浙江省温州市温州市第十二中学2021-2022学年九年级下学期第一次教学质量监测数学试卷
一、单选题
1．（2019·遵义模拟）5的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九下·温州开学考）北京2022年冬奥会开幕式完美上演，中国以自己的方式，为世界呈现了一场浪漫十足的冰雪盛宴．据官方数据统计，中国大陆地区观看人数约3.16亿人.3.16亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·和平期末）如图是一根空心方管，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·荔湾期末）从拼音“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·青山期中）用配方法解方程 ，变形结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022九下·温州开学考）如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，若四线城市以下购买新能源汽车用户有18万，则一线城市购买新能源汽车用户有（ ）万
A．33 B．51 C．111 D．138
7．（2022九下·温州开学考）如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B．100cos20° C． D．100sin20°
8．（2021·洪洞模拟）如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形 的弧 的点 处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九下·温州开学考）已知点在二次函数的图象上，且C为抛物线的顶点．若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九下·温州开学考）如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt△ABC中，，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022九下·温州开学考）因式分解： ．
12．（2022九下·温州开学考）不等式组的解集是 ．
13．（2022九下·温州开学考）“无糖饮料”真的不含糖吗？某探究小组对市面上35款无糖饮料进行含糖量测评统计，得到35频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，根据《食品安全国家标准》，每100毫升饮料含糖量低于500毫克，即可标注“零糖”，则名副其实的饮料有 款．
14．（2022九下·温州开学考）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
15．（2022九下·温州开学考）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 ．
三、解答题
16．（2022九下·温州开学考）如图，正方形ABCD的边长为10，E、F分别是BC、CD边上的点，，分别连接AE、BF，两线段交于一点M，点G、H分别是AE、BF边上的中点．
（1）当BE＝4时，线段GH的长为 ．
（2）连结DM，当时，＝ ．
17．（2022九下·温州开学考）
（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2022九下·温州开学考）如图，在△ABC中，于点E，，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．
（1）求证：．
（2）若，求BC的长．
19．（2020八下·镇海期末）停课不停学，疫情期间，八（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如下：
打卡次数 7 8 9 14 15
人数 6 9 6 3 6
（1）直接写出打卡次数的众数和中位数；
（2）求所有同学打卡次数的平均数；
（3）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励，请你根据（1）、（2）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由.
20．（2022九下·温州开学考）如图，在8×6的方格纸ABCD中，每个小方格纸的顶点为格点，请按要求画出格点多边形，且所画格点多边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点三角形EFG，使得点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且；
（2）在图2中画一个四边形EFGH，使点F为边BC的中点，E，G，H分别落在边AB，CD，DA上，且，．
21．（2022九下·温州开学考）如图，直角坐标系中，抛物线，（，a，b均为常数）经过点（3，13），分别交y轴正半轴于点C，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）当时，求AB的长．
22．（2021·东城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作 于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作 交DC于点G，交AC于点M．过点G作 于点N．
（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若 ，求线段AC的长．
23．（2021九上·杭州期中）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示.阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m.设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本.
24．（2022九下·温州开学考）如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．
（1）当时，求∠B和的度数；
（2）求证：；
（3）在点P的运动过程中，当时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【分析】根据倒数的定义作答．
【解答】∵，
∴故选：A
【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：亿.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，是内外两个正方形，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：拼音“shuxue”中，总共有6个字母，其中字母u的个数为2，
根据概率公式可得，抽中字母u的概率为
故答案为：A
【分析】利用概率公式求解即可。
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据配方法的定义,将方程 的二次项系数化为1, 得：
，配方得 ，
即: ．
故答案为：D．
【分析】将原方程二次项系数化为1后用配方法变形可得结果．
6．【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由扇形图可知：四线城市以下购买新能源汽车所占的百分比为6%，
∴购买新能源汽车的总人数为：18÷6%=300万用户，
∴一线城市购买新能源的汽车用户为300×46%=138万用户.
故答案为：D.
