初中数学苏科版九年级上册4.2等可能条件下的概率（一）同步练习
一、单选题
1．（2020·齐齐哈尔）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴ 朝上一面的数字出现偶数的概率是 ，
故答案为：A．
【分析】直接利用概率公式，用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得．
2．（2020·临沂）从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：列表得：
马鸣 杨豪 陆畅 江宽
马鸣 / (马鸣，杨豪) (马鸣，陆畅) (马鸣，江宽)
杨豪 (杨豪，马鸣) / (杨豪，陆畅) (杨豪，江宽)
陆畅 (陆畅，马鸣) (陆畅，杨豪) / (陆畅，江宽)
江宽 (江宽，马鸣) (江宽，杨豪) (江宽，陆畅) /
所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种，
恰好抽到马鸣和杨豪的概率是 ，
故答案为：C.
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率．
3．（2020·株洲）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字-1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可得：4个小球中，其中标有2，3是正数，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为： ．
故答案为：C．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
4．（2020·湘西州）从长度分别为 、 、 、 四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】解：∵试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm）；（1cm，3cm，6cm）；（1cm，5cm，6cm）；（3cm，5cm，6cm），共4种；
而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm），共1种；
∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ，
故答案为：A．
【分析】试验发生包含的基本事件可以列举出共4种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共1种，根据概率公式得到结果．
5．（2020·绥化）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，
∴摸出一个球是红球的概率是 ；
故答案为：B．
【分析】根据概率的公式计算，即可得到答案．
6．（2020·哈尔滨）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ．
故答案为：A．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
7．（2020·金华·丽水）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一共有6张卡片，写有1号的有3张，
∴摸到1号卡片的概率为：.
故答案为：A.
【分析】直接利用概率公式计算即可.
8．（2020·海淀模拟）有A、B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“快”“慢”的字样，B袋中的两只球上分别写了“审”“答”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“慢审”字样的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】画树状图如下：
共有4种情况，恰好能组成“细心”字样的情况数有1种，
∴刚好能组成“慢审”字样的概率为 ．
故答案为：B
【分析】画出树状图，可得出总情况数及刚好能组成“慢审”字样的情况数，根据概率公式即可得答案．
9．（2020·武汉模拟）在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球8个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为 ，则放入的黄球个数n=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵口袋中装有白球6个，黑球8个，黄球n个，
∴球的总个数为6＋8＋n，
∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，
即 ，
解得：n=7，
故答案为：D.
【分析】根据口袋中装有白球6个，黑球8个，黄球n个，故球的总个数为6＋8＋n，再根据概率公式由摸到黄球的概率是，列式解答即可.
10．（2020九下·信阳月考）九(1)班有2名升旗手，九(2)班、九(3)班各1名，若从4人中随机抽取2人担任下周的升旗手，则抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的2人恰巧都来自九(1)班的有2种结果，
所以抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率为 ，
故答案为：D.
【分析】先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.
二、填空题
11．（2020·鹤岗）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵盒子中共装有5个小球，其中标号为偶数的有2、4这2个小球，
∴从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为 ，
故答案为： .
