初中数学人教版八年级下学期期中专题复习 ：03 平行四边形
一、单选题
1．（2020八上·安阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，
∴AB=CD，
当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，
∴选项A正确；
当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项B正确；
当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，
∴选项C不正确；
当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论.
2．（2021九下·台州开学考）如图，在 中， ， ，点 在 边上，以 ， 为边作 BCDE，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°.
∵四边形EBCD为平行四边形，
∴∠E=∠C=70°.
故答案为：D.
【分析】首先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据平行四边形对角相等就可得到∠E的度数.
3．（2021九上·锦州期末）如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以 长为半径作弧，交 于点 ；②分别以点 ， 为圆心，以 长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ，则 的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】根据题意描述，CG垂直平分线段DF，即∠BEC=90°，
∵ ，四边形 为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6
∴∠EBC=30°，
∴在Rt△BEC中， ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先根据题目描述可确定CG⊥BD，再由平行确定∠EBC=30°，从而在Rt△BEC中计算即可
4．（2020·铁岭）一个零件的形状如图所示， ，则 的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】结合已知条件由平行线的性质可知△ABD中两内角的度数，进而通过三角形内角和计算∠A.
5．（2020·河池）如图，在 中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=5，
∵EA=3，ED=4，
在△AED中， ，即 ，
∴∠AED=90°，
∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，
在Rt△EDC中， .
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。
6．（2020九上·杭州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列结论：①OA＝OC②∠BAD＝∠BCD③AC⊥BD④平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.上述结论一定正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OB， ∠BAD＝∠BCD∴①②正确；
③平行四边形对角线不垂直，错误；
④平行四边形是中心对称图形，错误；
综上，正确的结论有2个.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质有：平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形.
7．（2020·温州）如图，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】 在 中， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
．
故答案为： ．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠C的度数，再利用平行四边形的对角相等，可求出∠E的度数。
8．（2020九上·孝南开学考）如图， ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3，则AE的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，DA=BC
∴∠AEB=∠EBC，∠ABC+∠BCD=180°
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB，∠ABC=2∠EBC，∠BCD=2∠BCE
∴AB=AE，2∠EBC+2∠BCE=180°
∴∠EBC+∠BCE=90°
∴∠BEC=90°
同理可证CD=ED
∴AE=ED
∵
∴AE=BC=.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，DA=BC，从而可推出∠AEB=∠EBC，∠ABC+∠BCD=180°；再利用角平分线的定义，可以推出∠EBC+∠BCE=90°，AB=AE，AE=ED，然后利用勾股定理求出BC的长，即可求出AE的长。
二、填空题
9．（2020八上·渝北月考）如图，在平行四边形 中， 平分 ， ， ，则 的周长是 .
【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC BE=5 2=3，
∴CD=AB=3，
∴ ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
10．（2020·广州）如图，点 的坐标为 ，点 在 轴上，把 沿 轴向右平移到 ，若四边形 的面积为9，则点 的坐标为 ．
【答案】(4，3)
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1，3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵ ，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)
故答案为：(4，3).
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到 ，求出BD即可得到答案.
三、解答题
11．（2020·陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
【答案】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD＝BE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论.
12．（2020九上·顺德月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB < BC
（1）利用尺规作图，在AD边上确定点E，使点E到边AB，BC的距离相等(不写作法，留痕迹)；
（2）若BC =8，CD =5，求DE的长 .
【答案】（1）解：
∴点E为所作；
（2）解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=8，AB=CD=5，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
∴DE=AD AE=8 5=3.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，利用尺规作图作出∠ABC的角平分线，交AD于点E即可；
（2）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，再根据平行四边形的性质得出 AD=BC，AB=CD ，∠CBE=∠AEB，从而得出 ∠ABE=∠AEB，得出AB=AE，利用DE=AD AE，即可求出DE的长 .
四、综合题
13．（2020八上·上海期中）如图，已知，在 中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．
（1）求证：AF＝CE．
（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证： ．
【答案】（1）证明： 点D是边AC的中点，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）解：由（1）知， ，
，
四边形AECF是平行四边形，
，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据中点的性质以及平行的性质，证明得到△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到AF=CE即可；
（2）由（1）的结论，根据平行线的性质证明四边形AECF为平行四边形，继而由平行四边形的性质求出答案即可。
14．（2020九上·永年期中）如图，在矩形ABCD得对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使 ，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若 ， ，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴DE=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：如图所示，过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC，
∴F是CD的中点，
∴DF= CD= ×2=1，
又∵DE=CD=AB=2，
∴EF=3，
∵O是AC的中点，
∴OF是△ACD的中位线，
∴OF= AD=2，
∴Rt△OEF中，OE= ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据DE=AB，DE∥AB，即可得出四边形ABDE是平行四边形．
（2）过O作OF⊥CD于F，依据矩形的性质即可得到OF以及EF的长，再根据勾股定理即可得到OE的长．
1 / 1初中数学人教版八年级下学期期中专题复习 ：03 平行四边形
一、单选题
1．（2020八上·安阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB
2．（2021九下·台州开学考）如图，在 中， ， ，点 在 边上，以 ， 为边作 BCDE，则 的度数为
A． B． C． D．
3．（2021九上·锦州期末）如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以 长为半径作弧，交 于点 ；②分别以点 ， 为圆心，以 长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ，则 的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（2020·铁岭）一个零件的形状如图所示， ，则 的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
5．（2020·河池）如图，在 中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．5
6．（2020九上·杭州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列结论：①OA＝OC②∠BAD＝∠BCD③AC⊥BD④平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.上述结论一定正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020·温州）如图，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．（2020九上·孝南开学考）如图， ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3，则AE的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2020八上·渝北月考）如图，在平行四边形 中， 平分 ， ， ，则 的周长是 .