【分析】利用四线城市以下购买新能源汽车用户数除以所占的比例可得总人数，然后乘以一线城市购买新能源的汽车用户所占的比例可得对应的人数.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵滑道坡角为20°，
∴，
∵AC为100米，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据坡角可得∠C=20°，然后根据∠C的余弦函数进行计算即可.
8．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接 ，
由题意得，AB= ，
∴ 为等边三角形，
∴∠ =60°，
∴阴影部分的面积= ，
故答案为：C．
【分析】先求出 为等边三角形，再求出∠ =60°，最后利用扇形面积公式进行计算求解即可。
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线
点C为抛物线的顶点
点C为抛物线的最低点，即抛物线开口向上
点
，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，根据点C为抛物线的顶点可得x0=-1，根据y0≤y10，表示出y1、y2，然后根据y110．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD，ACFG，ABJH是正方形
，，
设，则，
即
即
解得或（舍）
即
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得∠BCN=∠ACF=90°，∠BAC=∠NFC=90°，AC=CF，利用ASA证明△ABC≌△FNC，得到NF=AB，设AC=7a，AB=7b，求出tan∠ACB的值，证明△AKM∽△GNM，由相似三角形的性质得，易得∠ACB=∠ABK，根据三角函数的概念可得AK，然后根据可得的值，据此可得tan∠ACB的值.
11．【答案】（a+3b）（a-3b）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：（a+3b）（a-3b）.
【分析】原式可变形为a2-(3b)2，然后利用平方差公式进行分解.
12．【答案】1≤x＜3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为1≤x＜3．
故答案为：1≤x＜3．
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.
13．【答案】34
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：根据频数直方图可知：每100毫升饮料含糖量低于500毫克的频数有：
15+6+5+8=34，
所以，名副其实的饮料有34款．
故答案为：34.
【分析】首先根据频数分布直方图求出每100毫升饮料含糖量低于500毫克的频数，进而可得名副其实的饮料的款数.
14．【答案】5
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，则
由题意知，
∴
∴
∴
解得
∴
∴
故答案为：5.
【分析】设A（a，），F（0，m），则B（，），由题意知∠BEF=∠DOF=90°，∠BFE=∠DFO，证明△BEF∽△DOF，根据相似三角形的性质可得m=，则EF=，然后根据三角形的面积公式进行计算.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，
则，
，，
，
，
中，，
，
在中，
，即，解得，
．
故答案为：．
【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，根据垂径定理可得CM=CD，易得OC=AB=3，则OE=OB-BE=2，根据含30°角的直角三角形的性质可得OM，然后利用勾股定理求出CM，进而可得CD的长.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）解：在正方形ABCD中，
，，
在△ABE和△BCF中
∵，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，
由勾股定理，则，
∵∠AEB=∠BEM，∠BAE=∠CBF，
∴△ABE∽△BME，
∴∠BME=∠ABE=90°，，
∴，
∴，
∴，
∵点G、H分别是AE、BF边上的中点，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
（2）同（1）可得，
，
，
，
，
，
如图，作MN⊥BC于点N，MP⊥CD于点P，
∵，
∴
∴
∴
解得，
∴，
由勾股定理得，
∴
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC=10，∠ABE=∠BCF=90°，证明△ABE≌△BCF，得到∠BAE=∠CBF，AE=BF，利用勾股定理求出AE，证明△ABE∽△BME，根据相似三角形的性质可得ME，利用勾股定理求出BM，根据中点的概念可得BH=GE=AE，然后求出GM、MH，再利用勾股定理计算即可；
（2）同①可得AE、BF、ME、BM、BH、GM、MH、GH的值，作MN⊥BC于点N，MP⊥CD于点P，证明△MBE∽△BNM，根据相似三角形的性质可得BN、MN，进而求出MP、DP，然后利用勾股定理求出DM，据此求解.
17．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方法则、绝对值的性质、0次幂的运算性质以及算术平方根的概念分别计算，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，再合并同类项化简即可.
