初中数学华师大版七年级上学期 第4章 4.6角
一、单选题
1．（2020·玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2．（2020·通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·自贡）如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
4．（2020·陕西）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ ）
A．57° B．67° C．77° D．157°
5．（2020七下·达县期末）下列关于余角、补角的说法，正确的是（ ）
A．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余
B．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α、∠β、∠γ互补
C．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互补
D．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余
6．（2020七下·延庆期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
7．（2020七下·东莞期末）如图，轮船航行到B处观测小岛A的方向是北偏西32°，那么小岛A观测到轮船B的方向是（ ）
A．南偏西32 ° B．南偏东32° C．南偏西58° D．南偏东58°
二、填空题
8．（2020·通辽）如图，点O在直线 上， ，则 的度数是 ．
9．（2020·广州）已知 ，则 的补角等于 ．
10．（2020七下·安陆期末）如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，且∠1=25°，则∠3= .
11．（2020七下·舒兰期末） = °．
三、解答题
12．（2020七下·顺义期末）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOD＝40°．求∠AOE的度数．
四、综合题
13．（2020七下·北京月考）已知如图，直线 ， 相交于点 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）在（ ）的条件下，过点 作 ，请直接写出 的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
∵∠CAD=∠EAD-∠CAE=80°-35°=45°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAD=45°，
∴CA=CB，
∴△ABC是等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是的等腰直角三角形.
2．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项符合题意；
B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项不符合题意；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项不符合题意；
D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
3．【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角是 ，则它的补角是： ，
根据题意，得：
，
解得： ，
即这个角的度数为 ．
故答案为：C．
【分析】根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．
4．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝23°，
∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°.
故答案为：B.
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可.
5．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】A、是3个角，不符合互余的定义，不符合题意；
B、是3个角，不符合互余的定义，不符合题意；
C、若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，不符合题意；
D、若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，符合题意．
故答案为：D．
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此即可作出选择．
6．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠AOC+∠2=90°，∠1+∠BOD=90°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∠2=∠BOD，
∠AOE=∠COD，
∠BOE=∠COD，
∴图中相等的角有5对．
故答案为：A．
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°和等角的余角相等解答．
7．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解： 小岛A观测到轮船B的方向 是南偏东32°．
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和方位图可得小岛A观测到轮船B的方向.
8．【答案】
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵ ，
∴∠BOC=180°- = ，
故答案为： .
【分析】根据补角的定义，进行计算即可.
9．【答案】80
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∠A的补角=180°－100°=80°，
故答案为：80．
【分析】根据补角的概念计算即可．
10．【答案】25°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1＝25°，
故答案为：25°.
【分析】根据同角的余角相等解答即可.
11．【答案】34.31
【知识点】常用角的度量单位及换算
【解析】【解答】解：∵ 18÷60=0.3，
36÷3600=0.01，
∴34°18'36''=34.31°．
故答案为：34.31．
【分析】根据度、分、秒之间的进率计算即可．
12．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的度数为 ．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据垂线的性质和平角的定义即可求解．
13．【答案】（1）解：∵∠AOC=36°，∠COE=90°，
∴∠BOE=180° ∠AOC ∠COE=54°
（2）解：∵ ，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=180°× =30°，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=120°
（3）∠EOF的度数为150°或30°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】（3）如图，OF⊥AB，则∠AOF=90°，
∴∠EOF=360° ∠AOE ∠AOF=150°；
如图，OF⊥AB，则∠AOF=90°，
∴∠EOF=∠AOE ∠AOF=30°；
综上所述，∠EOF的度数为150°或30°.
【分析】（1）根据已知条件，通过∠BOE=180° ∠AOC ∠COE进一步计算求解即可；（2）根据 以及∠BOD+∠BOC=180°求出∠BOD，由此得出∠AOC，据此进一步得出答案即可；（3）根据题意，得出相应的图形，然后结合（2）中求出的∠AOE的度数进一步求解即可.
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一、单选题
1．（2020·玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
∵∠CAD=∠EAD-∠CAE=80°-35°=45°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAD=45°，
∴CA=CB，
∴△ABC是等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是的等腰直角三角形.
2．（2020·通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项符合题意；
B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项不符合题意；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项不符合题意；
D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
3．（2020·自贡）如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角是 ，则它的补角是： ，
根据题意，得：
，
解得： ，
即这个角的度数为 ．
故答案为：C．
【分析】根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．
4．（2020·陕西）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（ ）
A．57° B．67° C．77° D．157°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝23°，
∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°.
故答案为：B.
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可.
5．（2020七下·达县期末）下列关于余角、补角的说法，正确的是（ ）
A．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余
B．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α、∠β、∠γ互补
C．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互补
D．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】A、是3个角，不符合互余的定义，不符合题意；
B、是3个角，不符合互余的定义，不符合题意；
C、若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，不符合题意；
D、若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，符合题意．
故答案为：D．
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此即可作出选择．
6．（2020七下·延庆期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠AOC+∠2=90°，∠1+∠BOD=90°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∠2=∠BOD，
∠AOE=∠COD，
∠BOE=∠COD，
∴图中相等的角有5对．
故答案为：A．
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°和等角的余角相等解答．
7．（2020七下·东莞期末）如图，轮船航行到B处观测小岛A的方向是北偏西32°，那么小岛A观测到轮船B的方向是（ ）
A．南偏西32 ° B．南偏东32° C．南偏西58° D．南偏东58°
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解： 小岛A观测到轮船B的方向 是南偏东32°．
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和方位图可得小岛A观测到轮船B的方向.
二、填空题
8．（2020·通辽）如图，点O在直线 上， ，则 的度数是 ．
【答案】
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵ ，
∴∠BOC=180°- = ，
故答案为： .
【分析】根据补角的定义，进行计算即可.
9．（2020·广州）已知 ，则 的补角等于 ．
【答案】80
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∠A的补角=180°－100°=80°，
故答案为：80．
【分析】根据补角的概念计算即可．
10．（2020七下·安陆期末）如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，且∠1=25°，则∠3= .
【答案】25°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1＝25°，
故答案为：25°.
【分析】根据同角的余角相等解答即可.
11．（2020七下·舒兰期末） = °．
【答案】34.31
【知识点】常用角的度量单位及换算
【解析】【解答】解：∵ 18÷60=0.3，
36÷3600=0.01，
∴34°18'36''=34.31°．
故答案为：34.31．
【分析】根据度、分、秒之间的进率计算即可．
三、解答题
12．（2020七下·顺义期末）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOD＝40°．求∠AOE的度数．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的度数为 ．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据垂线的性质和平角的定义即可求解．
四、综合题
13．（2020七下·北京月考）已知如图，直线 ， 相交于点 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）在（ ）的条件下，过点 作 ，请直接写出 的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOC=36°，∠COE=90°，
∴∠BOE=180° ∠AOC ∠COE=54°
（2）解：∵ ，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=180°× =30°，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=120°
（3）∠EOF的度数为150°或30°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】（3）如图，OF⊥AB，则∠AOF=90°，
∴∠EOF=360° ∠AOE ∠AOF=150°；
如图，OF⊥AB，则∠AOF=90°，
∴∠EOF=∠AOE ∠AOF=30°；
综上所述，∠EOF的度数为150°或30°.
【分析】（1）根据已知条件，通过∠BOE=180° ∠AOC ∠COE进一步计算求解即可；（2）根据 以及∠BOD+∠BOC=180°求出∠BOD，由此得出∠AOC，据此进一步得出答案即可；（3）根据题意，得出相应的图形，然后结合（2）中求出的∠AOE的度数进一步求解即可.
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