初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.4 解直角三角形
一、单选题
1．（2020九下·长春月考）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，测得BC＝3米，∠ACB＝50°，则AB的高为（ ）
A．3cos50°米 B．3tan50°米 C． 米 D． 米
2．（2020·平阳模拟）如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（ ）
A． 米 B． 米 C． sinα米 D． cosα米
3．（2020·下城模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα﹣ D．a cosα﹣asinα a tanβ
4．（2020·上城模拟）△ABC中，∠C＝90°，M是BC的三等分点，且MC＝2MB，若sin∠ ,则sin∠MAC＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·常山模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanA的值（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·温州模拟）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝ ，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2020·黔南）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8.连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝ ，则AD长度是 .
8．（2020·哈尔滨）在 中， ， 为BC边上的高， ，则BC的长为 ．
9．（2020九上·静安期末）如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为 米．（结果保留根号）
10．（2020九上·平桂期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为BC上一点，AD=BD，CD=1，AC= ，则∠B的度数为 .
三、解答题
11．（2019九上·沙河口期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解这个直角三角形.
12．（2018九上·灵石期末）汾河孕育着世代的龙城子孙，而魅力汾河两岸那“新外滩”的称号，将太原人对汾河的爱表露无遗…贯穿太原的汾河，让桥，也成为太原的文化符号，让汾河两岸，也成为繁华的必争之地！北中环桥是世界上首座对称五拱反对称五跨非对称斜拉索桥，2013年开工建设，当年实现全线竣工通车．这座桥造型现代，宛如一条腾飞巨龙．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
13．（2020·盐城）如图，在 中， 的平分线 交 于点 .求 的长？
14．（2020·成都模拟）如图，在河对岸有一棵大树 A，在河岸 B 点测得 A 在北偏东 60°方向上，向东前进 200m 到达 C 点，测得 A 在北偏东 30°方向上，求河的宽度（精确到 0.1m）．参考数据 ≈1.414， ≈1.732．
15．（2020九上·来宾期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD。求AC的长和cos∠ADC的值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵BC＝3米，∠ACB＝50°，tan∠ACB＝ ，
∴旗杆AB的高度为AB＝BC×tan∠ACB＝3tan50°（米），
故答案为：B．
【分析】由题意可知在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的正切函数进行分析解答．
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，∠ACD=α，AC=2.8，
∴AD=ACsin∠ACD=2.8sinα=.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出AD的值。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴cosB＝cosα＝ ＝ ，
则BC＝a cosα，
sinB＝sinα＝ ＝ ，
故AC＝a sinα，
则tanβ＝ ，
故DC＝ ＝ ，
则BD＝BC﹣DC＝a cosα﹣ .
故答案为：C.
【分析】由cosα＝ ，可得BC＝a cosα，由sinα＝ ，可得AC＝a sinα，由tanβ＝ ，可得DC＝ ，利用BD＝BC﹣DC即可求出结论.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点M作MD⊥AB于点D,
设MD=x，BM=y，MC=2Y
在Rt△ADM中
∴AM=5x，
在Rt△ACM中
在Rt△ABC中，
∵∠C=∠BDM=90°，∠B=∠B
∴△ABC∽△BDM
∴
∴5x2=2y2;
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】过点M作MD⊥AB于点D，设MD=x，BM=y，MC=2y，利用解直角三角形求出AM，再利用勾股定理分别求出AC，AB，然后证明△ABC∽△BDM，利用相似三角形的对应边成比例，可得到5x2=2y2，然后利用解直角三角形求出（sin∠MAC）2的值，然后开方即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3
∴BC=
∴
故答案为：B
【分析】本题考查正切三角函数，首先根据勾股定理求出BC，在根据正切三角函数的定义即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示.
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD＝ ＝ ；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝ ，
∴AB＝ ＝2 ，
∴sinB＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示.在Rt△ACD中，可得CD＝CA cosC＝1，利用勾股定理求出AD=，在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，利用勾股定理求出AB=2，由sinB＝ 即可求出结论.
7．【答案】10
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB＝ ＝ ，
∴AC＝2÷ ＝6.
在Rt△ADC中，
AD＝
＝
＝10.
故答案为：10.
