初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1 圆的有关性质
一、单选题
1．（新人教版数学九年级上册第24.1.2垂直于弦的直径课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆形是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆中直径的长度是半径的2倍
2．（2019九上·沭阳月考）下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②半圆既包括圆弧又包括直径 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形其中正确的命题共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2020·永州模拟）半径为10的 中，弦 ，则点O到弦AB的距离为
A．10 B．8 C．6 D．5
4．（2020·滨州）在 中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
5．（2020·眉山）如图，四边形 的外接圆为⊙O， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·苏州）如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点C作 ， ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB=130°，则∠α的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．（2020·泰安）如图， 是 的内接三角形， ， 是直径， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题
9．（2019九上·孝义期中）如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝ ．
10．（2019九上·洮北月考）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于 度．
11．（2019·南昌模拟）如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，∠CAB＝67.5°，则∠AOB＝ 度．
12．（2020·锦州）如图，⊙O是 的外接圆， ， ，则 的长为 .
13．（2020·鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2 ，则阴影部分面积S阴影＝ ．
14．（2020·甘孜）如图，AB为 的直径，弦 于点H，若 ， ，则OH的长度为 ．
15．（2020·徐州）在 中，若 ， ，则 的面积的最大值为 .
三、解答题
16．（2019九上·淮阴期末）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝2 ，BP＝1，求⊙O的半径.
17．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
18．（2019九上·诸暨月考）已知：如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD. 求证： AB=CD.
19．（2019九上·大丰月考）如图，在⊙O中， ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E.求证：AD＝BE.
20．（2019九上·温州开学考）如图，△ABC内接于⊙O，BC=8，AC=6，∠A-∠B=90°，求⊙O的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】直径是弦但是弦不一定是直径，半圆是特殊的弧但半圆形属于封闭的特殊扇形，过圆内的非圆心点只能做一条直径，故选D.
【分析】此题考查了圆的相关知识点.
2．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以①错误；
半圆包括圆弧，但不包括直径，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确.
故答案为：B.
【分析】 根据等弧的概念，半圆的概念，弧、弦、圆心角的关系，三角形的外心的定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，作 于C，如图，
，
，
在 中， ，
即点O到弦AB的距离为6cm．
故答案为：C．
【分析】连接OA，作 于C，如图，根据垂径定理得到 ，然后根据勾股定理计算OC的长即可．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝ ＝6，
∴DE＝2DC＝12．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得 ，根据三角形的内角和可得 ，利用角的和差运算即可求解．
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC
点C为 的中点
在 和 中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故答案为：B.
【分析】连接OC，易证 ，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧AB上取点E，连接AE，BE，
∵弧AB=弧AB，
∴∠E=∠α.
∵四边形ACBE是圆O的内接四边形，
∴∠ACB+∠E=180°，
∴130°+∠α=180°，
∴∠α=100°
故答案为：A.
【分析】在优弧AB上取点E，连接AE，BE，利用圆周角定理可证得∠E=∠α，再利用圆内接四边形的对角互补，可建立关于∠α的方程，解方程可求解。
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接OB，
∵ 是 的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案选B．
【分析】连接BO，根据圆周角定理可得 ，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可．
9．【答案】68°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵∠AOE=78°，∴劣弧 的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧 的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE 102°=68°．
故答案为：68°．
【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧 的度数，得到劣弧 的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
10．【答案】40
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】△OAB中，OA＝OB，
∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴ ，
∴∠BOC＝ ∠BOA＝40°，
故答案为：40．
【分析】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
11．【答案】90
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴ ，
∵∠CAB=67.5°，
∴ 和 的度数都是2×67.5°=135°，
∴ 的度数是360°-135°-135°=90°，
∴∠AOB=90°，
故答案为90．
【分析】根据垂径定理得出 ，根据∠CAB=67.5°求出 和 的度数都是135°，求出 的度数，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】连接OA，OC
为等边三角形
故答案为： .
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得 的度数，进一步可证明三角形AOC为等边三角形，得出半径，最后根据弧长公式即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴ ，CE＝DE＝ ，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝ ＝2，
∴S阴＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
14．【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】连接OC，
Rt△OCH中，OC= AB=5，CH= CD=4；
由勾股定理，得：OH= ；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
15．【答案】9 +9
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝ AB＝ ×6＝3，
∴OA＝ ，
∴CM＝OC＋OM＝ ＋3，
∴S△ABC＝ AB CM＝ ×6×（ ＋3）＝9 +9.
