初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.4弧长及扇形的面积
一、单选题
1．（2020·聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为 的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面周长是l，则l= m，
则圆锥的底面半径是： m，
则圆锥的高是： m．
故答案为：C．
【分析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
2．（2020·泰州）如图，半径为10的扇形 中， ， 为 上一点， ， ，垂足分别为 、 .若 为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC交DE为F点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO为矩形.
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积.
.
故答案为：A.
【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题.
3．（2020·淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）
A．2π+2 B．3π C． D． +2
【答案】C
【知识点】弧长的计算；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，
点O的运动路径的长＝ 的长+O1O2+ 的长＝ + + ＝ ，
故答案为：C．
【分析】利用弧长公式计算即可．
4．（2020·苏州）如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点C作 ， ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC
点C为 的中点
在 和 中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故答案为：B.
【分析】连接OC，易证 ，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案.
5．（2020·株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点 ，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意，知AC=4，BC=4-2=2，∠A1BC=90°.
由旋转的性质，得A1C=AC=4.
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1= = .
∴∠ACA1=60°.
∴扇形ACA1的面积为 = .
即线段CA扫过的图形的面积为 .
故答案为：D
【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积.
6．（2020·西藏）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E.若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°， ＝ ，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝ OA＝2，AD＝ OA＝2 ，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝ ﹣ ×2＝ ﹣2 ，
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理得到 ＝ ，AD＝CD，解直角三角形得到OD＝ OA＝2，AD＝ OA＝2 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
二、填空题
7．（2020九上·福州月考）一个扇形的弧长是 ，它的面积为 ，则这个扇形的圆心角度数为 度．
【答案】120
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵S扇形= lR，
∴12π= ×4πR，
解得，R=6．
∵l= ，
∴4π= ，
解得，n=120°．
故答案为：120．
【分析】根据扇形面积公式S= lR求得半径R的长度；然后由弧长公式来求圆心角的度数．
8．（2020·锦州）如图，⊙O是 的外接圆， ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】连接OA，OC
为等边三角形
故答案为： .
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得 的度数，进一步可证明三角形AOC为等边三角形，得出半径，最后根据弧长公式即可得出答案.
9．（2020·鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2 ，则阴影部分面积S阴影＝ ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴ ，CE＝DE＝ ，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝ ＝2，
∴S阴＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
10．（2020·吉林）如图，在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形 的对角线 ， 相交于点O．以点 为圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，若 ， ，则 的长为 （结果保留 ）．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；弧长的计算
【解析】【解答】由题意知： ， ，
∴ ABC和 ADC是等腰三角形，AC⊥BD．
∵ ，
∴OD= ，OA=
∴OB= ．
∵∠ABD= ，
∴∠EBF= ，
=
．
故答案为 ．
【分析】根据题意，求出OB的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解．
11．（2020·昆明）如图，边长为2 cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为 cm.
【答案】10π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，OC.
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝ （cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝ （cm），
∴OB＝ BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝ ＝10π（cm），
故答案为：10π.
【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可.
12．（2020·广东）如图，从一块半径为 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形 ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OA，OB，
则∠BAO= ∠BAC= =60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，
∴ 的长为： ，
设圆锥底面圆的半径为r
故答案为 ．
【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出 的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．
三、综合题
13．（2020九上·镇海开学考）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
（ 1 ）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（ 2 ）画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2 .
（ 3 ）在(2)的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长(结果保留π).
【答案】解：如图，
（1） △A1B1C1就是所求作的图形；
（2） △A2B2C2就是所求作的图形；
（3）∵AC=
∴ 点A旋转到点A2所经过的路线长为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点 A1，B1，C1的坐标，然后画出△A1B1C1；
（2），利用旋转的性质将△ABC绕点C顺时针旋转90°画出△A2B2C2即可。
（3）利用旋转的性质，可知扇形ACA2的圆心角为90°，利用勾股定理求出半径，然后利用弧长公式可求出点A旋转到点A2所经过的路线长。
14．（2020·抚顺）如图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点A为圆心，以 的长为半径作 ，交 边于点E，交 于点F，连接 .
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵ 是 的半径
∴ 与 相切
（2）解：∵ ，
∴ 是等边三角形
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵在 中， ， ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接AE，根据平行四边形的性质，可得AD=BC，AD∥BC，可得∠DAE=∠AEB，根据AAS可证△AED≌△BAC，可得∠AED=∠CAB=90°，根据切线的判定定理可证DE与 相切；
（2）先证△ABE是等边三角形，可得AE=BE，∠EAB=90°，从而可得∠CAE=∠CAB-∠EAB=30°，∠ACB=90°-∠B=30°，从而可得∠CAE=∠ACB，利用等角对等边可得AE=CE，由等量代换可得CE=BE，根据等底同高可得S△ACE=S△ABE=S△ABC，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，利用解直角三角形求出AC=，利用三角形的面积公式求出S△ABC=8，从而得出S△ACE=S△ABC=，根据阴影部分的面积=S△ACE-S扇形AEF，利用扇形的面积公式即可求出结论.
15．（2020·淮安）如图， 是圆O的弦， 是圆 外一点， ， 交 于点P，交圆O于点D，且 .
（1）判断直线 与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90 ，
∴∠OBA+∠CBP=90 即∠OBC=90 ，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）解：∵OA⊥OC，∠A=30 ，OP=1
∴OA= ，∠APO=60 即∠CPB=60 ，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60 ，
∵∠OBC=90 ，
∴∠BOD=30 ，
∴BC=OB·tan30 =1，
∴ = = ，
答：图中阴影部分的面积为 .
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90 ，即OB⊥BC，可判断直线BC与圆O相切；
（2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60 ，∠BOC=30 ，用含30 角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积.