【分析】直接利用概率公式计算可得．
12．（2020·大庆）两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】由题可得到树状图如下图所示：
∴ ．
故答案为 ．
【分析】画出树状图进行求解即可；
13．（2020·上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
【答案】 ．
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是 = ．
故答案为： ．
【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．
14．（2020·广元）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关 ， ， 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】分析电路图知：要让灯泡发光， 必须闭合，同时 ， 中任意一个关闭时，满足：
一共有： ， ，、 ， 、 ， 三种情况，满足条件的有 ， 、 ， 两种，
∴能够让灯泡发光的概率为：
故答案为： ．
【分析】分析电路图知：要让灯泡发光， 必须闭合，同时 ， 中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．
15．（2020·武侯模拟）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平形四边形．一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在5号板区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】设4号板正方形的边长为1
则5号板直角边长为1，斜边长为
3号板直角边长为1，斜边长为
2号板直角边长为2，斜边长为
则大正方形的面积为
5号板的面积为
则所求的概率为
故答案为： ．
【分析】设4号板正方形的边长为1，再分别求出5号板和2号板的直角边长与斜边长，据此可知大正方形的面积为8，5号板的面积为 ，然后根据概率公式求解即可得．
16．（2020·吕梁模拟）我们规定把同一副扑克牌中的红桃 ，黑桃 ，梅花 三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵红桃 ，黑桃 ，梅花 三张牌分别用 、 、 表示，画出树状图如下：
∴共有 种等可能的结果数，其中两次抽取的扑克牌为同一张的结果数为 种
∴两次抽取的扑克牌为同一张的概率为 ．
故答案是：
【分析】红桃 ，黑桃 ，梅花 三张牌分别用 A 、 B 、 C 表示，画出树状图，列出所有等可能的结果数，找出两次抽取的扑克牌为同一张的结果数，然后利用概率公式求解即可
17．（2020·奉化模拟）甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分，连下三盘，得分多者为胜．则甲取胜的概率是 。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵实验发生包含的事件是下三局，每一局都有三种可能，共有33=27种等可能结果，甲取胜分为三种情况：胜一局和两局有3种结果，胜两局，另一局输和均可，有6种结果；胜三局有1种结果，
∴共有3+6+1=10种结果，
∴甲取胜的概率 =.
故答案为：.
【分析】分别求出共有27种等可能结果，其中取胜的结果共有3+6+1=10种结果，利用概率公式计算即可.
18．（2019九下·青山月考）有一个正十二面体，12个面上分别写有1~12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：这个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，其中是3的倍数或4的倍数的3，6，9，12，4，8，共6种情况，故向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是 .
故答案为： .
【分析】利用概率公式解答即可.
三、解答题
19．（2020·宽城模拟）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，5，这些卡片除数字不同外其余均相同．现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片。用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率。
【答案】解：画树状图如下：
（不计算“和”不扣分）
∴P（数字之和为偶数）=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据题意，利用树状图画出抽取的所有情况的图片，根据概率公式计算得到答案即可。
20．（2020九下·长春月考）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树状图（或列表）的方法求出两次取出小球上的数字之和为偶数的概率．
【答案】解：由题意得：
共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数为5，
所以两次取出小球上的数字之和为偶数的概率为： ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
21．（2019·鞍山）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快.是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形.我就先读，否则你先读.小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由.（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左至右分别用D，E，F表示）
【答案】解：不公平，理由如下：
根据题意，画树状图如图：
由树状图可知，共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种，分别为（A、D）、（A、F）、（B、E）、（C、D）、（C、F）.
∴P（小红先涂）＝ .
P（弟弟先涂）＝ .
∵ .
∴小红设计的游戏对弟弟不公平.
【知识点】轴对称图形；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】根据题意画出树状图，由图可知： 共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种 ，从而根据概率公式就可算出小红获胜或弟弟获胜的概率，再比较两概率的大小即可得出结论.
22．（2019七下·三明期末）如图所示，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有2cm，4cm，6cm，8cm和10cm，袋外有两张卡片，分别写有6cm和10cm，现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
【答案】解：共有5种可能的结果数，它们是：2、6、10；4、6、10；6、6、10；8、6、10；10、6、10，
其中这三条线段能构成等腰三角形的结果数2种，分别是6、6、10和10、6、10，
所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是 ．
【知识点】等腰三角形的判定；概率公式
【解析】【分析】利用列举法展示所有可能的结果数，根据等腰三角形的判定找出结果数，然后根据概率公式计算即可．
23．（浙教版2019年数学中考模拟试卷10）甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.
（1）求摸出的2个球都是白球的概率.
（2）下列事件中，概率最大的是_______.
A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球
【答案】（1）解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果，
所以摸出的2个球都是白球的概率为 ＝ ；
（2）D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（2）∵摸出的2个球颜色相同概率为 ＝ 、摸出的2个球颜色不相同的概率为 ＝ ，
摸出的2个球中至少有1个红球的概率为 = 、摸出的2个球中至少有1个白球的概率为 ，
∴概率最大的是摸出的2个球中至少有1个白球，
故答案为：D.
