三角恒等变换单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．cos2－的值为
A.1 B. C. D.
2．tan－cot等于
A.－2 B.－1 C.2 D.0
3．若sin＝，cos＝－，则θ在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．cos2＋cos2＋coscos的值等于
A. B. C. D.1＋
5．已知π＜α＜，且sin(＋α)＝，则tan等于
A.3 B.2 C.－2 D.－3
6．若tanθ＋cotθ＝m，则sin2θ等于
A. B. C.2m D.
7．下面式子中不正确的是
A.cos(－)＝coscos＋ B.cos＝cos·cos－sin
C.sin(＋)＝sin·cos＋cos D.cos＝cos－cos
8．如果tan＝，那么cosα的值是
A. B. C.－ D.－
9．化简的值是
A.tan B.tan2x C.－tanx D.cotx
10．若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为
A.5 B.－5 C. D.－
11．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于
A.－ B.－ C.－ D.－
12．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则此三角形为
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(4×6＝24分)
13．若tanα＝－2且sinα＜0，则cosα＝_____.
14．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos＝_____.
15．coscos＝_____.
16．已知π＜θ＜，cosθ＝－，则cos＝_____.
17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.
18．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值.
20．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα.
21．已知sin(x－)cos(x－)＝－，求cos4x的值.
22．求证cos3α＝4cos3α－3cosα
23．若函数y＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)及点(tanβ，1).
三角恒等变换单元练习题答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
C
D
B
D
B
C
A
D
B
二、填空题
13 14 － 15 －
16 － 17 1 18 － －1
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值.
1
20．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα.
解：∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1
∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0
即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0
又α∈(0，)，∴cos2α>0，sinα＋1>0.
故sinα＝，α＝，tanα＝.
21．已知sin(x－)cos(x－)＝－，求cos4x的值.
解析：由sin(x－)cos(x－)＝－
［sin(2x－π)＋sin(－)］＝－
sin2x＝－cos4x＝1－2sin22x＝.
22．求证cos3α＝4cos3α－3cosα
证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos2α－1)cosα－2sin2αcosα
＝2cos3α－cosα－2sin2αcosα
＝2cos3α－cosα－2(1－cos2α)cosα
＝4cos3α－3cosα＝右边.
23．若函数y＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)及点(tanβ，1).
求2cos2αcos2β＋psin2(α＋β)＋2sin2(α－β)的值.
解：由条件知tanα、tanβ是方程
x2－4px－2＝1的两根.
∴
∴tan(α＋β)＝＝p.
∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)
＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)
＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2
第3章 三角恒等变换
§3.1两角和与差的三角函数
重难点：掌握余弦的差角公式的推导并能灵活应用；能利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式，学会推导两角和差的正切公式．
考纲要求：①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式．
经典例题：已知△ABC的三个内角满足：A+C=2B，求的值.
当堂练习：
1．给出如下四个命题
①对于任意的实数α和β，等式恒成立；
②存在实数α，β，使等式能成立；
③公式成立的条件是且；
④不存在无穷多个α和β，使；
其中假命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
2．函数的最大值是 （ ）
A． B． C． D． 2
3．当时，函数的 （ ）
A．最大值为1，最小值为－1 B．最大值为1，最小值为
C．最大值为2，最小值为－2 D．最大值为2，最小值为－1
4．已知的值 （ ）
A． B． C． D．
5．已知（ ）
A． B．－ C． D．－
6．的值等于 （ ）
A． B． C． D．
7．函数其中为相同函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．α、β、都是锐角，等于（ ）
A． B． C． D．
9．设的两个根，则p、q之间的关系是（ ）
A．p+q+1=0 B．p－q+1=0 C．p+q－1=0 D．p－q－1=0
10．已知的值是 （ ）
A． B．－ C． D．
11．在△ABC中，，则与1的关系为 （ ）
A． B．
C． D．不能确定
12．的值是 （ ）
A． B． C． D．
13．已知，则的值为 .
14．在△ABC中， ， 则∠B= .
15．若则= .
16．若的取值范围是 .
17．化简求值：．
18．已知是方程的两根，求的值.
19．求证：．
20．已知α，β∈（0，π）且，求的值.