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.4弧长及扇形的面积
一、单选题
1．（2020·聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为 的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2020·泰州）如图，半径为10的扇形 中， ， 为 上一点， ， ，垂足分别为 、 .若 为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）
A．2π+2 B．3π C． D． +2
4．（2020·苏州）如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点C作 ， ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点 ，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
6．（2020·西藏）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E.若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2020九上·福州月考）一个扇形的弧长是 ，它的面积为 ，则这个扇形的圆心角度数为 度．
8．（2020·锦州）如图，⊙O是 的外接圆， ， ，则 的长为 .
9．（2020·鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2 ，则阴影部分面积S阴影＝ ．
10．（2020·吉林）如图，在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形 的对角线 ， 相交于点O．以点 为圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，若 ， ，则 的长为 （结果保留 ）．
11．（2020·昆明）如图，边长为2 cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为 cm.
12．（2020·广东）如图，从一块半径为 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形 ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
三、综合题
13．（2020九上·镇海开学考）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
（ 1 ）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（ 2 ）画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2 .
（ 3 ）在(2)的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长(结果保留π).
14．（2020·抚顺）如图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点A为圆心，以 的长为半径作 ，交 边于点E，交 于点F，连接 .
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积.
15．（2020·淮安）如图， 是圆O的弦， 是圆 外一点， ， 交 于点P，交圆O于点D，且 .
（1）判断直线 与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面周长是l，则l= m，
则圆锥的底面半径是： m，
则圆锥的高是： m．
故答案为：C．
【分析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC交DE为F点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO为矩形.
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积.
.
故答案为：A.
【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题.
3．【答案】C
【知识点】弧长的计算；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，
点O的运动路径的长＝ 的长+O1O2+ 的长＝ + + ＝ ，
故答案为：C．
【分析】利用弧长公式计算即可．
4．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC
点C为 的中点
在 和 中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故答案为：B.
【分析】连接OC，易证 ，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意，知AC=4，BC=4-2=2，∠A1BC=90°.
由旋转的性质，得A1C=AC=4.
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1= = .
∴∠ACA1=60°.
∴扇形ACA1的面积为 = .
即线段CA扫过的图形的面积为 .
故答案为：D
【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积.
6．【答案】D
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°， ＝ ，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝ OA＝2，AD＝ OA＝2 ，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝ ﹣ ×2＝ ﹣2 ，
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理得到 ＝ ，AD＝CD，解直角三角形得到OD＝ OA＝2，AD＝ OA＝2 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
7．【答案】120
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵S扇形= lR，
∴12π= ×4πR，
解得，R=6．
∵l= ，
∴4π= ，
解得，n=120°．
故答案为：120．
【分析】根据扇形面积公式S= lR求得半径R的长度；然后由弧长公式来求圆心角的度数．
8．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】连接OA，OC
为等边三角形
故答案为： .
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得 的度数，进一步可证明三角形AOC为等边三角形，得出半径，最后根据弧长公式即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴ ，CE＝DE＝ ，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝ ＝2，
∴S阴＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；弧长的计算
【解析】【解答】由题意知： ， ，
∴ ABC和 ADC是等腰三角形，AC⊥BD．
∵ ，
∴OD= ，OA=
∴OB= ．
∵∠ABD= ，
∴∠EBF= ，
=
．
故答案为 ．
【分析】根据题意，求出OB的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解．
11．【答案】10π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，OC.
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝ （cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝ （cm），
∴OB＝ BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝ ＝10π（cm），
故答案为：10π.
【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OA，OB，
则∠BAO= ∠BAC= =60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，
∴ 的长为： ，
设圆锥底面圆的半径为r
故答案为 ．
【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出 的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．
13．【答案】解：如图，
（1） △A1B1C1就是所求作的图形；
（2） △A2B2C2就是所求作的图形；
（3）∵AC=
∴ 点A旋转到点A2所经过的路线长为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点 A1，B1，C1的坐标，然后画出△A1B1C1；
（2），利用旋转的性质将△ABC绕点C顺时针旋转90°画出△A2B2C2即可。
（3）利用旋转的性质，可知扇形ACA2的圆心角为90°，利用勾股定理求出半径，然后利用弧长公式可求出点A旋转到点A2所经过的路线长。
14．【答案】（1）证明：连接
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵ 是 的半径
∴ 与 相切
（2）解：∵ ，
∴ 是等边三角形
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵在 中， ， ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接AE，根据平行四边形的性质，可得AD=BC，AD∥BC，可得∠DAE=∠AEB，根据AAS可证△AED≌△BAC，可得∠AED=∠CAB=90°，根据切线的判定定理可证DE与 相切；
（2）先证△ABE是等边三角形，可得AE=BE，∠EAB=90°，从而可得∠CAE=∠CAB-∠EAB=30°，∠ACB=90°-∠B=30°，从而可得∠CAE=∠ACB，利用等角对等边可得AE=CE，由等量代换可得CE=BE，根据等底同高可得S△ACE=S△ABE=S△ABC，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，利用解直角三角形求出AC=，利用三角形的面积公式求出S△ABC=8，从而得出S△ACE=S△ABC=，根据阴影部分的面积=S△ACE-S扇形AEF，利用扇形的面积公式即可求出结论.
15．【答案】（1）解：直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90 ，
∴∠OBA+∠CBP=90 即∠OBC=90 ，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）解：∵OA⊥OC，∠A=30 ，OP=1
∴OA= ，∠APO=60 即∠CPB=60 ，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60 ，
∵∠OBC=90 ，
∴∠BOD=30 ，
∴BC=OB·tan30 =1，
∴ = = ，
答：图中阴影部分的面积为 .
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90 ，即OB⊥BC，可判断直线BC与圆O相切；
（2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60 ，∠BOC=30 ，用含30 角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积.
1 / 1
