初中数学苏科版九年级下册7.5 解直角三角形 同步训练

初中数学苏科版九年级下册7.5 解直角三角形 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·崇左期末）关于直角三角形，下列说法正确的是（　　）
A．所有的直角三角形一定相似
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为 ，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
【分析】A、 所有的直角三角形只有一个直角，不能判定相似；
B、直角三角形中最长的边是斜边，所以4也可以是斜边；
C、解直角三角形至少有一条边，所以已知直角三角形两个元素（直角除外），这个直角三角形不一定可解；
D、根据题意结合勾股定理可知：已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，直角三角形的三边之比一定确定.
2．（2021九上·南宁月考）如图，为测量河两岸相对两电线杆 、 间的距离，在距 点 的 处 ，测得 ，则 、 之间的距离应为（　　）
A．16sin52° m B．16cos52° m C．16tan52° m D． m
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：因为 AC=16 米，∠C=52°，在直角△ABC 中 tan52°= ，所以AB=16 tan52°米.
故答案为：C.
【分析】在直角△ABC 中由惢角三角函数的意义可得tan∠ACB=，把已知条件代入整理即可求解.
3．（2020九下·长春月考）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，测得BC＝3米，∠ACB＝50°，则AB的高为（　　）
A．3cos50°米 B．3tan50°米 C． 米 D． 米
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵BC＝3米，∠ACB＝50°，tan∠ACB＝ ，
∴旗杆AB的高度为AB＝BC×tan∠ACB＝3tan50°（米），
故答案为：B．
【分析】由题意可知在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的正切函数进行分析解答．
4．（2019九上·沙坪坝月考）在 中， ， ，若 ，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵cos53°= ,
∴AB=
故答案为：A
【分析】根据余弦函数的定义解答即可.
5．（2020九上·长春月考）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由已知得： ，
，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的定义求解即可。
6．（2020九上·北海期末）有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，则AF的长为（　　）
A．2 B．2 ﹣2 C．4﹣2 D．2 ﹣
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝ ＝2 ，
则EF＝AC＝2 ，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF sinE＝ ，
∴AF＝AC﹣FC＝2 ﹣ ，
故答案为：D.
【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可.
7．（2019九上·自贡月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cosA＝ ，则BC的长为（　　）
A．8 B．12 C．13 D．18
【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】cosA= ＝ ，
∴AB=13，
∴BC= .
故答案为：B.
【分析】根据 cosA＝ ，求出AB的长，再利用勾股定理进行求解即可。
8．（2019·宽城模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（　　）
A．asin26.5° B． C．acos26.5° D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】在 中，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，利用tan∠ABC=，代入相应数据计算即得.
9．（2020九上·西安期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的最小值（　　）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E
∵∠BAC = 90°，∠B = 60°，AB= 2
∴BH=1,AH= ,AA'=2 ，∠C= 30°
∴DE = CD,即2DE = CD
∵A与A'关于BC对称
∴AD= A'D
∴AD+ DE = A'D+ DE
∴当A'，D, E在同一直线上时
AD + DE的最小值等于A' E的长,
在Rt△AA' E中：A' E= sin60°×AA'= ×2 = 3
∴AD十DE的最小值为3
∴2AD十CD的最小值为6
故答案为：B.
【分析】作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，∠BAC = 90°，∠B = 60°，AB= 2可得AA'=2 ，∠C= 30°，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长，A' E=
sin60°×AA'= ×2 = 3，故最小值为结果的2倍即可.
10．（2021九上·台州月考）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC=2 ，则HC的长为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，
∴AC=AF，AD=AC，
∵矩形ABCD
∴∠ADC=90°，BC=AD=
∴∠ACD=∠EAF=∠EAC=30°，
∴AH=CH，
∴DH=AH=CH，
∴CH=2DH
在Rt△ADC中，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质，结合已知条件可知AC=AF，AD=AC，利用矩形的性质可求出AD的长，利用直角三角形的性质可得到∠ACD=∠EAF=∠EAC=30°，从而可证得AH=CH，由此可推出CH=2DH；然后利用解直角三角形求出CD的长，即可求出CH的长。
二、填空题
11．（2020·江夏模拟）在Rt△ABC中，∠
C=90°，sinA= ，AC=24，则AB=　 　.
