高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 6.4 平面向量的应用（余弦定理）
一、单选题
1．（2021·甘肃模拟）在 中， ， ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2020高二上·新余期末）在 中，若 ， ， ，则边 的长为（ ）
A． B． C． D．4
3．（2020高二上·渭滨期末） 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
4．（2020高二上·拉萨月考）在 中， ，且 的面积为 ，则 的长为（ ）．
A． B．2 C． D．
5．（2020高二上·莆田期中） 的三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 的面积是 ， ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2020高二上·化德期中）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，则C＝（ ）
A．60° B．120° C．30° D．45°或135°
7．（2020高三上·南昌月考）在 中， 的面积为S， ， ，且满足 ，则该三角形的外接圆的半径R为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2020高二上·宁县期中） 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
9．（2021高三上·云南期中） 的三边满足 ，则 的最大内角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
二、多选题
10．（2020高一下·江阴期中）在 中， ， ， ，则角A的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高一下·石家庄期中）在 中，D在线段 上，且 若 ，则（ ）
A． B． 的面积为8
C． 的周长为 D． 为钝角三角形
三、填空题
12．（2020高二上·桂林期末）在 中，三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ， ， ，则 .
13．（2020高三上·景德镇期末）已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边， ，且 ， 为 的重心，则
14．（2020高三上·嘉兴期末）已知△ 中，角 所对的边分别为 ， ， ，且△ 的面积为 ，则 ； .
15．（2020高三上·和平期中）在 中. .则 的面积等于 ．
16．（2020高三上·如东月考）在 中内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，且 ，则 的值为 .
四、解答题
17．（2020高三上·德州期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积 ，求 ．
18．（2021·玉溪模拟）如图，在 中， ， 的角平分线交 于点 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的长．
19．（2020高三上·安徽月考）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
（1）若 的面积S满足 ，求 的值；
（2）若边 上的中线为 ，求 长的最小值.
20．（2020高三上·慈溪期中）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求角 ， .
21．（2020高二上·重庆月考）在 中，角 ， ，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为 且满足 ， .
（1）求角 的大小；
（2）当 时，求 ， 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 ，
故答案为：D
【分析】根据余弦定理及面积公式即可求出答案。
2．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意可知： ，
故 或 ，
其中A=0不成立，则 ，
∵AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2 2AB×AC×cosA=19，
∴ .
故答案为：B.
【分析】 根据辅助角公式求出A的大小，利用余弦定理即可得到结论．
3．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意得， ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】利用余弦定理即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意 ，∴ ，
由余弦定理是 ， ．
故答案为：D．
【分析】首先根据题意解结合三角形的面积公式即可计算出AC的值，再由余弦定理代入数值即可求出BC的值。
5．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为 的面积是 ， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去）
所以
所以 即 ，解得 或 （舍去）
故答案为：C
【分析】首先由面积公式及 ，即可求出 、 ，再根据余弦定理计算可得；
6．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得： ，又C∈（0，π），所以C=60°，
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，从而结合角C的取值范围，从而求出角C的值。
7．【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由 ，
得 ，
利用余弦定理得： ，
即 ，
又 ，
得 ；
由题意，因为 ，
所以 ．
由余弦定理得： .
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角，结合平面向量的数量积可求得，利用正弦定理可得出，再利用余玄定理可求得，进而利用正弦定理可求得R的值。
8．【答案】B
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以三角形是等腰三角形，
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件结合余弦定理9．【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理可得 ，
， ，
因此 的最大内角为 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得 的最大内角为角C，再利用余弦定理可得，进而得出C的值.
10．【答案】A,D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理，得 ，
即 ，解得 或 .
当 时，此时 为等腰三角形， ，所以 ；
当 时， ，此时 为直角三角形，所以 .
故答案为：AD
【分析】由余弦定理得 ，解得 或 ，分别讨论即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ,所以 ,A不符合题意；
设 ,则 ,在 中, ,解得 ,所以 ,
所以 ,B符合题意；
因为 ,所以 ,
在 中, ,解得 ,
所以 ,C符合题意；
因为 为最大边,所以 ,即 为钝角,所以 为钝角三角形,D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由同角的三角函数关系即可判断A；设 ,则 ,在 中,利用余弦定理求得a,即可求得 ,进而求得 ,即可判断B；在 中,利用余弦定理求得AC,进而判断C；由 为最大边,利用余弦定理求得 ,即可判断D.
12．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在 中， ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出角A的余弦值。
13．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得 ，∴ ，
∵ ， ，
将 代入得： ，
所以 ，
设以 为邻边的平行四边形的另一个顶点为 ，则 ，
，
故答案为：
【分析】 由已知利用余弦定理化简已知等式可得cosB的值，根据三角形重心的性质，余弦定理可求AD的值，进而即可求解AG的值。
14．【答案】1；
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，且△ 的面积为 ，所以 ，解得 1，
由余弦定理得 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：1； .
