝∠CEB，利用等角对等边可求出CE的长，然后根据DE＝CD﹣CE，可求出DE的长。
8．（2020·河池）如图，在 中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=5，
∵EA=3，ED=4，
在△AED中， ，即 ，
∴∠AED=90°，
∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，
在Rt△EDC中， .
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。
9．（2020九上·宝安开学考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD═60°，AD＝2AB，连接OE．下列结论：①S平行四边形ABCD＝AB BD；
②DB平分∠ADE；③AB＝DE；④S△CDE＝S△BOC，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=60 ，∠ADC=120 ，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵ DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠BCD=∠CED=60 ，
∴ CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，
∵ AD＝2AB，
∴BE=DE，
∴∠CBD=∠BDE=30 ，
∴∠ADB=30 ，
∴∠ABD=90 ，即AB⊥BD，
∴ S平行四边形ABCD＝AB BD，故①正确；
∵∠ADB=∠BDE=30 ，
∴ DB平分∠ADE，故②正确；
∵AB=CD，CD=DE，
∴AB=DE，故③正确；
设平行四边形的高为h，
∴S△CDE =CE·h=·BC·h=，
S△BOC =·BC·h=，故④正确.
故选D.
【分析】根据题意证出 CDE是等边三角形，再证明∠ADB=30 ，即证出AB⊥BD，根据平行四边形的面积得出①正确；由∠ADB=∠BDE=30 ， 得出DB平分∠ADE，故②正确；由AB=CD=DE，得出③正确；分别求出S△CDE=，S△BOC =，得出S△CDE=S△BOC，得出④正确，即可求解.
10．（2020八下·海勃湾期末）如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，且 ；G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ， ，
， ．
点 是 的对称中心，
，
．
即 与 之间的等量关系是 ．
故答案为：B．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 ， ，再由点 是 的对称中心， 根据平行四边形的性质可得 ，从而得出 与 之间的等量关系 ．
二、填空题
11．（2020八上·渝北月考）如图，在平行四边形 中， 平分 ， ， ，则 的周长是 .
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC BE=5 2=3，
∴CD=AB=3，
∴ ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
12．（2020八上·台州月考）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， 点 A，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5 的方格纸中，找出格点 C 使△ABC 的面积为 2，则满足条件的格点 C 的个数是 个.
【答案】5
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，图中这样的点C有5个.
故答案为：5.
【分析】首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线.找到所有的格点即可.即有5个.
13．（2020九上·镇海开学考）如图，平行四边形 中， ， 相交于点 ，若 ， ，则△ 的周长为 .
【答案】14
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6
∵AC+BD=16
∴2OC+2OB=16
∴OC+OB=8
∴△BCO的周长为OC+OB+BC=8+6=14.
故答案为：14.
【分析】利用平行四边形的性质可知AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6，由AC+BD=16，可求出OC+OB的值，然后可求出△BOC的周长。
14．（2020·邵阳）如图，在 中， ，斜边 ，过点C作 ，以 为边作菱形 ，若 ，则 的面积为 ．
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE= ，
又∵∠ABE=30°
∴在Rt△BHE中，EH= ，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE=CG= ，
∴ 的面积为 ．
【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
三、解答题
15．（2020·淄博）已知：如图，E是 ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
16．（2020八下·曲阜期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中 ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴ED＝BF，
∴BD﹣CF＝BD﹣DE，
∴BE＝DF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD然后证明△ABF≌△CDE，进而可得BF＝DE，再利用等式的性质进行计算即可．
17．（2020八下·平阴期末）已知：如图， 的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD、CB分别相交于点E、F．求证：OE＝OF．
【答案】解： 四边形ABCD是平行四边形，
，
，
在 和 中， ，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据平行线的性质可得 ， ，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
四、综合题
18．（2020·瑶海模拟）如图，已知两个全等的等腰三角形如图所示放置，其中顶角顶点（点A）重合在一起，连接BD和CE，交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）当四边形ABFE是平行四边形时，且AB＝2，∠BAC＝30°，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC≌△ADE，AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠DAE＝30°，
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥CE，AB＝EF，
由（1）知：AB＝AC＝AE，
∴AB＝AC＝AE＝2，
即EF＝2，
过A作AH⊥CE于H，
∵AB∥CE，∠BAC＝30°，
∴∠ACH＝∠BAC＝30°，
在Rt△ACH中，AH＝ ＝ ＝1，CH＝ ＝ ＝ ，
∵AC＝AE，CH⊥CE，
∴CE＝2CH＝2 ，
∴CF＝CE﹣EF＝2 ﹣2．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定得出△BAD≌△CAE，即可得出答案；（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的性质得出EF＝AB＝2，解直角三角形求出CH，求出CE，即可求出答案．
19．（2019·九龙坡模拟）如图，在 ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，且AE⊥AD.
（1）若BG=2，BC= ，求EF的长度；
（2）求证：CE+ BE=AB.
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴
∵ 45°， ∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴
在 中， ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ∴
（2）解：证明：过点 作 交 于 ，
∵ 45°， ∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 45°， ∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先在Rt△BGC中，利用勾股定理求出CG；再在等腰Rt△BGE中求出GE，从而可求CE。然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，继而得∠EFC=45°，△ECF是等腰直角三角形，可得EF=EC.
（2）作EH⊥BE，可得△BEH是等腰直角三角形，则BH=BE；又易得△BEC≌△HEA，根据全等三角形的性质得AH=CE，从而得证。
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