18．【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF，
在△ACF和△ADF中：，
∴．
（2）解：∵，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠ADF+∠DFE=90°，
由(1)中可知：∠ACE=∠ADF，
∴∠CAE=∠DFE，
又已知，
∴∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠CAE=∠ECB，
∴∠DFE=∠ECB，
∴DF∥BC，
∴∠DGC=180°-∠ACB=90°，
∵AF为∠CAD角平分线，由角平分线性质可知：
∴FE=FG=2，DF=CF=6，DG=CE=8，
∴，
∵∠EDF=∠GDA，∠FED=∠AGD=90°，
∴△DEF∽△DGA，
∴，代入数据得到：，
解得，
∴，
又∵DF∥BC，
∴△AGD∽△ACB，
∴，代入数据得到：，
∴解得：BC=24，
故BC的长为24．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠CAF=∠BAF，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ADF，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠DFE，进而推出 ∠DFE=∠ECB，则DF∥BC，得∠DGC=90°，进而证出FE=FG=2，DF=CF=6，DG=CE=8，利用勾股定理求出ED，证明△DEF∽△DGA，根据相似三角形的性质可得AG，利用勾股定理求出AC，然后证明△AGD∽△ACB，利用相似三角形的性质求解即可.
19．【答案】（1）解：8次的人数最多，众数为8次；
因为一共30人，所有同学打卡次数从小到大排列第15个、第16个数据为8次，9次，
中位数为（8+9）÷2=8.5（次）；
（2）解：平均数为 （次）；
（3）解：为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数.
因为共有30人，9次以上（含9次）的有15人，占总数的一半.即超过9次（含9次）的获得奖励.
【知识点】平均数及其计算；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据众数、中位数的定义解答即可；（2）根据平均数的定义解答即可；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半.
20．【答案】（1）解：即为所求；
（2）解：四边形即为所求：
【知识点】勾股定理的逆定理；作图-垂线
【解析】【分析】（1）找出点E、F、G，使EF2+FG2=EG2，则△EFG为直角三角形，且∠EFG=90°；
（2）取BC的中点F，在AD上取一点H，连接FH，然后作HF的垂线，与CD交于点G，与AB交于点E，然后连接EH、EF、FG、HG即可.
21．【答案】（1）解：将点（3，13）代入抛物线中，得
解得
抛物线的表达式为
顶点坐标为（ ， ）
（2）解：由抛物线的表达式为可得， （ ， ）
点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B
当 时，即
解得
即A点横坐标为 ，B点横坐标为
故，AB的长为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点（3，13）代入y=ax2-4ax+10中可得a的值，据此可得抛物线的解析式，然后化为顶点式就可得到顶点坐标；
（2）令x=0，求出y的值，可得C（0，10），则OC=10，根据OP=4CP可得OP，令y=8，求出x的值，可得点A、B的横坐标，据此不难求出AB的长.
22．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴∠GNE=∠MEN=90°，
∵ ，
∴∠MGN+∠GNE=180°，
∴∠MGN=90°，
∴四边形NEMG是矩形．
（2）解：∵四边形NEMG是矩形，GN=8，
∴∠AMB=∠AMG=90°，ME=GN=8，
∵sin∠CAB= ，AB=26，
∴MB= 10，
∴ =24，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠CAB=∠ACD，
在△ABM和△CDE中， ，
∴△ABM≌△CDE，
∴CE=AM=24，
∴AC=AM+CE-ME=24+24-8=40．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证AC//GN，∠MEN=90°，则四边形NEMG是平行四边形，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出ME=GN=8，再由锐角三角函数定义BM=10，由勾股定理得=24，则AE=AM-EM=16，再证明△ABM≌△CDE，即可求解。
23．【答案】（1）解：根据题意得：y＝20×10﹣4× ×
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）解：由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）解：设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得：y＝20×10-4××，化简即可；
（2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，结合二次函数的性质可得最大值以及对应的x的值；
（3）设布置场地所用费用为w元，则w＝10(-x2+30x)+8[200-(-x2+30x)]=-2x2+60x+1600，令w＝1850，求出x的值，结合x的范围对求出的x的值进行取舍，然后利用二次函数的性质可得当活动区域最大时的布置成本.
