初中数学苏科版九年级下册第五章二次函数 综合测试卷

初中数学苏科版九年级下册第五章二次函数 综合测试卷
一、单选题
1．（2020·宿迁）将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（　　）
A．y=(x+2)2﹣2 B．y=(x﹣4)2+2
C．y=(x﹣1)2﹣1 D．y=(x﹣1)2+5
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为： ，即 .
故答案为：D.
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.
2．（2018·连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（　　）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、当t=9时，h=-81+216+1=136；当t=13时，h=-169+312+1=144，可得高度不相等，故A不符合题意；
B、当t=24时，h=-576+576+1=1，高度为1m，故B不符合题意；
C、当t=10时，h=-100+240+1=141≠139，故C不符合题意；
D、h= t2＋24t＋1= （t-12）2+145，∵a=-1<0，
∴当t=12时，h有最大值145，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A，B，C三个选项的说法，即只要把t的值代入h= t2＋24t＋1即可得到；D是求二次函数的最值，可将函数表达式化成顶点式，根据a的正负，判断是最大还是最小的.
3．（2017·宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（　　）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x﹣2）2+1．
故选C．
【分析】由抛物线平移不改变y的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
4．（2017·徐州）若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（　　）
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴ ，
解得b＜1且b≠0．
故选：A．
【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
5．（2020·镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（　　）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值.
6．（2019·南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是（　　）
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A不符合题意，C不符合题意；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得： ，
所以线段CD的函数解析式为 ，故B不符合题意；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为 ，故D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据图象提供的信息解决问题：由图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A不符合题意，C不符合题意；根据点C，D的坐标。利用待定系数法求出直线CD的解析式，即可判断B；由于点B是抛物线的顶点，故设出曲线段AB所在抛物线的顶点式，再代入点A的坐标，即可求出二次项的系数，从而求出曲线段AB所在抛物线的解析式，即可判断出D。
7．（2017·扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：把C（2，1）代入y=x2+bx+1，得
22+2b+1=1，
解得b=﹣2．
故b的取值范围是b≥﹣2．
故选：C．
【分析】抛物线经过C点时b的值即可．
8．（2017·连云港）已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
故选：C．
【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
9．（2017·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（　　）
A．20cm B．18cm C．2 cm D．3 cm
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AP=CQ=t，
∴CP=6﹣t，
∴PQ= = = ，
∵0≤t≤2，
∴当t=2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2 ，
故选C．
【分析】根据已知条件得到CP=6﹣t，得到PQ= = = ，于是得到结论．
10．（2017·盐城）如图，将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵函数y= （x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m= （1﹣2）2+1=1 ，n= （4﹣2）2+1=3，
∴A（1，1 ），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1 ），
∴AC=4﹣1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y= （x﹣2）2+4．
故选D．
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1 ），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．
11．如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.
下列判断： ①当x＞2时，M=y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=1.
其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】∵当y1=y2时，即时，解得：x=0或x=2，
∴由函数图象可以得出当x＞2时， y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时， y2＞y1。∴①错误。
∵当x＜0时， 直线的值都随x的增大而增大，
∴当x＜0时，x值越大，M值越大。∴②正确。
∵抛物线的最大值为4，∴M大于4的x值不存在。∴③正确；
∵当0＜x＜2时，y1＞y2，∴当M=2时，2x=2，x=1；
∵当x＞2时，y2＞y1，∴当M=2时，，解得（舍去）。
∴使得M=2的x值是1或。∴④错误。
综上所述，正确的有②③2个。故选B。
12．（2020·惠山模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（　　）
A．16 B．15 C．12 D．11
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为 的中点，
∴
设AE=x， ∵AB
∴HF
∴当 时，△CEF面积的最小值
故答案为：B.
【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值.
二、填空题
13．（2020·南京）下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是　 　.
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 当 时，将二次函数 的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象
该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当 时，
即该函数的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④.
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当 时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 的顶点坐标，再代入函数 进行验证即可得.
14．（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设原来的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 ，
故原来的抛物线解析式是： ，
设平移后的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 (舍去)或 ，
所以平移后抛物线的解析式是： 。
故答案是： 。
【分析】利用待定系数法求出原来的抛物线的解析式，设向右平移了b个单位，根据点的坐标的平移的规律得出平移后新抛物线的顶点坐标（-b，0），由于平移不会改变原抛物线的开口方向及大小，故二次项的系数不会发生变化，从而设出平移后新抛物线的顶点式，再代入点P的坐标，求解并检验即可求出b的值，从而得出答案。
15．（2019·镇江）已知抛物线 过点 ， 两点，若线段 的长不大于 ，则代数式 的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴ ，顶点为（-2，1）
∴由题意可知a>0，
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（ ）2+ +1= ；
故答案为： 。
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式计算方法及抛物线的对称性，求出抛物线的顶点的坐标，根据题意得出4a+1≥3，且a＞0，求解得出a的取值范围，然后将a的最小值代入代数式即可算出答案。
16．（2019·无锡）某个函数具有性质：当 >0时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是　 　（只要写出一个符合题意的答案即可）
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】某个函数具有性质：当 >0时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 ，
故答案为： (答案不唯一).
【分析】开放性命题，答案不唯一：可以写一次函数，根据一次函数的性质与系数的关系只要一次函数的自变量的系数大于0即可；也可以写反比例函数，根据反比例函数的系数与性质的关系，只要反比例函数的比例系数小于0即可；还可以是二次函数，根据二次函数的系数与性质的关系，二次项系数大于0，且二次项系数与一次项系数符号相反即可。
17．（2018·淮安）将二次函数 的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图像向上平移3个单位长度，
∴ +3=x2+2.
故答案为： .
【分析】根据平移的性质：上+下-，由此即可得出答案.
