初中数学苏科版九年级下册7.1 正切 同步训练
一、单选题
1．（2021九下·苏州开学考）在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九下·江油开学考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．（2020九上·龙海月考）如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2020九上·洛宁月考）如图，在数学兴趣小组探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC=50米，∠PCA= ，根据上述测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A． 米 B．50 米
C． 米 D．50tanα米
5．（2021九上·崇左期末）如图，在 中， 于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·槐荫期末）如图，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），圆D过A，B，O三点，点C为弧OBA上的一点（不与O、A两点重合），连接OC，AC，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·石家庄月考）如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·福田期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．（2020九上·龙海月考）如图，菱形 的顶点A在反比例函数 的图象上， ∥轴，边 、 分别交x轴于点E、F，若 ， ， ，则k值为（ ）
A．-12 B．-6 C．-18 D．6
10．（2021九上·舞钢期末）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020九上·北海期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3）和点B（7，0），则tan∠ABO＝ .
12．（2021九上·越城期末）
如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 .
13．（2020·武汉模拟）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AC⊥BD交于点P，半径R＝6，BC＝8，则tan∠DCA＝ .
14．（2020九上·道里期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BC、BD．点F为线段CB上一点，连接DF，若CE＝2，AB＝8，BF＝ ，则tan∠CDF＝ ．
15．（2020·南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝kx交于点C（4，n），则tan∠OCB的值为 ．
16．（2020九上·高平期末）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线， ，垂足为E，连CE，若 ，则 ．
17．（2020·连云模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是
18．（2020·苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，则tanα＝ ．
三、解答题
19．（2020·武汉模拟）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D，AD＝4，BD＝9，求tanA.
20．（2020·吉林模拟）步行是全世界公认的有效、科学的健身方法.为了方便市民步行健身，某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡 改造成 .已知原坡角 ，改造后的斜坡 的坡度为 ， 米，求原斜坡 的长．(精确到0.1米，参考数据： )
21．（2019·邹平模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tanB= ，求线段CF、PC的长．
22．（2020·大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD=CD。
（1）如图1，求证∠ABC=2∠ACD；
（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P(如图2)。若tan∠CAB= ，BC=1，求PD的长。
23．（2021九上·崇左期末）如图，已知在△ABC中，点D是BC边上一点，DA⊥AB，AC=12，BD=7，CD=9.
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）求tan∠CAD的值.
24．（2020九上·鄞州期中）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD.已知∠CAD＝∠B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径.
25．（2020·长沙）在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
26．（2017·宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与 轴交于点C（0，-3），顶点为D。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）M是抛物线上一点，点N在 轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理可得： ，
∴tanA= ，
故答案为：D .
【分析】由勾股定理算出AC的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答.
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵三角函数值与对应边的比值有关，
∴各边都扩大5倍后，tanA的值不变.
故答案为：A.
【分析】三角函数值的大小只与夹角的大小有关，与边的长短无关.
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则OD＝2，CD＝1，
在Rt△OCD中，tanα＝ ＝ ．
故答案为：B．
【分析】过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，在Rt△OCD中，利用正切值的定义求解即可。
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在
中，
，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由题意根据锐角三角函数可得tan
=
可求解.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在 中， ，
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ∽ ，
∴ ，即， ，
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由同角的余角相等可得∠BAD=∠C，∠B=∠DAC，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△CAD，于是可得比例式，由已知BD：CD=3：2可设BD=3x，CD=2x，则AD也可用含x的代数式表示为x，然后根据锐角三角函数tan∠B=tan∠DAC=可求解.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AB，
∵ ，
∴ 是直径，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】连接AB，根据∠AOB=90°得到AB是直径，则∠C=∠ABO，求出tan∠ABO即可。
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数的正切值的定义求解即可。
8．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 如图，连接BE交CD于点F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
故答案为：A.
