初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.4 圆周角和圆心角的关系
一、单选题
1．（2021九上·仙居期末）如图，四边形 是 的内接四边形， ，则 的度数为（ ）
A．70° B．90° C．100° D．110°
2．（2020九上·张家港期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
3．（2021九上·杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）
A．33° B．57° C．67° D．66°
4．（2020九上·民勤月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
5．（2020九上·惠城月考）如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·株洲期中）如图， 是 上的三点， 在圆心 的两侧，若 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·湛江期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．25° C．15° D．10°
8．（2020九上·北京期中）如图，在⊙O中，点C是 上一点，若∠AOB＝126°，则∠C的度数为（ ）
A．127° B．117° C．63° D．54°
二、填空题
9．（2020九上·营口期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD= °.
10．（2020九上·民勤月考）如下图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于 °.
11．（2020·鹤岗）如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 °．
12．（2020·兰州）如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB的长是 .
13．（2020·苏州）如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点D，连接 .若 ，则 的度数是 .
三、解答题
14．（2020九上·前郭尔罗斯期中）如图， 是 的直径，弦 与 相交于点 ．求 的度数．
15．（2020九上·梅河口期末）已知， 为⊙ 的直径，过点 的弦 ∥半径 ，若 ．求 的度数．
16．（2019九上·衢州期中）如图， 的一条弦分圆周长为1:4两部分.试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数（画出图形并给出解答）.
17．（2018九上·康巴什期中）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
求∠D的度数.
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，BD＝2，连接CD，求BC的长．
19．如图，在 中，AB是 的直径， 与AC交于点D， ，
求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】 四边形 是 的内接四边形， ，
，
故答案为：C.
【分析】由圆内接四边形的对角互补可求得∠BAD的度数，然后根据圆周角定理可求解.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵点B是弧AC的中点，
∴∠AOB= ∠AOC=70°，由圆周角定理得，
∠D= ∠AOB=35°
故答案为：D.
【分析】连接OB，根据等弧所对的圆心角相等及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=57°.
故答案为：B.
【分析】如图，连接DC，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°，利用三角形内角和定理，可得∠D的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，从而求出结论.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接 ，则 ，根据圆周角定理，得 ，
是等腰直角三角形， ，
故答案为：C.
【分析】连接 ，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=90°，根据勾股定理可得BC的长.
5．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形
∴∠B+∠D=180°
∵∠D=3∠B
∴4∠B=180°
∴∠B=45°
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数即可。
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图，过点A作 的直径，交 于点D．
在 中， ，
．
，
同理可得 ．
．
故答案为：A
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO＋2∠AC，进行作答即可。
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵圆的半径为2，BC=2
∴OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°
∵弧BC=弧BC
∴∠A= ∠BOC= ×60°=30°.
故答案为：A.
【分析】连接OB，OC，利用已知易证△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠O的度数；再利用圆周角定理可求出∠A的度数。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵∠AOB＝126°，
∴∠D＝ ∠AOB＝63°，
∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣63°＝117°，
故答案为：B.
【分析】作圆周角，根据圆周角定理求出∠D的度数，根据圆内接四边形的性质求出∠C即可。
9．【答案】100
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，
∴∠A＝180°-∠BCD =50°，
∴∠BOD＝2∠A =100°.
故答案为：100°.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补推出∠A＝50°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍推出∠BOD＝100°.
10．【答案】30
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题， 为等边三角形，则 ，
是弧 所对的圆心角和圆周角，
，
故答案为： 30 .
【分析】根据 AB=OA=OB可得 为等边三角形，可得，再根据同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半可得结果.
11．【答案】50
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ 是 的外接圆 的直径，
∴点 ， ， ， 在 上，
∵ ，
∴ ，
故答案为：50．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
12．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠C＝55°，
∴∠AOB＝2∠C＝110°，
∴ .
故答案为： .
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOB＝110°，再根据弧长公式 求解.