18．（2014·南通）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　 　．
【答案】x=﹣1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x= =﹣1，即x=﹣1．
故答案是：x=﹣1．
【分析】因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x= 求解即可．
19．（2014·南京）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是　 　．
【答案】0＜x＜4
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
20．（2014·淮安）将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　．
【答案】y=2x2+1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，
∴所得图象对应的函数表达式为：y=2x2﹣1+2=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
21．（2013·宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　 　．
【答案】0或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：0或1．
【分析】需要分类讨论：
①若m=0，则函数为一次函数；
②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
22．（2011·扬州）如图，已知函数y= 与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+ =0的解为　 　．
【答案】x=﹣3
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P的纵坐标为1，
∴1=﹣ ，
∴x=﹣3，
∵ax2+bx+ =0化为于x的方程ax2+bx=﹣ 的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+ =0化为于x的方程ax2+bx=﹣ 的形式，此方程就化为求
函数y= 与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．
23．（2020·泰兴模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2 交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为　 　.
【答案】－2≤m< 或 【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2交于C，D两点，联立解方程：
解得：
∴抛物线与直线交点的横坐标为：
又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数
∴得出在C、D之间恰有两个整数解
当 即 时得出： 解得：
当 即 时得出： 解得：
故答案为： 或
【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可.
24．（2019·南京模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒　 　个单位.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEP+∠BPE＝90°
∵E为AB的中点，
∴BE＝3
∵PQ⊥EP
∴∠BPE+∠CPQ＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ，且∠B＝∠C＝90°
∴△BEP∽△CPQ
∴
∴CQ＝ ＝
∴CQ的最大值为
∴点Q路程＝2× ＝
∴点Q运动的平均速度＝ ÷（8÷1）＝
故答案为：
【分析】由题意可证△BEP∽△CPQ，可得 ，即CQ＝ ＝ ，即可求CQ的最大值，则可求点Q运动的平均速度.
三、解答题
25．（2017·苏州）如图，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ， ．点 在函数图象上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点．
图 ① 图②
（1）求 、 的值；
（2）如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标；
（3）如图②，动点 在线段 上，过点 作 轴的垂线分别与 交于点 ，与抛物线交于点 ．试问：抛物线上是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且线段 的长度最小？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵CD⊥x轴，CD=2，
∴抛物线对称轴为直线l：x=1，
∴=1，则b=-2。
∵OB=OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（-c，0），
∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），
∴c=-3，
（2）解：由（1）可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，则E（1，-4）
设点F的坐标为（0，m），
∵对称轴为直线l：x=1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）。
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式y=2x-6，
∵点F在BE上，
∴m=2×2-6=-2，
即点F的坐标为（0，-2）。
（3）解：存在点Q满足题意。设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3，作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN=S△APM，∴（n+1）(3-n)=（-n2+2n+3）QR，∴QR=1。①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1，n2-4n），R点的坐标为（n，n2-4n），N点的坐标为（n，n2-2n-3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2，∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（，）②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2-4）.同理NQ2=1+（2n-1）2，∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（，）.综上所述，满足题意的点Q的坐标为（，）和(，)
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）因为CD⊥x轴，所以C与D的纵坐标相等，即C与D关于抛物线的对称轴对称，则可得对称轴是直线l：x=1，从而由x=-代入a的值，求出b；又由OB=OC，可得B（-c，0），代入二次函数解析式，求出c的值即可；
（2）设点F的坐标为（0，m）关于直线x=1的对称点为（2，m），则求出BE的解析式，将（2，m）代入解出m的值即可；
（3）可设P（n，0），用n可表示出PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3，作QR⊥PN，垂足为R，由S△PQN=S△APM，可列出方程求出QR=1；
分类讨论点Q在直线PN的左侧和Q在直线PN的右侧时，在Rt△QRN中，由勾股定理可得NQ2=QR2+NR2，求出当n为多少时，NQ为最小值，写出相对应的Q的坐标。
26．（2017·阜宁模拟）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp= ，同理yp= ，所以AB的中点坐标为（ ， ）．由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A、B两点间的距离公式为AB= ．这两公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：
（1）已知M（1，﹣2），N（﹣1，2），直接利用公式填空：MN中点坐标为　 　，MN=　 　．
（2）如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（a）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（b）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（c）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．
【答案】（1）（0，0）；2
（2）解：（a）联立直线、抛物线，得 ，
解得 ， ，
即B（ ，3+ ），A（ ，3﹣ ）．
由P是AB的中点，得
P（ ，3）
当x= 时，y=2x2= ，即C点坐标为（ ， ）．
（b）AB2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣3+ ）2=25；
BC2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣ ）2= ﹣5 ；
AC2=（ ﹣ ）2+（3﹣ ﹣ ）2= +5 ，
∵AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形；
（c）如图 ，
作CD⊥AB于D点，CD 是两直线间的距离，
S△ABC= AB CD= AC BC，
×5CD= × ，
解得CD= ．
两直线l与l′的距离是
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由中点坐标，得 =0， =0，
MN中点坐标为（0，0），
由两点间的距离，得
MN= =2 ，
故答案为：（0，0），2 ．
【分析】（1）根据中点坐标公式，两点间的距离公式，可得答案；
⑵（a）根据解方程组，可得A，B点坐标，根据中点坐标公式，可得P点坐标，根据平行于y轴的直线横坐标相等，可得C点横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标；
（b）根据勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（c）根据三角形的面积不同表示，可得关于CD的方程，根据解方程，可得答案．
27．（2017·无锡模拟）如图，已知抛物线 （其中 ）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，且点D恰好在线段BC的垂直平分线上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）过点 的线段MN∥y轴，与BC交于点P，与抛物线交于点N．若点E是直线l上一点，且∠BED＝∠MNB－∠ACO时，求点E的坐标．
【答案】（1）解：求得点A（-1，0）、B（b，0）、C（0，b），
易得∠ACB＝90°，由△AOC∽△COB可得b1=4，b2=0（舍去），
∴y=x2+x+2.
（2）解：易证∠ACO＝∠CBO，∠MNB＝∠MBN，所以∠BED＝∠CBN，
连结CN， 由勾股定理得CN＝，BC＝，BN＝，
由勾股定理逆定理证得∠CNB＝90°，从而得tan∠BED =tan∠CBN =，
然后解Rt△BED可得DE＝，
∴点E坐标为（，） 或（，）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据△AOC∽△COB求得b的值，在利用待定系数法解出解析式即可.