【分析】（1）根据题意画出树状图，由图可知： 共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果， 根据概率公式即可算出 摸出的2个球都是白球的概率 ；
（2）根据树状图可知： 共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是 颜色相同的有3种结果； 摸出的2个球颜色不相同的有3种结果， 摸出的2个球中至少有1个红球 的有3种结果， 摸出的2个球中至少有1个白球 的有5种结果，根据概率公式分别算出各自的概率，再比大小即可。
24．（2019·中山模拟）某中学初三（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如下的两幅不完整的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）初三（1）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m= ，n= ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
【答案】（1）40，如图；
（2）10；20；72
（3）列表如下：
第二次
第一次
男1
男2
男3
女
男1
男1男2
男1男3
男1女
男2
男2男1
男2男3
男2女
男3
男3男1
男3男2
男3女
女
女男1
女男2
女男3
从上表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性均相同，其中1男1女的结果有6种，∴P（1男1女）=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意，选择篮球一组的数据即可求出总数，根据各个统计图的数据将统计图补充完整即可。
（2）根据总数和条形统计图，将m和n的值，以及足球的圆心角计算即可。
（3）根据题意利用列表法列举出所有符合条件的情况，求出概率即可。
25．（2018九下·梁子湖期中）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表。
组别 分数段 频次 频率
A 60 x<70 17 0.17
B 70 x<80 30 a
C 80 x<90 b 0.45
D 90 x<100 8 0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中a= ，b= ；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率。
【答案】（1）0.3；45
（2）360°×0.3=108°.
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°.
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为 = .
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a= =0.3，b=100×0.45=45（人）.
故答案为：0.3，45；
【分析】（1）根据统计图表可知：分数在 60 x<70 段的频数是17，频率是0.17，用分数在 60 x<70 段的频数除以分数在这段的频率即可求出本次调查的总人数；用分数在 70 x<80 的频数除以本次调查的总人数就可求出分数在本段的频率，即a的值；用本次调查的总人数乘以分数在 80 x<90 的频率即可算分数在这个段的频数，即b的值；
（2）用360°乘以分数在 70 x<80 的频率即可算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3） 将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，根据题意画出树形图，由图可知： 共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种 ，根据概率公式就可算出 甲、乙两名同学都被选中的概率 。
1 / 1初中数学苏科版九年级上册4.2等可能条件下的概率（一）同步练习
一、单选题
1．（2020·齐齐哈尔）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·临沂）从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·株洲）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字-1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湘西州）从长度分别为 、 、 、 四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·绥化）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·哈尔滨）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·金华·丽水）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·海淀模拟）有A、B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“快”“慢”的字样，B袋中的两只球上分别写了“审”“答”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“慢审”字样的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·武汉模拟）在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球8个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为 ，则放入的黄球个数n=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2020九下·信阳月考）九(1)班有2名升旗手，九(2)班、九(3)班各1名，若从4人中随机抽取2人担任下周的升旗手，则抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020·鹤岗）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为 ．
12．（2020·大庆）两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为 ．
13．（2020·上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
14．（2020·广元）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关 ， ， 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
15．（2020·武侯模拟）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平形四边形．一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在5号板区域的概率是 ．
16．（2020·吕梁模拟）我们规定把同一副扑克牌中的红桃 ，黑桃 ，梅花 三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为 ．
17．（2020·奉化模拟）甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分，连下三盘，得分多者为胜．则甲取胜的概率是 。
18．（2019九下·青山月考）有一个正十二面体，12个面上分别写有1~12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是 .
三、解答题
19．（2020·宽城模拟）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，5，这些卡片除数字不同外其余均相同．现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片。用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率。
20．（2020九下·长春月考）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树状图（或列表）的方法求出两次取出小球上的数字之和为偶数的概率．
21．（2019·鞍山）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快.是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形.我就先读，否则你先读.小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由.（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左至右分别用D，E，F表示）
22．（2019七下·三明期末）如图所示，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有2cm，4cm，6cm，8cm和10cm，袋外有两张卡片，分别写有6cm和10cm，现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
23．（浙教版2019年数学中考模拟试卷10）甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.
（1）求摸出的2个球都是白球的概率.
（2）下列事件中，概率最大的是_______.
