初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.5三角形的内角和定理
一、单选题
1．（2020八上·渠县月考）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． ， ， D．
2．（2020八上·庆云月考）如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．120° B．125° C．130° D．140°
3．（2020·玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
4．（2020·锦州）如图，在 中， ， ， 平分 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·鄂尔多斯）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
6．（2020九上·湛江开学考）一个零件的形状如图所示， ，则 的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
7．（2020·攀枝花）如图，平行线 、 被直线 所截，过点B作 于点G，已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
8．（2020·十堰）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2020·海南）如图，已知 直线 和 相交于点 若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2020八上·庆云月考）在△ABC中，∠A=∠C= ∠B，则∠A= 度．
11．（2020·包头）如图，在正方形 ABCD ，E是对角线 BD 上一点， AE 的延长线交 CD 于点F，连接 CE ．若∠BAE=56° ，则 ∠CEF= ° ．
12．（2020·恩施）如图，直线 ，点A在直线 上，点 在直线 上， ， ， ，则 .
13．（2020八下·通榆期末）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝20°，则∠DCF＝ °
三、解答题
14．（2020八上·阳东月考）如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，求∠BFE的度数．
15．（2020·广州）如图， ， ， ．求 的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵ ，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°× =45°，∠B=180° =60°，∠C=180° =75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意，
B.∵ ，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
C.∵ ， ， ，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
D.∵ ，
∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据三角形内角和定理可对A、B进行判断；利用勾股定理逆定理对C、D进行判断，即可答案．
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：在 中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∠BAC＝60°
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质，解得 ，整理得到 ，再由三角形内角和180°的性质，可得 ，最后由题意∠BAC＝60°，代入求解即可．
3．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
∵∠CAD=∠EAD-∠CAE=80°-35°=45°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAD=45°，
∴CA=CB，
∴△ABC是等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是的等腰直角三角形.
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在 中， ， .
∴ .
∵ 平分 .
∴ .
∴ .
故答案为：C.
【分析】在 中，利用三角形内角和为 求 ，再利用 平分 ，求出 的度数，再在 利用三角形内角和定理即可求出 的度数.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故答案为：B．
【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，AD∥BC
∴∠ABD＝∠BDE=40°，∠ADB＝∠CBD=60°
又∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°
∴∠A180°-∠ABD-∠ADB＝180°-40°-60°=80°.
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质求出∠ABD＝∠BDE=40°，∠ADB＝∠CBD=60°，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：延长BG，交CD于H，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH=90°，
∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°.
故答案为：C.
【分析】延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据角的和差关系求解即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，且 ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】先根据 得到 ，再运用三角形内角和定理求出 的度数即可.
10．【答案】36
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C= ∠B，
∴ ∠B+∠B+ ∠B=180°，解得：∠B=108°，
∴∠A= ×108°=36°．
故答案为：36．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件可得关于∠B的方程，解方程即可求出∠B，进一步即可求出结果．
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，AB∥CD，
又∵BD是角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是 ．
【分析】先证明 ，得到 ，可得到 ，再根据平行线的性质得到 ，可得 ，根据三角形内角和定理即可求解；
12．【答案】40°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，延长CB交 于点D，
∵AB=BC，∠C= ，
∴∠C=∠4= ，
∵ ，∠1= ，
∴∠1=∠3= ，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 = ，即
∴
故答案为：40°.
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4= ，利用平行线的性质得到∠1=∠3= ，再根据三角形内角和定理即可求解.
13．【答案】35°
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=∠B=∠BCD=90°，
∵ ∠DAF＝20°，
∴∠BAF=70°，
由折叠的性质得∠BAE=∠EAF=∠BAF=35°，∠AFE=∠B=90°，BE=EF，
∴∠AEB=∠AEF=55°，
∴∠FEC=70°，
∵ E为BC的中点，
∴CE=BE=EF，
∴∠ECF=∠EFC=55°，
∴ ∠DCF＝∠BCD-∠ECF=90°-55°=35°.
【分析】由正方形的性质得出∠DAB=∠B=∠BCD=90°，由折叠的性质得出∠BAE=∠EAF=35°，∠AFE=∠B=90°，BE=EF，由E为BC的中点得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质得出∠ECF=∠EFC=55°，即可求出∠DCF的度数.
14．【答案】解：∵AE是角平分线，∠BAE=26°，
∴∠EAC =∠BAE=26°，
∵DB是△ABC的高，
∴∠AFD=90°-∠EAC =90°-26°=64°，
∴∠BFE=∠AFD=64°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】由角平分线的性质知，∠EAC=∠BAE=26°，而∠AFD与∠EAC互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．
15．【答案】∵ ， ，
∴∠DCA=75°，
∵ ， ，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BCA=∠DCA=75°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】由三角形的内角和定理求出∠DCA=75°，再证明△ABC≌△ADC，即可得到答案.
