人教A版2019必修2 8.5 立体几何之直线与平面，平面与平面平行

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人教A版2019必修2 8.5 立体几何之直线与平面，平面与平面平行
一、单选题
1．（2020高二上·温州期末）已知两条相交直线 ， 和三个不同的平面 ， ， ，则下列条件成立推不出 的是（　　）
A．若 ，
B．若 ，
C．若 ，
D．若 ， ， ，
2．（2020高一上·黄陵期末）如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（　　）
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．直线 与 相交
C．A，B，C，D四点中不存在三点共线
D．直线 与 平行
3．（2021·云南模拟）如图，在正方体 中， 为棱 的中点， 为底面 内一点，则“ 为棱 的中点”是“ 平面 ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020高一上·咸阳期末）已知平面 平面 ， ， ，则下列结论一定正确的是（　　）
A． ， 是平行直线 B． ， 是异面直线
C． ， 是共面直线 D． ， 是不相交直线
5．如图所示，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 的中点，则直线 ， 的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直
6．（2020高二上·舟山期末）三棱锥 的各棱长都相等， 分别是 的中点，下列四个结论中不成立的是（　　）
A． 平面 B． 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
7．（2020高二上·柯桥期末）已知E，F是四面体的棱 ， 的中点，过 的平面与棱 ， 分别相交于G，H，则（　　）
A． 平分 ， B． 平分 ，
C． 平分 ， D． 平分 ，
8．（2020高一上·黄陵期末）分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行
二、多选题
9．（2020高三上·镇江期中）设 ， 为两个平面，则下列条件中是“ ”成立的必要不充分条件有（　　）
A． 内有无数条直线与平行
B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 垂直于同一平面
D． ， 平行于同一平面
10．（2021·八省联考）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高三上·兴宁期末）如图，在四面体 中，截面 是正方形，则在下列命题中，正确的为（　　）
A．
B． 截面
C．
D．异面直线 与 所成的角为
12．如图，空间四边形 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，下列结论正确的是（　　）
A． B． 平面
C． 平面 D． ， 是一对相交直线
三、填空题
13．（2021·大庆模拟）如图，已知正方体 ，点 分别是 的中点， 与平面 　 　（填“平行”或“不平行”）；在正方体的12条面对角线中，与平面 平行的面对角线有　 　条．
14．（2020高一上·韩城期末）已知 是空间两个不同的平面， 是空间两条不同的直线，给出的下列说法：
①若 ，且 ，则 ；
②若 ，且 ，则 ；
③若 ，且 ，则 ；
④若 ，且 ，则 .
其中正确的说法为　 　(填序号)
15．（2020高三上·永州月考）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形， 面 ，点 、 分别是 的中点， 为 上一点，且 ， 为正方形 内一点，若 //面 ，则 的最小值为　 　.
16．（2020高二上·重庆月考）如图所示，平面 平面 ， ， ， ，则 　 　．
四、解答题
17．（2021·枣庄模拟）如图，正方体 的棱长为1，点 在棱 上，过 ， ， 三点的正方体的截面 与直线 交于点 .
（1）找到点 的位置，作出截面 （保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知 ，求 将正方体分割所成的上半部分的体积 与下半部分的体积 之比.
18．（2021高二下·泸县月考）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ， 分别为 ， 的中点，平面 平面 ，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
19．（2020高三上·长春开学考）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 、 分别是 、 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
20．（2020高一下·吉林期末）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长AB=1.
（Ⅰ）求异面直线A1B与 B1C所成角的大小；
（Ⅱ）求证：平面A1BD∥平面B1CD1．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】A，若 ， ，则 成立；
B，若 ， ，则 成立；
C，若 ， ，则 与 可能平行也可能相交，C不能推出；
D，若 ， ， ， ，则 成立.
故答案为：C.
【分析】根据线面平行、垂直、面面平行的性质及判定定理一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】因为空间四点A，B，C，D不共面，所以这四个点的位置如三棱锥的顶点和底面三角形的顶点，所以只有C选项正确，
若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，A不符合题意；
若直线 与 相交，则空间四点A，B，C，D共面，B不正确；
若直线 与 平行，则空间四点A，B，C，D共面，D不正确，
故答案为：C.
