初中数学苏科版九年级上册2.6正多边形与圆 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·龙岩期末）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A． B．5 C． D．5
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【分析】根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
2．（2020九上·民勤月考）已知正六角形的边心距为 ，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．6 D．12
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG= ，∠AOG=30°，
∴cos30°=OG/AO，
∴OA=OG÷cos 30°=2.
这个正六边形的周长=12.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接正六边形的中心角=可得中心角，根据边心距为3可得半径=÷sin 60°，故正六边形的边长等于半径，可得周长.
3．（2021·兰州模拟）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示
圆内接正六边形ABCDEF，连结OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵圆内接正六边形的半径为2，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB= =60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵OH⊥AB，
∴OH平分∠AOB，
∴∠AOH=∠HOB= ∠AOB= ，
所以该圆的内接正六边形的边心距OH==2×cos30°＝2× ＝ ，
故答案为：C.
【分析】连结OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据正六边形可得圆心角，解直角三角形即可.
4．（2021·温州模拟）如图，五边形 是 的内接正五边形， 是 的直径，则 的度数是（ ）
A．18° B．36° C． D．72°
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 五边形 是 的内接正五边形，
， ， ，
又 是 的直径，
，
∴
，
，
故答案为：C.
【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论.
5．（2021九下·施秉开学考）如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD==30°；
故答案为：A.
【分析】先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
6．（2021九上·新抚期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，
∴n= =12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OD、OF，利用圆内接正多边形的性质可求出∠AOD和∠AOF的度数；再求出∠DOF的度数；然后用360°除以一个中心角的度数=正多边形的边数，由此可求解.
7．（2020九上·朝阳期末）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，
正n边形的中心角为 ，
，
n的值为6，
故答案为：C．
【分析】因为圆O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角=60°，构建方程即可解决问题。
8．（2020九上·路南期末）正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为 ，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为 ，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，
则OC= ，OA=OB=2，
在Rt△AOC中，cos∠AOC= = ，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°，
则正多边形边数是： =4．
故答案为：C．
【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．
9．（2021九上·慈溪期末）一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．3：2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，如图，在圆内接正方形ABCD中，OA=OB=R，∠AOB=90°，
∴圆内接正方形的边长为=R.
在圆内接正六边形ABCDEF中，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴圆内接正六边形的边长为R，
∴一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为R：R=1：.
故答案为C.
【分析】设圆的半径为R，画出圆内接正方形以及正六边形图形，计算出圆内接正方形、内接正六边形的边长，然后作比即可.
10．（2021九上·淅川期末）正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，
∴OE＝ OA＝ ×4＝2 ，
故答案为：A.
【分析】连接OA、OE，由圆的切线垂直于过切点的半径可得OE⊥AB，由正方形的性质可得∠OAE＝45°，所以可得△AOE是等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形AOE中用勾股定理可求解.
11．（2021九上·福州期末）已知正六边形 内接于 ，若 的直径为 ，则该正六边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，
∵ 的直径为 ，
∴OA=1，
∵正六边形 内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∴该正六边形的周长是1×6=6，
故答案为：C.
【分析】如图，连接OA、OB，由正六边形 内接于 可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据 直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长.
12．（2021九上·防城港期末）已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（ ）
A．2 B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵⊙O的半径为2，四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴AB＝ .
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质结合勾股定理可得出正方形的边长.
13．（2020九上·云梦月考）半径为 的圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距.
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ，OA=OB=AB=a，AH=BH= ，
∴
即半径为 的圆的内接正六边形的边心距是.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距，根据正六边形的性质用勾股定理可求解.
14．（2020九上·福州月考）边长为6的正三角形的外接圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，
作OD⊥BC于D，连接OB、OC．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD=3．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°， 即OD= BD= ，
∴OB=2OD=2 ，
∴⊙O的周长=2π×2 =4 π．
故答案为：D．
【分析】如图，作OD⊥BC于D，连接OB、OC．根据正三角形与圆及垂径定理，可求出∠BOC=120°，∠OBD=30°，BD=CD=3，在Rt△OBD中，，据此求出OD的长，从而得出OB=2OD=2 ，利用圆的面积公式计算即得.
15．（2020九上·霍林郭勒月考）半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
【分析】本题的关键是用R表示出正三角形的边长，再利用正三角形的面积计算公式（a为边长）求解即可。
16．（2020九上·永城期中）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A． cm B．5 cm C．3 cm D．10 cm
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故答案为：B.
