初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件 同步训练

初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·青神期中）下列判断中，错误的有（　　）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
2．（2021九上·和平期末）如图，已知 ，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020九上·浦东期中）已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020九上·高州期中）如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（　　）
A． B． C． D．
5．（2020九上·东阿期中）下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B． 且∠B=∠D
C． D． 且∠A=∠D
6．（2020九上·青山期中）如图所示，在 ABCD.BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
7．（2020九上·丹东月考）如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2020九上·包河月考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020九上·新乐期中）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（　　）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
10．（2020九上·成都期中）如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（　　）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ ＝ ；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2020九上·玉屏月考）如图，当∠AED=　 　时，△ADE与△ABC相似.
12．（2020九上·西安月考）如图，已知 ，请添加一个条件，使 ，这个条件可以是　 　.
13．（2021九上·皇姑期末）如图，AB∥CD∥EF，点C，D分别在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的长　 　.
14．（2020九上·射洪期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝　 　时，△CPQ与△CBA相似．
15．（2020九上·青山期中）如图，已知△ABC.D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为　 　时，△ADP和△ABC相似．
16．（2020九上·浦东期中）如图，在△ABC中， 是边AB的中点,过点O的直线l将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线l共有　 　条．
17．（2020九下·镇江月考）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有　 　个．
18．（2020·海口模拟）如图是一个量角器和一个含30°的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半面O于点F，且BC＝OE＝2.若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，则OB的长为　 　.
三、解答题
19．（2020九上·柯桥月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，求证：△ADE∽△ACB.
20．（2020九上·宝鸡期中）如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC～△EDB.
21．（2020九上·临湘期中）已知:如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点
求证:△ADQ∽△QCP
22．（2020九上·天河月考）如图，已知AD AC＝AB AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
23．（2020九上·南山期中）如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且 ．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
24．（2020九上·商河月考）如图，在 中， ， 于点 ，求证： ．
25．（2020九上·浦东月考）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，延长BC至F使CF=CE，联接DF，延长BE交DF于点G。
求证：BG·EG=DG2
26．（2021九上·甘井子期末）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，连结CE.过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F.
（1）求证：△AEF∽△DCE.
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长.
27．（2021九上·建平期末）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E.过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝ BD EC.
（1）求证：△EDF∽△EFC；
（2）如果 ＝ ，求证：AB＝BD.
28．（2020九上·杭州月考）如图， 中， 两点分别在 上，且 为 的角平分线，若 .
（1）求证： .
（2）求 与 的面积比.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ， ，
故A、D、C错误，B正确，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式并结合各选项即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，
即 ＝ ， ＝ ，A、B可判定DE∥AB；
＝ ，即 ＝ ，C可判定DE∥AB；
而由 ＝ 不能判断DE∥AB，故D选项答案符合题意．
故答案为：D．
【分析】作图，结合图像，根据线段之比逐项判断平行即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当 时，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA．
故答案为：C．
【分析】由于∠B=∠B，根据两边对应成比例且夹角相等可证△ABD∽△CBA．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 、 ， ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
、 ，且 ，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
、 ，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
、 且 ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
对于图①，三角形三边为 ，因为 所以图①的三角形与△ABC相似；
对于图②，三角形三边为 ，因为 所以图②的三角形与△ABC相似；
对于图③，三角形三边为 ，因为 所以图③的三角形与△ABC相似；
对于图④，三角形三边为 ，因为 所以图④的三角形与△ABC相似.
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理计算出所有三角形的边长，然后根据三边对应成比例的三角形相似进行逐一判断即可.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵ ，
∴ ， ，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故答案为：A．
【分析】根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似即可判断。
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】有三个①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不符合题意④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
11．【答案】∠ACB或∠ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，
即可证明，△ADE与△ABC相似，
故答案为：∠ACB或∠ABC.
【分析】由题意可知∠A是公共角，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC可求解（答案不唯一）.
12．【答案】∠D=∠B（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠D=∠B，
证明：∵ ，
∠D=∠B，
∴△ADE∽△ABC.
【分析】已知 ，再加夹角应相等即可.
13．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝ ，
故答案为： .
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可以得到解答.
14．【答案】4.8或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝ .
综上所述，当t＝4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
【分析】分两种情况①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
15．【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
【分析】根据相似三角形对应边成比例求AP的长即可。
16．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是直角三角形，
∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；
①当l∥BC时，可得三角形相似；
②当l∥AC时，亦可得三角形相似；
③当l⊥AB时，三角形也相似，
故满足题中的直线l共有3条．
故答案为：3．
【分析】由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而判定是否相似。
17．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
18．【答案】 或4
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，连结OF，
若△OBF∽△ACB，
∴ ，
∴OB＝ ，
∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝OE＝2，
∴AC＝4，AB＝2 .