【分析】根据平面公理及推理判断选项A,B,D是错误的，得出正确答案。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：取 的中点 ， 为棱 的中点， ， 面 ， 面 ，所以 面
又 ，同理可证 面 ，又 ， 面 ，所以平面 平面 ，所以 在线段 上时均能使 平面
所以“ 为棱 的中点”是“ 平面 ”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】由题意结合正方体的几何性质以及中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论，然后由充分必要条件的定义即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】因为平面 平面 ， ， ，
所以m，n无公共点，
所以 ， 是不相交直线,
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合两直线的位置关系判断方法，进而判断出两直线的位置关系，从而找出结论一定正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；向量语言表述线线的垂直、平行关系
【解析】【解答】建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，
则 ， ， ， ，
∴ ， .
∵ ，
∴直线 ， 的位置关系是异面垂直.
故答案为：C
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，再结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两直线垂直的等价关系，结合数量积的坐标表示，进而结合异面直线的判断方法，从而判断出直线 ， 的位置关系。
6．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A中，因为 分别是 的中点，可得 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以A符合题意；
对于B中，因为 ，所以 ，
同理可得 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又由 ，所以 平面 ，所以B符合题意；
对于D中，由 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ，所以D符合题意；
综上可得A、B、D都正确，所以C不正确.
故答案为：C.
【分析】A. 根据直线与平面平行基本定理判断；B根据直线与平面垂直基本定理判断；C用反证法判断；D根据平面与平面基本定理判断。
7．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】过 的平面为平面 时， 在 点， 在 点，
所以 ， 平分 ，
即 ，所以舍去ABD，选C
故答案为：C
【分析】由特殊位置分析法代入验证即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图，
直线 与异面直线 分别相交于点 ，直线 与异面直线 分别相交于点 ，那么 四点不可能共面，否则与 异面矛盾，故直线 与 异面；②若两条直线与两条异面直线的交点有3个，如图，则两条直线相交.
故答案为：C
【分析】画出图像，根据图像可知，这两条直线于已知的异面直线有四个交点，也有可能只有三个交点，可得出答案。
9．【答案】A,C
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】对于A： 可以推出 内有无数条直线与平行，但 内有无数条直线与平行推不出 ，所以 内有无数条直线与平行是 的必要不充分条件，A符合题意；
对于B： 可以推出 内有两条相交直线与 平行，若 内有两条相交直线与 平行可以推出 ，所以为充要条件，B不正确；
对于C： 可以推出 ， 垂直于同一平面，但是 ， 垂直于同一平面得不出 ，所以 垂直于同一平面 是 的必要不充分条件，C符合题意；
对于D： 可以推出 ， 平行于同一平面，而且 ， 平行于同一平面也可以推出 ，所以是充要条件，D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据必要不充分条件的定义可知， 可以推出正确选项，但选项推不出 ，对四个选项检验即可得到正确答案。
10．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由正方体的平面展开图还原正方体如图，
由图形可知，
，A不符合题意；
由 ，四边形 为平行四边形，所以 ，B符合题意；
因为 , ,所以 平面 ,所以 ，C符合题意；
因为 ，而 ,所以 ，D符合题意.