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，进而根据余弦定理可求a的值，可求 的值。
15．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得 ，即 ，解得 （ 舍去），
所以 ．
故答案为： ．
【分析】由余弦定理求得 ，然后由三角形面积得结论，
16．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】根据题意得， ，
由余弦定理可得， ，
，
，
，
可得 .
，
.
故答案为： .
【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程进行求解即可.
17．【答案】（1）解：由已知和余弦定理得 ，
所以 ，由 得 ；
（2）解： ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由余弦定理 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，进而求出bc的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，再结合（1）中求出的bc的值，进而求出角A的正弦值，再利用大边对应大角结合已知条件 ， 从而利用同角三角函数基本关系式，进而求出角A的余弦值，再利用余弦定理求出 ，又因为 ，再解方程组求出b,c的值，再结合余弦定理求出角B的余弦值。
18．【答案】（1）解：∵ 为 的角平分线，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，∴ ．
（2）解：由（1）知 ，而 ，
且 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，∴ ．
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 （1）结合题意通过AD为∠BAC的角平分线，得到sin∠BAD=sin∠CAD．通过三角形的面积的比转化求解即可．
（2）由(1)的结论即可得出在中，，在中，结合cos∠BAD=cos∠CAD，求解出AD=1即可．
19．【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
.
，
，
又 ，
.
（2）解：在 和 中，分别由余弦定理可得 ， ，
，
整理得 ，
，
即 ，当且仅当 时，取等号，
即 长的最小值为 .
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得 ，再根据 ，求出角A，进而求出 的；
（2） 由余弦定理可得 ， ，求得 ，进而求得 长的最小值。
20．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ， ，
解得 ，
因为 ，所以 ；
（Ⅱ）因为 ，所以由余弦定理得 ， ，
得 ①，
又 ，得 ②，
将②代入①得： ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
得 是直角三角形，且角 是直角，
所以 ， .
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 ，解方程可得 ，结合 ，可求A的值；
（2）由余弦定理得，可求 的值，得 ①， 又 ，得 ②， 联立解得 ， ， 可得 ， 再求出B，C的值。
21．【答案】（1）解：由 ，
得： ，
化简得 ，∴ ，
又 ，∴
（2）解：由（1）及余弦定理得： ，
∴ ，与 联立：
，
解之得： 或
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合三角形的面积，通过余弦定理，转化求解 的大小即可.（2）利用余弦定理结合 ，求解即可.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 6.4 平面向量的应用（余弦定理）
一、单选题
1．（2021·甘肃模拟）在 中， ， ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 ，
故答案为：D
【分析】根据余弦定理及面积公式即可求出答案。
2．（2020高二上·新余期末）在 中，若 ， ， ，则边 的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意可知： ，
故 或 ，
其中A=0不成立，则 ，
∵AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2 2AB×AC×cosA=19，
∴ .
故答案为：B.
【分析】 根据辅助角公式求出A的大小，利用余弦定理即可得到结论．
3．（2020高二上·渭滨期末） 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意得， ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】利用余弦定理即可得出答案。
4．（2020高二上·拉萨月考）在 中， ，且 的面积为 ，则 的长为（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意 ，∴ ，
由余弦定理是 ， ．
故答案为：D．
【分析】首先根据题意解结合三角形的面积公式即可计算出AC的值，再由余弦定理代入数值即可求出BC的值。
5．（2020高二上·莆田期中） 的三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 的面积是 ， ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：因为 的面积是 ， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去）
所以
所以 即 ，解得 或 （舍去）
故答案为：C
【分析】首先由面积公式及 ，即可求出 、 ，再根据余弦定理计算可得；
6．（2020高二上·化德期中）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，则C＝（ ）
A．60° B．120° C．30° D．45°或135°
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得： ，又C∈（0，π），所以C=60°，
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，从而结合角C的取值范围，从而求出角C的值。
7．（2020高三上·南昌月考）在 中， 的面积为S， ， ，且满足 ，则该三角形的外接圆的半径R为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由 ，
得 ，
利用余弦定理得： ，
即 ，
又 ，
得 ；
由题意，因为 ，
所以 ．
由余弦定理得： .
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角，结合平面向量的数量积可求得，利用正弦定理可得出，再利用余玄定理可求得，进而利用正弦定理可求得R的值。
8．（2020高二上·宁县期中） 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以三角形是等腰三角形，
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件结合余弦定理9．（2021高三上·云南期中） 的三边满足 ，则 的最大内角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理可得 ，
， ，
因此 的最大内角为 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得 的最大内角为角C，再利用余弦定理可得，进而得出C的值.
二、多选题
10．（2020高一下·江阴期中）在 中， ， ， ，则角A的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理，得 ，
即 ，解得 或 .