又∵OF＝OE＝2，
∴OB＝ ＝ ；
若△BOF∽△ACB，
∴ ，
∴OB＝ ，
∴OB＝ ＝4；
综上，OB＝ 或4；
故答案为 或4.
【分析】连接OF，根据切线的性质得出∠OFB=90°， 若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似 ，可知∠OFB与∠ABC是对应角且为90°，据此分两种情况：①若△OBF∽△ACB，②若△BOF∽△ACB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
19．【答案】证明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，
∵ ， ，∴
又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用已知条件求出AD，AE的长，再求出AD与AC，AE与AB的比值，可得到这四条线段对应成比例；然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
20．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°
∵∠AED＝60°，
∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BED＝∠CAE，
∴△AEC～△EDB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】依据△ABC是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据三角形的内角和定理及平角的定义推出∠BED＝∠CAE，即可判定△AEC～△EDB.
21．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，
∴QC=QD= AD，CP= AD，
∴ ，
又∵∠ADQ=∠QCP，
∴△ADQ∽△QCP．
【知识点】正方形的判定；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质和题意可得 QC=QD= AD，CP= AD ，再根据直角相等，可证两个三角形相似。
22．【答案】证明：∵AD AC＝AB AE，
∴ ，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】 由AD AC＝AB AE，可得∠DAE＝∠BAC，可得∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即得∠DAB＝∠EAC，根据两边对应成比例且夹角相等的两个角的两个三角形相似即证结论.
23．【答案】解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴ ， ，
∴ ，
在△ABC和△A'B'C'中
∵ ，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 △ABC∽△A'B'C'，理由：根据三边对应成比例可证△ABD∽△A'B'D'，可得∠B＝∠B'，利用三角形的中线可得， ，利用两边对应成比例且夹角相等即证△ABC∽△A'B'C'．
24．【答案】解；∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴ ，
∴BD：AD=AD：CD，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法证明Rt△ABD∽Rt△ADC，即可得到BD：AD=AD：CD， 再利用比例性质可得．
25．【答案】证明：∵ABCD 为正方形，且CF=CE，
∴在△BCE和△DCF中
∴BC=DC，∠BCE=∠DCF，CE=CF
∴△BCE≌△DCF，∠EBC=∠FDC
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=∠FDC
又∵∠EBC=∠FDC，∴△BGD∽△DGE
∴
∴BG·GE=DG2
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据正方形的性质证明得到△BCE≌△DCF，由全等三角形的性质以及角平分线的性质，证明得到三角形BGD相似于三角形DGE，继而由相似三角形的性质求出答案即可。
26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠F＝90°
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AFE∽△DEC.
（2）解：∵△AFE∽△DEC，
∴ ，
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，
∴ ＝ ，
解得BF＝5.
答：线段BF的长为5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠CED＝∠F，然后根据相似三角形的判定“两角对应相等的两个三角形相似”可求解；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式求解.
27．【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AE⊥BC，
∴BE＝ED＝ DB；
∵EF2＝ BD EC，
∴EF2＝ED EC，即得 ，
又∵∠FED＝∠CEF，
∴△EDF∽△EFC
（2）证明：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
又∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B，
∴∠ADB＝∠FDC，
∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC；
∵△EDF∽△EFC，
∴∠EFD＝∠C，
∴△EDF∽△ADC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，即 ED＝ AD；
又∵ED＝BE＝ BD，
∴BD＝AD，
∴AB＝BD.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一可得 BE＝ED＝DB；结合已知的等式EF2＝BD EC可得比例式，然后根据相似三角形的判定“两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似”可求解；
（2）根据相似三角形的判定“两个角对应成相等的两个三角形相似”可得△EDF∽△ADC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解.
28．【答案】（1）证明： 为 的角平分线，
，
又 ，
.
（2）解：∵过点B作 交 于点H，
，
设 ，则 ，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
即 与 面积之比为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定“有两个角相等的两个三角形相似”可得△AEB∽△ADC；
（2）过点B作BH⊥AD交AD于点H，由题意可得=，然后根据比例的性质和相似三角形的性质可将S△ADE用含x的代数式表示，再根据S△ABC=S△ABE+S△BDE+S△ADC用含x的代数式表示，于是可求解.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·青神期中）下列判断中，错误的有（　　）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
2．（2021九上·和平期末）如图，已知 ，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ， ，
故A、D、C错误，B正确，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式并结合各选项即可判断求解.