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论.
17．（2020九上·上思月考）⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶ B． ∶ C．3∶2 D．1∶2
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，
∵∠COD=90°，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴CD=，
∵∠AOH=60°，
∴AH=OA×sin60°=R，
∴AB=2AH=R，
内接三角形与内接正方形的边长之比为=R：R=；
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，利用等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质分别求出内接正三角形和内接正方形的边长，最后求比值即可.
18．（2020九上·赵县期中）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）
A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形
C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵OC=1，∴OD=1×sin30°=；
∵OB=1，∴OE=1×sin45°=；
∵OA=1，∴OD=1×cos30°=
∵（）2+（）2=（）2
∴这个三角形为直角三角形
故答案为：C.
【分析】根据内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，即可得到构造直角三角形。
二、填空题
19．（2021·南通模拟）如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=12°，则这个正多边形的边数为
【答案】15
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，
∴∠AOB=2∠ADB=24°
∴这个正多边形的边数为 =15
故答案为：15.
【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=24°，根据中心角的定义即可求解.
20．（2021九下·大洼开学考）如图，正五边形 内接于 ，点 在弧 上，则 的度数为
【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OE、OB，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠BOE= ×2=144°，
∴∠BFE= ∠BOE=72°，
故答案为：72°．
【分析】连接圆心和点B点E，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠BFE的度数即可．
21．（2021·西安模拟）若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为 .
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长.
∵正方形边长为6，
∴正方形的对角线长为 ，
外接圆半径为 .
如图所示：作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠BOD=60°，
在Rt△BOD中，OB= ，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= .
∵BD=CD，
∴BC=2BD= .
故答案为： .
【分析】 利用圆内接正方形的边心距为3，可求出正方形的边长为6，由此可求出正方形的对角线的长，根据正方形外接圆直径为正方形的对角线长，可得到外接圆的半径；作OD⊥BC于D，连接OB，可求出∠BOD的度数；然后在Rt△BOD中，利用解直角三角形求出BD的长，由此可求出这个圆的内接正三角形的边长.
22．（2021九下·成都月考）数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率.如图，正六边形 的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 .
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；几何概率
【解析】【解答】解：设大⊙O的半径为2r，则正六边形的边长为2r，即小⊙O的半径为 ，
则随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ＝ .
故答案为： .
【分析】设大⊙O的半径为2r，则正六边形的边长为2r，即小⊙O的半径为 ，然后分别求出大圆、小圆的面积，结合几何概率的求法求解即可.
23．（2021九上·富县期末）如图，正五边形 内接于 ，F是 的中点，则 的度数为 .
【答案】18°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠O= =72°，
∴∠CBD= ∠O=36°，
∵F是 的中点，
∴∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°，
故答案为：18°.
【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，先根据正n边形中心角为，得到∠O的度数，接着由圆周角定理得到∠CBD= ∠O=36°，接着F是 的中点得到∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°.
24．（2021九上·宜州期末）边长等于 的正六边形的外接圆半径等于 .
【答案】4
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正六边形中心角为： ，
正六边形外接圆的半径与正六边形的边长组成一个正三角形，如图所示，
边长等于 的正六边形的半径等于 ，
故答案为：4.
【分析】利用正多边形的中心角的计算方法可求出正六边形的中心角，正六边形外接圆的半径与正六边形的边长相等，由此可求出正六边形的外接圆半径.
25．（2021九上·紫阳期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，若 ，则 的半径为 .
【答案】3cm
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=AB=3cm.
故答案为：3cm.
【分析】连接OA，OB，根据题意可推出△AOB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质解答即可.
26．（2021九上·临海期末）我国古代数学家刘徽创造的“割圆术”，利用了圆内接正多边形和外切正多边形的面积或周长，无限逼近圆来近似估计圆的面积或周长，从而估算出π的范围.如图1，用圆内接正方形和外切正方形周长可得2 【答案】
【知识点】圆内接正多边形；探索图形规律
【解析】【解答】解：设圆的半径为1，
∴圆的面积=2π，内接正方形周长=4，外切正方形周长=2×4=8，
∴4＜2π＜8，即2 ∵内接正六边形的边长=1，外切正六边形的周长=，
∴内接正六边形的周长=6，外切正六边形的周长=6×=4，
∴6<2π<4，即 ;
故答案为：；
【分析】设圆的半径为1，先求出圆的周长，然后分别求出内接正六边形和外切正六边形的边长，根据内接正六边形的周长<圆的周长<外切正六边形的周长列不等式即可.