21．证明：.
必修4 第3章 三角恒等变换
§3.2二倍角的三角函数
重难点：理解二倍角公式的推导，并能运用二倍角公式灵活地进行化简、求值、证明．
考纲要求：①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系示．
经典例题：已知．
（I）化简f（x）；
(II) 是否存在x，使得相等？若存在，求x的值，若不存在，请说明理由.
当堂练习：
1．的值是 （ ）
A． B． C． D．
2．如果的值是 （ ）
A． B． C．1 D．
3．已知为第Ⅲ象限角，则等于 （ ）
A． B． C． D．
4．函数的值域是 （ ）
A． B． C． D．[－4，0]
5．的值是 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．的值为 （ ）
A． B． C． D．
7．的值为 （ ）
A． B． C． D．
8．成立的条件是 （ ）
A．是第I第限角 B． C． D．以上都不对
9．已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
10．已知θ为第Ⅲ象限角，等于 （ ）
A． B． C． D．
11．已知θ为第Ⅱ象限角， 则的值为 （ ）
A． B． C． D．
12．设的值为 （ ）
A． B． C． D．
13．的值等于 .
14．已知，则的值为 .
15．已知的值是 .
16．化简的结果是 .
17．已知的值.
18．设的最值.
19．求证：.
20．不查表求值：.
21．已知函数表示成关于的多项式．
必修4 第3章 三角恒等变换
§3.3几个三角恒等式
重难点：了解和差化积公式和积化和差公式的推导并能简单运用．
考纲要求：①能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三组公式不要求记忆．
经典例题：证明：内切圆半径为定值r的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小．
当堂练习：
1.求值:cos+cos+cos
2.证明：tan－tan=
3.已知，求3cos 2( + 4sin 2( 的值。
4.证明：
5.已知：，求证：
6.已知：
求证：
必修4 第3章 三角恒等变换
§3.4三角恒等变换单元测试
1、已知则的值等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知则值等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3、等于（ ）
（A） （B） （C）2cos1 （D）
4、已知则cosθ的值等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、若则的值等于( ）
（A） （B） （C） （D）
6、且则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、已知为锐角，则值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、已知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、设，，，且，，则等于（ ）
（A） （B） （C）或 （D）
10、设，，，，则，，，的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11、函数是（ ）
（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数
（C） 周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数
12、已知函数f(x)=2asin2x－2 sinxcosx+a+b(a<0)的定义域是[0, ],值域为[－5,1],则a、b的值为 （ ）
A．a=2, b=－5 B．a＝－2,b=2 C．a=－2, b=1 D．a=1,b=－2
13、函数的最小值。
14、已知，则=。
15、函数的最大值。
16、已知，给出以下四个命题：
若，则；
直线是函数图象的一条对称轴；
在区间上函数是增函数；
函数的图象可由的图象向右平移个单位而得到，
其中正确命题的序号为。
17若, 求角的取值范围.
18已知cos(x＋)=，＜x＜，求的值。
19将一块圆心角为60°，半径为20cm的扇形铁电裁成一个矩形，求裁得矩形的最大面积.
20.已知
（Ⅰ）若分别求的值；
（Ⅱ）试比较的大小，并说明理由.
21、已知、是的方程的两个实根，设函数，试问（1）求的最值；（2）的图象可由正弦曲线经过怎样的变换而得到；（3）求的单增区间。
第3章 三角恒等变换
§3.1两角和与差的三角函数
经典例题：
由题设B=60°，A+C=120°，设知A=60°+α， C=60°－α，
故．
当堂练习：
1.C; 2.A; 3.D; 4.D; 5.B; 6.C; 7.C; 8.B; 9.B; 10.D; 11.B; 12.A; 13. m; 14. ; 15. ; 16. ;
17．原式==．
18．，
．
19．证：
右．
20．
21．左=右．
§3.2二倍角的三角函数
经典例题：
（I）；
（II）存在，此时．
当堂练习：
1.A; 2.A; 3.A; 4.C; 5.B; 6.C; 7.A; 8.D; 9.D; 10.B; 11.B; 12.C; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ;
17．由已知，
同理，
故．
18．．
19．右．
20．原式=．
21．．
§3.3几个三角恒等式
经典例题：
分析：如图，由已知得OAB=,OBA=,=，周长=2(x+y+z),本题目的是要证明，当取最小值时=，故要找出变量x,y与已知，以及角、的三角函数之间的关系，并且利用=，写出角或角的三角函数表示的函数式，再通过恒等变形，变换成能够求得最小的函数式。
解：如图，设OAB=,OBA=,AF=AD=x,BE=BD=y,
C=,圆O为ABC内切圆圆心，2=，即
=，=2 -.