3．（2020九上·浦东期中）已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，
即 ＝ ， ＝ ，A、B可判定DE∥AB；
＝ ，即 ＝ ，C可判定DE∥AB；
而由 ＝ 不能判断DE∥AB，故D选项答案符合题意．
故答案为：D．
【分析】作图，结合图像，根据线段之比逐项判断平行即可。
4．（2020九上·高州期中）如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当 时，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA．
故答案为：C．
【分析】由于∠B=∠B，根据两边对应成比例且夹角相等可证△ABD∽△CBA．
5．（2020九上·东阿期中）下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B． 且∠B=∠D
C． D． 且∠A=∠D
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 、 ， ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
、 ，且 ，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
、 ，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
、 且 ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出 ，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
6．（2020九上·青山期中）如图所示，在 ABCD.BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形
7．（2020九上·丹东月考）如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
对于图①，三角形三边为 ，因为 所以图①的三角形与△ABC相似；
对于图②，三角形三边为 ，因为 所以图②的三角形与△ABC相似；
对于图③，三角形三边为 ，因为 所以图③的三角形与△ABC相似；
对于图④，三角形三边为 ，因为 所以图④的三角形与△ABC相似.
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理计算出所有三角形的边长，然后根据三边对应成比例的三角形相似进行逐一判断即可.
8．（2020九上·包河月考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
9．（2020九上·新乐期中）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（　　）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵ ，
∴ ， ，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故答案为：A．
【分析】根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似即可判断。
10．（2020九上·成都期中）如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（　　）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ ＝ ；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】有三个①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不符合题意④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
二、填空题
11．（2020九上·玉屏月考）如图，当∠AED=　 　时，△ADE与△ABC相似.
【答案】∠ACB或∠ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，
即可证明，△ADE与△ABC相似，
故答案为：∠ACB或∠ABC.
【分析】由题意可知∠A是公共角，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC可求解（答案不唯一）.
12．（2020九上·西安月考）如图，已知 ，请添加一个条件，使 ，这个条件可以是　 　.
【答案】∠D=∠B（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠D=∠B，
证明：∵ ，
∠D=∠B，
∴△ADE∽△ABC.
【分析】已知 ，再加夹角应相等即可.
13．（2021九上·皇姑期末）如图，AB∥CD∥EF，点C，D分别在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的长　 　.
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝ ，
故答案为： .
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可以得到解答.
14．（2020九上·射洪期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝　 　时，△CPQ与△CBA相似．
【答案】4.8或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以 ＝ ，
即 ＝ ，
解得t＝ .
综上所述，当t＝4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
【分析】分两种情况①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
15．（2020九上·青山期中）如图，已知△ABC.D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为　 　时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
【分析】根据相似三角形对应边成比例求AP的长即可。
16．（2020九上·浦东期中）如图，在△ABC中， 是边AB的中点,过点O的直线l将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线l共有　 　条．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是直角三角形，
∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；
①当l∥BC时，可得三角形相似；
②当l∥AC时，亦可得三角形相似；
③当l⊥AB时，三角形也相似，
故满足题中的直线l共有3条．
故答案为：3．
【分析】由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而判定是否相似。
17．（2020九下·镇江月考）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有　 　个．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
18．（2020·海口模拟）如图是一个量角器和一个含30°的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半面O于点F，且BC＝OE＝2.若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，则OB的长为　 　.
【答案】 或4
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，连结OF，
若△OBF∽△ACB，
∴ ，
∴OB＝ ，
∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝OE＝2，
∴AC＝4，AB＝2 .
又∵OF＝OE＝2，
∴OB＝ ＝ ；
若△BOF∽△ACB，
∴ ，
∴OB＝ ，
∴OB＝ ＝4；
综上，OB＝ 或4；
故答案为 或4.
【分析】连接OF，根据切线的性质得出∠OFB=90°， 若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似 ，可知∠OFB与∠ABC是对应角且为90°，据此分两种情况：①若△OBF∽△ACB，②若△BOF∽△ACB，利用相似三角形的性质分别解答即可.
三、解答题
19．（2020九上·柯桥月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，求证：△ADE∽△ACB.
【答案】证明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，
∵ ， ，∴
又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用已知条件求出AD，AE的长，再求出AD与AC，AE与AB的比值，可得到这四条线段对应成比例；然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
20．（2020九上·宝鸡期中）如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC～△EDB.
