初中数学华师大版九年级上学期 第25章 25.2随机事件的概率
一、单选题
1．（2020·徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个.
故答案为：A.
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案.
2．（2020·营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82.
故答案为：B.
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论.
3．（2020·邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有： ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
4．（2020·芜湖模拟）某校生物兴趣小组为了解种子发芽情况，重复做了大量种子发芽的实验，结果如下：
根据以上数据，估计该种子发芽的概率是（ ）
A．0.90 B．0.98 C．0.95 D．0.91
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】根据表格数据，估计该种子发芽的概率是0.95，
故答案为：C．
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.95左右，从而得到结论．
二、填空题
5．（2020·玉林）经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是 .
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能结果，其中至少有一辆向左转的有3种等可能结果，
所以至少有一辆向左转的概率为 ，
故答案为：
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得.
6．（2020七下·莲湖期末）如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率折线图，则符合图中这一结果的实验可能是 （填序号）.
①抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；
③四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1.
【答案】②
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是 =0.5，故本选项错误；
在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率是 ，故本选项符合题意；
四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1的概率是0.25；
故答案为：②.
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算三个选项的频率，约为0.33者即为正确答案.
7．（2020·嘉定模拟）为了调查A学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时间t(单位：时)，一个数学课外活动小组随机调查了A学校120名学生该周阅读课外书籍的时间t(单位：时)，并绘制成如图所示的频率分布直方图(列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定)．请根据以上信息，估计A学校该周阅读课外书籍的时间位于8≤t＜10之间的学生人数大约为 人．
【答案】600
【知识点】频数（率）分布直方图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 组距是2，
的频率是 ，
学校共有2400名学生，
学校该周阅读课外书籍的时间位于 之间的学生人数大约为： （人 ；
故答案为：600．
【分析】根据直方图给出的数据先求出 的频率，再用该校的总人数乘以 的频率即可得出答案．
三、综合题
8．（2020·锦州）A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀.
（1）从A盒里班抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ；
（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率.
【答案】（1）
（2）解：根据题意可列表格如下：
B A 4 5 6
1
2
3
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张卡片数字之和大于7的有三种： ，
（两张卡片数字之和大于7） .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）A盒里有三张卡片上，有两张是奇数，
∴抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据简单的概率公式进行计算即可；（2）用列表法列出所有等可能的情况，即可得出概率.
9．（2020·泰州）一只不透明袋子中装有 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.2100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到0.01），由此估出红球有 个.
（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.
【答案】（1）0.33；2
（2）解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为： ；
故答案为： .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由 个，由题意得：
，解得： ，经检验： 是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
【分析】（1）通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，进而得出答案；利用频率估计概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的计算公式即可得出红球的个数；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案.
10．（2020·台州）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种. 为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值）
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高 简要说明理由.
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0. 8及以上的概率是多少
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0. 4以下的共有多少人
【答案】（1）直播”教学方式学生的参与度更高；
理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，所以“直播”教学方式学生的参与度更高。
（2）解：12÷40=0.3=30%
答：该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%
（3）解：录播”总学生数：800× =200（人）
“直播”总学生数：800× =600（人）
“录播”参与度在0.4以下的学生数：200× =20（人）
“直播”参与度在0.4以下的学生数：600× =30（人）
参与度在0.4以下的学生共有：20+30=50（人）
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断；（2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；（3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
11．（2020七下·富平期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数 50 100 150 200 350 400 450 500
优等品的频数 40 96 126 176 322 364 405 450
优等品的频率 0.80 0.96 0.84 0.92 0.90
（1）求 的值；
（2）在图中画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图；
（3）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？
【答案】（1）解： ；
；
（2）解：如图所示：
（3）解：由图知，当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，因此在这批乒乓球中任取一个，它是优等品的概率大约为0.9.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）优等品的频率=优等品的频数÷取出的乒乓球数，分别求出a，b，c的值即可。
（2）利用表中数据，分别描出各个点，然后用折线连接即可。
（3）观察表中数据及折线图可知当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，由此可得答案。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第25章 25.2随机事件的概率
一、单选题
1．（2020·徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
2．（2020·营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
3．（2020·邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·芜湖模拟）某校生物兴趣小组为了解种子发芽情况，重复做了大量种子发芽的实验，结果如下：
根据以上数据，估计该种子发芽的概率是（ ）
A．0.90 B．0.98 C．0.95 D．0.91
二、填空题
5．（2020·玉林）经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是 .