故答案为：BCD。
【分析】将正方体展开式还原成正方体，再利用线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法，从而找出正确选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：因为截面 是正方形 ，所以 ，
又 平面
所以 平面
又 平面 ,平面 平面
截面 ，B符合题意
同理可证
因为 ，所以 ，A符合题意
又
所以异面直线 与 所成的角为 ，D符合题意
和 不一定相等，C不符合题意
故答案为：ABD
【分析】利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质，异面直线所成的角逐项进行判断，即可得到答案。
12．【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】A：点 平面 ，点 直线 ，点 平面 ，由异面直线的定义可知 ， 是异面直线，A不符合题意；
B： ，由直线与平面平行的判定定理可得 平面 ，答案B对；
C： ，由直线与平面平行的判定定理可得 平面 ，答案C对；
D：点 平面 ，点 直线 ，点 平面 ，由异面直线的定义可知 ， 是异面直线，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合中点作中位线的方法，再利用中位线的性质证出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，再利用两直线相交的位置关系判断方法，从而选出结论正确的选项。
13．【答案】不平行；6
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为2，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 ， ，设平面 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ， ，所以 ， ，所以 ，所以直线 与平面 不平行，
因为 ，所以 ，所以直线 与平面 平行，因为 ，所以 与平面 平行，同理可得 ， ， ， 与平面 平行， ， ， ， ， ， 与平面 不平行，
故与平面 平行的面对角线有6条。
故答案为：不平行，6。
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，进而推出直线 与平面 不平行；再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，进而推出直线 与平面 平行，因为 ，所以 与平面 平行，同理可得 ， ， ， 与平面 平行， ， ， ， ， ， 与平面 不平行，故与平面 平行的面对角线有6条，从而求出在正方体的12条面对角线中，与平面 平行的面对角线的条数。
14．【答案】③④
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】① ， ，且 ，则 可能相交，故①错误；② ， ，且 ，则 可能相交，也可能平行，故②错误；③ ， ，且 ，则 ，根据线面垂直的性质可知③正确；④ ， 、且 ，则 ，根据线面垂直的性质可知④正确.
故答案为：③④.
【分析】利用已知条件结合面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、从而找出说法正确的选项。
15．【答案】
【知识点】直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示，连接 交 于点 ，过点 作 // ，交 于点 ，过点 作 // ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .
因为 ，则 ，若 // ，则 ，
又点 、 分别是 的中点，所以点 , ,
因为四边形 是边长为 的正方形，则 ， ，
因为 // ， // ，且 ， 平面 ，
， 平面 ，
所以平面 //平面 ，所以 //平面 .
又因为 ， ，所以 平面 ，则 .
若 //平面 ，则点 在 上，
当点 与点 重合时， 最小，
又 ， ，
所以 .
故答案为： .
【分析】连接 交 于点 ，过点 作 // ，交 于点 ，过点 作 // ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .先证明 与平面 平行，得出当 //平面 ，则点 在 上，然后证明 ，得出当点 与点 重合时， 最小.然后根据题目所给边长及几何条件得出 的值.
16．【答案】3
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】平面 ，平面
由平面 平面 ，可得
由平面几何知识知，
又 ， ， ，
所以 ，解得
故答案为：3
【分析】利用平面 平面 ，得到 ，从而得到线段长的比例，即可得解.
17．【答案】（1）解：在正方形 中，过 作 ，且交棱 于点 ，
连接 ，在正方形 内过 作 ，且交棱 于点 ，
连接 ， ，则四边形 就是要作的截面 .
理由：由题意，平面 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
应有 ，
同理， ，所以四边形 应是平行四边形，
由作图过程， ， ，又 ， ，
所以 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ， ，
由作图过程， .又 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ， ，
又 ， ，所以 ，且 ，
所以 是平行四边形，四边形 就是要作的截面
（2）解：由题意， ，
由（1）的证明过程，可得 ，
连接 ，则平面 将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥 与四棱锥 的组合体，
，
而该正方体的体积 ， .所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】 （1）在正方形 内过 作 ，且交棱 于点 ，连接 ， ，则四边形 就是要作的截面 ，由平面与平面平行的性质证明；
（2）求出两个四棱锥 与四棱锥 的组合体，作和可得 ，由正方体的体积减去 可得 ，作比得答案.
18．【答案】（1）证明：连接 ，则 是 的中点， 为 的中点，
故在 中， ，
且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）解：取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件作出辅助线再由中点的性质结合三角形的性质即可得出线线垂直，结合面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，进而得出平面的高线，结合已知条件由三棱锥的条件公式代入数值计算出结果即可。
19．【答案】（1）证明：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
且 ， 且 ，
且 ，
且 ，
四边形 为平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面
（2）解：过 作 底面 ，则 且 ，
底面 为正方形， ，
，
三棱锥 的体积
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，证出四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）过 作 底面 ，根据锥体的体积公式即可求解.
