初中数学北师大版八年级下学期期末考试复习专题：10 平行四边形的性质与判定
一、单选题
1．（2021·遵化模拟）平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A．（－2 ，1 ) B．（－2，－1 )
C．（－1，－2 ) D．（－1，2 )
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，1）．
故答案为：A．
【分析】由点的坐标特征得出A和C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出D的坐标。
2．（2021·邢台模拟）如图，在平行四边形 中， ， 平分 交 于点E，若 ，则 的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形
∴AD∥BC，AB=DC，∠B=∠ADC
∴∠AEB=∠DAE
∵ 平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∵
∴△BAE是等边三角形
∴∠BAE=∠DAE = ，AB=AE=BE
∴AE=DC，∠ADC=∠DAE
∵AD=AD
∴△EAD≌△CDA
∴∠DAC=∠ADE
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC
∵
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC=40°
∴ =120°
∴ =180° ∠ACE=20°
故答案选C．
【分析】先根据平行四边形ABCD，， 平分 ，得出△BAE是等边三角形，从而求出△EAD≌△CDA，在求出∠ACE的度数即可。
3．（2021八下·增城期中）如图，在 ABCD中，AB=5，AD=7，则 ABCD的周长为（ ）
A．12 B．14 C．35 D．24
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】平行四边形对边相等，所以CD=AB=5，BC=AD=7，
所以周长为AB+AD+DC+BC=5+7+5+7=24
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质计算即可。
4．（2021八下·台州期中）在□ ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．2：1：2：1 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．1：2：3：4
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 如图，□ ABCD ，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质分别判断即可.
5．（2021·龙港模拟）如图，在 ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴BE＝2BF，
∵CD＝10，
∴AB＝10，
∵AF＝6，
∴BF＝ ＝8，
∴BE＝2BF＝16，
故答案为：C.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，结合∠ABC的平分线交AD于点E，证明 再利用等腰三角形的性质可得：BE＝2BF，再由勾股定理求解 即可得到答案.
6．（2021八下·汕头月考）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（ ）
A．AB＝DC B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠B D．AB＝AD
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.由AD∥BC，AB＝DC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B.∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C.∵AD∥BC，∴∠D+∠BCD=180°，∵∠D＝∠B，∴∠B+∠BCD=180°，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D.由AD∥BC，AB＝AD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，逐项进行判断，即可得出答案.
7．（2021八下·上海期中）以下条件能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边相等，一组对角相等
D．一组对边平行，一组邻角互补
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.一组对边平行，另一组对边相等，可能是梯形，故不符合题意；
B. 一组对边平行，一组对角相等，可以判定是平行四边形，故满足题意；
C.一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形，故不符合题意；
D.一组对边平行，一组邻角互补，也不能判定，故不符合题意；
故答案选：B．
【分析】由平行线的性质即可得出结论。
8．（2021七下·运城期中）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具(如图1)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图2)，观察所得到的四边形，下列结论正确的有（ ）
①∠BCA= 45°；②AC的长度变小；③AC= BD；④AC⊥BD
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB⊥BC
∴四边形BACD为矩形
∴AC=BD，即④正确；
根据题意可得，AC的长度变小，即②正确。
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定和性质，平行四边形的性质，证明得到答案即可。
二、填空题
9．（2020·黑龙江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件AD=BC，
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件AB∥DC，
本题只需添加一个即可，
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可．
10．（2021八下·上海期中） 的高是6， ， ，那么 的面积是 ．
【答案】30
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知6只能为AB上的高时，不能为BC上的高时，
∴ 的面积为 ．
故答案为：30．
【分析】由直角三角形的性质，斜边大于直角拜年可孩子给出的高是边AB上的高，利用平行四边形的面积公式即可得出。
11．（2021八下·上海期中）如图，□ 的周长为 ， 相交于点 ， 交 于 ，则 的周长为 .