24．【答案】（1）解：∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵∠APB=28°，
∴∠B=76°，
如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线，
∴MD∥AP，
∴∠MDB=∠APB=28°，
∴；
（2）证明：∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180°-∠APB-∠B，∠ACB=180°-∠BAC-∠B，
∴∠BAP=∠ACB，
∵∠BAP=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AC=AB；
（3）解：如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°，
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，
∴12+MR2=22+CR2，
∴12+(4-PR)2=22+CR2，
∴PR=，MR=，
接下来分情况讨论：
情况一：当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，
∴Q与R重合，
∴MQ=MR=；
情况二：当∠QCD=90°时，如下图3所示：
在Rt△QCP中，PQ=2PR=，
∴MQ=；
情况三：当∠QDC=90°时，如下图4所示：
∵BM=1，MP=4，
∴BP=，
∴，
∵，
∴，
∴；
情况四：当∠AEQ=90°时，如下图5所示：
由圆的对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，
∴；
综上所述，MQ的值为或或．
【知识点】圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）易得PA=PB，则∠PAB=∠B=76°，连接MD，由中位线的性质得MD∥AP，由平行线性质得∠MDB=∠APB=28°，然后根据弧的度数等于所对圆周角的度数的2倍进行计算；
（2）由∠BAC=∠MDC=∠APB结合内角和定理得∠BAP=∠ACB，结合∠BAP=∠B推出∠ACB=∠B，据此证明；
（3）记MP与圆的另一个交点为R，根据中线的概念可得DM=DP，则∠DPM=∠DMP=∠RCD，根据勾股定理可得RM、MR，情况一：当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，此时Q与R重合，据此可得MQ；情况二：当∠QCD=90°时，PQ=2PR，进而可得MQ；情况三：当∠QDC=90°时，由勾股定理求出BP，进而得到DP，根据三角函数的概念求出PQ，进而可得MQ；情况四：当∠AEQ=90°时，由圆的对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，进而可得MQ.
1 / 1浙江省温州市温州市第十二中学2021-2022学年九年级下学期第一次教学质量监测数学试卷
一、单选题
1．（2019·遵义模拟）5的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【分析】根据倒数的定义作答．
【解答】∵，
∴故选：A
【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2022九下·温州开学考）北京2022年冬奥会开幕式完美上演，中国以自己的方式，为世界呈现了一场浪漫十足的冰雪盛宴．据官方数据统计，中国大陆地区观看人数约3.16亿人.3.16亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：亿.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
3．（2021九上·和平期末）如图是一根空心方管，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，是内外两个正方形，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
4．（2021九上·荔湾期末）从拼音“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：拼音“shuxue”中，总共有6个字母，其中字母u的个数为2，
根据概率公式可得，抽中字母u的概率为
故答案为：A
【分析】利用概率公式求解即可。
5．（2019九上·青山期中）用配方法解方程 ，变形结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据配方法的定义,将方程 的二次项系数化为1, 得：
，配方得 ，
即: ．
故答案为：D．
【分析】将原方程二次项系数化为1后用配方法变形可得结果．
6．（2022九下·温州开学考）如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，若四线城市以下购买新能源汽车用户有18万，则一线城市购买新能源汽车用户有（ ）万
A．33 B．51 C．111 D．138
【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由扇形图可知：四线城市以下购买新能源汽车所占的百分比为6%，
∴购买新能源汽车的总人数为：18÷6%=300万用户，
∴一线城市购买新能源的汽车用户为300×46%=138万用户.
故答案为：D.
【分析】利用四线城市以下购买新能源汽车用户数除以所占的比例可得总人数，然后乘以一线城市购买新能源的汽车用户所占的比例可得对应的人数.
7．（2022九下·温州开学考）如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B．100cos20° C． D．100sin20°
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵滑道坡角为20°，
∴，
∵AC为100米，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据坡角可得∠C=20°，然后根据∠C的余弦函数进行计算即可.