6．（2020七下·莲湖期末）如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率折线图，则符合图中这一结果的实验可能是 （填序号）.
①抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；
②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；
③四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1.
7．（2020·嘉定模拟）为了调查A学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时间t(单位：时)，一个数学课外活动小组随机调查了A学校120名学生该周阅读课外书籍的时间t(单位：时)，并绘制成如图所示的频率分布直方图(列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定)．请根据以上信息，估计A学校该周阅读课外书籍的时间位于8≤t＜10之间的学生人数大约为 人．
三、综合题
8．（2020·锦州）A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀.
（1）从A盒里班抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ；
（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率.
9．（2020·泰州）一只不透明袋子中装有 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.2100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到0.01），由此估出红球有 个.
（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.
10．（2020·台州）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种. 为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值）
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高 简要说明理由.
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0. 8及以上的概率是多少
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0. 4以下的共有多少人
11．（2020七下·富平期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数 50 100 150 200 350 400 450 500
优等品的频数 40 96 126 176 322 364 405 450
优等品的频率 0.80 0.96 0.84 0.92 0.90
（1）求 的值；
（2）在图中画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图；
（3）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个.
故答案为：A.
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82.
故答案为：B.
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论.
3．【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有： ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】根据表格数据，估计该种子发芽的概率是0.95，
故答案为：C．
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.95左右，从而得到结论．
5．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能结果，其中至少有一辆向左转的有3种等可能结果，
所以至少有一辆向左转的概率为 ，
故答案为：
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得.
6．【答案】②
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是 =0.5，故本选项错误；
在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率是 ，故本选项符合题意；
四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1的概率是0.25；
故答案为：②.
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算三个选项的频率，约为0.33者即为正确答案.
7．【答案】600
【知识点】频数（率）分布直方图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 组距是2，
的频率是 ，
学校共有2400名学生，
学校该周阅读课外书籍的时间位于 之间的学生人数大约为： （人 ；
故答案为：600．
【分析】根据直方图给出的数据先求出 的频率，再用该校的总人数乘以 的频率即可得出答案．
8．【答案】（1）
（2）解：根据题意可列表格如下：
B A 4 5 6
1
2
3
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张卡片数字之和大于7的有三种： ，
（两张卡片数字之和大于7） .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）A盒里有三张卡片上，有两张是奇数，
∴抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据简单的概率公式进行计算即可；（2）用列表法列出所有等可能的情况，即可得出概率.
9．【答案】（1）0.33；2
（2）解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为： ；
故答案为： .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由 个，由题意得：
，解得： ，经检验： 是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
【分析】（1）通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，进而得出答案；利用频率估计概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的计算公式即可得出红球的个数；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案.
10．【答案】（1）直播”教学方式学生的参与度更高；
理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，所以“直播”教学方式学生的参与度更高。
（2）解：12÷40=0.3=30%
答：该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%
（3）解：录播”总学生数：800× =200（人）
“直播”总学生数：800× =600（人）
“录播”参与度在0.4以下的学生数：200× =20（人）
“直播”参与度在0.4以下的学生数：600× =30（人）
参与度在0.4以下的学生共有：20+30=50（人）
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断；（2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；（3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
11．【答案】（1）解： ；
；
（2）解：如图所示：
（3）解：由图知，当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，因此在这批乒乓球中任取一个，它是优等品的概率大约为0.9.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）优等品的频率=优等品的频数÷取出的乒乓球数，分别求出a，b，c的值即可。
（2）利用表中数据，分别描出各个点，然后用折线连接即可。
（3）观察表中数据及折线图可知当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，由此可得答案。
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