27．（2021九上·原州期末）正六边形的半径为 则正六边形的面积为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，等边三角形ABC的边长为1，
∵OC是AB上的高，
∴AC=CB= ，∠AOC= ∠AOB=30°，
∴OC=
= ，
∴
=
= ，
∴正六边形的面积为： .
故答案为 .
【分析】利用正六边形的性质可求出AC的长及∠AOC的度数，再利用勾股定理求出OC的长；然后根据正六边形的面积等于△OAB的面积的6倍，利用三角形的面积公式进行计算，可求解.
28．（2020九上·丰台期末）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔 卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形 各边均与圆相切的正6n边形 的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是 ；
（2）按照阿尔 卡西的方法，计算n=1时π的近似值是 ．（结果保留两位小数）（参考数据： ）
【答案】（1）1
（2）3.23
【知识点】圆内接正多边形；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵该多边形为圆内接正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=1，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是1,
故答案为：1；
（2）如图，设圆的半径为1，
当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，
则圆内接正六边形的边长为1，周长为6，
圆外切正六边形的边长为 ，周长为 ，
根据题意得：2π= ，
则π= ≈1.5+1.732=3.232≈3.23，
故答案为：3.23．
【分析】（1）根据圆内接正六边形的性质得到△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可；（2）利用锐角三角函数分贝计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似值即可。
29．（2020九上·昌平期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则 的长为 ．
【答案】2π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】如图连接OA、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB= ，
∴ 的长为 ，
故答案为： ．
【分析】利用弧长公式代入计算即可。
30．（2021九上·盐池期末）如图，正方形ABCD内接与⊙0，AB= ，则弧AB的长是 .
【答案】π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正方形ABCD内接与⊙0，
∴ ， ，
∵AB= ，
∴ ，
∴弧AB的长 ；
故答案是：π.
【分析】连接OA，OB，根据圆内接正方形的性质，得到OA，OB的长，再根据圆心角的等于90°即可得到结果；
31．（2021九上·天门期末）如图，正 内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为 。
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：分别过A、C作BC、AB边的垂线相交于点O，
由等边三角形的性质可知，点O即为△ABC的外心，连接OB则∠OBD＝30°，
设正△ABC的边长为a，
设正 的边长为a，则 ，
，
故AD=AB×sin60°=
于是阴影部分的面积为 .
故答案为：
【分析】根据题意作出辅助线，由等边三角形的性质作出△ABC的外心，再设出等边三角形的边长，由垂径定理得出BD＝，再根据特殊角的三角函数即可求出BC及AD的长，根据S阴影＝S圆 S△ABC进行计算即可．
32．（2020九上·官渡期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的边长是2，则它的外接圆圆心 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，过点P作PF⊥OA，垂足为F，
∵正六边形 的边长是2，
∴OA=2，∠OPA=60°，
∴OP=2，∠OPF=30°，
∴OF=1，PF= ，
∴点P的坐标为（1， ），
故答案为：（1， ）.
【分析】先求出OA=2，∠OPA=60°，再求出OF=1，PF= ，进行作答求解即可。
33．（2020九上·讷河期中）一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于 cm2．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：一个圆的内接正六边形可以分成6个全等的等边三角形，
∵圆的半径是4cm，
∴等边三角形的边长是4cm，
如图，
边长是4cm的等边三角形，
根据等边三角形的性质， ， ，
根据勾股定理， ，
，
∴内接正六边形的面积是 ．
故答案是： ．
【分析】根据草图，先算出正六边形的边长，再将正六边形分成六个正三角形，算出其中一个小三角形的面积再乘六即可。
34．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ ，
则该三角形的三边分别为：, , ，
∵12+( )2=( )2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： ×1× = .
故答案为 .
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
35．（2020九上·同安期中）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连结OC、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠BOC=60 ，
∵OC=OB，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OBM=60 ，
∴OM=OM sin∠OBM=4× ，
故答案为： ．
【分析】利用垂径定理及勾股定理求解即可。
36．（2020九上·永定期中）边长为2的正方形ABCD的外接圆半径是 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图：连接AC、BD交于点O，即为正方形ABCD外接圆的圆心，
∴OA、OB、OC、OD为正方形ABCD外接圆的半径
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠AOC＝90°
在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2，
∵AC＝2，OA=OC，
∴4＝2 OA2，
∴OA＝
即正方形ABCD外接圆的半径为
故答案为
【分析】根据垂径定理及勾股定理求解即可。
三、解答题
37．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
四、综合题
38．（2021九上·秦淮期末）圆周率 的故事
我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率 的值.