10．（2020·广州）如图，点 的坐标为 ，点 在 轴上，把 沿 轴向右平移到 ，若四边形 的面积为9，则点 的坐标为 ．
三、解答题
11．（2020·陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
12．（2020九上·顺德月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB < BC
（1）利用尺规作图，在AD边上确定点E，使点E到边AB，BC的距离相等(不写作法，留痕迹)；
（2）若BC =8，CD =5，求DE的长 .
四、综合题
13．（2020八上·上海期中）如图，已知，在 中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．
（1）求证：AF＝CE．
（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证： ．
14．（2020九上·永年期中）如图，在矩形ABCD得对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使 ，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若 ， ，求OE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，
∴AB=CD，
当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，
∴选项A正确；
当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项B正确；
当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，
∴选项C不正确；
当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°.
∵四边形EBCD为平行四边形，
∴∠E=∠C=70°.
故答案为：D.
【分析】首先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据平行四边形对角相等就可得到∠E的度数.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】根据题意描述，CG垂直平分线段DF，即∠BEC=90°，
∵ ，四边形 为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6
∴∠EBC=30°，
∴在Rt△BEC中， ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先根据题目描述可确定CG⊥BD，再由平行确定∠EBC=30°，从而在Rt△BEC中计算即可
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】结合已知条件由平行线的性质可知△ABD中两内角的度数，进而通过三角形内角和计算∠A.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=5，
∵EA=3，ED=4，
在△AED中， ，即 ，
∴∠AED=90°，
∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，
在Rt△EDC中， .
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OB， ∠BAD＝∠BCD∴①②正确；
③平行四边形对角线不垂直，错误；
④平行四边形是中心对称图形，错误；
综上，正确的结论有2个.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质有：平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】 在 中， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
．
故答案为： ．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠C的度数，再利用平行四边形的对角相等，可求出∠E的度数。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，DA=BC
∴∠AEB=∠EBC，∠ABC+∠BCD=180°
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB，∠ABC=2∠EBC，∠BCD=2∠BCE
∴AB=AE，2∠EBC+2∠BCE=180°
∴∠EBC+∠BCE=90°
∴∠BEC=90°
同理可证CD=ED
∴AE=ED
∵
∴AE=BC=.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，DA=BC，从而可推出∠AEB=∠EBC，∠ABC+∠BCD=180°；再利用角平分线的定义，可以推出∠EBC+∠BCE=90°，AB=AE，AE=ED，然后利用勾股定理求出BC的长，即可求出AE的长。
9．【答案】16
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在 ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC BE=5 2=3，
∴CD=AB=3，
∴ ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
10．【答案】(4，3)
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1，3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵ ，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)
故答案为：(4，3).
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到 ，求出BD即可得到答案.
11．【答案】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD＝BE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论.
12．【答案】（1）解：
∴点E为所作；
（2）解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=8，AB=CD=5，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
∴DE=AD AE=8 5=3.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，利用尺规作图作出∠ABC的角平分线，交AD于点E即可；
（2）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，再根据平行四边形的性质得出 AD=BC，AB=CD ，∠CBE=∠AEB，从而得出 ∠ABE=∠AEB，得出AB=AE，利用DE=AD AE，即可求出DE的长 .
13．【答案】（1）证明： 点D是边AC的中点，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）解：由（1）知， ，
，
四边形AECF是平行四边形，
，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据中点的性质以及平行的性质，证明得到△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到AF=CE即可；
（2）由（1）的结论，根据平行线的性质证明四边形AECF为平行四边形，继而由平行四边形的性质求出答案即可。
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴DE=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：如图所示，过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC，
∴F是CD的中点，
∴DF= CD= ×2=1，
又∵DE=CD=AB=2，
∴EF=3，
∵O是AC的中点，
∴OF是△ACD的中位线，
∴OF= AD=2，
∴Rt△OEF中，OE= ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据DE=AB，DE∥AB，即可得出四边形ABDE是平行四边形．
（2）过O作OF⊥CD于F，依据矩形的性质即可得到OF以及EF的长，再根据勾股定理即可得到OE的长．
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