（2） 由勾股定理得CN＝，BC＝，BN＝，由勾股定理逆定理证得∠CNB＝90°，从而得tan∠BED =tan∠CBN =， 然后解Rt△BED解出DE的长即可得出点E坐标.
28．（2017·江苏模拟）已知抛物线
（1）此抛物线的顶点坐标是 　 　 ，与x轴的交点坐标是 　 　 ， 　 　 ，与y轴交点坐标是 　 　 ，对称轴直线是 　 　 ；
（2）在平面直角坐标系中画出 的图象；
（3）结合图象，说明当x取何值时，y随x的增大而减小．
【答案】（1）（1，-4）；（3，0）；（-1，0）；（0，-3）；x=1
（2）
（3）解：由图象可知当 x < 1时，y 随 x 的增大而减小．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】（1）∵ ，∴抛物线顶点坐标为（1，-4），对称轴为直线x=1；
令y=0，可得 ，解得x=3或-1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）；
令x=0可得y=-3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
故答案依次为（1，-4），（3，0），（-1，0），（0，-3），x=1.
【分析】（1）运用公式法（ ， ）或配方求顶点式和对称轴；令y=0解方程求出x的值，可求出与x轴的交点，令x=0，可求出y的值，即可求出与y轴的交点.（2）运用描点法画抛物线；（3）抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，mj 当 x < 1时，y 随 x 的增大而减小．
29．（2017·江苏模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过点（2，6），且与直线 相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；
（3）在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵ BC⊥x轴，垂足为点C（4，0），且点B在直线y= x+1上，
∴点B的坐标为（4，3），
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点（2，6）和点（4，3），
∴ ，解得 ，
故抛物线的解析式为y=-x2+ +1.
（2）解：设动点P的坐标为（x， -x2+ +1），则点E的坐标为（x， ），
∵PD⊥x轴于点D，且点P在x轴上，
∴PE=PD-ED=（-x2+ +1）-（ ）=-x2+4x=-(x-2)2+4，
∴当x=2时，PE有最大值4.
（3）解：连接CE，PB，∵PC与BE互相平分，
∴四边形PECB是平行四边形，
∴PE=BC，
∴-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3.
∵点Q为PC的中点，
∴①当x=1时，点P的坐标为（1， ），
由中点公式可得Q（ ， ），
∴点Q的坐标为（ ， ）.
②当x=3时，点P的坐标为（3， ），
由中点公式可得Q（ ， ），
∴点Q的坐标为（ ， ），
综上所述，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）抛物线的解析式里有两个未知数，需要两个坐标的点，已知（2，6），需要求出点B坐标，因为BC⊥x轴，则B的横坐标为4，代入直线解析式即可求出B的坐标，再把（2，6）和B的坐标代入抛物线，即可求得；（2）因为PD⊥x轴于点D，则PE=PD-DE，且PD=P的纵坐标，DE=E的纵坐标，可设P的横从标为x，则可分别表示出P的纵坐标，E的纵坐标，即可得到PE关于x的关系式，求其最值，一般还要注意x的取值范围；（3）由PC与BE互相平分，可得四边形PECB是平行四边形，则PE=BC，由（2）得PE=-x2+4x，构造方程解出x的值，再运用中点公式（ ， ）求出点Q，或者求出直线PC，再求PC与BE的交点即可.
30．（2017·常州模拟）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x（元）．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
【答案】解：设每天的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣ ）x﹣1100
=﹣ x2+70x﹣1100
=﹣ （x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
四、综合题
31．（2021·玄武模拟）已知二次函数 （ 是常数）.
（1）若该函数图象与 轴有两个不同的公共点，求 的取值范围；
（2）求证：不论 为何值，该函数图象的顶点都在函数 的图象上；
（3） ， 是该二次函数图象上的点，当 时，都有 ，则 的取值范围是　 　.
【答案】（1）解：令 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵该函数图象与 轴有两个不同的公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 .
∴当 时，该函数图象与 轴有两个不同的公共点.
（2）解：由 ，得顶点坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
∴不论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上.
（3） 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3） 或
由（2）可知该抛物线顶点为 ，
当 时， ，
∴ 时， 随 的增大而减少，
又∵该函数开口向下，对称轴为直线 ，
∴如图，得出 ，
当 时， ，
要使 恒成立，则 ，
∴ ， 或 ，
结合 ，
∴ 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）当y=0可得到关于x的一元二次方程，再根据当二次函数图象与x轴有两个不同的交点时，就是当y=0时的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集；
（2）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标；再将顶点的横坐标代入一次函数解析式，根据其函数值可作出判断；
（3）结合函数图象，利用二次函数的增减性，可得答案.
32．（2021·江都模拟）已经二次函数 .
（1）如图，其图象与x轴交于点 和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线 .
①求二次函数解析式；
②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形 为正方形时，求点F坐标；
（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数 函数值存在负数，求b的取值范围.
【答案】（1）解：①由题： ，解得 ，
二次函数解析式为： ；
②设BC解析式为： ，对称轴为直线 .
图象与x轴交于点 和点B，对称轴为直线 .
点 ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
解析式为： ，
设点 ，
四边形 是正方形，
，
，
解得 ，
（2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数，
有两相等实根，即 有两相等实根，
，
解得： ，且 ，
存在负值，
，解得 ，
综上： 且
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据点A的坐标和对称轴解析式，即可得解；②根据抛物线的对称性得出点B坐标，利用待定系数法求出BC解析式 ，根据直线上的点的坐标特点设出点F的坐标 ，根据正方形的性质得出EF=GF，据此列出方程求出m的值，即可得点F坐标；
（2）由题意可得 有两相等实根， 存在负值，利用根的判别式即可求解.
33．（2021·东台模拟）专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
【答案】（1）解：设销售单价增加x元，每天售出y件.
根据题意得，
（2）解：根据题意得， ，
解得： ，
∵每件利润不能超过50元，
∴ ，
答：当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元
（3）解：根据题意得， ，
∵ ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∴当 时，w最大 ，
答：当x为20时w最大，最大值是2000元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；
（2）根据“每件文化衫的利润×每天的销售数量=1932”列出方程，求解即可得到结论；
（3）根据w=每件文化衫的利润×每天的销售数量建立出函数关系，根据二次函数的性质得到当x＜35时，w随x的增大而增大，于是得到结论.