x＝ｒcot,y=rcot,设ABC周长为，
则=2（x+y+z）=2r(cot)=2r(++1)=2r[]
=2r=2r[]
若取最小值，则cos(2) 最大，即2=，ABC为等腰直角三角形。
当堂练习：
1. 解：原式=
=
==-
2. 分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角.若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将写成-，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角。
证法一：左边=-==
==右边 原等式成立。
证法二：右边===-
= tan-tan=右边。 原等式成立。
点评：证法一是从左边到右边，通过化弦，运用两角差的公式及积化和差的公式直达目标；而证法二从右边出发，将写成-，再用两角差的公式，向左边推进.
3. 解：∵ ∴cos ( ( 0 (否则 2 = ( 5 )
∴ 解之得：tan ( = 2
∴原式
4. 证明：∵左边=
==右边
∴
5. 证明: ∵左边=
===右边
∴
6. 证明：∵ ∴
∵∴=
=
∴
§3.4三角恒等变换单元测试
1.B; 2.C; 3.B; 4.B; 5.D; 6.C; 7.B; 8.D; 9.A; 10.C; 11.C; 12.C; 13. ; 14. ; 15. 1; 16. ②④;
17．左=右，
18 .
19如图设，则PN=，
SMNPQ=，
当时，
SMNPQ取最大值．
20．解：（Ⅰ）∵
∴
又 ∴
∴
（Ⅱ）∵，∴
又上为减函数，∴
21、（1）（2）略（3）
课件38张PPT。(4)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数． 三角恒等变形及应用
一．课标要求：
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
二．命题走向
从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
三．要点精讲
1．两角和与差的三角函数
；
；
。
2．二倍角公式
；
；
。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
；；。
（2）辅助角公式
，
。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
四．典例解析
题型1：两角和与差的三角函数
例1．已知，求cos。
分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。
解法一：由已知sin+sin=1…………①，
cos+cos=0…………②，
①2＋②2得 2+2cos；
∴ cos。
①2－②2得 cos2+cos2+2cos（）=－1，
即2cos（）〔〕=－1。
∴。
解法二：由①得…………③
由②得…………④
④÷③得
点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。
例2．已知
求。
分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。
解法一：由韦达定理得tan，
所以tan
解法二：由韦达定理得tan，
所以tan
，
。
点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如
题型2：二倍角公式
例3．化简下列各式：
（1），
（2）。
分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。
解析：（1）因为，
又因，
所以，原式=。
（2）原式=
=。
点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，。
例4．若。
分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。
解法一：由，
解法二：，
点评：此题若将的左边展开成再求cosx，sinx的值，就很繁琐，把，并注意角的变换2·运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，
如，
，
等。
题型3：辅助角公式
例5．已知正实数a,b满足。
分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。
解法一：由题设得
解法二：
解法三：
点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，，或
在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。
例6．已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
（理）（1）解析：y＝cos2x＋sinxcosx＋1
＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1
＝cos2x＋sin2x＋
＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋
＝sin（2x＋）＋
y取得最大值必须且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z。
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝。
（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：
①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
y＝sin（2x＋）的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数
y＝sin（2x＋）的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图象；
综上得到函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1的图象。
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。
已知函数y＝sinx＋cosx，x∈R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解析：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈R
y取得最大值必须且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋2kπ，k∈Z。
所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝
（2）变换的步骤是：
①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；
②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数
y＝2sin（x＋）的图象；
经过这样的变换就得到函数y＝sinx＋cosx的图象。
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。
题型4：三角函数式化简
例7．求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值。
解析：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）
＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－
＝－sin70°sin30°＋sin70°
＝－sin70°＋sin70°＝。
点评：本题考查三角恒等式和运算能力。
例8．已知函数.