【分析】 连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过D作DM⊥AB交AB于M，交x轴于P，令AB交y轴于点N，
由菱形 可知∠C=∠DAM，AD∥BC，AD=AB，
又∵ ∥x轴，
∴四边形AEFB为平行四边形，即AB=EF=5，
∴AD=5，
在Rt△ADM中， ，
设 ， ，则 ，
解得 ，因此 ， ，
由 可知OP=1，DP=1，
因此ON=MP=4-1=3，AN=1+3=4，
∴A的坐标为 ，
将 代入 ，得到k=-12，
故答案为：A．
【分析】过D作DM⊥AB交AB于M，交x轴于P，令AB交y轴于点N，通过三角函数及勾股定理求出AM、DM的长，然后由点D的坐标求出点A的坐标，从而求出k的值。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A、B作 轴， 轴，
∵∠AOB＝90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】过A、B作 轴， 轴，根据条件得到： ，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出 ，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解.
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A作AC⊥OB于点C，如图，
∵A（3，3），点B（7，0），
∴AC＝OC＝3，OB＝7，
∴BC＝OB﹣OC＝4，
∴tan∠ABO＝ ，
故答案为： .
【分析】过A作AC⊥OB于点C，由点的坐标求得OC、AC、OB，进而求BC，在Rt△ABC中，由正切三角函数定义便可求得结果.
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形 中，
，
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做 的正切，记作tanA，利用网格计算即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作直径CE，连接BE，如图，
∵CE为直径，
∴∠CBE＝90°，
在Rt△BCE中，BE＝ ＝4 ，
tan∠BCE＝ ＝ ＝ ，
∵AC⊥BD，
∴∠DPC＝90°，
∵∠BEC＝∠BDC，
∴∠BCE＝∠DCP，
∴tan∠DCA＝ .
故答案为： .
【分析】作直径CE，连接BE，如图，利用圆周角定理得到∠CBE＝90°，则根据勾股定理可计算出BE＝4 ，利用正切的定义得到tan∠BCE＝ ，然后证明∠BCE＝∠DCP即可.
14．【答案】
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接OA，如图，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝ AB＝4，
在Rt△BCE中，BC＝ ＝2 ，
在Rt△OAE中，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，
∴OE＝3，
∵BF＝ ，
∴F点为BC的中点，
作FH⊥CE于H，如图，
∴FH为△BCE的中位线，
∴FH＝ BE＝2，HE＝ CE＝1，
在Rt△DHF中，tan∠CDF＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，利用垂径定理得到AE＝BE＝ AB＝4，再利用勾股定理计算出BC＝2 ，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，则OE＝3，接着判断F点为BC的中点，作FH⊥CE于H，则FH＝ BE＝2，HE＝ CE＝1，然后利用正切的定义得到tan∠CDF的值．
15．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 解： 过点O作OG垂直AB于点G，过点C作CD垂直y轴于点D，如下图：
令x=0，解得y=-2x+4=4
∴B（0，4）
∴OB=4
令y=-2x+4=0，解得x=2
∴A（2，0）
∴OA=2
当x=4时，y=-2x+4=-4
∴n=-4
∴C（4，-4）
∴CD=4，OD=4
∴BD=OB+OD=8
∵
∴
∴设OG=x，则BG=2x
∴在 中，
解得：
∴ ，
∵CD=4，BD=8
∴BC=
∴
∴
故答案为： ．
【分析】过点O作OG垂直AB于点G，过点C作CD垂直y轴于点D，先应用勾股定理计算 的长，再根据 ，设OG=x，则BG=2x，进而应用勾股定理列方程求解 和 的长，最后根据 得出 的长，进而根据 即得．
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过 作 于
设
矩形
矩形
矩形
故答案为：
【分析】过 作 于 设 结合图形性质，分别求解 再证明 可得 再求解 再利用正切的含义可得答案．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE= BC= AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴
∴EF= AF，
∴EF= AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF= =2 x，
∴tan∠BDE= = = ；
故答案为： .