【答案】26
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵∠C=90°，sinA= ，
∴设BC=5x，则AB=13x，
∴AC= =12x，
∵AC=24，
∴x=2，
∴AB=13x=26.
故答案为：26.
【分析】根据∠C=90°，sinA= ，设BC=5x，则AB=13x，再根据勾股定理求出AC=12x，求出x的值，再代入AB=13x，进行计算即可.
12．（2021九上·新昌期末）在 中， ，则 的面积为　 　.
【答案】30
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵ ，
∴ ，
∴BC＝12，
由勾股定理可得：
∴S△ABC＝
故答案为30.
【分析】在 中，解直角三角形求出BC的长，再由勾股定理求出AC的长，则其面积可求.
13．（2021·徐汇模拟）如图，点 在线段 上， ， ， ，如果 ， ， ，那么 的长是 　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
设 的长是x，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去负值），
故答案为： ．
【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得 ，根据 得 ，求出 ，得出 ，利用 和勾股定理即可得 的长．
14．（2020·湖州模拟）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝ ，则点F的坐标是　 　.
【答案】（8，12）
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG.
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝ ，
∴cos∠FEA＝ ，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10× ＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中， ＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝ ，
∴FG＝9÷ ＝15，
∴由勾股定理得：HG＝ ＝12，
∴F（8，12）.
故答案为：（8，12）.
【分析】过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，可得∠FAE＝90°，根据平行线的性质，可得∠FGO＝∠HFG，利用同角的余角相等可得∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，即得cos∠FGO＝cos∠FEA＝ ，在Rt△AEF中，AE＝EFcos∠FEA＝6，利用勾股定理，可得AF＝8，根据矩形的判定与性质可得AH＝OG=17，从而可得FH=AH-AF=9，在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝ ，从而求出FG=15，利用勾股定理求出GH=12，从而求出F的坐标.
15．如图， △ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120° ，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=　 　
【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ AB=BC ，∠ABC=120°
∴∠C=∠CAB=（180°-120°）÷2=30°
∵
∴∠C=∠D=30°
∵AD是直径
∴∠ABD=90°
∴cos∠D=
∴BD=6×cos30°=
故答案为：
【分析】利用等边对等角及三角形内角和等于180°求出∠C的度数，再利用同弧所对的圆周角相等，求出∠D的度数，然后在Rt△ABD中，利用解直角三角形求出BD的长。
16．（2019九上·嘉兴期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AC=6，现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB'C’，则图中阴影部分面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°
∴AB=AC=×6=3，∠BAC=60°
∵ 将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB'C’
∴∠CAC=30°=∠ACB，
∴∠BAD=60°-30°=30°，AD=DC
∴cos30°=
解之：AD=
∴DC=
∴S△ADC=
S扇形CAC=
∴S阴影部分=S扇形CAC-S△ADC=
故答案为：
【分析】利用直角三角形的性质，求出AB的长及∠BAC的度数，再利用旋转的性质，可求出∠CAC的度数，从而可求出∠BAD的度数及AD=CD，再利用解直角三角形求出AD，然后求出△ADC的面积及扇形CAC的面积，然后根据S阴影部分=S扇形CAC-S△ADC，可求出结果。
17．（2021·杨浦模拟）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形 中， ， ， ， ，那么边 的长为　 　．
【答案】9
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AC，作 交BC于E点，
， ，
，设AE=3x，BE=4x，
，则 ，
解得x=2，则AE=6，BE=8，
又 ， CE=BC-BE=4，
，
作 交AD于F点，
， ，
， = = ，
又 ， 同理可得DF=3，CF=4，
，
AD=AF+DF=9．
故答案为：9．
【分析】连接AC，作 交BC于E点，由 ， ，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作 交AD于F点，可证 ，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．
18．（2020九上·凤县期末）如图，在菱形 中， , ,点P,Q,K分别为线段 ， ， 上的任意一点，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点 ，过点 作 Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E
根据对称性可知：PK= K，
∴此时 = ，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，
∴此时 最小，且最小值为 的长，
∵在菱形 中， ,
∴ ，∠ADE=180°－∠A=60°
在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=
∴
即 的最小值为
故答案为： .