（1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为 ，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式 ，可以估算 .
（2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计 的值.
【答案】（1）；
（2）
设正六边形的边长AB=m，
则该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m.
∵C= ，
∴ ，
所以估算 值为3.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：（1）正方形的边长AB=a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴AC= ，
∴正方形的对角线长为 ，
，
，
∵用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，
C= ，
∴ ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长即为外接圆的直径，从而求出半径；由圆的周长公式得出 ，从而得出，代入相应数据即可求出π值；
（2） 设正六边形的边长AB=m， 可得该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m. 由于 C= ， 据此计算即可.
39．（2021九上·武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE=DE；
（2）若CE=1，求四边形AECD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴ .
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AE=DE.
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC.
∵∠EDF=90°，
∴∠F=90°﹣45°=45°，
∴DE=DF.
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴S四边形AECD=S△DEF.
∵EF= DE=EC+DE，EC=1，
∴1+DE= DE，
∴DE= +1，
∴S△DEF= DE2= .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=CD，可推出弧AB=弧CD，再根据E是 的中，可推出弧AE=弧DE，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得结论；
（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.，利用正方形的性质可知∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC，再证明DE=DF，∠ADE=∠CDF；再利用AAS证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质可证得AE=CF，S△ADE=S△CDF，可推出S四边形AECD=S△DEF；据此建立关于DE的方程，解方程求出DE的长，根据 S△DEF= DE2，代入计算求出△DEF的面积.
40．（2020九上·宁城期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）90°；72°
（3） ．
【知识点】圆内接正多边形；探索图形规律
【解析】【解答】解：（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先根据圆内接正三角形的性质可得 ，再根据圆内接正三角形的性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得 ，再根据（1）同样的方法可得 ；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角 ，再根据（1）同样的方法可得 ；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
1 / 1初中数学苏科版九年级上册2.6正多边形与圆 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·龙岩期末）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A． B．5 C． D．5
2．（2020九上·民勤月考）已知正六角形的边心距为 ，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．6 D．12
3．（2021·兰州模拟）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（2021·温州模拟）如图，五边形 是 的内接正五边形， 是 的直径，则 的度数是（ ）
A．18° B．36° C． D．72°
5．（2021九下·施秉开学考）如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2021九上·新抚期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
7．（2020九上·朝阳期末）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2020九上·路南期末）正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为 ，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
9．（2021九上·慈溪期末）一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．3：2 B． C． D．
10．（2021九上·淅川期末）正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
11．（2021九上·福州期末）已知正六边形 内接于 ，若 的直径为 ，则该正六边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021九上·防城港期末）已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（ ）
A．2 B．2 C． D．4
13．（2020九上·云梦月考）半径为 的圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
14．（2020九上·福州月考）边长为6的正三角形的外接圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．（2020九上·霍林郭勒月考）半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
16．（2020九上·永城期中）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A． cm B．5 cm C．3 cm D．10 cm
17．（2020九上·上思月考）⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶ B． ∶ C．3∶2 D．1∶2
18．（2020九上·赵县期中）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）
A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形
C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形
二、填空题
19．（2021·南通模拟）如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=12°，则这个正多边形的边数为
20．（2021九下·大洼开学考）如图，正五边形 内接于 ，点 在弧 上，则 的度数为
21．（2021·西安模拟）若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为 .
22．（2021九下·成都月考）数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率.如图，正六边形 的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 .
23．（2021九上·富县期末）如图，正五边形 内接于 ，F是 的中点，则 的度数为 .
24．（2021九上·宜州期末）边长等于 的正六边形的外接圆半径等于 .
25．（2021九上·紫阳期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，若 ，则 的半径为 .
26．（2021九上·临海期末）我国古代数学家刘徽创造的“割圆术”，利用了圆内接正多边形和外切正多边形的面积或周长，无限逼近圆来近似估计圆的面积或周长，从而估算出π的范围.如图1，用圆内接正方形和外切正方形周长可得2 27．（2021九上·原州期末）正六边形的半径为 则正六边形的面积为 .
