初中数学北师大版七年级下学期期末考试复习专题：06 三角形的全等
一、单选题
1．（2021八上·抚顺期末）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·普陀模拟）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′
C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°
3．（2021八下·河南开学考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等 D．斜边和一直角边对应相等
4．（2021八上·崇川期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知 ， ，添加下列条件还不能判定的 是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·崇川期末）如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.若小正方形边长为 ，大正方形边长为 ，则一个直角三角形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·巴南期末）如图， ， ， ， ， ，CE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021八上·哈巴河期末）如图，已知 ≌ ，若 ， ，则 的长为（ ）.
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
8．（2021七下·平顶山期中）如图，点 ， ， 在同一条直线上， ，请你只添加一个条件，使得 ．你添加的条件是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
9．（2020·呼和浩特模拟）在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和AB的中点，DE和FC交于点M，连接AM．若BC=5，则AM的长度为 ．
10．（2021八上·建邺期末）如图，点 、 、 、 在一条直线上，若 ， ， ，则 的长为 .
三、解答题
11．（2021八上·东阳期末）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2.
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明.
题设： ；结论： .（均填写序号）
证明：
12．（2021八上·正阳期末）如图，AC，BD相交于点O，且 ， 求证： .
四、综合题
13．（2021八上·绵阳期末）如图，在多边形 中， ， 于点 ，且 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
14．（2020八上·德州期末）已知，如图，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2=60°。
（1）求证：△ADE≌△ABC
（2）求证：AE=CE
15．（2020八上·亳州月考）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形，如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O．
（1）求证：①△ABC≌△ADC；②OB＝OD，AC⊥BD；
（2）如果AC＝6，BD＝4，求筝形ABCD的面积．
16．（2020八上·慈溪期中）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.
（1）求证： ≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】A.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
故答案为：B
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．
B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．
C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．
D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．
故答案为：C．
【分析】三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），据此逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，符合AAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
B、两条直角边对应相等，符合SAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
C、两个锐角对应相等，全等三角形的判定必须有边的参与，故此选项符合题意；
D、斜边和一条直角边对应相等，符合HL的全等判定条件，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判断方法，对各选项逐一判断.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理进行解答即可.
5．【答案】C
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：由题意得：15×15-3×3=216，
216÷4=54，
故答案为：C.
【分析】根据割补法可知：4个直角三角形的面积和=大正方形的面积-小正方形的面积，据此求解即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴BE=AC=4，BC=DE=3，
∴CE=BE-BC=4-3=1.
故答案为：A.
【分析】直接利用全等三角形对应边相等可得BE和BC，再利用线段的和差即可求得CE.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的对应边相等得出OD=13，OA=7，进而根据线段的和差，由AD=OD-OA即可得到结论.
8．【答案】DA=BC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：DA=BC
∵∠DBE=∠A=∠C=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠D=∠CBE，
在△DAB和△BCE中
∴△DAB≌△BCE（AAS）
故答案为：DA=BC.
【分析】利用余角的性质可证得∠D=∠CBE，有两组对应角相等，由此只需添加三组对应边中的任意一组对应边相等，都可得到△DAB≌△BCE.
9．【答案】5
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：分别延长CF和DA，相交于G点，
∵正方形ABCD中，点E，F分别为BC和AB的中点，
∴FB=EC，∠FBC=∠ECD=90°，BC=CD，
∴△FBC≌△ECD(SAS).
∴∠BFC=∠CED.
∵∠BFC+∠BCF=90°，
∴∠CED+∠BCF=90°，
∴∠EMC=90°，
∴ED⊥CF.
∵∠GAF=∠CBF，AF=BF，∠AFG=∠BFC，
∴△AFG≌△BFC(ASA)，
∴AG=BC=AD，
∴点A为GD的中点.
∴在Rt△GMD中，AM=AD=BC=5.
【分析】先证明△FBC≌△ECD，再证明△AFG≌△BFC，最后计算求解即可。
10．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：
，
故答案为：6.
【分析】由全等三角形的对应边相等可得BD=CE，然后根据线段的构成可求解.
11．【答案】①②③；④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：情况一：题设①②③，结论④；
∵BF=EC，
∴ ，
即 ，
在△ABC和△DEF中，
，
∴ ，
∴ ；
情况二：题设①③④，结论③；
在△ABC和△DEF中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
情况三：题设②③④，结论①；
∵ ，
∴ ，
即 ，
在△ABC和△DEF中，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为：①②③；④.