34．（2021·宜兴模拟）城市内环高架能改善整个城市的交通状况.在一般情况下，高架上的车流速度 （单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数.当高架上的车流密度达到188辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过28辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数.
（1）当 时，求车流速度 关于车流密度 的函数解析式；
（2）若车流速度 不低于50千米/小时，求车流密度 为多大时，车流量 （单位时间内通过高架桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.
【答案】（1）解：当 时，设 ，
∵ 时， ， 时，
∴
解得 .
∴当 时，
（2）解：当 时，车流量 ，
∵ 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
当 时，车流量 ，
由 ，解得 ，
∴ ，
∵当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
综上，∵ ，
∴当 时，车流量最大，最大值为4400辆/小时
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设 ，然后把 时， ， 时， 代入，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）分 时，根据一次函数的增减性求出 达到的最大值， 时，根据车流量＝车流密度×车流速度列式整理得到y与x的函数关系式，再根据车流速度求出x的取值范围，然后利用二次函数的增减性与最值问题解答.
35．（2021·淮安模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为点D.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：∵OA＝OC＝3，
∴点A坐标为（-3，0），点C坐标为（0，-3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x-3；
（2）解：如图，连接AD、CD、AC，作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，
由抛物线的性质得抛物线y＝x2+2x-3的顶点D坐标为（-1，-4），
在Rt△AOC中， ，
在Rt△DCF中， ，
在Rt△ADE中， ，
∴ ，
∴△ACD是直角三角形.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由题可得点A、C的坐标，代入解析式即可得结果；
（2） 连接AD、CD、AC，作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F， 由顶点坐标公式可得点D坐标，由勾股定理可得、、，再由勾股定理逆定理可得结果.
36．（2021·射阳模拟）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设.
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）解：设平均增长率为x，则x>0，
由题意得： ，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）解：设多改造y户，最高投入费用为w元，
由题意得： ，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，根据2020年底的户数×（1+增长率）2=2022年底 的户数，据此列出方程，解之并检验即可；
（2） 设多改造y户，最高投入费用为w元， 根据总费用=平均每户的费用×总户数，列出关系式，列二次函数的性质求解即可.
37．（2020·南京模拟）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a-1（a≠0）.
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x-h）2+b（a≠0）的形式　 　，并写出顶点坐标　 　；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A(-3，1).
①a的值　 　；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB.二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，则k的取值范围　 　.
【答案】（1）y1=ax2+2ax+a-1=a（x+1）2-1；（-1，-1）
（2）； ≤k＜ 或k=-4.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）y1=ax2+2ax+a-1=a（x+1）2-1，
∴顶点为（-1，-1）；
（ 2 ）①∵二次函数C1的图象经过点A（-3，1）.
∴a（-3+1）2-1=1，
∴a= ；
②∵A（-3，1），对称轴为直线x=-1，
∴B（1，1），
当k＞0时，
二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象经过A（-3，1）时，1=9k-3k，解得k= ，
二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1=k+k，解得k= ，
∴ ≤k＜ ，
当k＜0时，∵二次函数C2：y2=kx2+kx=k（x+ ）2- k，
∴- k=1，
∴k=-4，
综上，二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是 ≤k＜ 或k=-4.
【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）①把点A（-3，1）代入二次函数C1：y1=ax2+2ax+a-1即可求得a的值；②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；
38．（2020·江阴模拟）某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表：
已知该运动服的进价为每件150元.
（1）售价为x元，月销量为y件.
①求y关于x的函数关系式：
②若销售该运动服的月利润为w元，求w关于x的函数关系式，并求月利润最大时的售价；
（2）由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足（1）中函数关系式.结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元，则a的值是多少？
【答案】（1）解：①设y关于x的函数关系式为y=kx+b，把（200，200），（210，180）
代入得：
解得： ，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x+600；
②月利润w＝（x﹣150）（﹣2x+600）＝﹣2x2+900x﹣90000
＝﹣2（x﹣225）2+11250.
∵﹣2＜0，
∴w为开口向下的抛物线，
∴当x＝225时，月最大利润为11250元；
∴w关于x的函数关系式为w＝﹣2x2+900x﹣90000，月利润最大时的售价为225元；
（2）解：设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为（t﹣150+a）元，销量为（﹣2t+600）件.
月利润w＝（t﹣150+a）（﹣2t+600）
＝﹣2t2+（900﹣2a）t+600a﹣90000，
∴当 时，月利润最大，则 ＝210，
解得a＝30.
∴a的值是30元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）①设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求解即可；②月利润w=（x-150）（-2x+600），整理并配方，然后根据二次函数的性质可得答案； （2）设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为（t-150+a）元，销量为（-2t+600）件，写出月利润关于x的函数，并根据二次函数的性质得出月利润最大时的t值，从而得出关于a的方程，解出a即可.
39．（2020·连云模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设 的长度为 米，矩形区域 的面积为 米 .
（1）求证： ；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）证明：∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形 面积是矩形 面积的 倍，
又∵ 是公共边，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ，且二次项系数为 ，
∴当 时，y有最大值，最大值为300平方米.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE；（2）设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可.
40．（2020·浦口模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n.
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，求x2的取值范围；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
【答案】（1）解：①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n.
∵x 1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1.
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
（2）解：∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q.
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3.
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得 ；
当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；
当抛物线的顶点在线段PQ上时， 2，解得m＝±2.
结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或 .
故答案为：m≤﹣2或m＝2或 .