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF= DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2 x，再由三角函数定义即可得出答案.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：过C点作MN⊥BG，交BG于M，交EF于N，
由旋转变换的性质可知，∠ABC＝∠GBE＝90°，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3，
由勾股定理得，CG＝ ＝ ＝4，
∵sin∠GBC＝ ，
∴
∴CM＝ ，
∴BM＝ ＝
∵MN⊥BG，∠GBE＝∠BEF＝90°，
∴四边形BENM是矩形，
∴MN＝BE＝3，BM＝EN＝ ，
∴CN＝3﹣ ＝ ，
∴tanα＝ ＝ ＝
故答案为： ．
【分析】过C点作MN⊥BG，交BG于M，交EF于N，由旋转的性质可得∠ABC=∠GBE=90°，BA=BG=5，BC=BE=3，由勾股定理可求CG=4，由锐角三角函数可求CM的长，即可求BM的长，由题意可证四边形BENM是矩形，可求EN，CN的长，即可求解．
19．【答案】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠A＝∠A+∠ACD＝∠B+∠BCD＝90°，
∴
∴△BCD∽△ACD，
∴CD2＝AD BD＝36，
∴CD＝6，
∴tanA＝ .
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据∠ACB＝90°，CD⊥AB得出△BCD∽△ACD，从而算出CD，再计算tanA.
20．【答案】解：设AD=x，∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴ ， ，
∵在Rt△ACD中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
答：斜坡AB的长约为 米．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】设AD=x米，利用锐角三角函数表示出AD、AB的长，再根据 可得 ，最后根据 列出方程求解即可．
21．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
设AC=3x，则BC=4x，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即82=（4x）2+（3x）2，
解得 ，
∴ ， .
∵OF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∵AO=4，
∴AF=3，
∴CF=AF=3.
在Rt△AOF中，AF=3，AO=4，
∴FO=5.
∵OF∥BC，
∴△PCB∽△PFO，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ .
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）
连接OC，如图所示，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠BCA=90°，根据平行线的性质，可得∠1=∠2，∠B=∠3 ，继而可得
∠3=∠2.根据“SAS”可证△OAF≌△OCF，可得出∠OAF=∠OCF =90°，即证
AF是⊙O的切线；
（2）
根据三角函数定义
设AC=3x，则BC=4x .
在Rt△ABC中，由勾股定理 可求出AC、BC的长，由
，可得AF=3，即得CF=AF=3.在Rt△AOF中 ，由勾股定理可得FO=5.根据平行线可证△PCB∽△PFO，利用相似三角形对应边成比例，可求出PF的长，由PC=PF+FC求出即可.
22．【答案】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴∠ADC+2∠ACD＝180°，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：连接OD交AC于点E，
∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∴∠ODP＝90°，
又∵，
∴OD⊥AC，AE＝EC，
∴∠DEC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECP＝90°，
∴四边形DECP为矩形，
∴DP＝EC，
∵tan∠CAB＝ ，BC＝1，
∴，
∴AC＝ ，
∴EC＝ AC＝ ，
∴DP＝ .
【知识点】矩形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由等弦对等角可得 ∠DAC＝∠ACD， 再根据三角形内角和定理，结合圆内接四边形的性质即可推出 ∠ABC＝2∠ACD；
（2）分别根据切线的性质、垂径定理、直角所对的圆周角是直角可得 ∠ODP、∠ACB、∠ECP等于90°，可证四边形DECP为矩形，在直角△ACB中，运用三角形函数求出AC的长，则EC长可求，从而得出DP的长.
23．【答案】（1）解：∵BD=7，CD=9，
∴BC=16.
∵AC=12，
∴
.
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA.
（2）解：∵△ACD∽△BCA，
∴∠CAD=∠B， .
∵DA⊥AB，
∴tanB= = ，
∴tan∠CAD= .
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由题意计算可得比例式，而∠C是公共角，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得 △ACD∽△BCA；
（2）由（1）中的相似三角形可得∠CAD=∠B，且=，然后根据锐角三角函数tanB=tan∠CAD=可求解.