【分析】以①②③为题设，④为结论，证△ABC≌△DEF即可求解.
12．【答案】证明：连接BC.
在 和 中，
，
≌ ，
，
在 和 中，
≌ .
.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】连接BC，先证明 ≌ ，然后证明 ≌ ，即可证得.
13．【答案】（1）证明： ， ，
.
在 和 中，
.
（2） ，
.
，
，
即 .
在 和 中，
.
， ，
.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由题意用角边角可证△ABF≌△DBC，由全等三角形的对应边相等可求解；
（2）由已知易证∠ABE=∠DBE，用边角边可证△ABE≌△DBE，由全等三角形的对应边相等、面积相等可得DE=AE，S△ABE=S△DBE，再根据三角形的面积=AE×FB可求解.
14．【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
（2）证明：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∵∠2＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据题意，由全等三角形的判定定理，证明得到答案即可；
（2）根据全等三角形的性质，即可得到∠2=60°，即可得到△ACE为等边三角形，得到AE=CE即可。
15．【答案】（1）证明：①在△ABC和△ADC中，
AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）.
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAO=∠DAO.
∵AB=AD，∠BAO=∠DAO，OA=OA，
∴△ABO≌△ADO（SAS）.
∴OB=OD，AC⊥BD.
（2）解：筝形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积= ×AC×BO+ ×AC×DO= ×AC×(BO+DO)= ×AC×BD= ×6×4=12.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）分别利用“SSS”和“SAS”证明 △ABC≌△ADC和△ABO≌△ADO，得到对应边相等即可；（2）利用割补法求解即可。
16．【答案】（1）证明：在等边三的形ABC中
AB=AC
∠BAE=∠ACD=60°
在△ABE与△CAD中
（2）解：∵△ABE △CAD
∴∠ABE=∠DAC
∠BFD=∠ABE+∠BAD
=∠DAC+∠BAD
=∠BAC
=60°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，再由全等三角形判定SAS即可得证.
（2）根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等得 ∠ABE=∠DAC，由三角形外角性质结合等量代换即可求得答案.
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期期末考试复习专题：06 三角形的全等
一、单选题
1．（2021八上·抚顺期末）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】A.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
故答案为：B
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此逐一判断即可.
2．（2021·普陀模拟）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′
C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．
B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．
C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．
D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．
故答案为：C．
【分析】三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），据此逐一判断即可.
3．（2021八下·河南开学考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等 D．斜边和一直角边对应相等
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、一个锐角和斜边对应相等，符合AAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
B、两条直角边对应相等，符合SAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
C、两个锐角对应相等，全等三角形的判定必须有边的参与，故此选项符合题意；
D、斜边和一条直角边对应相等，符合HL的全等判定条件，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判断方法，对各选项逐一判断.
4．（2021八上·崇川期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知 ， ，添加下列条件还不能判定的 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理进行解答即可.
5．（2021八上·崇川期末）如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.若小正方形边长为 ，大正方形边长为 ，则一个直角三角形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：由题意得：15×15-3×3=216，
216÷4=54，
故答案为：C.
【分析】根据割补法可知：4个直角三角形的面积和=大正方形的面积-小正方形的面积，据此求解即可.
6．（2021八上·巴南期末）如图， ， ， ， ， ，CE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴BE=AC=4，BC=DE=3，
∴CE=BE-BC=4-3=1.
故答案为：A.
【分析】直接利用全等三角形对应边相等可得BE和BC，再利用线段的和差即可求得CE.
7．（2021八上·哈巴河期末）如图，已知 ≌ ，若 ， ，则 的长为（ ）.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的对应边相等得出OD=13，OA=7，进而根据线段的和差，由AD=OD-OA即可得到结论.
二、填空题
8．（2021七下·平顶山期中）如图，点 ， ， 在同一条直线上， ，请你只添加一个条件，使得 ．你添加的条件是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【答案】DA=BC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：DA=BC
∵∠DBE=∠A=∠C=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠D=∠CBE，
在△DAB和△BCE中
∴△DAB≌△BCE（AAS）
故答案为：DA=BC.
【分析】利用余角的性质可证得∠D=∠CBE，有两组对应角相等，由此只需添加三组对应边中的任意一组对应边相等，都可得到△DAB≌△BCE.