28．（2020九上·丰台期末）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔 卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形 各边均与圆相切的正6n边形 的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是 ；
（2）按照阿尔 卡西的方法，计算n=1时π的近似值是 ．（结果保留两位小数）（参考数据： ）
29．（2020九上·昌平期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则 的长为 ．
30．（2021九上·盐池期末）如图，正方形ABCD内接与⊙0，AB= ，则弧AB的长是 .
31．（2021九上·天门期末）如图，正 内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为 。
32．（2020九上·官渡期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的边长是2，则它的外接圆圆心 的坐标是 ．
33．（2020九上·讷河期中）一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于 cm2．
34．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ．
35．（2020九上·同安期中）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
36．（2020九上·永定期中）边长为2的正方形ABCD的外接圆半径是 ．
三、解答题
37．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
四、综合题
38．（2021九上·秦淮期末）圆周率 的故事
我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率 的值.
（1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为 ，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式 ，可以估算 .
（2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计 的值.
39．（2021九上·武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE=DE；
（2）若CE=1，求四边形AECD的面积.
40．（2020九上·宁城期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【分析】根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
2．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OG= ，∠AOG=30°，
∴cos30°=OG/AO，
∴OA=OG÷cos 30°=2.
这个正六边形的周长=12.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接正六边形的中心角=可得中心角，根据边心距为3可得半径=÷sin 60°，故正六边形的边长等于半径，可得周长.
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示
圆内接正六边形ABCDEF，连结OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵圆内接正六边形的半径为2，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB= =60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵OH⊥AB，
∴OH平分∠AOB，
∴∠AOH=∠HOB= ∠AOB= ，
所以该圆的内接正六边形的边心距OH==2×cos30°＝2× ＝ ，
故答案为：C.
【分析】连结OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据正六边形可得圆心角，解直角三角形即可.
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 五边形 是 的内接正五边形，
， ， ，
又 是 的直径，
，
∴
，
，
故答案为：C.
【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论.
5．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD==30°；
故答案为：A.
【分析】先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，
∴n= =12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OD、OF，利用圆内接正多边形的性质可求出∠AOD和∠AOF的度数；再求出∠DOF的度数；然后用360°除以一个中心角的度数=正多边形的边数，由此可求解.
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，
正n边形的中心角为 ，
，
n的值为6，
故答案为：C．
【分析】因为圆O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角=60°，构建方程即可解决问题。
8．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为 ，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，
则OC= ，OA=OB=2，
在Rt△AOC中，cos∠AOC= = ，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°，
则正多边形边数是： =4．
故答案为：C．
【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，如图，在圆内接正方形ABCD中，OA=OB=R，∠AOB=90°，
∴圆内接正方形的边长为=R.
在圆内接正六边形ABCDEF中，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴圆内接正六边形的边长为R，
∴一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为R：R=1：.
故答案为C.
【分析】设圆的半径为R，画出圆内接正方形以及正六边形图形，计算出圆内接正方形、内接正六边形的边长，然后作比即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，
∴OE＝ OA＝ ×4＝2 ，
故答案为：A.
【分析】连接OA、OE，由圆的切线垂直于过切点的半径可得OE⊥AB，由正方形的性质可得∠OAE＝45°，所以可得△AOE是等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形AOE中用勾股定理可求解.
11．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，
∵ 的直径为 ，
∴OA=1，
∵正六边形 内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∴该正六边形的周长是1×6=6，
故答案为：C.
【分析】如图，连接OA、OB，由正六边形 内接于 可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据 直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵⊙O的半径为2，四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴AB＝ .
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质结合勾股定理可得出正方形的边长.
13．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距.
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ，OA=OB=AB=a，AH=BH= ，
∴
即半径为 的圆的内接正六边形的边心距是.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距，根据正六边形的性质用勾股定理可求解.
14．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，
作OD⊥BC于D，连接OB、OC．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD=3．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°， 即OD= BD= ，
∴OB=2OD=2 ，
∴⊙O的周长=2π×2 =4 π．
故答案为：D．
【分析】如图，作OD⊥BC于D，连接OB、OC．根据正三角形与圆及垂径定理，可求出∠BOC=120°，∠OBD=30°，BD=CD=3，在Rt△OBD中，，据此求出OD的长，从而得出OB=2OD=2 ，利用圆的面积公式计算即得.
15．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
【分析】本题的关键是用R表示出正三角形的边长，再利用正三角形的面积计算公式（a为边长）求解即可。
16．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故答案为：B.
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论.