24．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD， ∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1， ∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线
（2）解：设圆O的半径为r，
在Rt△ABC中，AC＝BCtanB＝4，
根据勾股定理得：AB＝ ＝4 ，
∴OA＝4 ﹣r，
在Rt△ACD中，tan∠1＝tanB＝ ，
∴CD＝ACtan∠1＝2，
根据勾股定理得：AD2＝AC2+CD2＝16+4＝20，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，即（4 ﹣r）2＝r2+20，
解得：r＝ ，
∴⊙O的半径为
【知识点】勾股定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 连接OD， 由半径相等可得∠3＝∠B，再通过角的关系推出∠1=∠3，结合∠ACD=90°，利用余角的性质和平角的定义最终推出OD⊥AD，从而证出AD是⊙O的切线；
（2）设圆O的半径为r，利用三角函数，结合勾股定理把OA用含r的代数式表示，然后在Rt△ACD中，利用三角函数求出AD的长，最后在Rt△ADO中， 根据勾股定理列等式，解方程求出r长即可。
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF= ，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴EC= ．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF= ，
∴tan +tan = ，
设CE=1，DE=x，
∵ ，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF= ，EF=x=2，AF= AD= = ，
∴tan +tan = = ．
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，从而求出EC的长；（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF= ，所以tan +tan = ，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan +tan = 即可．
26．【答案】（1）解：∵抛物线过点B（3，0）C（0，-3）
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y= -2x-3；
又∵ y=-2x-3= -4；
∴顶点D的坐标为：D（1，-4）。
（2）解：作AH⊥BC于点H
∵ -2x-3=0
解得： =-1， =3
∴A(-1，0)
又∵OB=OC，∠B0C=90°
∴∠OBC=45°
∵AB=4
∴AH=BH=2
∵BC=3
∴CH=
∴tan∠ACB==2
（3）解：作DG⊥OB于点G
∵BG=2，DG=4
∴tan∠DBG=2
∵tan∠ACB=2
∴∠DBG=∠ACB
当点P在点B的右侧时，∠PBD＞90°，
∴△PBD为钝角三角形与△CAB不相似
∴点P在点B的左侧
∴△PBD∽△CAB，且∠DBG=∠ACB
∴
或
∵BD=2
∴BP= 或BP=6
∴P（- ，0）或P（-3，0）
（4）解：存在；N的坐标为：(2+，0)； (2-，0) ； (-3，0)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把点B与点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，把解析式整理成顶点式即可写出顶点坐标；（2）首先得出A点坐标，进而得出∠OBC=45°，BC=3，再过点A做AH⊥BC，垂足为H，利用 tan∠ACB=，求出即可；（3）根据平行四边形对边平行且相等的性质得出M及N点坐标；检验即可得出答案。
1 / 1初中数学苏科版九年级下册7.1 正切 同步训练
一、单选题
1．（2021九下·苏州开学考）在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理可得： ，
∴tanA= ，
故答案为：D .
【分析】由勾股定理算出AC的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答.
2．（2021九下·江油开学考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵三角函数值与对应边的比值有关，
∴各边都扩大5倍后，tanA的值不变.
故答案为：A.
【分析】三角函数值的大小只与夹角的大小有关，与边的长短无关.
3．（2020九上·龙海月考）如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则OD＝2，CD＝1，
在Rt△OCD中，tanα＝ ＝ ．
故答案为：B．
【分析】过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，在Rt△OCD中，利用正切值的定义求解即可。
4．（2020九上·洛宁月考）如图，在数学兴趣小组探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC=50米，∠PCA= ，根据上述测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A． 米 B．50 米
C． 米 D．50tanα米
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在
中，
，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由题意根据锐角三角函数可得tan
=
可求解.
5．（2021九上·崇左期末）如图，在 中， 于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在 中， ，
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ∽ ，
∴ ，即， ，
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由同角的余角相等可得∠BAD=∠C，∠B=∠DAC，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△CAD，于是可得比例式，由已知BD：CD=3：2可设BD=3x，CD=2x，则AD也可用含x的代数式表示为x，然后根据锐角三角函数tan∠B=tan∠DAC=可求解.
6．（2020九上·槐荫期末）如图，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），圆D过A，B，O三点，点C为弧OBA上的一点（不与O、A两点重合），连接OC，AC，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AB，
∵ ，
∴ 是直径，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】连接AB，根据∠AOB=90°得到AB是直径，则∠C=∠ABO，求出tan∠ABO即可。
7．（2020九上·石家庄月考）如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数的正切值的定义求解即可。
8．（2020九上·福田期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 如图，连接BE交CD于点F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
故答案为：A.