9．（2020·呼和浩特模拟）在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和AB的中点，DE和FC交于点M，连接AM．若BC=5，则AM的长度为 ．
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：分别延长CF和DA，相交于G点，
∵正方形ABCD中，点E，F分别为BC和AB的中点，
∴FB=EC，∠FBC=∠ECD=90°，BC=CD，
∴△FBC≌△ECD(SAS).
∴∠BFC=∠CED.
∵∠BFC+∠BCF=90°，
∴∠CED+∠BCF=90°，
∴∠EMC=90°，
∴ED⊥CF.
∵∠GAF=∠CBF，AF=BF，∠AFG=∠BFC，
∴△AFG≌△BFC(ASA)，
∴AG=BC=AD，
∴点A为GD的中点.
∴在Rt△GMD中，AM=AD=BC=5.
【分析】先证明△FBC≌△ECD，再证明△AFG≌△BFC，最后计算求解即可。
10．（2021八上·建邺期末）如图，点 、 、 、 在一条直线上，若 ， ， ，则 的长为 .
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：
，
故答案为：6.
【分析】由全等三角形的对应边相等可得BD=CE，然后根据线段的构成可求解.
三、解答题
11．（2021八上·东阳期末）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2.
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明.
题设： ；结论： .（均填写序号）
证明：
【答案】①②③；④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：情况一：题设①②③，结论④；
∵BF=EC，
∴ ，
即 ，
在△ABC和△DEF中，
，
∴ ，
∴ ；
情况二：题设①③④，结论③；
在△ABC和△DEF中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
情况三：题设②③④，结论①；
∵ ，
∴ ，
即 ，
在△ABC和△DEF中，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为：①②③；④.
【分析】以①②③为题设，④为结论，证△ABC≌△DEF即可求解.
12．（2021八上·正阳期末）如图，AC，BD相交于点O，且 ， 求证： .
【答案】证明：连接BC.
在 和 中，
，
≌ ，
，
在 和 中，
≌ .
.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】连接BC，先证明 ≌ ，然后证明 ≌ ，即可证得.
四、综合题
13．（2021八上·绵阳期末）如图，在多边形 中， ， 于点 ，且 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）证明： ， ，
.
在 和 中，
.
（2） ，
.
，
，
即 .
在 和 中，
.
， ，
.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由题意用角边角可证△ABF≌△DBC，由全等三角形的对应边相等可求解；
（2）由已知易证∠ABE=∠DBE，用边角边可证△ABE≌△DBE，由全等三角形的对应边相等、面积相等可得DE=AE，S△ABE=S△DBE，再根据三角形的面积=AE×FB可求解.
14．（2020八上·德州期末）已知，如图，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2=60°。
（1）求证：△ADE≌△ABC
（2）求证：AE=CE
【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
（2）证明：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∵∠2＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据题意，由全等三角形的判定定理，证明得到答案即可；
（2）根据全等三角形的性质，即可得到∠2=60°，即可得到△ACE为等边三角形，得到AE=CE即可。
15．（2020八上·亳州月考）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形，如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O．
（1）求证：①△ABC≌△ADC；②OB＝OD，AC⊥BD；
（2）如果AC＝6，BD＝4，求筝形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：①在△ABC和△ADC中，
AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）.
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAO=∠DAO.
∵AB=AD，∠BAO=∠DAO，OA=OA，
∴△ABO≌△ADO（SAS）.
∴OB=OD，AC⊥BD.
（2）解：筝形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积= ×AC×BO+ ×AC×DO= ×AC×(BO+DO)= ×AC×BD= ×6×4=12.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）分别利用“SSS”和“SAS”证明 △ABC≌△ADC和△ABO≌△ADO，得到对应边相等即可；（2）利用割补法求解即可。
16．（2020八上·慈溪期中）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.
（1）求证： ≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数.
【答案】（1）证明：在等边三的形ABC中
AB=AC
∠BAE=∠ACD=60°
在△ABE与△CAD中
（2）解：∵△ABE △CAD
∴∠ABE=∠DAC
∠BFD=∠ABE+∠BAD
=∠DAC+∠BAD
=∠BAC
=60°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，再由全等三角形判定SAS即可得证.
（2）根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等得 ∠ABE=∠DAC，由三角形外角性质结合等量代换即可求得答案.
1 / 1