【分析】根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点 ，过点 作 Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时 最小，且最小值为 的长， ，然后利用锐角三角函数求AE即可.
三、解答题
19．（2020九上·海淀期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，tanA ，BC＝6，求AC的长和sinA的值．
【答案】解：∵△ABC中，tanA ，BC＝6，∴ ，∴AC＝8，
∴AB 10，∴sinA
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】利用解直角三角形及三角函数的方法求解即可。
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC= ，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
【答案】解：∵tanB=
设： ，则 ，即
综上： ， ，
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由tanB= 可求出AC=3cm，利用勾股定理求出AB=cm， 设 ，可得BD=3x，利用勾股定理可得，即得，解出x的值即可.
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.
【答案】解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA= ,
∴ = .
∴AB=10.
∴AC= =8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, 可得△BCD是等腰直角三角形，即得BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，利用sinA = = ，可得AB=10，利用勾股定理求出AC=8，由AD=AC-CD即可求出结论.
22．（2020·天台模拟）我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形. 如图，已知△ABC是最稳定三角形， AB=AC，BC=232.8m.求BC边上的高AD的长.
（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
【答案】解：∵
△ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°,且AB=AC
∵
AD BC，
∴BD= BC=116.4m
∴ AD= tan51°=139.68 ≈140m
∴BC边上的高AD的长是140米.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据最稳定三角形的定义得出 ∠B=∠C=51°,根据等角对等边得出AB=AC ，然后根据等腰三角形的三线合一得出BD的长，最后根据正切函数的定义，由 AD= BD× tan51° 即可算出答案.
23．（2020九上·重庆开学考）如图，在 中， 是BC边上的高， ， ， .
（1）求线段 的长度：
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sinB= ，AD=12，
∴AB=15，
∴BD= ，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5
（2）解：由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC= ，
∴cosC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据sinB= 求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD；
（2）先利用勾股定理算出AC的长，再利用三角函数的定义，求出cos∠C的值即可.
24．（2018·高阳模拟）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB= ，
∴BC=AC cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。（2）已知∠ACD度数，AC=5，在Rt△ADC中，只需选择∠ACD的正弦值代入即可求出。
25．（2021九下·苏州开学考）如图， ，以 为直径的 交 于点D，点E为弧 的中点，连结 交 于点F，且 .
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为2， ，求 的长.
【答案】（1）解：AC与⊙O相切，
证明：连接BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∴∠EBD+∠BFE=90°，
∵AF=AC，
∴∠ACE=∠AFC，
∵E为弧BD中点，
∴∠EBD=∠BCE，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∴AC⊥BC，
∵BC为直径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）解：∵⊙O的半为2，
∴BC=4，
在Rt△ABC中， ，
∴AB=5，
∴AC= =3，
∵AF=AC，
∴AF=3，BF=5-3=2，
∵∠EBD=∠BCE，∠E=∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴ ，
∴EC=2EB，
设EB=x，EC=2x，
由勾股定理得：x2+4x2=16，
∴x= （负数舍去），
即CE= .
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接BE，求出∠EBD+∠BFE=90°，推出∠ACE=∠AFC，∠EBD=∠BCE，求出∠ACE+∠BCE=90°，根据切线的判定推出即可.（2）根据BC=4， ，求出AB=5，AC=3，AF=3，BF=2，根据∠EBD=∠BCE，∠E=∠E证△BEF∽△CEB，推出EC=2EB，设EB=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可.