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.5三角形的内角和定理
一、单选题
1．（2020八上·渠县月考）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． ， ， D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵ ，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°× =45°，∠B=180° =60°，∠C=180° =75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意，
B.∵ ，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
C.∵ ， ， ，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
D.∵ ，
∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据三角形内角和定理可对A、B进行判断；利用勾股定理逆定理对C、D进行判断，即可答案．
2．（2020八上·庆云月考）如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．120° B．125° C．130° D．140°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：在 中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∠BAC＝60°
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质，解得 ，整理得到 ，再由三角形内角和180°的性质，可得 ，最后由题意∠BAC＝60°，代入求解即可．
3．（2020·玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
∵∠CAD=∠EAD-∠CAE=80°-35°=45°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAD=45°，
∴CA=CB，
∴△ABC是等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是的等腰直角三角形.
4．（2020·锦州）如图，在 中， ， ， 平分 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在 中， ， .
∴ .
∵ 平分 .
∴ .
∴ .
故答案为：C.
【分析】在 中，利用三角形内角和为 求 ，再利用 平分 ，求出 的度数，再在 利用三角形内角和定理即可求出 的度数.
5．（2020·鄂尔多斯）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故答案为：B．
【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
6．（2020九上·湛江开学考）一个零件的形状如图所示， ，则 的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，AD∥BC
∴∠ABD＝∠BDE=40°，∠ADB＝∠CBD=60°
又∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°
∴∠A180°-∠ABD-∠ADB＝180°-40°-60°=80°.
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质求出∠ABD＝∠BDE=40°，∠ADB＝∠CBD=60°，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果。
7．（2020·攀枝花）如图，平行线 、 被直线 所截，过点B作 于点G，已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：延长BG，交CD于H，
∵∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BHD，
∵BG⊥EF，
∴∠FGH=90°，
∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°.
故答案为：C.
【分析】延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.
8．（2020·十堰）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据角的和差关系求解即可.
9．（2020·海南）如图，已知 直线 和 相交于点 若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，且 ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】先根据 得到 ，再运用三角形内角和定理求出 的度数即可.
二、填空题
10．（2020八上·庆云月考）在△ABC中，∠A=∠C= ∠B，则∠A= 度．
【答案】36
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C= ∠B，
∴ ∠B+∠B+ ∠B=180°，解得：∠B=108°，
∴∠A= ×108°=36°．
故答案为：36．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件可得关于∠B的方程，解方程即可求出∠B，进一步即可求出结果．
11．（2020·包头）如图，在正方形 ABCD ，E是对角线 BD 上一点， AE 的延长线交 CD 于点F，连接 CE ．若∠BAE=56° ，则 ∠CEF= ° ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，AB∥CD，
又∵BD是角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是 ．
【分析】先证明 ，得到 ，可得到 ，再根据平行线的性质得到 ，可得 ，根据三角形内角和定理即可求解；
12．（2020·恩施）如图，直线 ，点A在直线 上，点 在直线 上， ， ， ，则 .
【答案】40°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，延长CB交 于点D，
∵AB=BC，∠C= ，
∴∠C=∠4= ，
∵ ，∠1= ，
∴∠1=∠3= ，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 = ，即
∴
故答案为：40°.
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4= ，利用平行线的性质得到∠1=∠3= ，再根据三角形内角和定理即可求解.
13．（2020八下·通榆期末）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝20°，则∠DCF＝ °
【答案】35°
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=∠B=∠BCD=90°，
∵ ∠DAF＝20°，
∴∠BAF=70°，
由折叠的性质得∠BAE=∠EAF=∠BAF=35°，∠AFE=∠B=90°，BE=EF，
∴∠AEB=∠AEF=55°，
∴∠FEC=70°，
∵ E为BC的中点，
∴CE=BE=EF，
∴∠ECF=∠EFC=55°，
∴ ∠DCF＝∠BCD-∠ECF=90°-55°=35°.
【分析】由正方形的性质得出∠DAB=∠B=∠BCD=90°，由折叠的性质得出∠BAE=∠EAF=35°，∠AFE=∠B=90°，BE=EF，由E为BC的中点得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质得出∠ECF=∠EFC=55°，即可求出∠DCF的度数.
三、解答题
14．（2020八上·阳东月考）如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE＝26°，求∠BFE的度数．
【答案】解：∵AE是角平分线，∠BAE=26°，
∴∠EAC =∠BAE=26°，
∵DB是△ABC的高，
∴∠AFD=90°-∠EAC =90°-26°=64°，
∴∠BFE=∠AFD=64°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】由角平分线的性质知，∠EAC=∠BAE=26°，而∠AFD与∠EAC互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．
15．（2020·广州）如图， ， ， ．求 的度数．
【答案】∵ ， ，
∴∠DCA=75°，
∵ ， ，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BCA=∠DCA=75°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】由三角形的内角和定理求出∠DCA=75°，再证明△ABC≌△ADC，即可得到答案.
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