20．【答案】解：（Ⅰ）因为B1C//A1D，所以 为异面直线A1B与B1C所成角．
在 中，易得
（Ⅱ）
，
， ，且
所以
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）根据异面直线所成角的定义，易知图中 就为所求角，又三角形 为正三角形；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理，要证平面A1BD∥平面B1CD 1 可转化为两相交直线BD和A1B平行于平面B1CD 1即可
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人教A版2019必修2 8.5 立体几何之直线与平面，平面与平面平行
一、单选题
1．（2020高二上·温州期末）已知两条相交直线 ， 和三个不同的平面 ， ， ，则下列条件成立推不出 的是（　　）
A．若 ，
B．若 ，
C．若 ，
D．若 ， ， ，
【答案】C
【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】A，若 ， ，则 成立；
B，若 ， ，则 成立；
C，若 ， ，则 与 可能平行也可能相交，C不能推出；
D，若 ， ， ， ，则 成立.
故答案为：C.
【分析】根据线面平行、垂直、面面平行的性质及判定定理一一判断即可。
2．（2020高一上·黄陵期末）如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（　　）
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．直线 与 相交
C．A，B，C，D四点中不存在三点共线
D．直线 与 平行
【答案】C
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】因为空间四点A，B，C，D不共面，所以这四个点的位置如三棱锥的顶点和底面三角形的顶点，所以只有C选项正确，
若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，A不符合题意；
若直线 与 相交，则空间四点A，B，C，D共面，B不正确；
若直线 与 平行，则空间四点A，B，C，D共面，D不正确，
故答案为：C.
【分析】根据平面公理及推理判断选项A,B,D是错误的，得出正确答案。
3．（2021·云南模拟）如图，在正方体 中， 为棱 的中点， 为底面 内一点，则“ 为棱 的中点”是“ 平面 ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：取 的中点 ， 为棱 的中点， ， 面 ， 面 ，所以 面
又 ，同理可证 面 ，又 ， 面 ，所以平面 平面 ，所以 在线段 上时均能使 平面
所以“ 为棱 的中点”是“ 平面 ”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】由题意结合正方体的几何性质以及中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论，然后由充分必要条件的定义即可得出答案。
4．（2020高一上·咸阳期末）已知平面 平面 ， ， ，则下列结论一定正确的是（　　）
A． ， 是平行直线 B． ， 是异面直线
C． ， 是共面直线 D． ， 是不相交直线
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】因为平面 平面 ， ， ，
所以m，n无公共点，
所以 ， 是不相交直线,
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合两直线的位置关系判断方法，进而判断出两直线的位置关系，从而找出结论一定正确的选项。
5．如图所示，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 的中点，则直线 ， 的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；向量语言表述线线的垂直、平行关系
【解析】【解答】建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，
则 ， ， ， ，
∴ ， .
∵ ，
∴直线 ， 的位置关系是异面垂直.
故答案为：C
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，再结合已知条件求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两直线垂直的等价关系，结合数量积的坐标表示，进而结合异面直线的判断方法，从而判断出直线 ， 的位置关系。
6．（2020高二上·舟山期末）三棱锥 的各棱长都相等， 分别是 的中点，下列四个结论中不成立的是（　　）
A． 平面 B． 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A中，因为 分别是 的中点，可得 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以A符合题意；
对于B中，因为 ，所以 ，
同理可得 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又由 ，所以 平面 ，所以B符合题意；
对于D中，由 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ，所以D符合题意；
综上可得A、B、D都正确，所以C不正确.
故答案为：C.
【分析】A. 根据直线与平面平行基本定理判断；B根据直线与平面垂直基本定理判断；C用反证法判断；D根据平面与平面基本定理判断。
7．（2020高二上·柯桥期末）已知E，F是四面体的棱 ， 的中点，过 的平面与棱 ， 分别相交于G，H，则（　　）
A． 平分 ， B． 平分 ，
C． 平分 ， D． 平分 ，
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】过 的平面为平面 时， 在 点， 在 点，
所以 ， 平分 ，
即 ，所以舍去ABD，选C
故答案为：C
【分析】由特殊位置分析法代入验证即可得出答案。
8．（2020高一上·黄陵期末）分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（　　）
A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图，
直线 与异面直线 分别相交于点 ，直线 与异面直线 分别相交于点 ，那么 四点不可能共面，否则与 异面矛盾，故直线 与 异面；②若两条直线与两条异面直线的交点有3个，如图，则两条直线相交.