17．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，
∵∠COD=90°，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴CD=，
∵∠AOH=60°，
∴AH=OA×sin60°=R，
∴AB=2AH=R，
内接三角形与内接正方形的边长之比为=R：R=；
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，利用等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质分别求出内接正三角形和内接正方形的边长，最后求比值即可.
18．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵OC=1，∴OD=1×sin30°=；
∵OB=1，∴OE=1×sin45°=；
∵OA=1，∴OD=1×cos30°=
∵（）2+（）2=（）2
∴这个三角形为直角三角形
故答案为：C.
【分析】根据内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，即可得到构造直角三角形。
19．【答案】15
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，
∴∠AOB=2∠ADB=24°
∴这个正多边形的边数为 =15
故答案为：15.
【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=24°，根据中心角的定义即可求解.
20．【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OE、OB，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠BOE= ×2=144°，
∴∠BFE= ∠BOE=72°，
故答案为：72°．
【分析】连接圆心和点B点E，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠BFE的度数即可．
21．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长.
∵正方形边长为6，
∴正方形的对角线长为 ，
外接圆半径为 .
如图所示：作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠BOD=60°，
在Rt△BOD中，OB= ，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= .
∵BD=CD，
∴BC=2BD= .
故答案为： .
【分析】 利用圆内接正方形的边心距为3，可求出正方形的边长为6，由此可求出正方形的对角线的长，根据正方形外接圆直径为正方形的对角线长，可得到外接圆的半径；作OD⊥BC于D，连接OB，可求出∠BOD的度数；然后在Rt△BOD中，利用解直角三角形求出BD的长，由此可求出这个圆的内接正三角形的边长.
22．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；几何概率
【解析】【解答】解：设大⊙O的半径为2r，则正六边形的边长为2r，即小⊙O的半径为 ，
则随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ＝ .
故答案为： .
【分析】设大⊙O的半径为2r，则正六边形的边长为2r，即小⊙O的半径为 ，然后分别求出大圆、小圆的面积，结合几何概率的求法求解即可.
23．【答案】18°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠O= =72°，
∴∠CBD= ∠O=36°，
∵F是 的中点，
∴∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°，
故答案为：18°.
【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，先根据正n边形中心角为，得到∠O的度数，接着由圆周角定理得到∠CBD= ∠O=36°，接着F是 的中点得到∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°.
24．【答案】4
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正六边形中心角为： ，
正六边形外接圆的半径与正六边形的边长组成一个正三角形，如图所示，
边长等于 的正六边形的半径等于 ，
故答案为：4.
【分析】利用正多边形的中心角的计算方法可求出正六边形的中心角，正六边形外接圆的半径与正六边形的边长相等，由此可求出正六边形的外接圆半径.
25．【答案】3cm
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=AB=3cm.
故答案为：3cm.
【分析】连接OA，OB，根据题意可推出△AOB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质解答即可.
26．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；探索图形规律
【解析】【解答】解：设圆的半径为1，
∴圆的面积=2π，内接正方形周长=4，外切正方形周长=2×4=8，
∴4＜2π＜8，即2 ∵内接正六边形的边长=1，外切正六边形的周长=，
∴内接正六边形的周长=6，外切正六边形的周长=6×=4，
∴6<2π<4，即 ;
故答案为：；
【分析】设圆的半径为1，先求出圆的周长，然后分别求出内接正六边形和外切正六边形的边长，根据内接正六边形的周长<圆的周长<外切正六边形的周长列不等式即可.
27．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，等边三角形ABC的边长为1，
∵OC是AB上的高，
∴AC=CB= ，∠AOC= ∠AOB=30°，
∴OC=
= ，
∴
=
= ，
∴正六边形的面积为： .
故答案为 .
【分析】利用正六边形的性质可求出AC的长及∠AOC的度数，再利用勾股定理求出OC的长；然后根据正六边形的面积等于△OAB的面积的6倍，利用三角形的面积公式进行计算，可求解.
28．【答案】（1）1
（2）3.23
【知识点】圆内接正多边形；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵该多边形为圆内接正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=1，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是1,
故答案为：1；
（2）如图，设圆的半径为1，
当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，
则圆内接正六边形的边长为1，周长为6，
圆外切正六边形的边长为 ，周长为 ，
根据题意得：2π= ，
则π= ≈1.5+1.732=3.232≈3.23，
故答案为：3.23．
【分析】（1）根据圆内接正六边形的性质得到△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可；（2）利用锐角三角函数分贝计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似值即可。
29．【答案】2π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】如图连接OA、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB= ，
∴ 的长为 ，
故答案为： ．
【分析】利用弧长公式代入计算即可。
30．【答案】π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正方形ABCD内接与⊙0，
∴ ， ，
∵AB= ，
∴ ，
∴弧AB的长 ；
故答案是：π.