26．阅读理解题：下面利用45°角的正切，求tan22.5°的值，方法如下：
解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=45°，如图．
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D= ∠ABC=22.5°．
设AC=a，则BC=a，AB=BD= a．
又∵CD=BD+CB=（1+ ）atan22.5°=tan∠D= ﹣1
请你仿照此法求tan15°的值．
【答案】解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，
则∠D= ∠ABC=15°，
设AC=a，则由构造的三角形得：
AB=2a，BC= a，BD=2a，
则CD=2a+ a=（2+ ）a，
∴tan15°=tanC= = =2﹣ ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】同样按阅读构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC=a，再用a表示出CD，即可求出tan15°的值．
1 / 1初中数学苏科版九年级下册7.5 解直角三角形 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·崇左期末）关于直角三角形，下列说法正确的是（　　）
A．所有的直角三角形一定相似
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
2．（2021九上·南宁月考）如图，为测量河两岸相对两电线杆 、 间的距离，在距 点 的 处 ，测得 ，则 、 之间的距离应为（　　）
A．16sin52° m B．16cos52° m C．16tan52° m D． m
3．（2020九下·长春月考）如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，测得BC＝3米，∠ACB＝50°，则AB的高为（　　）
A．3cos50°米 B．3tan50°米 C． 米 D． 米
4．（2019九上·沙坪坝月考）在 中， ， ，若 ，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020九上·长春月考）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020九上·北海期末）有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，则AF的长为（　　）
A．2 B．2 ﹣2 C．4﹣2 D．2 ﹣
7．（2019九上·自贡月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cosA＝ ，则BC的长为（　　）
A．8 B．12 C．13 D．18
8．（2019·宽城模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（　　）
A．asin26.5° B． C．acos26.5° D．
9．（2020九上·西安期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的最小值（　　）
A． B．6 C． D．4
10．（2021九上·台州月考）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC=2 ，则HC的长为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．6
二、填空题
11．（2020·江夏模拟）在Rt△ABC中，∠
C=90°，sinA= ，AC=24，则AB=　 　.
12．（2021九上·新昌期末）在 中， ，则 的面积为　 　.
13．（2021·徐汇模拟）如图，点 在线段 上， ， ， ，如果 ， ， ，那么 的长是 　 　 ．
14．（2020·湖州模拟）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝ ，则点F的坐标是　 　.
15．如图， △ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120° ，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=　 　
16．（2019九上·嘉兴期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AC=6，现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB'C’，则图中阴影部分面积为　 　．
17．（2021·杨浦模拟）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形 中， ， ， ， ，那么边 的长为　 　．
18．（2020九上·凤县期末）如图，在菱形 中， , ,点P,Q,K分别为线段 ， ， 上的任意一点，则 的最小值为　 　.
三、解答题
19．（2020九上·海淀期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，tanA ，BC＝6，求AC的长和sinA的值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC= ，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.
22．（2020·天台模拟）我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形. 如图，已知△ABC是最稳定三角形， AB=AC，BC=232.8m.求BC边上的高AD的长.
（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
23．（2020九上·重庆开学考）如图，在 中， 是BC边上的高， ， ， .
（1）求线段 的长度：
（2）求 的值.
24．（2018·高阳模拟）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
25．（2021九下·苏州开学考）如图， ，以 为直径的 交 于点D，点E为弧 的中点，连结 交 于点F，且 .
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为2， ，求 的长.
26．阅读理解题：下面利用45°角的正切，求tan22.5°的值，方法如下：
解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=45°，如图．
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D= ∠ABC=22.5°．
设AC=a，则BC=a，AB=BD= a．
又∵CD=BD+CB=（1+ ）atan22.5°=tan∠D= ﹣1
请你仿照此法求tan15°的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为 ，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
【分析】A、 所有的直角三角形只有一个直角，不能判定相似；
B、直角三角形中最长的边是斜边，所以4也可以是斜边；
C、解直角三角形至少有一条边，所以已知直角三角形两个元素（直角除外），这个直角三角形不一定可解；
D、根据题意结合勾股定理可知：已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，直角三角形的三边之比一定确定.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：因为 AC=16 米，∠C=52°，在直角△ABC 中 tan52°= ，所以AB=16 tan52°米.
故答案为：C.
【分析】在直角△ABC 中由惢角三角函数的意义可得tan∠ACB=，把已知条件代入整理即可求解.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵BC＝3米，∠ACB＝50°，tan∠ACB＝ ，
∴旗杆AB的高度为AB＝BC×tan∠ACB＝3tan50°（米），
故答案为：B．
【分析】由题意可知在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的正切函数进行分析解答．
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵cos53°= ,
∴AB=
故答案为：A
【分析】根据余弦函数的定义解答即可.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由已知得： ，
，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的定义求解即可。
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝ ＝2 ，
则EF＝AC＝2 ，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF sinE＝ ，
∴AF＝AC﹣FC＝2 ﹣ ，
故答案为：D.