【分析】 连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
9．（2020九上·龙海月考）如图，菱形 的顶点A在反比例函数 的图象上， ∥轴，边 、 分别交x轴于点E、F，若 ， ， ，则k值为（ ）
A．-12 B．-6 C．-18 D．6
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过D作DM⊥AB交AB于M，交x轴于P，令AB交y轴于点N，
由菱形 可知∠C=∠DAM，AD∥BC，AD=AB，
又∵ ∥x轴，
∴四边形AEFB为平行四边形，即AB=EF=5，
∴AD=5，
在Rt△ADM中， ，
设 ， ，则 ，
解得 ，因此 ， ，
由 可知OP=1，DP=1，
因此ON=MP=4-1=3，AN=1+3=4，
∴A的坐标为 ，
将 代入 ，得到k=-12，
故答案为：A．
【分析】过D作DM⊥AB交AB于M，交x轴于P，令AB交y轴于点N，通过三角函数及勾股定理求出AM、DM的长，然后由点D的坐标求出点A的坐标，从而求出k的值。
10．（2021九上·舞钢期末）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A、B作 轴， 轴，
∵∠AOB＝90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】过A、B作 轴， 轴，根据条件得到： ，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出 ，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解.
二、填空题
11．（2020九上·北海期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3）和点B（7，0），则tan∠ABO＝ .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过A作AC⊥OB于点C，如图，
∵A（3，3），点B（7，0），
∴AC＝OC＝3，OB＝7，
∴BC＝OB﹣OC＝4，
∴tan∠ABO＝ ，
故答案为： .
【分析】过A作AC⊥OB于点C，由点的坐标求得OC、AC、OB，进而求BC，在Rt△ABC中，由正切三角函数定义便可求得结果.
12．（2021九上·越城期末）
如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形 中，
，
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做 的正切，记作tanA，利用网格计算即可.
13．（2020·武汉模拟）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AC⊥BD交于点P，半径R＝6，BC＝8，则tan∠DCA＝ .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作直径CE，连接BE，如图，
∵CE为直径，
∴∠CBE＝90°，
在Rt△BCE中，BE＝ ＝4 ，
tan∠BCE＝ ＝ ＝ ，
∵AC⊥BD，
∴∠DPC＝90°，
∵∠BEC＝∠BDC，
∴∠BCE＝∠DCP，
∴tan∠DCA＝ .
故答案为： .
【分析】作直径CE，连接BE，如图，利用圆周角定理得到∠CBE＝90°，则根据勾股定理可计算出BE＝4 ，利用正切的定义得到tan∠BCE＝ ，然后证明∠BCE＝∠DCP即可.
14．（2020九上·道里期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，连接BC、BD．点F为线段CB上一点，连接DF，若CE＝2，AB＝8，BF＝ ，则tan∠CDF＝ ．
【答案】
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接OA，如图，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝ AB＝4，
在Rt△BCE中，BC＝ ＝2 ，
在Rt△OAE中，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，
∴OE＝3，
∵BF＝ ，
∴F点为BC的中点，
作FH⊥CE于H，如图，
∴FH为△BCE的中位线，
∴FH＝ BE＝2，HE＝ CE＝1，
在Rt△DHF中，tan∠CDF＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，利用垂径定理得到AE＝BE＝ AB＝4，再利用勾股定理计算出BC＝2 ，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，则OE＝3，接着判断F点为BC的中点，作FH⊥CE于H，则FH＝ BE＝2，HE＝ CE＝1，然后利用正切的定义得到tan∠CDF的值．
15．（2020·南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝kx交于点C（4，n），则tan∠OCB的值为 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 解： 过点O作OG垂直AB于点G，过点C作CD垂直y轴于点D，如下图：
令x=0，解得y=-2x+4=4
∴B（0，4）
∴OB=4
令y=-2x+4=0，解得x=2
∴A（2，0）
∴OA=2
当x=4时，y=-2x+4=-4
∴n=-4
∴C（4，-4）
∴CD=4，OD=4
∴BD=OB+OD=8
∵
∴
∴设OG=x，则BG=2x
∴在 中，
解得：
∴ ，
∵CD=4，BD=8
∴BC=
∴
∴
故答案为： ．
【分析】过点O作OG垂直AB于点G，过点C作CD垂直y轴于点D，先应用勾股定理计算 的长，再根据 ，设OG=x，则BG=2x，进而应用勾股定理列方程求解 和 的长，最后根据 得出 的长，进而根据 即得．
16．（2020九上·高平期末）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线， ，垂足为E，连CE，若 ，则 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过 作 于
设
矩形
矩形
矩形
故答案为：
【分析】过 作 于 设 结合图形性质，分别求解 再证明 可得 再求解 再利用正切的含义可得答案．
17．（2020·连云模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE= BC= AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴
∴EF= AF，
∴EF= AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF= DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF= =2 x，
∴tan∠BDE= = = ；
故答案为： .