故答案为：C
【分析】画出图像，根据图像可知，这两条直线于已知的异面直线有四个交点，也有可能只有三个交点，可得出答案。
二、多选题
9．（2020高三上·镇江期中）设 ， 为两个平面，则下列条件中是“ ”成立的必要不充分条件有（　　）
A． 内有无数条直线与平行
B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 垂直于同一平面
D． ， 平行于同一平面
【答案】A,C
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】对于A： 可以推出 内有无数条直线与平行，但 内有无数条直线与平行推不出 ，所以 内有无数条直线与平行是 的必要不充分条件，A符合题意；
对于B： 可以推出 内有两条相交直线与 平行，若 内有两条相交直线与 平行可以推出 ，所以为充要条件，B不正确；
对于C： 可以推出 ， 垂直于同一平面，但是 ， 垂直于同一平面得不出 ，所以 垂直于同一平面 是 的必要不充分条件，C符合题意；
对于D： 可以推出 ， 平行于同一平面，而且 ， 平行于同一平面也可以推出 ，所以是充要条件，D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据必要不充分条件的定义可知， 可以推出正确选项，但选项推不出 ，对四个选项检验即可得到正确答案。
10．（2021·八省联考）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】由正方体的平面展开图还原正方体如图，
由图形可知，
，A不符合题意；
由 ，四边形 为平行四边形，所以 ，B符合题意；
因为 , ,所以 平面 ,所以 ，C符合题意；
因为 ，而 ,所以 ，D符合题意.
故答案为：BCD。
【分析】将正方体展开式还原成正方体，再利用线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法，从而找出正确选项。
11．（2020高三上·兴宁期末）如图，在四面体 中，截面 是正方形，则在下列命题中，正确的为（　　）
A．
B． 截面
C．
D．异面直线 与 所成的角为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：因为截面 是正方形 ，所以 ，
又 平面
所以 平面
又 平面 ,平面 平面
截面 ，B符合题意
同理可证
因为 ，所以 ，A符合题意
又
所以异面直线 与 所成的角为 ，D符合题意
和 不一定相等，C不符合题意
故答案为：ABD
【分析】利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质，异面直线所成的角逐项进行判断，即可得到答案。
12．如图，空间四边形 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，下列结论正确的是（　　）
A． B． 平面
C． 平面 D． ， 是一对相交直线
【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】A：点 平面 ，点 直线 ，点 平面 ，由异面直线的定义可知 ， 是异面直线，A不符合题意；
B： ，由直线与平面平行的判定定理可得 平面 ，答案B对；
C： ，由直线与平面平行的判定定理可得 平面 ，答案C对；
D：点 平面 ，点 直线 ，点 平面 ，由异面直线的定义可知 ， 是异面直线，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合中点作中位线的方法，再利用中位线的性质证出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，再利用两直线相交的位置关系判断方法，从而选出结论正确的选项。
三、填空题
13．（2021·大庆模拟）如图，已知正方体 ，点 分别是 的中点， 与平面 　 　（填“平行”或“不平行”）；在正方体的12条面对角线中，与平面 平行的面对角线有　 　条．
【答案】不平行；6
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为2，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 ， ，设平面 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ， ，所以 ， ，所以 ，所以直线 与平面 不平行，
因为 ，所以 ，所以直线 与平面 平行，因为 ，所以 与平面 平行，同理可得 ， ， ， 与平面 平行， ， ， ， ， ， 与平面 不平行，
故与平面 平行的面对角线有6条。
故答案为：不平行，6。
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，进而推出直线 与平面 不平行；再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，进而推出直线 与平面 平行，因为 ，所以 与平面 平行，同理可得 ， ， ， 与平面 平行， ， ， ， ， ， 与平面 不平行，故与平面 平行的面对角线有6条，从而求出在正方体的12条面对角线中，与平面 平行的面对角线的条数。
14．（2020高一上·韩城期末）已知 是空间两个不同的平面， 是空间两条不同的直线，给出的下列说法：
①若 ，且 ，则 ；
②若 ，且 ，则 ；
③若 ，且 ，则 ；
④若 ，且 ，则 .
其中正确的说法为　 　(填序号)
【答案】③④
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】① ， ，且 ，则 可能相交，故①错误；② ， ，且 ，则 可能相交，也可能平行，故②错误；③ ， ，且 ，则 ，根据线面垂直的性质可知③正确；④ ， 、且 ，则 ，根据线面垂直的性质可知④正确.