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值。
解析：（Ⅰ）由 得，
故在定义域为 （Ⅱ）因为，且是第四象限的角,
所以
? 故
。
题型5：三角函数求值
例9．设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值。
解析：（I）
依题意得 ．
（II）由（I）知，。
又当时，，故，从而在区间上的最小值为，故
例10．求函数＝2＋的值域和最小正周期。
解析：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，
∴函数y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。
题型6：三角函数综合问题
例11．已知向量
（I）若求 （II）求的最大值。
解析：（1）；
当=1时有最大值,此时，最大值为。
点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为0；2，特殊角的三角函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。
例12．设0<θ<，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4个不同的交点。
（1）求θ的取值范围；
（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。
解析：（1）解方程组，得；
故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为，（0<θ<）0<θ<。
（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i=1，2，3，4），则：xi2+yi2=2cosθ∈（，2）（i=1，2，3，4）。
故四个交点共圆，并且这个圆的半径r=cosθ∈（）.
点评：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查。
题型7：三角函数的应用
例13．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．
分析：本题入手要解决好两个问题，
（1）内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理；
（2）求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。
解析：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ，
，
。
又设矩形EFGH的面积为S，那么
又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，
如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°
设矩形的面积为S．
那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ)
＝2R2［cos(2θ－30°)－cos30°]
又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ－30°)＝1
。
模块检测
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．若cos(2π－α)＝，且α∈，则sin(π－α)＝________.
解析 cos(2π－α)＝＝cos α，又α∈，
∴sin α＝－，∴sin(π－α)＝sin α＝－.
答案 －
2．若＝3a，＝－5a，且，则四边形ABCD的形状是________．
解析 ∵＝3a，＝－5a，∴＝－
∴∥且即ABCD是梯形．
∴四边形为等腰梯形．
答案 等腰梯形
3．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
解析 由t(a＋λb)＝－(b－2a)
∴ ∴λ＝－.
答案 －
4．若函数f(x)＝cos(ωx)·cos(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．
解析 f(x)＝cos(ωx)·sin(ωx)＝sin(2ωx)
T＝＝π，∴ω＝1.
答案 1
5．已知α∈(0，π)，cos(π＋α)＝，则sin α＝________.
解析 由cos(π＋α)＝－cos α，cos α＝－，α∈(0，π)
∴sin α＝.
答案
6．已知sin(π－α)＝－2sin，则sin α·cos α＝________.
解析 由已知得：sin α＝－2cos α.
由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＋(－2cos α)2＝1
∴cos2α＝，∴sin α·cos α＝－2cos2α＝－.
答案 －
7．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为________．
解析 由题意知α的终边在第三象限，
且sin α·cos α＝
∴tan α＝或，
∴a＝－4或－.
答案 －4或－
8．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值为0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜，则函数解析式为________．
解析 由题设得：A＝2，n＝2，ω＝4，又x＝时
sin＝±1，且0＜φ＜，故φ＝.
答案 y＝2sin＋2
9．非零向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，若a与b共线，则tan＝________.
解析 由a，b共线，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)
∴λ＝2.sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2
∴tan＝.
答案
10．设向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)，若t是实数，则|a－tb|的最小值为________．
解析 |a－tb|＝＝
又∵a·b＝cos 55°cos 25°＋sin 55°sin 25°＝cos 30°＝
∴|a－tb|＝＝
∴|a－tb|的最小值为.
答案
11.
将函数y＝sin ωx，(ω＞0)的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式为________．
解析 将y＝sin ωx向左平移个单位，得：
y＝sin ω＝sin
又因为f＝－1
由五点作图得：＋＝
∴ω＝2.∴解析式为y＝sin.
答案 y＝sin
12．已知α∈，sin α＝，则tan等于________．
解析 ∵α∈sin α＝，
∴cos α＝－
∴tan α＝－
∴tan＝＝.
答案
13．设f(x)＝＋sin x＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝________.