8．（2021·洪洞模拟）如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形 的弧 的点 处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接 ，
由题意得，AB= ，
∴ 为等边三角形，
∴∠ =60°，
∴阴影部分的面积= ，
故答案为：C．
【分析】先求出 为等边三角形，再求出∠ =60°，最后利用扇形面积公式进行计算求解即可。
9．（2022九下·温州开学考）已知点在二次函数的图象上，且C为抛物线的顶点．若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线
点C为抛物线的顶点
点C为抛物线的最低点，即抛物线开口向上
点
，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，根据点C为抛物线的顶点可得x0=-1，根据y0≤y10，表示出y1、y2，然后根据y110．（2022九下·温州开学考）如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt△ABC中，，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD，ACFG，ABJH是正方形
，，
设，则，
即
即
解得或（舍）
即
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得∠BCN=∠ACF=90°，∠BAC=∠NFC=90°，AC=CF，利用ASA证明△ABC≌△FNC，得到NF=AB，设AC=7a，AB=7b，求出tan∠ACB的值，证明△AKM∽△GNM，由相似三角形的性质得，易得∠ACB=∠ABK，根据三角函数的概念可得AK，然后根据可得的值，据此可得tan∠ACB的值.
二、填空题
11．（2022九下·温州开学考）因式分解： ．
【答案】（a+3b）（a-3b）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：（a+3b）（a-3b）.
【分析】原式可变形为a2-(3b)2，然后利用平方差公式进行分解.
12．（2022九下·温州开学考）不等式组的解集是 ．
【答案】1≤x＜3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为1≤x＜3．
故答案为：1≤x＜3．
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.
13．（2022九下·温州开学考）“无糖饮料”真的不含糖吗？某探究小组对市面上35款无糖饮料进行含糖量测评统计，得到35频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，根据《食品安全国家标准》，每100毫升饮料含糖量低于500毫克，即可标注“零糖”，则名副其实的饮料有 款．
【答案】34
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：根据频数直方图可知：每100毫升饮料含糖量低于500毫克的频数有：
15+6+5+8=34，
所以，名副其实的饮料有34款．
故答案为：34.
【分析】首先根据频数分布直方图求出每100毫升饮料含糖量低于500毫克的频数，进而可得名副其实的饮料的款数.
14．（2022九下·温州开学考）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，则
由题意知，
∴
∴
∴
解得
∴
∴
故答案为：5.
【分析】设A（a，），F（0，m），则B（，），由题意知∠BEF=∠DOF=90°，∠BFE=∠DFO，证明△BEF∽△DOF，根据相似三角形的性质可得m=，则EF=，然后根据三角形的面积公式进行计算.
15．（2022九下·温州开学考）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，
则，
，，
，
，
中，，
，
在中，
，即，解得，
．
故答案为：．
【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，根据垂径定理可得CM=CD，易得OC=AB=3，则OE=OB-BE=2，根据含30°角的直角三角形的性质可得OM，然后利用勾股定理求出CM，进而可得CD的长.
三、解答题
16．（2022九下·温州开学考）如图，正方形ABCD的边长为10，E、F分别是BC、CD边上的点，，分别连接AE、BF，两线段交于一点M，点G、H分别是AE、BF边上的中点．
（1）当BE＝4时，线段GH的长为 ．
（2）连结DM，当时，＝ ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）解：在正方形ABCD中，
，，
在△ABE和△BCF中
∵，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，
由勾股定理，则，
∵∠AEB=∠BEM，∠BAE=∠CBF，
∴△ABE∽△BME，
∴∠BME=∠ABE=90°，，
∴，
∴，
∴，
∵点G、H分别是AE、BF边上的中点，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
（2）同（1）可得，
，
，
，
，
，
如图，作MN⊥BC于点N，MP⊥CD于点P，
∵，
∴
∴
∴
解得，
∴，
由勾股定理得，
∴
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC=10，∠ABE=∠BCF=90°，证明△ABE≌△BCF，得到∠BAE=∠CBF，AE=BF，利用勾股定理求出AE，证明△ABE∽△BME，根据相似三角形的性质可得ME，利用勾股定理求出BM，根据中点的概念可得BH=GE=AE，然后求出GM、MH，再利用勾股定理计算即可；
（2）同①可得AE、BF、ME、BM、BH、GM、MH、GH的值，作MN⊥BC于点N，MP⊥CD于点P，证明△MBE∽△BNM，根据相似三角形的性质可得BN、MN，进而求出MP、DP，然后利用勾股定理求出DM，据此求解.