故答案为：9 +9.
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案.
16．【答案】解：连接OC.
∵CD⊥⊙O的直径AB，
∴CP＝DP＝ CD＝ ，
设⊙O的半径为r.
∵△OPC是直角三角形，
∴OC2＝PC2+OP2，
∴r2＝（ ）2+（r﹣1）2，
∴r＝ ，
∴⊙O的半径为 .
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OC.设⊙O的半径为r.根据OC2＝PC2+OP2，构建方程即可解决问题.
17．【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可知CE=DE、AE=BE，利用等式性质即可证明。
18．【答案】解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴，
又∵BC=CD，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由BD平分∠ADC，得，由BC=CD，得，从而，在同圆或等圆中，等弧对等弦，则AB=CD.
19．【答案】解：连接OC，
∵ ，
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵ ，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】 连接OC， 根据弧、弦、圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，利用垂直的定义可得∠CDO=∠CEO=90°，根据“AAS”可证△COD≌△COE，可得OD=OE，由AO=BO，利用等式的性质可得结论.
20．【答案】解：如图，过点B作圆的直径BE交圆于点E，则∠ECB=90°，
∴∠E+∠EBC=90°，
又∵圆内接四边形的对角互补，即∠E+∠A=180°，
∴∠A-∠EBC=90°，
∵∠A-∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠EBC，
∴弧AC=弧CE，
∴CE=AC=6，
由勾股定理得，BE=10.
∴圆O的面积为25π。
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】 如图，过点B作圆的直径BE交圆于点E，连接CE，则∠ECB=90°， 根据直角三角形的两锐角互余得出 ∠E+∠EBC=90°， 根据圆内接四边形的对角互补得出∠E+∠A=180°， 故 ∠A-∠EBC=90°， 根据同角的余角相等得出 ∠ABC=∠EBC， 根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等得出 CE=AC=6， 进而根据勾股定理算出BE的长，从而即可算出答案。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.1 圆的有关性质
一、单选题
1．（新人教版数学九年级上册第24.1.2垂直于弦的直径课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆形是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆中直径的长度是半径的2倍
【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】直径是弦但是弦不一定是直径，半圆是特殊的弧但半圆形属于封闭的特殊扇形，过圆内的非圆心点只能做一条直径，故选D.
【分析】此题考查了圆的相关知识点.
2．（2019九上·沭阳月考）下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②半圆既包括圆弧又包括直径 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形其中正确的命题共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以①错误；
半圆包括圆弧，但不包括直径，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确.
故答案为：B.
【分析】 根据等弧的概念，半圆的概念，弧、弦、圆心角的关系，三角形的外心的定义即可一一判断得出答案.
3．（2020·永州模拟）半径为10的 中，弦 ，则点O到弦AB的距离为
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，作 于C，如图，
，
，
在 中， ，
即点O到弦AB的距离为6cm．
故答案为：C．
【分析】连接OA，作 于C，如图，根据垂径定理得到 ，然后根据勾股定理计算OC的长即可．
4．（2020·滨州）在 中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示：∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝ ＝6，
∴DE＝2DC＝12．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
5．（2020·眉山）如图，四边形 的外接圆为⊙O， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得 ，根据三角形的内角和可得 ，利用角的和差运算即可求解．
6．（2020·苏州）如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点C作 ， ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC
点C为 的中点
在 和 中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故答案为：B.
【分析】连接OC，易证 ，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案.
7．（2020·贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB=130°，则∠α的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧AB上取点E，连接AE，BE，
∵弧AB=弧AB，
∴∠E=∠α.
∵四边形ACBE是圆O的内接四边形，
∴∠ACB+∠E=180°，
∴130°+∠α=180°，
∴∠α=100°
故答案为：A.