当 时，此时 为等腰三角形， ，所以 ；
当 时， ，此时 为直角三角形，所以 .
故答案为：AD
【分析】由余弦定理得 ，解得 或 ，分别讨论即可.
11．（2020高一下·石家庄期中）在 中，D在线段 上，且 若 ，则（ ）
A． B． 的面积为8
C． 的周长为 D． 为钝角三角形
【答案】B,C,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为 ,所以 ,A不符合题意；
设 ,则 ,在 中, ,解得 ,所以 ,
所以 ,B符合题意；
因为 ,所以 ,
在 中, ,解得 ,
所以 ,C符合题意；
因为 为最大边,所以 ,即 为钝角,所以 为钝角三角形,D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由同角的三角函数关系即可判断A；设 ,则 ,在 中,利用余弦定理求得a,即可求得 ,进而求得 ,即可判断B；在 中,利用余弦定理求得AC,进而判断C；由 为最大边,利用余弦定理求得 ,即可判断D.
三、填空题
12．（2020高二上·桂林期末）在 中，三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ， ， ，则 .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在 中， ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出角A的余弦值。
13．（2020高三上·景德镇期末）已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边， ，且 ， 为 的重心，则
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得 ，∴ ，
∵ ， ，
将 代入得： ，
所以 ，
设以 为邻边的平行四边形的另一个顶点为 ，则 ，
，
故答案为：
【分析】 由已知利用余弦定理化简已知等式可得cosB的值，根据三角形重心的性质，余弦定理可求AD的值，进而即可求解AG的值。
14．（2020高三上·嘉兴期末）已知△ 中，角 所对的边分别为 ， ， ，且△ 的面积为 ，则 ； .
【答案】1；
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，且△ 的面积为 ，所以 ，解得 1，
由余弦定理得 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：1； .
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，进而根据余弦定理可求a的值，可求 的值。
15．（2020高三上·和平期中）在 中. .则 的面积等于 ．
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得 ，即 ，解得 （ 舍去），
所以 ．
故答案为： ．
【分析】由余弦定理求得 ，然后由三角形面积得结论，
16．（2020高三上·如东月考）在 中内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，且 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】根据题意得， ，
由余弦定理可得， ，
，
，
，
可得 .
，
.
故答案为： .
【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程进行求解即可.
四、解答题
17．（2020高三上·德州期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积 ，求 ．
【答案】（1）解：由已知和余弦定理得 ，
所以 ，由 得 ；
（2）解： ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由余弦定理 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，进而求出bc的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，再结合（1）中求出的bc的值，进而求出角A的正弦值，再利用大边对应大角结合已知条件 ， 从而利用同角三角函数基本关系式，进而求出角A的余弦值，再利用余弦定理求出 ，又因为 ，再解方程组求出b,c的值，再结合余弦定理求出角B的余弦值。
18．（2021·玉溪模拟）如图，在 中， ， 的角平分线交 于点 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）解：∵ 为 的角平分线，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，∴ ．
（2）解：由（1）知 ，而 ，
且 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，∴ ．
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 （1）结合题意通过AD为∠BAC的角平分线，得到sin∠BAD=sin∠CAD．通过三角形的面积的比转化求解即可．
（2）由(1)的结论即可得出在中，，在中，结合cos∠BAD=cos∠CAD，求解出AD=1即可．
19．（2020高三上·安徽月考）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
（1）若 的面积S满足 ，求 的值；
（2）若边 上的中线为 ，求 长的最小值.
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
.
，
，
又 ，
.
（2）解：在 和 中，分别由余弦定理可得 ， ，
，
整理得 ，
，
即 ，当且仅当 时，取等号，
即 长的最小值为 .
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得 ，再根据 ，求出角A，进而求出 的；
（2） 由余弦定理可得 ， ，求得 ，进而求得 长的最小值。
20．（2020高三上·慈溪期中）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求角 ， .
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ， ，
解得 ，
因为 ，所以 ；
（Ⅱ）因为 ，所以由余弦定理得 ， ，
得 ①，
又 ，得 ②，
将②代入①得： ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
得 是直角三角形，且角 是直角，
所以 ， .
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 ，解方程可得 ，结合 ，可求A的值；
（2）由余弦定理得，可求 的值，得 ①， 又 ，得 ②， 联立解得 ， ， 可得 ， 再求出B，C的值。
21．（2020高二上·重庆月考）在 中，角 ， ，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为 且满足 ， .
（1）求角 的大小；
（2）当 时，求 ， 的值.
【答案】（1）解：由 ，
得： ，
化简得 ，∴ ，
又 ，∴
（2）解：由（1）及余弦定理得： ，
∴ ，与 联立：
，
解之得： 或
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合三角形的面积，通过余弦定理，转化求解 的大小即可.（2）利用余弦定理结合 ，求解即可.
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