【分析】先根据正弦函数的定义，由sin∠ACB＝ 即可计算出AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD.
8．【答案】7或5
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中， ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7或5．
【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由 求出BD，再求出BC的长．
9．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴ ，
∴ ；
∴大楼AB的高度为 米.
故答案为： .
【分析】由解直角三角形，得 ，即可求出AB的值.
10．【答案】30°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，CD=1，AC= ，
∴ ，
而AD=BD，
∴BD=2，
在Rt△ABC中，AC= ，BC=BD+CD=3，
∴tan∠B= ，
∴∠B=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据勾股定理求得AD，再根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值即可得出答案.
11．【答案】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝ AB＝4，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4 .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 即可.
12．【答案】解：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，
在Rt△ADC中，tan36°= ，
∴AD= ，
在Rt△BCD中，tan∠B= ，
BD= ，
∴ =20，
解得x=8.179≈8.2m．
答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先作辅助线CD⊥AB交AB于点D，根据角度和三角函数的定义得到直角边之间的等量关系，假定CD长度为x，用含x的代数式表示AD和BD，最后根据AB的长度建立方程，从而得到答案。
13．【答案】解：在 中，
是 的平分线，
又
，
在 中， ，
.
故答案为： .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由 求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长.
14．【答案】解：过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，如图所示．
由题意可知：∠BAD=60°，∠CAD=30°，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝ ，
∴BD＝AD tan60°＝ ；
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝ ，
∴CD＝AD tan30°＝ ．
∴BC＝BD CD＝ - ＝200，
∴AD＝ ．
∴河的宽度为173.2米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出BD，CD的长，结合BC＝BD CD＝200，即可求出AD的长．
15．【答案】解：∵在Rt△ABC中，BC=8，tanB=
∴AC=4
设AD=x，则BD=x，CD=8-x
由勾股定理，得
(8-x)2+42=x2解得x=5
∴cos∠ADC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】利用锐角三角函数的定义，由tanB的值，就可求出AC的长，设AD=x，用含x的代数式表示出CD的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用锐角三角函数的定义求出cos∠ADC的值。
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.4 解直角三角形
一、单选题
1．（2020九下·长春月考）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，测得BC＝3米，∠ACB＝50°，则AB的高为（ ）
A．3cos50°米 B．3tan50°米 C． 米 D． 米
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵BC＝3米，∠ACB＝50°，tan∠ACB＝ ，
∴旗杆AB的高度为AB＝BC×tan∠ACB＝3tan50°（米），
故答案为：B．
【分析】由题意可知在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的正切函数进行分析解答．
2．（2020·平阳模拟）如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（ ）
A． 米 B． 米 C． sinα米 D． cosα米
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，∠ACD=α，AC=2.8，
∴AD=ACsin∠ACD=2.8sinα=.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出AD的值。
3．（2020·下城模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα﹣ D．a cosα﹣asinα a tanβ
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴cosB＝cosα＝ ＝ ，
则BC＝a cosα，
sinB＝sinα＝ ＝ ，
故AC＝a sinα，
则tanβ＝ ，
故DC＝ ＝ ，
则BD＝BC﹣DC＝a cosα﹣ .
故答案为：C.
【分析】由cosα＝ ，可得BC＝a cosα，由sinα＝ ，可得AC＝a sinα，由tanβ＝ ，可得DC＝ ，利用BD＝BC﹣DC即可求出结论.
4．（2020·上城模拟）△ABC中，∠C＝90°，M是BC的三等分点，且MC＝2MB，若sin∠ ,则sin∠MAC＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点M作MD⊥AB于点D,
设MD=x，BM=y，MC=2Y
在Rt△ADM中
∴AM=5x，
在Rt△ACM中
在Rt△ABC中，
∵∠C=∠BDM=90°，∠B=∠B
∴△ABC∽△BDM
∴
∴5x2=2y2;
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】过点M作MD⊥AB于点D，设MD=x，BM=y，MC=2y，利用解直角三角形求出AM，再利用勾股定理分别求出AC，AB，然后证明△ABC∽△BDM，利用相似三角形的对应边成比例，可得到5x2=2y2，然后利用解直角三角形求出（sin∠MAC）2的值，然后开方即可。
5．（2020·常山模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanA的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3
∴BC=
∴
故答案为：B
【分析】本题考查正切三角函数，首先根据勾股定理求出BC，在根据正切三角函数的定义即可得到答案.