【分析】在优弧AB上取点E，连接AE，BE，利用圆周角定理可证得∠E=∠α，再利用圆内接四边形的对角互补，可建立关于∠α的方程，解方程可求解。
8．（2020·泰安）如图， 是 的内接三角形， ， 是直径， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接OB，
∵ 是 的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案选B．
【分析】连接BO，根据圆周角定理可得 ，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可．
二、填空题
9．（2019九上·孝义期中）如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝ ．
【答案】68°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵∠AOE=78°，∴劣弧 的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧 的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE 102°=68°．
故答案为：68°．
【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧 的度数，得到劣弧 的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
10．（2019九上·洮北月考）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于 度．
【答案】40
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】△OAB中，OA＝OB，
∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴ ，
∴∠BOC＝ ∠BOA＝40°，
故答案为：40．
【分析】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
11．（2019·南昌模拟）如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，∠CAB＝67.5°，则∠AOB＝ 度．
【答案】90
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴ ，
∵∠CAB=67.5°，
∴ 和 的度数都是2×67.5°=135°，
∴ 的度数是360°-135°-135°=90°，
∴∠AOB=90°，
故答案为90．
【分析】根据垂径定理得出 ，根据∠CAB=67.5°求出 和 的度数都是135°，求出 的度数，即可得出答案．
12．（2020·锦州）如图，⊙O是 的外接圆， ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】连接OA，OC
为等边三角形
故答案为： .
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得 的度数，进一步可证明三角形AOC为等边三角形，得出半径，最后根据弧长公式即可得出答案.
13．（2020·鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2 ，则阴影部分面积S阴影＝ ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴ ，CE＝DE＝ ，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝ ＝2，
∴S阴＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
14．（2020·甘孜）如图，AB为 的直径，弦 于点H，若 ， ，则OH的长度为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】连接OC，
Rt△OCH中，OC= AB=5，CH= CD=4；
由勾股定理，得：OH= ；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
15．（2020·徐州）在 中，若 ， ，则 的面积的最大值为 .
【答案】9 +9
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝ AB＝ ×6＝3，
∴OA＝ ，
∴CM＝OC＋OM＝ ＋3，
∴S△ABC＝ AB CM＝ ×6×（ ＋3）＝9 +9.
故答案为：9 +9.
【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案.
三、解答题
16．（2019九上·淮阴期末）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝2 ，BP＝1，求⊙O的半径.
【答案】解：连接OC.
∵CD⊥⊙O的直径AB，
∴CP＝DP＝ CD＝ ，
设⊙O的半径为r.
∵△OPC是直角三角形，
∴OC2＝PC2+OP2，
∴r2＝（ ）2+（r﹣1）2，
∴r＝ ，
∴⊙O的半径为 .
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OC.设⊙O的半径为r.根据OC2＝PC2+OP2，构建方程即可解决问题.
17．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（一） 同步练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可知CE=DE、AE=BE，利用等式性质即可证明。
18．（2019九上·诸暨月考）已知：如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD. 求证： AB=CD.
【答案】解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴，
又∵BC=CD，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】由BD平分∠ADC，得，由BC=CD，得，从而，在同圆或等圆中，等弧对等弦，则AB=CD.
19．（2019九上·大丰月考）如图，在⊙O中， ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E.求证：AD＝BE.
【答案】解：连接OC，
∵ ，
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵ ，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】 连接OC， 根据弧、弦、圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，利用垂直的定义可得∠CDO=∠CEO=90°，根据“AAS”可证△COD≌△COE，可得OD=OE，由AO=BO，利用等式的性质可得结论.
20．（2019九上·温州开学考）如图，△ABC内接于⊙O，BC=8，AC=6，∠A-∠B=90°，求⊙O的面积．
【答案】解：如图，过点B作圆的直径BE交圆于点E，则∠ECB=90°，
∴∠E+∠EBC=90°，
又∵圆内接四边形的对角互补，即∠E+∠A=180°，
∴∠A-∠EBC=90°，
∵∠A-∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠EBC，
∴弧AC=弧CE，
∴CE=AC=6，
由勾股定理得，BE=10.
∴圆O的面积为25π。
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】 如图，过点B作圆的直径BE交圆于点E，连接CE，则∠ECB=90°， 根据直角三角形的两锐角互余得出 ∠E+∠EBC=90°， 根据圆内接四边形的对角互补得出∠E+∠A=180°， 故 ∠A-∠EBC=90°， 根据同角的余角相等得出 ∠ABC=∠EBC， 根据同圆中相等的圆周角所对的弦相等得出 CE=AC=6， 进而根据勾股定理算出BE的长，从而即可算出答案。
1 / 1