【知识点】二次函数图象与系数的关系；坐标与图形变化﹣平移；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①把m＝2代入抛物线解析式，利用x＝ ，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；
（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（ 1，2），抛物线的顶点在线段PQ上，三种情况分类讨论，得出相应的m值，从而得结论.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册第五章二次函数 综合测试卷
一、单选题
1．（2020·宿迁）将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（　　）
A．y=(x+2)2﹣2 B．y=(x﹣4)2+2
C．y=(x﹣1)2﹣1 D．y=(x﹣1)2+5
2．（2018·连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（　　）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
3．（2017·宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（　　）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1
4．（2017·徐州）若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（　　）
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
5．（2020·镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（　　）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
6．（2019·南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是（　　）
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
7．（2017·扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣2
8．（2017·连云港）已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
9．（2017·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（　　）
A．20cm B．18cm C．2 cm D．3 cm
10．（2017·盐城）如图，将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.
下列判断： ①当x＞2时，M=y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=1.
其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2020·惠山模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（　　）
A．16 B．15 C．12 D．11
二、填空题
13．（2020·南京）下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是　 　.
14．（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为　 　.
15．（2019·镇江）已知抛物线 过点 ， 两点，若线段 的长不大于 ，则代数式 的最小值是　 　.
16．（2019·无锡）某个函数具有性质：当 >0时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是　 　（只要写出一个符合题意的答案即可）
17．（2018·淮安）将二次函数 的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是　 　．
18．（2014·南通）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　 　．
19．（2014·南京）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是　 　．
20．（2014·淮安）将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　．
21．（2013·宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　 　．
22．（2011·扬州）如图，已知函数y= 与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+ =0的解为　 　．
23．（2020·泰兴模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2 交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为　 　.
24．（2019·南京模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒　 　个单位.
三、解答题
25．（2017·苏州）如图，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ， ．点 在函数图象上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点．
图 ① 图②
（1）求 、 的值；
（2）如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标；
（3）如图②，动点 在线段 上，过点 作 轴的垂线分别与 交于点 ，与抛物线交于点 ．试问：抛物线上是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且线段 的长度最小？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
26．（2017·阜宁模拟）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp= ，同理yp= ，所以AB的中点坐标为（ ， ）．由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A、B两点间的距离公式为AB= ．这两公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：
（1）已知M（1，﹣2），N（﹣1，2），直接利用公式填空：MN中点坐标为　 　，MN=　 　．
（2）如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（a）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（b）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（c）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．
27．（2017·无锡模拟）如图，已知抛物线 （其中 ）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，且点D恰好在线段BC的垂直平分线上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）过点 的线段MN∥y轴，与BC交于点P，与抛物线交于点N．若点E是直线l上一点，且∠BED＝∠MNB－∠ACO时，求点E的坐标．
28．（2017·江苏模拟）已知抛物线
（1）此抛物线的顶点坐标是 　 　 ，与x轴的交点坐标是 　 　 ， 　 　 ，与y轴交点坐标是 　 　 ，对称轴直线是 　 　 ；
（2）在平面直角坐标系中画出 的图象；
（3）结合图象，说明当x取何值时，y随x的增大而减小．
29．（2017·江苏模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过点（2，6），且与直线 相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；
（3）在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．
30．（2017·常州模拟）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x（元）．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
四、综合题
31．（2021·玄武模拟）已知二次函数 （ 是常数）.
（1）若该函数图象与 轴有两个不同的公共点，求 的取值范围；
（2）求证：不论 为何值，该函数图象的顶点都在函数 的图象上；
（3） ， 是该二次函数图象上的点，当 时，都有 ，则 的取值范围是　 　.
32．（2021·江都模拟）已经二次函数 .
（1）如图，其图象与x轴交于点 和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线 .
①求二次函数解析式；
②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形 为正方形时，求点F坐标；
（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数 函数值存在负数，求b的取值范围.
33．（2021·东台模拟）专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？
（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
34．（2021·宜兴模拟）城市内环高架能改善整个城市的交通状况.在一般情况下，高架上的车流速度 （单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数.当高架上的车流密度达到188辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过28辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数.
（1）当 时，求车流速度 关于车流密度 的函数解析式；
（2）若车流速度 不低于50千米/小时，求车流密度 为多大时，车流量 （单位时间内通过高架桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.
35．（2021·淮安模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为点D.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由.
36．（2021·射阳模拟）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设.
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
37．（2020·南京模拟）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a-1（a≠0）.
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x-h）2+b（a≠0）的形式　 　，并写出顶点坐标　 　；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A(-3，1).
①a的值　 　；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB.二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，则k的取值范围　 　.
38．（2020·江阴模拟）某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表：
已知该运动服的进价为每件150元.
（1）售价为x元，月销量为y件.
①求y关于x的函数关系式：
②若销售该运动服的月利润为w元，求w关于x的函数关系式，并求月利润最大时的售价；
（2）由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足（1）中函数关系式.结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元，则a的值是多少？
39．（2020·连云模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设 的长度为 米，矩形区域 的面积为 米 .
（1）求证： ；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
40．（2020·浦口模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n.
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，求x2的取值范围；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为： ，即 .
故答案为：D.