【分析】连接OA，OB，根据圆内接正方形的性质，得到OA，OB的长，再根据圆心角的等于90°即可得到结果；
31．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：分别过A、C作BC、AB边的垂线相交于点O，
由等边三角形的性质可知，点O即为△ABC的外心，连接OB则∠OBD＝30°，
设正△ABC的边长为a，
设正 的边长为a，则 ，
，
故AD=AB×sin60°=
于是阴影部分的面积为 .
故答案为：
【分析】根据题意作出辅助线，由等边三角形的性质作出△ABC的外心，再设出等边三角形的边长，由垂径定理得出BD＝，再根据特殊角的三角函数即可求出BC及AD的长，根据S阴影＝S圆 S△ABC进行计算即可．
32．【答案】
【知识点】点的坐标；圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，过点P作PF⊥OA，垂足为F，
∵正六边形 的边长是2，
∴OA=2，∠OPA=60°，
∴OP=2，∠OPF=30°，
∴OF=1，PF= ，
∴点P的坐标为（1， ），
故答案为：（1， ）.
【分析】先求出OA=2，∠OPA=60°，再求出OF=1，PF= ，进行作答求解即可。
33．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：一个圆的内接正六边形可以分成6个全等的等边三角形，
∵圆的半径是4cm，
∴等边三角形的边长是4cm，
如图，
边长是4cm的等边三角形，
根据等边三角形的性质， ， ，
根据勾股定理， ，
，
∴内接正六边形的面积是 ．
故答案是： ．
【分析】根据草图，先算出正六边形的边长，再将正六边形分成六个正三角形，算出其中一个小三角形的面积再乘六即可。
34．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ ，
则该三角形的三边分别为：, , ，
∵12+( )2=( )2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： ×1× = .
故答案为 .
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
35．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连结OC、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠BOC=60 ，
∵OC=OB，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OBM=60 ，
∴OM=OM sin∠OBM=4× ，
故答案为： ．
【分析】利用垂径定理及勾股定理求解即可。
36．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图：连接AC、BD交于点O，即为正方形ABCD外接圆的圆心，
∴OA、OB、OC、OD为正方形ABCD外接圆的半径
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠AOC＝90°
在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2，
∵AC＝2，OA=OC，
∴4＝2 OA2，
∴OA＝
即正方形ABCD外接圆的半径为
故答案为
【分析】根据垂径定理及勾股定理求解即可。
37．【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
38．【答案】（1）；
（2）
设正六边形的边长AB=m，
则该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m.
∵C= ，
∴ ，
所以估算 值为3.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：（1）正方形的边长AB=a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴AC= ，
∴正方形的对角线长为 ，
，
，
∵用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，
C= ，
∴ ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长即为外接圆的直径，从而求出半径；由圆的周长公式得出 ，从而得出，代入相应数据即可求出π值；
（2） 设正六边形的边长AB=m， 可得该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m. 由于 C= ， 据此计算即可.
39．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴ .
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AE=DE.
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC.
∵∠EDF=90°，
∴∠F=90°﹣45°=45°，
∴DE=DF.
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴S四边形AECD=S△DEF.
∵EF= DE=EC+DE，EC=1，
∴1+DE= DE，
∴DE= +1，
∴S△DEF= DE2= .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=CD，可推出弧AB=弧CD，再根据E是 的中，可推出弧AE=弧DE，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得结论；
（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.，利用正方形的性质可知∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC，再证明DE=DF，∠ADE=∠CDF；再利用AAS证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质可证得AE=CF，S△ADE=S△CDF，可推出S四边形AECD=S△DEF；据此建立关于DE的方程，解方程求出DE的长，根据 S△DEF= DE2，代入计算求出△DEF的面积.
40．【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）90°；72°
（3） ．
【知识点】圆内接正多边形；探索图形规律
【解析】【解答】解：（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先根据圆内接正三角形的性质可得 ，再根据圆内接正三角形的性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得 ，再根据（1）同样的方法可得 ；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角 ，再根据（1）同样的方法可得 ；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
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