6．（2020·温州模拟）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝ ，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示.
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD＝ ＝ ；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝ ，
∴AB＝ ＝2 ，
∴sinB＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示.在Rt△ACD中，可得CD＝CA cosC＝1，利用勾股定理求出AD=，在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，利用勾股定理求出AB=2，由sinB＝ 即可求出结论.
二、填空题
7．（2020·黔南）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8.连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝ ，则AD长度是 .
【答案】10
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin∠ACB＝ ＝ ，
∴AC＝2÷ ＝6.
在Rt△ADC中，
AD＝
＝
＝10.
故答案为：10.
【分析】先根据正弦函数的定义，由sin∠ACB＝ 即可计算出AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD.
8．（2020·哈尔滨）在 中， ， 为BC边上的高， ，则BC的长为 ．
【答案】7或5
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中， ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7或5．
【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由 求出BD，再求出BC的长．
9．（2020九上·静安期末）如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为 米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴ ，
∴ ；
∴大楼AB的高度为 米.
故答案为： .
【分析】由解直角三角形，得 ，即可求出AB的值.
10．（2020九上·平桂期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为BC上一点，AD=BD，CD=1，AC= ，则∠B的度数为 .
【答案】30°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，CD=1，AC= ，
∴ ，
而AD=BD，
∴BD=2，
在Rt△ABC中，AC= ，BC=BD+CD=3，
∴tan∠B= ，
∴∠B=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据勾股定理求得AD，再根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值即可得出答案.
三、解答题
11．（2019九上·沙河口期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解这个直角三角形.
【答案】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝ AB＝4，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4 .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 即可.
12．（2018九上·灵石期末）汾河孕育着世代的龙城子孙，而魅力汾河两岸那“新外滩”的称号，将太原人对汾河的爱表露无遗…贯穿太原的汾河，让桥，也成为太原的文化符号，让汾河两岸，也成为繁华的必争之地！北中环桥是世界上首座对称五拱反对称五跨非对称斜拉索桥，2013年开工建设，当年实现全线竣工通车．这座桥造型现代，宛如一条腾飞巨龙．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，
在Rt△ADC中，tan36°= ，
∴AD= ，
在Rt△BCD中，tan∠B= ，
BD= ，
∴ =20，
解得x=8.179≈8.2m．
答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先作辅助线CD⊥AB交AB于点D，根据角度和三角函数的定义得到直角边之间的等量关系，假定CD长度为x，用含x的代数式表示AD和BD，最后根据AB的长度建立方程，从而得到答案。
13．（2020·盐城）如图，在 中， 的平分线 交 于点 .求 的长？
【答案】解：在 中，
是 的平分线，
又
，
在 中， ，
.
故答案为： .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由 求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长.
14．（2020·成都模拟）如图，在河对岸有一棵大树 A，在河岸 B 点测得 A 在北偏东 60°方向上，向东前进 200m 到达 C 点，测得 A 在北偏东 30°方向上，求河的宽度（精确到 0.1m）．参考数据 ≈1.414， ≈1.732．
【答案】解：过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，如图所示．
由题意可知：∠BAD=60°，∠CAD=30°，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝ ，
∴BD＝AD tan60°＝ ；
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝ ，
∴CD＝AD tan30°＝ ．
∴BC＝BD CD＝ - ＝200，
∴AD＝ ．
∴河的宽度为173.2米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出BD，CD的长，结合BC＝BD CD＝200，即可求出AD的长．
15．（2020九上·来宾期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD。求AC的长和cos∠ADC的值。
【答案】解：∵在Rt△ABC中，BC=8，tanB=
∴AC=4
设AD=x，则BD=x，CD=8-x
由勾股定理，得
(8-x)2+42=x2解得x=5
∴cos∠ADC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】利用锐角三角函数的定义，由tanB的值，就可求出AC的长，设AD=x，用含x的代数式表示出CD的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用锐角三角函数的定义求出cos∠ADC的值。
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