初中数学北师大版七年级上学期 第三章 3.5探索与表达规律
一、单选题
1．（2020·云南）按一定规律排列的单项式：a， ， ， ， ， ，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
1429
26320
38435
…… a18bx
A．135 B．153 C．170 D．189
3．（2020·重庆B）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
4．（2020·达县）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·德州）下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）
A．148 B．152 C．174 D．202
6．（2020七下·麻城期末）某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．8n
二、填空题
7．（2020·大庆）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为 ．
8．（2020·滨州）观察下列各式： ， 根据其中的规律可得 （用含n的式子表示）．
9．（2020·泰安）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为 ，第二个数记为 ，第三个数记为 ，……，第 个数记为 ，则 ．
10．（2020·湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 | || ||| |||| |||||
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： ，则 | 表示的数是 ．
11．（2020七下·余杭期末）观察下列等式：2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，…，若250=m，则2100+2101+2102+…+2200= .（用含m的代数式表示）
三、综合题
12．（2020·安徽）观察以下等式：
第1个等式：
第 个等式：
第3个等式：
第 个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．
13．（2020·河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 ，同时B区就会自动减去 ，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， ，…，
可记为：
第 项为：
故答案为：A.
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故答案为：C．
【分析】由观察发现每个正方形内有： 可求解 ，从而得到 ，再利用 之间的关系求解 即可．
3．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数5＝2×1+3，
第②个图形中实心圆点的个数8＝2×2+4，
第③个图形中实心圆点的个数11＝2×3+5，
……
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+8＝20，
故答案为：C.
【分析】分别找出图①、②、③中原点的个数，找到规律代入即可.
4．【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同，比如可以按照一共有12条棱，去掉首尾衔接处的小球，则每条棱上剩下12(m-2)个小球，加上衔接处的8个小球，则小球的个数为 ，
选项B中 ，故B，C，D均符合题意，
故答案为：A.
【分析】先根据规律求出小球的总个数，再将选项逐项化简求值即可解题.
5．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；
第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；
第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；
第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；
…
第n个图案需要的个数为 （个）
∴第10个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174（个）
故答案为：C．
【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为 （个），所以第10个图案需要的个数只需将n=10代入即可．
6．【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图形有8根火柴棒，即(6×1+2)根；
第2个图形有14根火柴棒，即(6×2+2)根；，
第3个图形有20根火柴棒，即(6×3+2)根
，
第n个图形有( )根火柴棒.
故答案为：A.
【分析】观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可.
7．【答案】440
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是
即第1个图需要黑色棋子的个数为
第2个图需要黑色棋子的个数为
第3个图需要黑色棋子的个数为
第4个图需要黑色棋子的个数为
归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为 ，其中n为正整数
则第20个图需要黑色棋子的个数为
故答案为：440．
【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
8．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由分析得 ，
故答案为：
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
9．【答案】20110
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为20110．
【分析】根据所给数据可得到关系式 ，代入即可求值．
10．【答案】8167
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据算筹计数法， | 表示的数是：8167.
故答案为：8167
【分析】根据算筹计数法来计数即可．
11．【答案】m2（2m2-1）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵250=m，
∴2100+2101+2102+…+2200
=2100（1+2+22+…+299+2100）
=2100（1+2101-2）
=（250）2[（250）2×2-1）]
=m2（2m2-1）.
故答案为：m2（2m2-1）.
【分析】由题意可得2100+2101+2102+…+2200+240=2100（1+2+22+…+299+2100）=2100（1+2101-2）=（250）2[（250）2×2-1）]，再将250=m代入即可求解.
12．【答案】（1）
（2） 证明：∵左边= =右边， ∴等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由前五个式子可推出第6个等式为： ；
【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
13．【答案】（1）解：A区显示结果为： ，
B区显示结果为： ；
（2）解：初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵ 恒成立，
∴和不能为负数．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 ， 区就会自动减去 ，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．
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一、单选题
1．（2020·云南）按一定规律排列的单项式：a， ， ， ， ， ，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， ，…，
可记为：
第 项为：
故答案为：A.
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案.
2．（2020·娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
1429
26320
38435
…… a18bx
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故答案为：C．
【分析】由观察发现每个正方形内有： 可求解 ，从而得到 ，再利用 之间的关系求解 即可．
3．（2020·重庆B）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数5＝2×1+3，
第②个图形中实心圆点的个数8＝2×2+4，
第③个图形中实心圆点的个数11＝2×3+5，
……
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+8＝20，
故答案为：C.
【分析】分别找出图①、②、③中原点的个数，找到规律代入即可.
4．（2020·达县）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同，比如可以按照一共有12条棱，去掉首尾衔接处的小球，则每条棱上剩下12(m-2)个小球，加上衔接处的8个小球，则小球的个数为 ，
选项B中 ，故B，C，D均符合题意，
故答案为：A.
【分析】先根据规律求出小球的总个数，再将选项逐项化简求值即可解题.
5．（2020·德州）下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）
A．148 B．152 C．174 D．202
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；
第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；
第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；
第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；
…
第n个图案需要的个数为 （个）
∴第10个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174（个）
故答案为：C．
【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为 （个），所以第10个图案需要的个数只需将n=10代入即可．
6．（2020七下·麻城期末）某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．8n
【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图形有8根火柴棒，即(6×1+2)根；
第2个图形有14根火柴棒，即(6×2+2)根；，
第3个图形有20根火柴棒，即(6×3+2)根
，
第n个图形有( )根火柴棒.
故答案为：A.
【分析】观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可.
二、填空题
7．（2020·大庆）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为 ．
【答案】440
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是
即第1个图需要黑色棋子的个数为
第2个图需要黑色棋子的个数为
第3个图需要黑色棋子的个数为
第4个图需要黑色棋子的个数为
归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为 ，其中n为正整数
则第20个图需要黑色棋子的个数为
故答案为：440．
【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
8．（2020·滨州）观察下列各式： ， 根据其中的规律可得 （用含n的式子表示）．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由分析得 ，
故答案为：
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
9．（2020·泰安）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为 ，第二个数记为 ，第三个数记为 ，……，第 个数记为 ，则 ．
【答案】20110
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为20110．
【分析】根据所给数据可得到关系式 ，代入即可求值．
10．（2020·湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 | || ||| |||| |||||
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： ，则 | 表示的数是 ．
【答案】8167
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据算筹计数法， | 表示的数是：8167.
故答案为：8167
【分析】根据算筹计数法来计数即可．
11．（2020七下·余杭期末）观察下列等式：2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，…，若250=m，则2100+2101+2102+…+2200= .（用含m的代数式表示）
【答案】m2（2m2-1）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵250=m，
∴2100+2101+2102+…+2200
=2100（1+2+22+…+299+2100）
=2100（1+2101-2）
=（250）2[（250）2×2-1）]
=m2（2m2-1）.
故答案为：m2（2m2-1）.
【分析】由题意可得2100+2101+2102+…+2200+240=2100（1+2+22+…+299+2100）=2100（1+2101-2）=（250）2[（250）2×2-1）]，再将250=m代入即可求解.
三、综合题
12．（2020·安徽）观察以下等式：
第1个等式：
第 个等式：
第3个等式：
第 个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．
【答案】（1）
（2） 证明：∵左边= =右边， ∴等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由前五个式子可推出第6个等式为： ；
【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
13．（2020·河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 ，同时B区就会自动减去 ，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】（1）解：A区显示结果为： ，
B区显示结果为： ；
（2）解：初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵ 恒成立，
∴和不能为负数．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 ， 区就会自动减去 ，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．
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