解析 f(x)＝＋sin x＋a2sin
＝sin＋a2sin
＝(＋a2)·sin
∵f(x)的最大值为＋3
∴a2＝3，∴a＝±.
答案 ±
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别a、b、c，若＝＝1，那么c＝________.
答案
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)已知0＜x＜，化简：lgcos x·tan x＋1－2sin2＋lg－lg(1＋sin 2x)．
解 ∵0＜x＜，
∴原式＝lg(cos x·＋cos x)＋lg(cos x＋sin x)－lg(1＋sin 2x)
＝lg(sin x＋cos x)＋lg(cos x＋sin x)－lg(1＋sin 2x)
＝lg(sin x＋cos x)2－lg(1＋sin 2x)
＝lg(1＋sin 2x)－lg(1＋sin 2x)＝0.
16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2 ωx，(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．
解 (1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2 ωx
＝sin ωxcos ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.
由于ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
17．(本小题满分14分)已知A、B、C为△ABC的三个内角，a＝(sin B＋cos B，cos C)，b＝(sin C，sin B－cos B)
(1)若a·b＝0，求角A.
(2)若a·b＝－，求tan 2A.
解 (1)由已知a·b＝0，得(sin B＋cos B)·sin C＋cos C·(sin B－cos B)＝0
化简得：sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0
即sin A＋cos A＝0
∴tan A＝－1，而A∈(0，π)
∴A＝π
(2)∵a·b＝－，
即sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－
∴sin A＋cos A＝－ ①
将①平方得：1＋2sin A·cos A＝
∴2sin A·cos A＝－＜0
∴A∈
sin A－cos A＝＝
∴sin A＝
cos A＝－
∴tan A＝－
∴tan 2A＝＝－.
18．(本小题满分16分)已知向量a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，α∈
(1)若a∥b，求tan α的值．
(2)若a·b＝，求sin的值．
解 (1)∵a∥b
∴2sin α＝cos α
故tan α＝.
(2)a·b＝，
所以sin α·cos α＋2＝
即sin 2α＝
因为α∈，所以2α∈，
则cos 2α＝，
所以sin＝sin 2α＋cos 2α
＝.
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝3sin2 x＋2sin xcos x＋5cos2 x.
(1)求函数f(x)的周期和最大值；
(2)已知f(α)＝5，求tan α的值．
解 (1)f(x)＝3＋sin 2x＋2cos2 x
＝sin 2x＋cos 2x＋4
＝2sin＋4
∴周期T＝＝π，最大值为6
(2)由f(α)＝5，得：
2sin＋4＝5
∴sin 2α＋cos 2α＝1
即 2sin αcos α＝2sin2α
∴sin α＝0或tan α＝
∴tan α＝0或tan α＝.
20．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝
＝＝2cos 2x，
∴f＝2cos＝2cosπ＝－.
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin，
x∈，∴2x＋∈
∴x＝时，g(x)max＝，
x＝时，g(x)(min)＝－1.
章末质量评估(三)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．cos2 75°＋cos2 15°＋cos 75°cos 15°的值为________．
解析 原式＝sin2 15°＋cos2 15°＋sin 15°·cos 15°＝1＋sin 30°＝.
答案
2．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为________．
解析 原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15°＝sin(45°－15°)＝.
答案
3．(2010·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＝，则cos(π－2α)＝________.
解析 cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
答案 －
4．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为________．
解析 tan
＝＝＝1.
答案 1
5．已知f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________.
解析 f(cos x)＝2cos2 x－1
∴f(sin 15°)＝2sin2 15－1＝－cos 30°＝－
答案 －
6．若tan α＝2，则的值是________．
解析 ＝＝＝.
答案
7．函数y＝sin x＋cos x，x∈的最大值为________．
解析 y＝sin x＋cos x＝2sin
∵x∈
∴x＋∈
∴当x＋＝，即x＝时，ymax＝2.
答案 2
8．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝________.
解析 ＝＝＝
∵α是第三象限角，∴sin α＝－，∴原式＝－.
答案 －
9．已知sin α＝，且sin α－cos α＞1，则sin 2α＝________.