故答案为：③④.
【分析】利用已知条件结合面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、从而找出说法正确的选项。
15．（2020高三上·永州月考）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形， 面 ，点 、 分别是 的中点， 为 上一点，且 ， 为正方形 内一点，若 //面 ，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图所示，连接 交 于点 ，过点 作 // ，交 于点 ，过点 作 // ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .
因为 ，则 ，若 // ，则 ，
又点 、 分别是 的中点，所以点 , ,
因为四边形 是边长为 的正方形，则 ， ，
因为 // ， // ，且 ， 平面 ，
， 平面 ，
所以平面 //平面 ，所以 //平面 .
又因为 ， ，所以 平面 ，则 .
若 //平面 ，则点 在 上，
当点 与点 重合时， 最小，
又 ， ，
所以 .
故答案为： .
【分析】连接 交 于点 ，过点 作 // ，交 于点 ，过点 作 // ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .先证明 与平面 平行，得出当 //平面 ，则点 在 上，然后证明 ，得出当点 与点 重合时， 最小.然后根据题目所给边长及几何条件得出 的值.
16．（2020高二上·重庆月考）如图所示，平面 平面 ， ， ， ，则 　 　．
【答案】3
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【解答】平面 ，平面
由平面 平面 ，可得
由平面几何知识知，
又 ， ， ，
所以 ，解得
故答案为：3
【分析】利用平面 平面 ，得到 ，从而得到线段长的比例，即可得解.
四、解答题
17．（2021·枣庄模拟）如图，正方体 的棱长为1，点 在棱 上，过 ， ， 三点的正方体的截面 与直线 交于点 .
（1）找到点 的位置，作出截面 （保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知 ，求 将正方体分割所成的上半部分的体积 与下半部分的体积 之比.
【答案】（1）解：在正方形 中，过 作 ，且交棱 于点 ，
连接 ，在正方形 内过 作 ，且交棱 于点 ，
连接 ， ，则四边形 就是要作的截面 .
理由：由题意，平面 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
应有 ，
同理， ，所以四边形 应是平行四边形，
由作图过程， ， ，又 ， ，
所以 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ， ，
由作图过程， .又 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ， ，
又 ， ，所以 ，且 ，
所以 是平行四边形，四边形 就是要作的截面
（2）解：由题意， ，
由（1）的证明过程，可得 ，
连接 ，则平面 将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥 与四棱锥 的组合体，
，
而该正方体的体积 ， .所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】 （1）在正方形 内过 作 ，且交棱 于点 ，连接 ， ，则四边形 就是要作的截面 ，由平面与平面平行的性质证明；
（2）求出两个四棱锥 与四棱锥 的组合体，作和可得 ，由正方体的体积减去 可得 ，作比得答案.
18．（2021高二下·泸县月考）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ， 分别为 ， 的中点，平面 平面 ，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明：连接 ，则 是 的中点， 为 的中点，
故在 中， ，
且 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）解：取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件作出辅助线再由中点的性质结合三角形的性质即可得出线线垂直，结合面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，进而得出平面的高线，结合已知条件由三棱锥的条件公式代入数值计算出结果即可。
19．（2020高三上·长春开学考）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 、 分别是 、 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
且 ， 且 ，
且 ，
且 ，
四边形 为平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面
（2）解：过 作 底面 ，则 且 ，
底面 为正方形， ，
，
三棱锥 的体积
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，证出四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）过 作 底面 ，根据锥体的体积公式即可求解.
20．（2020高一下·吉林期末）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长AB=1.
（Ⅰ）求异面直线A1B与 B1C所成角的大小；
（Ⅱ）求证：平面A1BD∥平面B1CD1．
【答案】解：（Ⅰ）因为B1C//A1D，所以 为异面直线A1B与B1C所成角．
在 中，易得
（Ⅱ）
，
， ，且
所以
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）根据异面直线所成角的定义，易知图中 就为所求角，又三角形 为正三角形；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理，要证平面A1BD∥平面B1CD 1 可转化为两相交直线BD和A1B平行于平面B1CD 1即可
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