A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球
24．（2019·中山模拟）某中学初三（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如下的两幅不完整的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）初三（1）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m= ，n= ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
25．（2018九下·梁子湖期中）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表。
组别 分数段 频次 频率
A 60 x<70 17 0.17
B 70 x<80 30 a
C 80 x<90 b 0.45
D 90 x<100 8 0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中a= ，b= ；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴ 朝上一面的数字出现偶数的概率是 ，
故答案为：A．
【分析】直接利用概率公式，用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得．
2．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：列表得：
马鸣 杨豪 陆畅 江宽
马鸣 / (马鸣，杨豪) (马鸣，陆畅) (马鸣，江宽)
杨豪 (杨豪，马鸣) / (杨豪，陆畅) (杨豪，江宽)
陆畅 (陆畅，马鸣) (陆畅，杨豪) / (陆畅，江宽)
江宽 (江宽，马鸣) (江宽，杨豪) (江宽，陆畅) /
所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种，
恰好抽到马鸣和杨豪的概率是 ，
故答案为：C.
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率．
3．【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可得：4个小球中，其中标有2，3是正数，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为： ．
故答案为：C．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】解：∵试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm）；（1cm，3cm，6cm）；（1cm，5cm，6cm）；（3cm，5cm，6cm），共4种；
而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm），共1种；
∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ，
故答案为：A．
【分析】试验发生包含的基本事件可以列举出共4种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共1种，根据概率公式得到结果．
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，
∴摸出一个球是红球的概率是 ；
故答案为：B．
【分析】根据概率的公式计算，即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ．
故答案为：A．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
7．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一共有6张卡片，写有1号的有3张，
∴摸到1号卡片的概率为：.
故答案为：A.
【分析】直接利用概率公式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】画树状图如下：
共有4种情况，恰好能组成“细心”字样的情况数有1种，
∴刚好能组成“慢审”字样的概率为 ．
故答案为：B
【分析】画出树状图，可得出总情况数及刚好能组成“慢审”字样的情况数，根据概率公式即可得答案．
9．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵口袋中装有白球6个，黑球8个，黄球n个，
∴球的总个数为6＋8＋n，
∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，
即 ，
解得：n=7，
故答案为：D.
【分析】根据口袋中装有白球6个，黑球8个，黄球n个，故球的总个数为6＋8＋n，再根据概率公式由摸到黄球的概率是，列式解答即可.
10．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的2人恰巧都来自九(1)班的有2种结果，
所以抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率为 ，
故答案为：D.
【分析】先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵盒子中共装有5个小球，其中标号为偶数的有2、4这2个小球，
∴从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为 ，
故答案为： .
【分析】直接利用概率公式计算可得．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】由题可得到树状图如下图所示：
∴ ．
故答案为 ．
【分析】画出树状图进行求解即可；
13．【答案】 ．
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是 = ．
故答案为： ．
【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】分析电路图知：要让灯泡发光， 必须闭合，同时 ， 中任意一个关闭时，满足：
一共有： ， ，、 ， 、 ， 三种情况，满足条件的有 ， 、 ， 两种，
∴能够让灯泡发光的概率为：
故答案为： ．
【分析】分析电路图知：要让灯泡发光， 必须闭合，同时 ， 中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．
15．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】设4号板正方形的边长为1
则5号板直角边长为1，斜边长为
3号板直角边长为1，斜边长为
2号板直角边长为2，斜边长为
则大正方形的面积为
5号板的面积为
则所求的概率为
故答案为： ．
【分析】设4号板正方形的边长为1，再分别求出5号板和2号板的直角边长与斜边长，据此可知大正方形的面积为8，5号板的面积为 ，然后根据概率公式求解即可得．
16．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵红桃 ，黑桃 ，梅花 三张牌分别用 、 、 表示，画出树状图如下：
∴共有 种等可能的结果数，其中两次抽取的扑克牌为同一张的结果数为 种
∴两次抽取的扑克牌为同一张的概率为 ．
故答案是：
【分析】红桃 ，黑桃 ，梅花 三张牌分别用 A 、 B 、 C 表示，画出树状图，列出所有等可能的结果数，找出两次抽取的扑克牌为同一张的结果数，然后利用概率公式求解即可
17．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵实验发生包含的事件是下三局，每一局都有三种可能，共有33=27种等可能结果，甲取胜分为三种情况：胜一局和两局有3种结果，胜两局，另一局输和均可，有6种结果；胜三局有1种结果，
∴共有3+6+1=10种结果，
∴甲取胜的概率 =.