【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的周长为30
∴AD+CD=15
∵OE垂直平分AC
∴AE=EC
∴三角形DCE的周长=EC+DC+DE=AE+ED+DC=AD+DC=15
【分析】根据题意，由平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，等量代换，计算得到三角形的周长即可。
12．（2021·南岗模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝2 ，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则在RtΔABE中有 ，
如图，延长EF至点G使FG=EF，连接AG、DE、BG，
∵点F是AB的中点，
∴四边形AEBG是平行四边形，
∴AG∥BE，AG=BE=x，
又∵ ABCD中有AD∥BC，
∴G、A、D三点共线，
∴DG=AG+AD=x+5，
∵∠EFD=90°，
∴DF垂直平分EG，
∴DE=DG=x+5，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴ ，
∴
解得 ， （舍）
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先设 ，再通过作辅助线构造平行四边形AGBE，用x来表示出DE，最后分别在RtΔABE和RtΔADE中得到用x表示AE2的式子，建立方程后，求出x，代入后即可求出AE的长．
三、解答题
13．（2021八下·汕头月考）如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴AF∥CE．
又∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AF∥EC，再由AF=CE， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解.
14．（2021八下·上海期中）已知：如图，点E、G在平行四边形 的边 上， ，延长 到点F，使得 ．
求证： ．
【答案】证明：连接 ， ， ．
， ，
四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
， （平行四边形对边相等且平行），
平行四边形 ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先连接 ， ， ，根据已知条件 ， ，得到四边形 是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得出 ， ，利用等量代换得到 ， ，所以判定四边形ABGF是平行四边形，继而证出。
15．（2021·永嘉模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF∥AB交DE的延长线于点F.
（1）求证：△BDE≌△CFE.
（2）若AC＝8，CF＝5，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠BDE=∠F，∠B=∠FCE，
在△BDE和△CFE中， ，
∴△BDE≌△CFE（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CFE，
∴BD=CF=5，
∵D是AB的中点，
∴AB=2BD=10，
在Rt△ABC中，BC= .
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意用角角边可证△BDE≌△CFE；
（2）由（1）中的全等三角形可得BD=CF， 在Rt△ABC中，用勾股定理可求得BC的值.
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期期末考试复习专题：10 平行四边形的性质与判定
一、单选题
1．（2021·遵化模拟）平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A．（－2 ，1 ) B．（－2，－1 )
C．（－1，－2 ) D．（－1，2 )
2．（2021·邢台模拟）如图，在平行四边形 中， ， 平分 交 于点E，若 ，则 的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．（2021八下·增城期中）如图，在 ABCD中，AB=5，AD=7，则 ABCD的周长为（ ）
A．12 B．14 C．35 D．24
4．（2021八下·台州期中）在□ ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．2：1：2：1 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．1：2：3：4
5．（2021·龙港模拟）如图，在 ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
6．（2021八下·汕头月考）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（ ）
A．AB＝DC B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠B D．AB＝AD
7．（2021八下·上海期中）以下条件能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边相等，一组对角相等
D．一组对边平行，一组邻角互补
8．（2021七下·运城期中）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具(如图1)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图2)，观察所得到的四边形，下列结论正确的有（ ）
①∠BCA= 45°；②AC的长度变小；③AC= BD；④AC⊥BD
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2020·黑龙江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．
10．（2021八下·上海期中） 的高是6， ， ，那么 的面积是 ．
11．（2021八下·上海期中）如图，□ 的周长为 ， 相交于点 ， 交 于 ，则 的周长为 .
12．（2021·南岗模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝2 ，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长为 ．
三、解答题
13．（2021八下·汕头月考）如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE．
求证：四边形AECF是平行四边形．
14．（2021八下·上海期中）已知：如图，点E、G在平行四边形 的边 上， ，延长 到点F，使得 ．
求证： ．
15．（2021·永嘉模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF∥AB交DE的延长线于点F.
（1）求证：△BDE≌△CFE.