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、当t=9时，h=-81+216+1=136；当t=13时，h=-169+312+1=144，可得高度不相等，故A不符合题意；
B、当t=24时，h=-576+576+1=1，高度为1m，故B不符合题意；
C、当t=10时，h=-100+240+1=141≠139，故C不符合题意；
D、h= t2＋24t＋1= （t-12）2+145，∵a=-1<0，
∴当t=12时，h有最大值145，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A，B，C三个选项的说法，即只要把t的值代入h= t2＋24t＋1即可得到；D是求二次函数的最值，可将函数表达式化成顶点式，根据a的正负，判断是最大还是最小的.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x﹣2）2+1．
故选C．
【分析】由抛物线平移不改变y的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴ ，
解得b＜1且b≠0．
故选：A．
【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A不符合题意，C不符合题意；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得： ，
所以线段CD的函数解析式为 ，故B不符合题意；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为 ，故D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据图象提供的信息解决问题：由图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A不符合题意，C不符合题意；根据点C，D的坐标。利用待定系数法求出直线CD的解析式，即可判断B；由于点B是抛物线的顶点，故设出曲线段AB所在抛物线的顶点式，再代入点A的坐标，即可求出二次项的系数，从而求出曲线段AB所在抛物线的解析式，即可判断出D。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：把C（2，1）代入y=x2+bx+1，得
22+2b+1=1，
解得b=﹣2．
故b的取值范围是b≥﹣2．
故选：C．
【分析】抛物线经过C点时b的值即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
故选：C．
【分析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AP=CQ=t，
∴CP=6﹣t，
∴PQ= = = ，
∵0≤t≤2，
∴当t=2时，PQ的值最小，
∴线段PQ的最小值是2 ，
故选C．
【分析】根据已知条件得到CP=6﹣t，得到PQ= = = ，于是得到结论．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵函数y= （x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m= （1﹣2）2+1=1 ，n= （4﹣2）2+1=3，
∴A（1，1 ），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1 ），
∴AC=4﹣1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y= （x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y= （x﹣2）2+4．
故选D．
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1 ），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．
11．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】∵当y1=y2时，即时，解得：x=0或x=2，
∴由函数图象可以得出当x＞2时， y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时， y2＞y1。∴①错误。
∵当x＜0时， 直线的值都随x的增大而增大，
∴当x＜0时，x值越大，M值越大。∴②正确。
∵抛物线的最大值为4，∴M大于4的x值不存在。∴③正确；
∵当0＜x＜2时，y1＞y2，∴当M=2时，2x=2，x=1；
∵当x＞2时，y2＞y1，∴当M=2时，，解得（舍去）。
∴使得M=2的x值是1或。∴④错误。
综上所述，正确的有②③2个。故选B。
12．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为 的中点，
∴
设AE=x， ∵AB
∴HF
∴当 时，△CEF面积的最小值
故答案为：B.
【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值.
13．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 当 时，将二次函数 的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象
该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当 时，
即该函数的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④.
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当 时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 的顶点坐标，再代入函数 进行验证即可得.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设原来的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 ，
故原来的抛物线解析式是： ，
设平移后的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 (舍去)或 ，
所以平移后抛物线的解析式是： 。
故答案是： 。
【分析】利用待定系数法求出原来的抛物线的解析式，设向右平移了b个单位，根据点的坐标的平移的规律得出平移后新抛物线的顶点坐标（-b，0），由于平移不会改变原抛物线的开口方向及大小，故二次项的系数不会发生变化，从而设出平移后新抛物线的顶点式，再代入点P的坐标，求解并检验即可求出b的值，从而得出答案。
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴ ，顶点为（-2，1）
∴由题意可知a>0，
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（ ）2+ +1= ；
故答案为： 。
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式计算方法及抛物线的对称性，求出抛物线的顶点的坐标，根据题意得出4a+1≥3，且a＞0，求解得出a的取值范围，然后将a的最小值代入代数式即可算出答案。
16．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】某个函数具有性质：当 >0时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 ，
故答案为： (答案不唯一).
【分析】开放性命题，答案不唯一：可以写一次函数，根据一次函数的性质与系数的关系只要一次函数的自变量的系数大于0即可；也可以写反比例函数，根据反比例函数的系数与性质的关系，只要反比例函数的比例系数小于0即可；还可以是二次函数，根据二次函数的系数与性质的关系，二次项系数大于0，且二次项系数与一次项系数符号相反即可。
17．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图像向上平移3个单位长度，
∴ +3=x2+2.
故答案为： .
【分析】根据平移的性质：上+下-，由此即可得出答案.
18．【答案】x=﹣1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x= =﹣1，即x=﹣1．
故答案是：x=﹣1．
【分析】因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x= 求解即可．
19．【答案】0＜x＜4
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
20．【答案】y=2x2+1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，
∴所得图象对应的函数表达式为：y=2x2﹣1+2=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
21．【答案】0或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：0或1．
【分析】需要分类讨论：
①若m=0，则函数为一次函数；
②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
22．【答案】x=﹣3
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P的纵坐标为1，
∴1=﹣ ，
∴x=﹣3，
∵ax2+bx+ =0化为于x的方程ax2+bx=﹣ 的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+ =0化为于x的方程ax2+bx=﹣ 的形式，此方程就化为求
函数y= 与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．
23．【答案】－2≤m< 或 【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2交于C，D两点，联立解方程：
解得：
∴抛物线与直线交点的横坐标为：
又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数
∴得出在C、D之间恰有两个整数解
当 即 时得出： 解得：
当 即 时得出： 解得：
故答案为： 或
【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可.
24．【答案】
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEP+∠BPE＝90°
∵E为AB的中点，
∴BE＝3
∵PQ⊥EP
∴∠BPE+∠CPQ＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ，且∠B＝∠C＝90°
∴△BEP∽△CPQ
∴
∴CQ＝ ＝
∴CQ的最大值为
∴点Q路程＝2× ＝
∴点Q运动的平均速度＝ ÷（8÷1）＝
故答案为：
【分析】由题意可证△BEP∽△CPQ，可得 ，即CQ＝ ＝ ，即可求CQ的最大值，则可求点Q运动的平均速度.