【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】cosA= ＝ ，
∴AB=13，
∴BC= .
故答案为：B.
【分析】根据 cosA＝ ，求出AB的长，再利用勾股定理进行求解即可。
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】在 中，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，利用tan∠ABC=，代入相应数据计算即得.
9．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E
∵∠BAC = 90°，∠B = 60°，AB= 2
∴BH=1,AH= ,AA'=2 ，∠C= 30°
∴DE = CD,即2DE = CD
∵A与A'关于BC对称
∴AD= A'D
∴AD+ DE = A'D+ DE
∴当A'，D, E在同一直线上时
AD + DE的最小值等于A' E的长,
在Rt△AA' E中：A' E= sin60°×AA'= ×2 = 3
∴AD十DE的最小值为3
∴2AD十CD的最小值为6
故答案为：B.
【分析】作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，∠BAC = 90°，∠B = 60°，AB= 2可得AA'=2 ，∠C= 30°，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长，A' E=
sin60°×AA'= ×2 = 3，故最小值为结果的2倍即可.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，
∴AC=AF，AD=AC，
∵矩形ABCD
∴∠ADC=90°，BC=AD=
∴∠ACD=∠EAF=∠EAC=30°，
∴AH=CH，
∴DH=AH=CH，
∴CH=2DH
在Rt△ADC中，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质，结合已知条件可知AC=AF，AD=AC，利用矩形的性质可求出AD的长，利用直角三角形的性质可得到∠ACD=∠EAF=∠EAC=30°，从而可证得AH=CH，由此可推出CH=2DH；然后利用解直角三角形求出CD的长，即可求出CH的长。
11．【答案】26
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵∠C=90°，sinA= ，
∴设BC=5x，则AB=13x，
∴AC= =12x，
∵AC=24，
∴x=2，
∴AB=13x=26.
故答案为：26.
【分析】根据∠C=90°，sinA= ，设BC=5x，则AB=13x，再根据勾股定理求出AC=12x，求出x的值，再代入AB=13x，进行计算即可.
12．【答案】30
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵ ，
∴ ，
∴BC＝12，
由勾股定理可得：
∴S△ABC＝
故答案为30.
【分析】在 中，解直角三角形求出BC的长，再由勾股定理求出AC的长，则其面积可求.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
设 的长是x，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去负值），
故答案为： ．
【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得 ，根据 得 ，求出 ，得出 ，利用 和勾股定理即可得 的长．
14．【答案】（8，12）
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG.
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝ ，
∴cos∠FEA＝ ，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10× ＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中， ＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝ ，
∴FG＝9÷ ＝15，
∴由勾股定理得：HG＝ ＝12，
∴F（8，12）.
故答案为：（8，12）.
【分析】过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，可得∠FAE＝90°，根据平行线的性质，可得∠FGO＝∠HFG，利用同角的余角相等可得∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，即得cos∠FGO＝cos∠FEA＝ ，在Rt△AEF中，AE＝EFcos∠FEA＝6，利用勾股定理，可得AF＝8，根据矩形的判定与性质可得AH＝OG=17，从而可得FH=AH-AF=9，在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝ ，从而求出FG=15，利用勾股定理求出GH=12，从而求出F的坐标.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ AB=BC ，∠ABC=120°
∴∠C=∠CAB=（180°-120°）÷2=30°
∵
∴∠C=∠D=30°
∵AD是直径
∴∠ABD=90°
∴cos∠D=
∴BD=6×cos30°=
故答案为：
【分析】利用等边对等角及三角形内角和等于180°求出∠C的度数，再利用同弧所对的圆周角相等，求出∠D的度数，然后在Rt△ABD中，利用解直角三角形求出BD的长。
16．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°
∴AB=AC=×6=3，∠BAC=60°
∵ 将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB'C’
∴∠CAC=30°=∠ACB，
∴∠BAD=60°-30°=30°，AD=DC
∴cos30°=
解之：AD=
∴DC=
∴S△ADC=
S扇形CAC=
∴S阴影部分=S扇形CAC-S△ADC=
故答案为：
【分析】利用直角三角形的性质，求出AB的长及∠BAC的度数，再利用旋转的性质，可求出∠CAC的度数，从而可求出∠BAD的度数及AD=CD，再利用解直角三角形求出AD，然后求出△ADC的面积及扇形CAC的面积，然后根据S阴影部分=S扇形CAC-S△ADC，可求出结果。
17．【答案】9
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AC，作 交BC于E点，
， ，
，设AE=3x，BE=4x，
，则 ，
解得x=2，则AE=6，BE=8，
又 ， CE=BC-BE=4，
，
作 交AD于F点，
， ，
， = = ，
又 ， 同理可得DF=3，CF=4，
，
AD=AF+DF=9．
故答案为：9．
【分析】连接AC，作 交BC于E点，由 ， ，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作 交AD于F点，可证 ，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．
18．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点 ，过点 作 Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E
根据对称性可知：PK= K，
∴此时 = ，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，
∴此时 最小，且最小值为 的长，
∵在菱形 中， ,
∴ ，∠ADE=180°－∠A=60°
在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=
∴
即 的最小值为
故答案为： .