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF= AF，EF= AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF= DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2 x，再由三角函数定义即可得出答案.
18．（2020·苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，则tanα＝ ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：过C点作MN⊥BG，交BG于M，交EF于N，
由旋转变换的性质可知，∠ABC＝∠GBE＝90°，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3，
由勾股定理得，CG＝ ＝ ＝4，
∵sin∠GBC＝ ，
∴
∴CM＝ ，
∴BM＝ ＝
∵MN⊥BG，∠GBE＝∠BEF＝90°，
∴四边形BENM是矩形，
∴MN＝BE＝3，BM＝EN＝ ，
∴CN＝3﹣ ＝ ，
∴tanα＝ ＝ ＝
故答案为： ．
【分析】过C点作MN⊥BG，交BG于M，交EF于N，由旋转的性质可得∠ABC=∠GBE=90°，BA=BG=5，BC=BE=3，由勾股定理可求CG=4，由锐角三角函数可求CM的长，即可求BM的长，由题意可证四边形BENM是矩形，可求EN，CN的长，即可求解．
三、解答题
19．（2020·武汉模拟）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D，AD＝4，BD＝9，求tanA.
【答案】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠A＝∠A+∠ACD＝∠B+∠BCD＝90°，
∴
∴△BCD∽△ACD，
∴CD2＝AD BD＝36，
∴CD＝6，
∴tanA＝ .
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据∠ACB＝90°，CD⊥AB得出△BCD∽△ACD，从而算出CD，再计算tanA.
20．（2020·吉林模拟）步行是全世界公认的有效、科学的健身方法.为了方便市民步行健身，某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡 改造成 .已知原坡角 ，改造后的斜坡 的坡度为 ， 米，求原斜坡 的长．(精确到0.1米，参考数据： )
【答案】解：设AD=x，∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴ ， ，
∵在Rt△ACD中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
答：斜坡AB的长约为 米．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】设AD=x米，利用锐角三角函数表示出AD、AB的长，再根据 可得 ，最后根据 列出方程求解即可．
21．（2019·邹平模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tanB= ，求线段CF、PC的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
设AC=3x，则BC=4x，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即82=（4x）2+（3x）2，
解得 ，
∴ ， .
∵OF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∵AO=4，
∴AF=3，
∴CF=AF=3.
在Rt△AOF中，AF=3，AO=4，
∴FO=5.
∵OF∥BC，
∴△PCB∽△PFO，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ .
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）
连接OC，如图所示，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠BCA=90°，根据平行线的性质，可得∠1=∠2，∠B=∠3 ，继而可得
∠3=∠2.根据“SAS”可证△OAF≌△OCF，可得出∠OAF=∠OCF =90°，即证
AF是⊙O的切线；
（2）
根据三角函数定义
设AC=3x，则BC=4x .
在Rt△ABC中，由勾股定理 可求出AC、BC的长，由
，可得AF=3，即得CF=AF=3.在Rt△AOF中 ，由勾股定理可得FO=5.根据平行线可证△PCB∽△PFO，利用相似三角形对应边成比例，可求出PF的长，由PC=PF+FC求出即可.
22．（2020·大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD=CD。
（1）如图1，求证∠ABC=2∠ACD；
（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P(如图2)。若tan∠CAB= ，BC=1，求PD的长。
【答案】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴∠ADC+2∠ACD＝180°，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：连接OD交AC于点E，
∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∴∠ODP＝90°，
又∵，
∴OD⊥AC，AE＝EC，
∴∠DEC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECP＝90°，
∴四边形DECP为矩形，
∴DP＝EC，
∵tan∠CAB＝ ，BC＝1，
∴，
∴AC＝ ，
∴EC＝ AC＝ ，
∴DP＝ .