25．【答案】（1）解：∵CD⊥x轴，CD=2，
∴抛物线对称轴为直线l：x=1，
∴=1，则b=-2。
∵OB=OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（-c，0），
∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），
∴c=-3，
（2）解：由（1）可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，则E（1，-4）
设点F的坐标为（0，m），
∵对称轴为直线l：x=1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）。
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式y=2x-6，
∵点F在BE上，
∴m=2×2-6=-2，
即点F的坐标为（0，-2）。
（3）解：存在点Q满足题意。设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3，作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN=S△APM，∴（n+1）(3-n)=（-n2+2n+3）QR，∴QR=1。①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1，n2-4n），R点的坐标为（n，n2-4n），N点的坐标为（n，n2-2n-3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2，∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（，）②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2-4）.同理NQ2=1+（2n-1）2，∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（，）.综上所述，满足题意的点Q的坐标为（，）和(，)
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）因为CD⊥x轴，所以C与D的纵坐标相等，即C与D关于抛物线的对称轴对称，则可得对称轴是直线l：x=1，从而由x=-代入a的值，求出b；又由OB=OC，可得B（-c，0），代入二次函数解析式，求出c的值即可；
（2）设点F的坐标为（0，m）关于直线x=1的对称点为（2，m），则求出BE的解析式，将（2，m）代入解出m的值即可；
（3）可设P（n，0），用n可表示出PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3，作QR⊥PN，垂足为R，由S△PQN=S△APM，可列出方程求出QR=1；
分类讨论点Q在直线PN的左侧和Q在直线PN的右侧时，在Rt△QRN中，由勾股定理可得NQ2=QR2+NR2，求出当n为多少时，NQ为最小值，写出相对应的Q的坐标。
26．【答案】（1）（0，0）；2
（2）解：（a）联立直线、抛物线，得 ，
解得 ， ，
即B（ ，3+ ），A（ ，3﹣ ）．
由P是AB的中点，得
P（ ，3）
当x= 时，y=2x2= ，即C点坐标为（ ， ）．
（b）AB2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣3+ ）2=25；
BC2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣ ）2= ﹣5 ；
AC2=（ ﹣ ）2+（3﹣ ﹣ ）2= +5 ，
∵AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形；
（c）如图 ，
作CD⊥AB于D点，CD 是两直线间的距离，
S△ABC= AB CD= AC BC，
×5CD= × ，
解得CD= ．
两直线l与l′的距离是
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由中点坐标，得 =0， =0，
MN中点坐标为（0，0），
由两点间的距离，得
MN= =2 ，
故答案为：（0，0），2 ．
【分析】（1）根据中点坐标公式，两点间的距离公式，可得答案；
⑵（a）根据解方程组，可得A，B点坐标，根据中点坐标公式，可得P点坐标，根据平行于y轴的直线横坐标相等，可得C点横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标；
（b）根据勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（c）根据三角形的面积不同表示，可得关于CD的方程，根据解方程，可得答案．
27．【答案】（1）解：求得点A（-1，0）、B（b，0）、C（0，b），
易得∠ACB＝90°，由△AOC∽△COB可得b1=4，b2=0（舍去），
∴y=x2+x+2.
（2）解：易证∠ACO＝∠CBO，∠MNB＝∠MBN，所以∠BED＝∠CBN，
连结CN， 由勾股定理得CN＝，BC＝，BN＝，
由勾股定理逆定理证得∠CNB＝90°，从而得tan∠BED =tan∠CBN =，
然后解Rt△BED可得DE＝，
∴点E坐标为（，） 或（，）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据△AOC∽△COB求得b的值，在利用待定系数法解出解析式即可.
（2） 由勾股定理得CN＝，BC＝，BN＝，由勾股定理逆定理证得∠CNB＝90°，从而得tan∠BED =tan∠CBN =， 然后解Rt△BED解出DE的长即可得出点E坐标.
28．【答案】（1）（1，-4）；（3，0）；（-1，0）；（0，-3）；x=1
（2）
（3）解：由图象可知当 x < 1时，y 随 x 的增大而减小．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】（1）∵ ，∴抛物线顶点坐标为（1，-4），对称轴为直线x=1；
令y=0，可得 ，解得x=3或-1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）；
令x=0可得y=-3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
故答案依次为（1，-4），（3，0），（-1，0），（0，-3），x=1.
【分析】（1）运用公式法（ ， ）或配方求顶点式和对称轴；令y=0解方程求出x的值，可求出与x轴的交点，令x=0，可求出y的值，即可求出与y轴的交点.（2）运用描点法画抛物线；（3）抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，mj 当 x < 1时，y 随 x 的增大而减小．
29．【答案】（1）解：∵ BC⊥x轴，垂足为点C（4，0），且点B在直线y= x+1上，
∴点B的坐标为（4，3），
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点（2，6）和点（4，3），
∴ ，解得 ，
故抛物线的解析式为y=-x2+ +1.
（2）解：设动点P的坐标为（x， -x2+ +1），则点E的坐标为（x， ），
∵PD⊥x轴于点D，且点P在x轴上，
∴PE=PD-ED=（-x2+ +1）-（ ）=-x2+4x=-(x-2)2+4，
∴当x=2时，PE有最大值4.
（3）解：连接CE，PB，∵PC与BE互相平分，
∴四边形PECB是平行四边形，
∴PE=BC，
∴-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3.
∵点Q为PC的中点，
∴①当x=1时，点P的坐标为（1， ），
由中点公式可得Q（ ， ），
∴点Q的坐标为（ ， ）.
②当x=3时，点P的坐标为（3， ），
由中点公式可得Q（ ， ），
∴点Q的坐标为（ ， ），
综上所述，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）抛物线的解析式里有两个未知数，需要两个坐标的点，已知（2，6），需要求出点B坐标，因为BC⊥x轴，则B的横坐标为4，代入直线解析式即可求出B的坐标，再把（2，6）和B的坐标代入抛物线，即可求得；（2）因为PD⊥x轴于点D，则PE=PD-DE，且PD=P的纵坐标，DE=E的纵坐标，可设P的横从标为x，则可分别表示出P的纵坐标，E的纵坐标，即可得到PE关于x的关系式，求其最值，一般还要注意x的取值范围；（3）由PC与BE互相平分，可得四边形PECB是平行四边形，则PE=BC，由（2）得PE=-x2+4x，构造方程解出x的值，再运用中点公式（ ， ）求出点Q，或者求出直线PC，再求PC与BE的交点即可.
30．【答案】解：设每天的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣ ）x﹣1100
=﹣ x2+70x﹣1100
=﹣ （x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
31．【答案】（1）解：令 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵该函数图象与 轴有两个不同的公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 .
∴当 时，该函数图象与 轴有两个不同的公共点.
（2）解：由 ，得顶点坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
∴不论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上.
（3） 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3） 或
由（2）可知该抛物线顶点为 ，
当 时， ，
∴ 时， 随 的增大而减少，
又∵该函数开口向下，对称轴为直线 ，
∴如图，得出 ，
当 时， ，
要使 恒成立，则 ，
∴ ， 或 ，
结合 ，
∴ 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）当y=0可得到关于x的一元二次方程，再根据当二次函数图象与x轴有两个不同的交点时，就是当y=0时的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集；
（2）将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标；再将顶点的横坐标代入一次函数解析式，根据其函数值可作出判断；
（3）结合函数图象，利用二次函数的增减性，可得答案.