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°
∵∠AED＝60°，
∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BED＝∠CAE，
∴△AEC～△EDB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】依据△ABC是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据三角形的内角和定理及平角的定义推出∠BED＝∠CAE，即可判定△AEC～△EDB.
21．（2020九上·临湘期中）已知:如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点
求证:△ADQ∽△QCP
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，
∴QC=QD= AD，CP= AD，
∴ ，
又∵∠ADQ=∠QCP，
∴△ADQ∽△QCP．
【知识点】正方形的判定；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质和题意可得 QC=QD= AD，CP= AD ，再根据直角相等，可证两个三角形相似。
22．（2020九上·天河月考）如图，已知AD AC＝AB AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
【答案】证明：∵AD AC＝AB AE，
∴ ，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】 由AD AC＝AB AE，可得∠DAE＝∠BAC，可得∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即得∠DAB＝∠EAC，根据两边对应成比例且夹角相等的两个角的两个三角形相似即证结论.
23．（2020九上·南山期中）如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且 ．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
【答案】解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴ ， ，
∴ ，
在△ABC和△A'B'C'中
∵ ，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 △ABC∽△A'B'C'，理由：根据三边对应成比例可证△ABD∽△A'B'D'，可得∠B＝∠B'，利用三角形的中线可得， ，利用两边对应成比例且夹角相等即证△ABC∽△A'B'C'．
24．（2020九上·商河月考）如图，在 中， ， 于点 ，求证： ．
【答案】解；∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴ ，
∴BD：AD=AD：CD，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法证明Rt△ABD∽Rt△ADC，即可得到BD：AD=AD：CD， 再利用比例性质可得．
25．（2020九上·浦东月考）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，延长BC至F使CF=CE，联接DF，延长BE交DF于点G。
求证：BG·EG=DG2
【答案】证明：∵ABCD 为正方形，且CF=CE，
∴在△BCE和△DCF中
∴BC=DC，∠BCE=∠DCF，CE=CF
∴△BCE≌△DCF，∠EBC=∠FDC
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=∠FDC
又∵∠EBC=∠FDC，∴△BGD∽△DGE
∴
∴BG·GE=DG2
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据正方形的性质证明得到△BCE≌△DCF，由全等三角形的性质以及角平分线的性质，证明得到三角形BGD相似于三角形DGE，继而由相似三角形的性质求出答案即可。
26．（2021九上·甘井子期末）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，连结CE.过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F.
（1）求证：△AEF∽△DCE.
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠F＝90°
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AFE∽△DEC.
（2）解：∵△AFE∽△DEC，
∴ ，
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，
∴ ＝ ，
解得BF＝5.
答：线段BF的长为5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠CED＝∠F，然后根据相似三角形的判定“两角对应相等的两个三角形相似”可求解；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式求解.
27．（2021九上·建平期末）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E.过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝ BD EC.
（1）求证：△EDF∽△EFC；
（2）如果 ＝ ，求证：AB＝BD.
【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AE⊥BC，
∴BE＝ED＝ DB；
∵EF2＝ BD EC，
∴EF2＝ED EC，即得 ，
又∵∠FED＝∠CEF，
∴△EDF∽△EFC
（2）证明：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
又∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B，
∴∠ADB＝∠FDC，
∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC；
∵△EDF∽△EFC，
∴∠EFD＝∠C，
∴△EDF∽△ADC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，即 ED＝ AD；
又∵ED＝BE＝ BD，
∴BD＝AD，
∴AB＝BD.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一可得 BE＝ED＝DB；结合已知的等式EF2＝BD EC可得比例式，然后根据相似三角形的判定“两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似”可求解；
（2）根据相似三角形的判定“两个角对应成相等的两个三角形相似”可得△EDF∽△ADC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解.
28．（2020九上·杭州月考）如图， 中， 两点分别在 上，且 为 的角平分线，若 .
（1）求证： .
（2）求 与 的面积比.
【答案】（1）证明： 为 的角平分线，
，
又 ，
.
（2）解：∵过点B作 交 于点H，
，
设 ，则 ，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
即 与 面积之比为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定“有两个角相等的两个三角形相似”可得△AEB∽△ADC；
（2）过点B作BH⊥AD交AD于点H，由题意可得=，然后根据比例的性质和相似三角形的性质可将S△ADE用含x的代数式表示，再根据S△ABC=S△ABE+S△BDE+S△ADC用含x的代数式表示，于是可求解.
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