故答案为：.
【分析】分别求出共有27种等可能结果，其中取胜的结果共有3+6+1=10种结果，利用概率公式计算即可.
18．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：这个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，其中是3的倍数或4的倍数的3，6，9，12，4，8，共6种情况，故向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是 .
故答案为： .
【分析】利用概率公式解答即可.
19．【答案】解：画树状图如下：
（不计算“和”不扣分）
∴P（数字之和为偶数）=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据题意，利用树状图画出抽取的所有情况的图片，根据概率公式计算得到答案即可。
20．【答案】解：由题意得：
共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数为5，
所以两次取出小球上的数字之和为偶数的概率为： ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
21．【答案】解：不公平，理由如下：
根据题意，画树状图如图：
由树状图可知，共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种，分别为（A、D）、（A、F）、（B、E）、（C、D）、（C、F）.
∴P（小红先涂）＝ .
P（弟弟先涂）＝ .
∵ .
∴小红设计的游戏对弟弟不公平.
【知识点】轴对称图形；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】根据题意画出树状图，由图可知： 共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种 ，从而根据概率公式就可算出小红获胜或弟弟获胜的概率，再比较两概率的大小即可得出结论.
22．【答案】解：共有5种可能的结果数，它们是：2、6、10；4、6、10；6、6、10；8、6、10；10、6、10，
其中这三条线段能构成等腰三角形的结果数2种，分别是6、6、10和10、6、10，
所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是 ．
【知识点】等腰三角形的判定；概率公式
【解析】【分析】利用列举法展示所有可能的结果数，根据等腰三角形的判定找出结果数，然后根据概率公式计算即可．
23．【答案】（1）解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果，
所以摸出的2个球都是白球的概率为 ＝ ；
（2）D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（2）∵摸出的2个球颜色相同概率为 ＝ 、摸出的2个球颜色不相同的概率为 ＝ ，
摸出的2个球中至少有1个红球的概率为 = 、摸出的2个球中至少有1个白球的概率为 ，
∴概率最大的是摸出的2个球中至少有1个白球，
故答案为：D.
【分析】（1）根据题意画出树状图，由图可知： 共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果， 根据概率公式即可算出 摸出的2个球都是白球的概率 ；
（2）根据树状图可知： 共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是 颜色相同的有3种结果； 摸出的2个球颜色不相同的有3种结果， 摸出的2个球中至少有1个红球 的有3种结果， 摸出的2个球中至少有1个白球 的有5种结果，根据概率公式分别算出各自的概率，再比大小即可。
24．【答案】（1）40，如图；
（2）10；20；72
（3）列表如下：
第二次
第一次
男1
男2
男3
女
男1
男1男2
男1男3
男1女
男2
男2男1
男2男3
男2女
男3
男3男1
男3男2
男3女
女
女男1
女男2
女男3
从上表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性均相同，其中1男1女的结果有6种，∴P（1男1女）=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意，选择篮球一组的数据即可求出总数，根据各个统计图的数据将统计图补充完整即可。
（2）根据总数和条形统计图，将m和n的值，以及足球的圆心角计算即可。
（3）根据题意利用列表法列举出所有符合条件的情况，求出概率即可。
25．【答案】（1）0.3；45
（2）360°×0.3=108°.
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°.
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为 = .
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a= =0.3，b=100×0.45=45（人）.
故答案为：0.3，45；
【分析】（1）根据统计图表可知：分数在 60 x<70 段的频数是17，频率是0.17，用分数在 60 x<70 段的频数除以分数在这段的频率即可求出本次调查的总人数；用分数在 70 x<80 的频数除以本次调查的总人数就可求出分数在本段的频率，即a的值；用本次调查的总人数乘以分数在 80 x<90 的频率即可算分数在这个段的频数，即b的值；
（2）用360°乘以分数在 70 x<80 的频率即可算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3） 将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，根据题意画出树形图，由图可知： 共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种 ，根据概率公式就可算出 甲、乙两名同学都被选中的概率 。
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