32．【答案】（1）解：①由题： ，解得 ，
二次函数解析式为： ；
②设BC解析式为： ，对称轴为直线 .
图象与x轴交于点 和点B，对称轴为直线 .
点 ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
解析式为： ，
设点 ，
四边形 是正方形，
，
，
解得 ，
（2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数，
有两相等实根，即 有两相等实根，
，
解得： ，且 ，
存在负值，
，解得 ，
综上： 且
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据点A的坐标和对称轴解析式，即可得解；②根据抛物线的对称性得出点B坐标，利用待定系数法求出BC解析式 ，根据直线上的点的坐标特点设出点F的坐标 ，根据正方形的性质得出EF=GF，据此列出方程求出m的值，即可得点F坐标；
（2）由题意可得 有两相等实根， 存在负值，利用根的判别式即可求解.
33．【答案】（1）解：设销售单价增加x元，每天售出y件.
根据题意得，
（2）解：根据题意得， ，
解得： ，
∵每件利润不能超过50元，
∴ ，
答：当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元
（3）解：根据题意得， ，
∵ ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∴当 时，w最大 ，
答：当x为20时w最大，最大值是2000元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；
（2）根据“每件文化衫的利润×每天的销售数量=1932”列出方程，求解即可得到结论；
（3）根据w=每件文化衫的利润×每天的销售数量建立出函数关系，根据二次函数的性质得到当x＜35时，w随x的增大而增大，于是得到结论.
34．【答案】（1）解：当 时，设 ，
∵ 时， ， 时，
∴
解得 .
∴当 时，
（2）解：当 时，车流量 ，
∵ 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
当 时，车流量 ，
由 ，解得 ，
∴ ，
∵当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，
综上，∵ ，
∴当 时，车流量最大，最大值为4400辆/小时
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设 ，然后把 时， ， 时， 代入，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）分 时，根据一次函数的增减性求出 达到的最大值， 时，根据车流量＝车流密度×车流速度列式整理得到y与x的函数关系式，再根据车流速度求出x的取值范围，然后利用二次函数的增减性与最值问题解答.
35．【答案】（1）解：∵OA＝OC＝3，
∴点A坐标为（-3，0），点C坐标为（0，-3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x-3；
（2）解：如图，连接AD、CD、AC，作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，
由抛物线的性质得抛物线y＝x2+2x-3的顶点D坐标为（-1，-4），
在Rt△AOC中， ，
在Rt△DCF中， ，
在Rt△ADE中， ，
∴ ，
∴△ACD是直角三角形.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由题可得点A、C的坐标，代入解析式即可得结果；
（2） 连接AD、CD、AC，作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F， 由顶点坐标公式可得点D坐标，由勾股定理可得、、，再由勾股定理逆定理可得结果.
36．【答案】（1）解：设平均增长率为x，则x>0，
由题意得： ，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）解：设多改造y户，最高投入费用为w元，
由题意得： ，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，根据2020年底的户数×（1+增长率）2=2022年底 的户数，据此列出方程，解之并检验即可；
（2） 设多改造y户，最高投入费用为w元， 根据总费用=平均每户的费用×总户数，列出关系式，列二次函数的性质求解即可.
37．【答案】（1）y1=ax2+2ax+a-1=a（x+1）2-1；（-1，-1）
（2）； ≤k＜ 或k=-4.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）y1=ax2+2ax+a-1=a（x+1）2-1，
∴顶点为（-1，-1）；
（ 2 ）①∵二次函数C1的图象经过点A（-3，1）.
∴a（-3+1）2-1=1，
∴a= ；
②∵A（-3，1），对称轴为直线x=-1，
∴B（1，1），
当k＞0时，
二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象经过A（-3，1）时，1=9k-3k，解得k= ，
二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1=k+k，解得k= ，
∴ ≤k＜ ，
当k＜0时，∵二次函数C2：y2=kx2+kx=k（x+ ）2- k，
∴- k=1，
∴k=-4，
综上，二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是 ≤k＜ 或k=-4.
【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）①把点A（-3，1）代入二次函数C1：y1=ax2+2ax+a-1即可求得a的值；②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；
38．【答案】（1）解：①设y关于x的函数关系式为y=kx+b，把（200，200），（210，180）
代入得：
解得： ，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x+600；
②月利润w＝（x﹣150）（﹣2x+600）＝﹣2x2+900x﹣90000
＝﹣2（x﹣225）2+11250.
∵﹣2＜0，
∴w为开口向下的抛物线，
∴当x＝225时，月最大利润为11250元；
∴w关于x的函数关系式为w＝﹣2x2+900x﹣90000，月利润最大时的售价为225元；
（2）解：设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为（t﹣150+a）元，销量为（﹣2t+600）件.
月利润w＝（t﹣150+a）（﹣2t+600）
＝﹣2t2+（900﹣2a）t+600a﹣90000，
∴当 时，月利润最大，则 ＝210，
解得a＝30.
∴a的值是30元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）①设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求解即可；②月利润w=（x-150）（-2x+600），整理并配方，然后根据二次函数的性质可得答案； （2）设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为（t-150+a）元，销量为（-2t+600）件，写出月利润关于x的函数，并根据二次函数的性质得出月利润最大时的t值，从而得出关于a的方程，解出a即可.
39．【答案】（1）证明：∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形 面积是矩形 面积的 倍，
又∵ 是公共边，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ，且二次项系数为 ，
∴当 时，y有最大值，最大值为300平方米.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE；（2）设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可.
40．【答案】（1）解：①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n.
∵x 1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1.
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
（2）解：∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q.
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3.
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得 ；
当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；
当抛物线的顶点在线段PQ上时， 2，解得m＝±2.
结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或 .
故答案为：m≤﹣2或m＝2或 .
【知识点】二次函数图象与系数的关系；坐标与图形变化﹣平移；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①把m＝2代入抛物线解析式，利用x＝ ，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；
（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（ 1，2），抛物线的顶点在线段PQ上，三种情况分类讨论，得出相应的m值，从而得结论.
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