解析 sin α－cos α＞1
∴1－2sin α·cos α＞1
∴sin α·cos α＜0
sin α＝
∴cos α＝－
∴sin 2α＝2××＝－
答案 －
10．△ABC中，tan A＝－2，tan B＝，则C＝________.
解析 ∵tan A＝－2，tan B＝
∴tan(A＋B)＝＝－1
∵tan C＝－tan(A＋B)＝1而C∈(0，π)，∴C＝.
答案
11．函数y＝的最大值与最小值分别为________．
解析 设t＝sin x＋cos x，
则t＝sin(－≤t≤)，sin xcos x＝，
所以y＝(t－1)(t≠－1)，
所以ymin＝－，ymax＝.
答案 、
12．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos－＝，则cos＝________.
解析 0＜α＜，∴＜α＋＜π
∵cos＝
∴sin＝，
∵－＜β＜0
∴－∈
∴sin＝
∴cos＝cos
＝cos·cos＋sin·sin
＝×＋×＝.
答案
13．已知f(α)＝，α∈，则f(α)取得最大值时α的值是________．
解析 f(α)＝＝
＝＝＝sin 2α，
当2α＝，即α＝时，函数f(α)取得最大值．
答案
14．已知f(x)＝sin－cos，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＋f(2 011)＝________.
解析 ∵f(x)＝sin－cos
＝2sin＝2sinx，
∴f(x)的周期T＝＝8.
又f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＋f(2 011)
＝251×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝2sin＋2sin＋2sin
＝＋2＋＝2＋2.
答案 2＋2
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)(1)化简
，(0＜θ＜π)．
(2)求值－sin 10°.
解 (1)原式＝
＝＝
因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝cos－cos.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求g(x)＝f(－2－x)；当x∈[0,2]时，求函数y＝g(x)的最大值．
解 (1)f(x)＝cosxcos＋sinxsin－cos＝sinx－cosx＝sin.
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)由题设条件得g(x)＝f(－2－x)＝
sin＝sin
＝－cos＝－cos.
当0≤x≤2时，≤x＋≤，
设t＝x＋，
则y＝－cos t，且t∈[0，π]时是增函数，
因此y＝g(x)在区间[0,2]上的最大值为
g(x)max＝－cos＝.
17．(本小题满分14分)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．
解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－，或tan α＝.
∵α∈，tan α＜0，故tan α＝(舍去)．
∴tan α＝－.
(2)∵α∈，
∴∈.
由tan α＝－，
求得tan＝－或tan＝2(舍去)．
∴sin＝，cos＝－，
cos＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－.
18．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x.
(1)求f(x)的周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
解 (1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)x∈，所以2x－∈，
sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，
所以m＋2∈[2,3]，
即m∈[0,1]．
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2 x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
解 (1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2 x－1，得
f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2 x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，
所以函数f(x)在区间上的最大值为2，
最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
因为f(x0)＝，所以sin＝.
由x0∈，
得2x0＋∈，
从而cos＝－＝－.
所以cos 2x0＝cos
＝coscos＋sinsin＝.
20．(本小题满分16分)已知函数f(t)＝ ，g(x)＝cos x·f(sin x)＋sin x·f(cos x)，x∈.
(1)将函数g(x)化简成Asin(ωx＋φ)＋B，(A＞0，ω＞0)，φ∈[0,2π)的形式．
(2)求函数g(x)的值域．
解 (1)g(x)＝cos x·＋sin x·
＝cos x·＋sin x·
＝cos x·＋sin x·.
因为x∈，
所以|cos x|＝－cos x，|sin x|＝－sin x.
所以g(x)＝cos x·＋sin x·
＝sin x＋cos x－2＝sin－2.
(2)由π＜x≤，
得＜x＋≤.
令u＝x＋，则＜u≤.
因为sin u在上为减函数，
在上为增函数，又sin＜sin，
所以sin≤sin＜sin(当x∈时 )，
即－1≤sin＜－，
所以－－2≤sin－2＜－3.
故g(x)的值域为[－－2，－3)．
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1.＝__________.
解析：原式＝×＝tan＝.
答案：
2．已知sin＋cos＝，那么sinθ＝__________，cos2θ＝__________.