【分析】根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点 ，过点 作 Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时 最小，且最小值为 的长， ，然后利用锐角三角函数求AE即可.
19．【答案】解：∵△ABC中，tanA ，BC＝6，∴ ，∴AC＝8，
∴AB 10，∴sinA
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】利用解直角三角形及三角函数的方法求解即可。
20．【答案】解：∵tanB=
设： ，则 ，即
综上： ， ，
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由tanB= 可求出AC=3cm，利用勾股定理求出AB=cm， 设 ，可得BD=3x，利用勾股定理可得，即得，解出x的值即可.
21．【答案】解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA= ,
∴ = .
∴AB=10.
∴AC= =8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°, 可得△BCD是等腰直角三角形，即得BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，利用sinA = = ，可得AB=10，利用勾股定理求出AC=8，由AD=AC-CD即可求出结论.
22．【答案】解：∵
△ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°,且AB=AC
∵
AD BC，
∴BD= BC=116.4m
∴ AD= tan51°=139.68 ≈140m
∴BC边上的高AD的长是140米.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据最稳定三角形的定义得出 ∠B=∠C=51°,根据等角对等边得出AB=AC ，然后根据等腰三角形的三线合一得出BD的长，最后根据正切函数的定义，由 AD= BD× tan51° 即可算出答案.
23．【答案】（1）解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sinB= ，AD=12，
∴AB=15，
∴BD= ，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5
（2）解：由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC= ，
∴cosC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据sinB= 求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD；
（2）先利用勾股定理算出AC的长，再利用三角函数的定义，求出cos∠C的值即可.
24．【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB= ，
∴BC=AC cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。（2）已知∠ACD度数，AC=5，在Rt△ADC中，只需选择∠ACD的正弦值代入即可求出。
25．【答案】（1）解：AC与⊙O相切，
证明：连接BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∴∠EBD+∠BFE=90°，
∵AF=AC，
∴∠ACE=∠AFC，
∵E为弧BD中点，
∴∠EBD=∠BCE，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∴AC⊥BC，
∵BC为直径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）解：∵⊙O的半为2，
∴BC=4，
在Rt△ABC中， ，
∴AB=5，
∴AC= =3，
∵AF=AC，
∴AF=3，BF=5-3=2，
∵∠EBD=∠BCE，∠E=∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴ ，
∴EC=2EB，
设EB=x，EC=2x，
由勾股定理得：x2+4x2=16，
∴x= （负数舍去），
即CE= .
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接BE，求出∠EBD+∠BFE=90°，推出∠ACE=∠AFC，∠EBD=∠BCE，求出∠ACE+∠BCE=90°，根据切线的判定推出即可.（2）根据BC=4， ，求出AB=5，AC=3，AF=3，BF=2，根据∠EBD=∠BCE，∠E=∠E证△BEF∽△CEB，推出EC=2EB，设EB=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可.
26．【答案】解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，
则∠D= ∠ABC=15°，
设AC=a，则由构造的三角形得：
AB=2a，BC= a，BD=2a，
则CD=2a+ a=（2+ ）a，
∴tan15°=tanC= = =2﹣ ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】同样按阅读构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC=a，再用a表示出CD，即可求出tan15°的值．
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