（2）若AC＝8，CF＝5，求BC的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，1）．
故答案为：A．
【分析】由点的坐标特征得出A和C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出D的坐标。
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形
∴AD∥BC，AB=DC，∠B=∠ADC
∴∠AEB=∠DAE
∵ 平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∵
∴△BAE是等边三角形
∴∠BAE=∠DAE = ，AB=AE=BE
∴AE=DC，∠ADC=∠DAE
∵AD=AD
∴△EAD≌△CDA
∴∠DAC=∠ADE
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC
∵
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC=40°
∴ =120°
∴ =180° ∠ACE=20°
故答案选C．
【分析】先根据平行四边形ABCD，， 平分 ，得出△BAE是等边三角形，从而求出△EAD≌△CDA，在求出∠ACE的度数即可。
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】平行四边形对边相等，所以CD=AB=5，BC=AD=7，
所以周长为AB+AD+DC+BC=5+7+5+7=24
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质计算即可。
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 如图，□ ABCD ，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质分别判断即可.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴BE＝2BF，
∵CD＝10，
∴AB＝10，
∵AF＝6，
∴BF＝ ＝8，
∴BE＝2BF＝16，
故答案为：C.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，结合∠ABC的平分线交AD于点E，证明 再利用等腰三角形的性质可得：BE＝2BF，再由勾股定理求解 即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.由AD∥BC，AB＝DC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B.∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C.∵AD∥BC，∴∠D+∠BCD=180°，∵∠D＝∠B，∴∠B+∠BCD=180°，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D.由AD∥BC，AB＝AD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，逐项进行判断，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.一组对边平行，另一组对边相等，可能是梯形，故不符合题意；
B. 一组对边平行，一组对角相等，可以判定是平行四边形，故满足题意；
C.一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形，故不符合题意；
D.一组对边平行，一组邻角互补，也不能判定，故不符合题意；
故答案选：B．
【分析】由平行线的性质即可得出结论。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB⊥BC
∴四边形BACD为矩形
∴AC=BD，即④正确；
根据题意可得，AC的长度变小，即②正确。
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定和性质，平行四边形的性质，证明得到答案即可。
9．【答案】AD=BC（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件AD=BC，
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件AB∥DC，
本题只需添加一个即可，
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可．
10．【答案】30
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知6只能为AB上的高时，不能为BC上的高时，
∴ 的面积为 ．
故答案为：30．
【分析】由直角三角形的性质，斜边大于直角拜年可孩子给出的高是边AB上的高，利用平行四边形的面积公式即可得出。
11．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的周长为30
∴AD+CD=15
∵OE垂直平分AC
∴AE=EC
∴三角形DCE的周长=EC+DC+DE=AE+ED+DC=AD+DC=15
【分析】根据题意，由平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，等量代换，计算得到三角形的周长即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则在RtΔABE中有 ，
如图，延长EF至点G使FG=EF，连接AG、DE、BG，
∵点F是AB的中点，
∴四边形AEBG是平行四边形，
∴AG∥BE，AG=BE=x，
又∵ ABCD中有AD∥BC，
∴G、A、D三点共线，
∴DG=AG+AD=x+5，
∵∠EFD=90°，
∴DF垂直平分EG，
∴DE=DG=x+5，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴ ，
∴
解得 ， （舍）
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先设 ，再通过作辅助线构造平行四边形AGBE，用x来表示出DE，最后分别在RtΔABE和RtΔADE中得到用x表示AE2的式子，建立方程后，求出x，代入后即可求出AE的长．
13．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴AF∥CE．
又∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AF∥EC，再由AF=CE， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解.
14．【答案】证明：连接 ， ， ．
， ，
四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
， （平行四边形对边相等且平行），
平行四边形 ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ ．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先连接 ， ， ，根据已知条件 ， ，得到四边形 是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得出 ， ，利用等量代换得到 ， ，所以判定四边形ABGF是平行四边形，继而证出。
15．【答案】（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠BDE=∠F，∠B=∠FCE，
在△BDE和△CFE中， ，
∴△BDE≌△CFE（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CFE，
∴BD=CF=5，
∵D是AB的中点，
∴AB=2BD=10，
在Rt△ABC中，BC= .
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意用角角边可证△BDE≌△CFE；
（2）由（1）中的全等三角形可得BD=CF， 在Rt△ABC中，用勾股定理可求得BC的值.
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