17．（2022九下·温州开学考）
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方法则、绝对值的性质、0次幂的运算性质以及算术平方根的概念分别计算，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则分别去括号，再合并同类项化简即可.
18．（2022九下·温州开学考）如图，在△ABC中，于点E，，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．
（1）求证：．
（2）若，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF，
在△ACF和△ADF中：，
∴．
（2）解：∵，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠ADF+∠DFE=90°，
由(1)中可知：∠ACE=∠ADF，
∴∠CAE=∠DFE，
又已知，
∴∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠CAE=∠ECB，
∴∠DFE=∠ECB，
∴DF∥BC，
∴∠DGC=180°-∠ACB=90°，
∵AF为∠CAD角平分线，由角平分线性质可知：
∴FE=FG=2，DF=CF=6，DG=CE=8，
∴，
∵∠EDF=∠GDA，∠FED=∠AGD=90°，
∴△DEF∽△DGA，
∴，代入数据得到：，
解得，
∴，
又∵DF∥BC，
∴△AGD∽△ACB，
∴，代入数据得到：，
∴解得：BC=24，
故BC的长为24．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠CAF=∠BAF，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ADF，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠DFE，进而推出 ∠DFE=∠ECB，则DF∥BC，得∠DGC=90°，进而证出FE=FG=2，DF=CF=6，DG=CE=8，利用勾股定理求出ED，证明△DEF∽△DGA，根据相似三角形的性质可得AG，利用勾股定理求出AC，然后证明△AGD∽△ACB，利用相似三角形的性质求解即可.
19．（2020八下·镇海期末）停课不停学，疫情期间，八（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如下：
打卡次数 7 8 9 14 15
人数 6 9 6 3 6
（1）直接写出打卡次数的众数和中位数；
（2）求所有同学打卡次数的平均数；
（3）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励，请你根据（1）、（2）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由.
【答案】（1）解：8次的人数最多，众数为8次；
因为一共30人，所有同学打卡次数从小到大排列第15个、第16个数据为8次，9次，
中位数为（8+9）÷2=8.5（次）；
（2）解：平均数为 （次）；
（3）解：为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数.
因为共有30人，9次以上（含9次）的有15人，占总数的一半.即超过9次（含9次）的获得奖励.
【知识点】平均数及其计算；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据众数、中位数的定义解答即可；（2）根据平均数的定义解答即可；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半.
20．（2022九下·温州开学考）如图，在8×6的方格纸ABCD中，每个小方格纸的顶点为格点，请按要求画出格点多边形，且所画格点多边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点三角形EFG，使得点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且；
（2）在图2中画一个四边形EFGH，使点F为边BC的中点，E，G，H分别落在边AB，CD，DA上，且，．
【答案】（1）解：即为所求；
（2）解：四边形即为所求：
【知识点】勾股定理的逆定理；作图-垂线
【解析】【分析】（1）找出点E、F、G，使EF2+FG2=EG2，则△EFG为直角三角形，且∠EFG=90°；
（2）取BC的中点F，在AD上取一点H，连接FH，然后作HF的垂线，与CD交于点G，与AB交于点E，然后连接EH、EF、FG、HG即可.
21．（2022九下·温州开学考）如图，直角坐标系中，抛物线，（，a，b均为常数）经过点（3，13），分别交y轴正半轴于点C，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）．
（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）当时，求AB的长．
【答案】（1）解：将点（3，13）代入抛物线中，得
解得
抛物线的表达式为
顶点坐标为（ ， ）
（2）解：由抛物线的表达式为可得， （ ， ）
点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B
当 时，即
解得
即A点横坐标为 ，B点横坐标为
故，AB的长为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点（3，13）代入y=ax2-4ax+10中可得a的值，据此可得抛物线的解析式，然后化为顶点式就可得到顶点坐标；
（2）令x=0，求出y的值，可得C（0，10），则OC=10，根据OP=4CP可得OP，令y=8，求出x的值，可得点A、B的横坐标，据此不难求出AB的长.