【知识点】矩形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由等弦对等角可得 ∠DAC＝∠ACD， 再根据三角形内角和定理，结合圆内接四边形的性质即可推出 ∠ABC＝2∠ACD；
（2）分别根据切线的性质、垂径定理、直角所对的圆周角是直角可得 ∠ODP、∠ACB、∠ECP等于90°，可证四边形DECP为矩形，在直角△ACB中，运用三角形函数求出AC的长，则EC长可求，从而得出DP的长.
23．（2021九上·崇左期末）如图，已知在△ABC中，点D是BC边上一点，DA⊥AB，AC=12，BD=7，CD=9.
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）求tan∠CAD的值.
【答案】（1）解：∵BD=7，CD=9，
∴BC=16.
∵AC=12，
∴
.
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA.
（2）解：∵△ACD∽△BCA，
∴∠CAD=∠B， .
∵DA⊥AB，
∴tanB= = ，
∴tan∠CAD= .
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由题意计算可得比例式，而∠C是公共角，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得 △ACD∽△BCA；
（2）由（1）中的相似三角形可得∠CAD=∠B，且=，然后根据锐角三角函数tanB=tan∠CAD=可求解.
24．（2020九上·鄞州期中）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD.已知∠CAD＝∠B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD， ∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1， ∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线
（2）解：设圆O的半径为r，
在Rt△ABC中，AC＝BCtanB＝4，
根据勾股定理得：AB＝ ＝4 ，
∴OA＝4 ﹣r，
在Rt△ACD中，tan∠1＝tanB＝ ，
∴CD＝ACtan∠1＝2，
根据勾股定理得：AD2＝AC2+CD2＝16+4＝20，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，即（4 ﹣r）2＝r2+20，
解得：r＝ ，
∴⊙O的半径为
【知识点】勾股定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 连接OD， 由半径相等可得∠3＝∠B，再通过角的关系推出∠1=∠3，结合∠ACD=90°，利用余角的性质和平角的定义最终推出OD⊥AD，从而证出AD是⊙O的切线；
（2）设圆O的半径为r，利用三角函数，结合勾股定理把OA用含r的代数式表示，然后在Rt△ACD中，利用三角函数求出AD的长，最后在Rt△ADO中， 根据勾股定理列等式，解方程求出r长即可。
25．（2020·长沙）在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF= ，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴EC= ．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF= ，
∴tan +tan = ，
设CE=1，DE=x，
∵ ，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF= ，EF=x=2，AF= AD= = ，
∴tan +tan = = ．
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，从而求出EC的长；（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF= ，所以tan +tan = ，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan +tan = 即可．
26．（2017·宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与 轴交于点C（0，-3），顶点为D。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）M是抛物线上一点，点N在 轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：∵抛物线过点B（3，0）C（0，-3）
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y= -2x-3；
又∵ y=-2x-3= -4；
∴顶点D的坐标为：D（1，-4）。
（2）解：作AH⊥BC于点H
∵ -2x-3=0
解得： =-1， =3
∴A(-1，0)
又∵OB=OC，∠B0C=90°
∴∠OBC=45°
∵AB=4
∴AH=BH=2
∵BC=3
∴CH=
∴tan∠ACB==2
（3）解：作DG⊥OB于点G
∵BG=2，DG=4
∴tan∠DBG=2
∵tan∠ACB=2
∴∠DBG=∠ACB
当点P在点B的右侧时，∠PBD＞90°，
∴△PBD为钝角三角形与△CAB不相似
∴点P在点B的左侧
∴△PBD∽△CAB，且∠DBG=∠ACB
∴
或
∵BD=2
∴BP= 或BP=6
∴P（- ，0）或P（-3，0）
（4）解：存在；N的坐标为：(2+，0)； (2-，0) ； (-3，0)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把点B与点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，把解析式整理成顶点式即可写出顶点坐标；（2）首先得出A点坐标，进而得出∠OBC=45°，BC=3，再过点A做AH⊥BC，垂足为H，利用 tan∠ACB=，求出即可；（3）根据平行四边形对边平行且相等的性质得出M及N点坐标；检验即可得出答案。
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