解析：将sin＋cos＝两边平方可求出sinθ，再用余弦二倍角公式求得cos2θ.
答案：
3．若sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，则cos2β＝________.
解析：由已知得：sin[(α－β)－α]＝，所以sinβ＝－，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝－.
答案：－
4．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于__________．
解析：∵sinα＝，α∈(0，)，∴cosα＝，∴cos(α＋)＝(cosα－sinα)＝cosα－sinα＝.
答案：
5．sin163°sin223°＋sin253°sin313°的值为__________．
解析：原式＝sin(180°－17°)·sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)·sin(270°＋43°)＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°＝cos60°＝.
答案：
6．已知sin(－x)＝，则sin2x的值为__________．
解析：sin2x＝cos(－2x)＝cos2(－x)＝1－2sin2(－x)＝1－2×2＝.
答案：
7．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．
解析：由题设得∴tan(A＋B)＝＝＝.在△ABC中，tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＜0，∴C是钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
答案：钝角
8．化简2＋的结果是__________．
答案：2sin2
9．在△ABC中，若sin2B＝sinAsinC，则cos2B＋cosB＋cos(A－C)的值为__________．
解析：cos2B＋cosB＋cos(A－C)＝cos2B－cos(A＋C)＋cos(A－C)＝1－2sin2B＋2sinAsinC＝1.
答案：1
10．当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值是__________．
解析：f(x)＝＝，当tanx＝时，f(x)有最小值为4.
答案：4
11．若＝2011，则＋tan2α＝__________.
解析：∵＝2011，
∴＋tan2α＝＋
＝＝＝2011.
答案：2011
12．化简··＝__________.
解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan.
答案：tan
13.＝__________.
解析：原式＝＝＝＝＝＝－4.
答案：－4
14．在△ABC中，A，B，C是其三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2＋cos2B.当f(B)－m＜2恒成立时，实数m的取值范围是__________．
解析：原式＝4sinB·＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.
∵f(B)－m＜2恒成立，
∴2sinB＋1－m＜2恒成立，即m＞2sinB－1恒成立．
∵0＜B＜π，∴0＜sinB≤1.
∴－1＜2sinB－1≤1，故m＞1.
答案：m≥1
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知cos2θ＝，θ∈，求sin－sin2θ的值．
解：∵cos2θ＝，θ∈，
∴cosθ＜0，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝，
∴cos2θ＝，∴cosθ＝－，sinθ＝，
∴sin－sin2θ＝sinθ·cos＋cosθsin－2sinθcosθ＝×－×＋2××＝－＋＝.
16．(本小题满分14分)已知tan(＋θ)＋tan(－θ)＝4，且－π＜θ＜－，求sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ的值．
解：由tan(＋θ)＋tan(－θ)＝4，得：
＋＝
＝
＝＝4.则cos2θ＝.
∵－π＜θ＜－，
∴cosθ＝－，sinθ＝－，
∴sin2θ－2sinθ·cosθ－cos2θ
＝－2××－＝－.
17．(本小题满分14分)在△ABC中，已知tanB＝，试判断△ABC的形状．
解：在△ABC中，A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，
因为tanB＝，
所以＝
＝，
所以sinB＝，
整理得cos(B＋C)＝0.
因为0＜B＋C＜π，
所以B＋C＝.
即△ABC为直角三角形．
18．(本小题满分16分)求证：＝.
证明：左边＝
＝＝＝
＝
＝＝＝右边．
19．(本小题满分16分)已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝且α∈(，π)，β∈(0，)．
求：(1)cos；(2)tan(α＋β)．
解：(1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin(α－)＝ ＝，
cos(－β)＝ ＝.
∴cos＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)·cos(－β)＋sin(α－)·sin(－β)
＝(－)×＋×＝－.
(2)∵＜＜π，
∴sin＝ ＝，
∴tan＝＝－，
∴tan(α＋β)＝＝.
20．(本小题满分16分)已知A，B，C是△ABC的三个内角，若＝2＋，求角B.
解：因为＝2＋，
所以＝2＋，
所以＝2＋.
所以＝2＋，所以＝2＋，
解得tanB＝，
∵A，B，C是△ABC的三个内角，∴B＝.