22．（2021·东城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作 于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作 交DC于点G，交AC于点M．过点G作 于点N．
（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若 ，求线段AC的长．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴∠GNE=∠MEN=90°，
∵ ，
∴∠MGN+∠GNE=180°，
∴∠MGN=90°，
∴四边形NEMG是矩形．
（2）解：∵四边形NEMG是矩形，GN=8，
∴∠AMB=∠AMG=90°，ME=GN=8，
∵sin∠CAB= ，AB=26，
∴MB= 10，
∴ =24，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠CAB=∠ACD，
在△ABM和△CDE中， ，
∴△ABM≌△CDE，
∴CE=AM=24，
∴AC=AM+CE-ME=24+24-8=40．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证AC//GN，∠MEN=90°，则四边形NEMG是平行四边形，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出ME=GN=8，再由锐角三角函数定义BM=10，由勾股定理得=24，则AE=AM-EM=16，再证明△ABM≌△CDE，即可求解。
23．（2021九上·杭州期中）在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示.阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m.设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本.
【答案】（1）解：根据题意得：y＝20×10﹣4× ×
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）解：由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）解：设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得：y＝20×10-4××，化简即可；
（2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，结合二次函数的性质可得最大值以及对应的x的值；
（3）设布置场地所用费用为w元，则w＝10(-x2+30x)+8[200-(-x2+30x)]=-2x2+60x+1600，令w＝1850，求出x的值，结合x的范围对求出的x的值进行取舍，然后利用二次函数的性质可得当活动区域最大时的布置成本.
24．（2022九下·温州开学考）如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．
（1）当时，求∠B和的度数；
（2）求证：；
（3）在点P的运动过程中，当时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条
【答案】（1）解：∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵∠APB=28°，
∴∠B=76°，
如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线，
∴MD∥AP，
∴∠MDB=∠APB=28°，
∴；
（2）证明：∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180°-∠APB-∠B，∠ACB=180°-∠BAC-∠B，
∴∠BAP=∠ACB，
∵∠BAP=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AC=AB；
（3）解：如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°，
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，
∴12+MR2=22+CR2，
∴12+(4-PR)2=22+CR2，
∴PR=，MR=，
接下来分情况讨论：
情况一：当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，
∴Q与R重合，
∴MQ=MR=；
情况二：当∠QCD=90°时，如下图3所示：
在Rt△QCP中，PQ=2PR=，
∴MQ=；
情况三：当∠QDC=90°时，如下图4所示：
∵BM=1，MP=4，
∴BP=，
∴，
∵，
∴，
∴；
情况四：当∠AEQ=90°时，如下图5所示：
由圆的对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，
∴；
综上所述，MQ的值为或或．
【知识点】圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）易得PA=PB，则∠PAB=∠B=76°，连接MD，由中位线的性质得MD∥AP，由平行线性质得∠MDB=∠APB=28°，然后根据弧的度数等于所对圆周角的度数的2倍进行计算；
（2）由∠BAC=∠MDC=∠APB结合内角和定理得∠BAP=∠ACB，结合∠BAP=∠B推出∠ACB=∠B，据此证明；
（3）记MP与圆的另一个交点为R，根据中线的概念可得DM=DP，则∠DPM=∠DMP=∠RCD，根据勾股定理可得RM、MR，情况一：当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，此时Q与R重合，据此可得MQ；情况二：当∠QCD=90°时，PQ=2PR，进而可得MQ；情况三：当∠QDC=90°时，由勾股定理求出BP，进而得到DP，根据三角函数的概念求出PQ，进而可得MQ；情况四：当∠AEQ=90°时，由圆的对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，进而可得MQ.
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