13．【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴∠OAC=90°
∵ ，
∴∠AOD=50°，
∴∠B= ∠AOD=25°
故答案为：25.
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数.
14．【答案】解：∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠AOD=70°，
∴∠ODB=35°，
∵∠APD=60°，
∴∠ODC=∠AOD-∠APD=10°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=25°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角求出，再根据对顶角求出，最后利用三角形的外角求解即可。
15．【答案】解：∵OA∥DE，
∴∠AOD=∠D=60°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOD=30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答．
16．【答案】解：∵弦AB分圆周长为1：4
∴弧AB=1/5×360°=72°
∴圆心角∠AOB=72°，
圆周角∠ACB=36°或∠ADB=144°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 由于弦AB分圆周长为1:4两部分，结合圆心角定义即可求出AB弦所对的圆心角度数；由于同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，而弦AB所对的弧有优弧和劣弧两种情况，分别求出这两段弧所对的圆周角即可.
17．【答案】连接BD
∵AB⊙O是直径
∴BD⊥AD
又∵CF⊥AD
∴BD∥CF
∴∠BDC=∠C
又∵∠BDC= ∠BOC
∴∠C= ∠BOC
∵AB⊥CD
∴∠C=30°
∴∠ADC＝60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接BD。由AB是直径得BD⊥AD，又CF⊥AD，则BD∥CF，故而∠BDC=∠C。根据圆周角定理可得∠BDC=∠C=∠BOC，又AB⊥CD，根据三角形内角和定理可求得∠C=30°，进而可得∠ADC＝60°。
18．【答案】解：在⊙O中，∵∠A＝45°，
∴∠D＝45°.
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝BD·sin45°＝2× ＝
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD＝90°，在等腰直角三角形BCD中用勾股定理即可求解。
19．【答案】解：在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，
∴∠A=45°．
∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，
∴∠BOD=2∠A=90°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】在△ABC中，先求得∠A，再根据圆周角定理可求得∠
BOD 。
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.4 圆周角和圆心角的关系
一、单选题
1．（2021九上·仙居期末）如图，四边形 是 的内接四边形， ，则 的度数为（ ）
A．70° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】 四边形 是 的内接四边形， ，
，
故答案为：C.
【分析】由圆内接四边形的对角互补可求得∠BAD的度数，然后根据圆周角定理可求解.
2．（2020九上·张家港期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵点B是弧AC的中点，
∴∠AOB= ∠AOC=70°，由圆周角定理得，
∠D= ∠AOB=35°
故答案为：D.
【分析】连接OB，根据等弧所对的圆心角相等及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案.
3．（2021九上·杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）
A．33° B．57° C．67° D．66°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=57°.
故答案为：B.
【分析】如图，连接DC，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCD=90°，利用三角形内角和定理，可得∠D的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，从而求出结论.
4．（2020九上·民勤月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接 ，则 ，根据圆周角定理，得 ，
是等腰直角三角形， ，
故答案为：C.
【分析】连接 ，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=90°，根据勾股定理可得BC的长.
5．（2020九上·惠城月考）如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形
∴∠B+∠D=180°
∵∠D=3∠B
∴4∠B=180°
∴∠B=45°
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数即可。
6．（2020九上·株洲期中）如图， 是 上的三点， 在圆心 的两侧，若 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图，过点A作 的直径，交 于点D．
在 中， ，
．
，
同理可得 ．
．
故答案为：A
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO＋2∠AC，进行作答即可。
7．（2020九上·湛江期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵圆的半径为2，BC=2
∴OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°
∵弧BC=弧BC
∴∠A= ∠BOC= ×60°=30°.
故答案为：A.
【分析】连接OB，OC，利用已知易证△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠O的度数；再利用圆周角定理可求出∠A的度数。
8．（2020九上·北京期中）如图，在⊙O中，点C是 上一点，若∠AOB＝126°，则∠C的度数为（ ）
A．127° B．117° C．63° D．54°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵∠AOB＝126°，
∴∠D＝ ∠AOB＝63°，
∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣63°＝117°，
故答案为：B.
【分析】作圆周角，根据圆周角定理求出∠D的度数，根据圆内接四边形的性质求出∠C即可。
二、填空题
9．（2020九上·营口期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD= °.
【答案】100
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，
∴∠A＝180°-∠BCD =50°，
∴∠BOD＝2∠A =100°.
故答案为：100°.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补推出∠A＝50°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍推出∠BOD＝100°.
10．（2020九上·民勤月考）如下图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于 °.
【答案】30
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题， 为等边三角形，则 ，
是弧 所对的圆心角和圆周角，
，
故答案为： 30 .
【分析】根据 AB=OA=OB可得 为等边三角形，可得，再根据同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半可得结果.
11．（2020·鹤岗）如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 °．
【答案】50
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ 是 的外接圆 的直径，
∴点 ， ， ， 在 上，
∵ ，
∴ ，
故答案为：50．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
12．（2020·兰州）如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB的长是 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠C＝55°，
∴∠AOB＝2∠C＝110°，
∴ .
故答案为： .
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOB＝110°，再根据弧长公式 求解.
13．（2020·苏州）如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点D，连接 .若 ，则 的度数是 .
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴∠OAC=90°
∵ ，
∴∠AOD=50°，
∴∠B= ∠AOD=25°
故答案为：25.
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数.
三、解答题
14．（2020九上·前郭尔罗斯期中）如图， 是 的直径，弦 与 相交于点 ．求 的度数．
【答案】解：∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠AOD=70°，
∴∠ODB=35°，
∵∠APD=60°，
∴∠ODC=∠AOD-∠APD=10°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=25°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角求出，再根据对顶角求出，最后利用三角形的外角求解即可。
15．（2020九上·梅河口期末）已知， 为⊙ 的直径，过点 的弦 ∥半径 ，若 ．求 的度数．
【答案】解：∵OA∥DE，
∴∠AOD=∠D=60°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOD=30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答．
16．（2019九上·衢州期中）如图， 的一条弦分圆周长为1:4两部分.试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数（画出图形并给出解答）.
【答案】解：∵弦AB分圆周长为1：4
∴弧AB=1/5×360°=72°
∴圆心角∠AOB=72°，
圆周角∠ACB=36°或∠ADB=144°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 由于弦AB分圆周长为1:4两部分，结合圆心角定义即可求出AB弦所对的圆心角度数；由于同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，而弦AB所对的弧有优弧和劣弧两种情况，分别求出这两段弧所对的圆周角即可.
17．（2018九上·康巴什期中）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
求∠D的度数.
【答案】连接BD
∵AB⊙O是直径
∴BD⊥AD
又∵CF⊥AD
∴BD∥CF
∴∠BDC=∠C
又∵∠BDC= ∠BOC
∴∠C= ∠BOC
∵AB⊥CD
∴∠C=30°
∴∠ADC＝60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接BD。由AB是直径得BD⊥AD，又CF⊥AD，则BD∥CF，故而∠BDC=∠C。根据圆周角定理可得∠BDC=∠C=∠BOC，又AB⊥CD，根据三角形内角和定理可求得∠C=30°，进而可得∠ADC＝60°。
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，BD＝2，连接CD，求BC的长．
【答案】解：在⊙O中，∵∠A＝45°，
∴∠D＝45°.
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝BD·sin45°＝2× ＝
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD＝90°，在等腰直角三角形BCD中用勾股定理即可求解。
19．如图，在 中，AB是 的直径， 与AC交于点D， ，
求 的度数.
【答案】解：在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，
∴∠A=45°．
∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，
∴∠BOD=2∠A=90°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】在△ABC中，先求得∠A，再根据圆周角定理可求得∠
BOD 。
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