湖北省黄石市有色中学2021-2022学年九年级下学期2月收心考试数学试卷
1．（2022九下·黄石开学考）|﹣π|的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵|﹣π|=π
∴-|﹣π|=-π.
故答案为：A.
【分析】先根据绝对值的意义求出去绝对值，再根据相反数的定义解答即可.
2．（2022九下·黄石开学考）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
3．（2022九下·黄石开学考）如图所示，圆柱的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看圆柱的主视图是矩形，
故答案为：B．
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
4．（2022九下·黄石开学考）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝2x6 B．x2 x3＝x6
C．x6÷x3＝x3 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故该项错误；
B、x2 x3＝x5，故该项错误；
C、x6÷x3＝x3，故该项正确；
D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故该项错误.
故答案为：C.
【分析】合并同类项法则：合并同类项的时候，把同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；积的乘方：先对每一个因式分别进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
5．（2022九下·黄石开学考）函数y = 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞0
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由分式的分母不能为0得：
解得
则自变量x的取值范围是
故答案为：A.
【分析】根据分式有意义的条件是分式的分母不能为0，可得x-2≠0，求解即可.
6．（2022九下·黄石开学考）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得：
由 得：
综合得：
故答案为：D.
【分析】首先求出各个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集，接下来根据解集的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，判断即可.
7．（2022九下·黄石开学考）某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按5：3：2计入总成绩，则他的总成绩为（ ）
A．77分 B．78分 C．79分 D．80分
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总成绩=
故答案为：A.
【分析】根据创新能力的成绩×所占的比例+综合知识的成绩×所占的比例+语言表达的成绩×所占的比例即可求出总成绩.
8．（2022九下·黄石开学考）如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在 轴的正半轴上， ， ，将 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，作 轴于 .
由题意： ， ，
，
， ，
，
，
故答案为：B.
【分析】如图，作 轴于 ，根据旋转的性质及三角形的外角性质得出 ， ，根据三角形的内角和定理得出，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 ， 即可.
9．（2022九下·黄石开学考）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，
∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB sin∠AOB= ，
∴BC=2BH=2 ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理得出CH=BH，弧AC=弧BC，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠CDA=60°，在Rt△BHO中利用正弦函数及特殊锐角三角函数值得出BH=OB sin∠AOB= ，从而得出答案。
10．（2022九下·黄石开学考）已知二次函数 （ ）图象的对称轴为直线 ，部分图象如图所示，下列结论中：① ；② ；③ ；④若 为任意实数，则有 ；⑤当图象经过点 时，方程 的两根为 ， ，则 ，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即 ，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2-4ac＞0，所以②正确；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
而b=2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴4a+c＞0，所以③正确；
∵x=-1时，y有最小值，
∴a-b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a-bt≤at2+b，所以④正确；
∵图象经过点（ ，2）时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为（ ，2），
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为（ ，2），
即x1= ，x2= ，
∴x1+2x2= +2× = ，所以⑤正确.
综上所述，正确的是②③④⑤
故答案为：C.
【分析】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，与y轴的交点在x轴下方，据此可得a、b、c的正负，进而判断①；根据抛物线与x轴有两个交点可判断②；根据x=1对应的函数值为正结合b=2a可判断③；根据x=-1对应的函数值最小可判断④；根据对称性求出二次函数与直线y=2的另一个交点，据此判断⑤.
11．（2022九下·黄石开学考）计算：|﹣ |+（ ）﹣1＝ ．
【答案】6
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：|﹣ |+（ ）﹣1，
＝3+3，
＝6．
故答案为：6．
【分析】首先计算负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
12．（2022九下·黄石开学考）因式分解：x3y﹣4xy3＝ ．
【答案】xy（x+2y）（x﹣2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3y﹣4xy3，
＝xy（x2﹣4y2），
＝xy（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：xy（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】原式提取公因式xy，再利用平方差公式分解即可；
13．（2022九下·黄石开学考） 2020年10月29日，中国共产党十九届五中全会在北京闭幕.会后发表公报指出，“十三五”时期，脱贫攻坚成果举世瞩目，农村55750000贫困人口脱贫，数据55750000用科学记数法表示为 .
【答案】5.575×107
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数字55750000科学记数法可表示为5.575×107.
故答案为：5.575×107.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
14．（2022九下·黄石开学考）方程 的解是
【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x+6)得：
x+6=4x
∴x=2.
经检验得x=2是原分式方程的解.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以最先公分母x（x+6)，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出答案.
15．（2022九下·黄石开学考）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度 米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）
【答案】14.7
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意，得 ， 米，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，即
解得： 米，
∴建筑物的高度约为14.7米.
故答案为：14.7.
【分析】根据题意得 ：∠ADB=64°，∠ACB=48°，CD=6米，根据∠ADB、∠ACB的正切函数可求出BD、BC，然后根据CD=BC-BD进行计算.
16．（2022九下·黄石开学考）如图， 、 、 、 为一个外角为 的正多边形的顶点.若 为正多边形的中心，则 .
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为 ，
据此可得多边形的边数为： ，
∴∠AOD=3× =120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA= =30°.
故答案为：30°.
【分析】利用外角和除以外角的度数可得多边形的边数，进而求出∠AOD的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可.
17．（2022九下·黄石开学考）如图，反比例函数y= （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为 ．
【答案】-
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设点B坐标为（a，b），则DO=﹣a，BD=b
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴
∴BD∥AC
∵OC=CD
∴CE= BD= b，CD= DO= a
∵四边形BDCE的面积为2
∴ （BD+CE）×CD=2，即 （b+ b）×（﹣ a）=2
∴ab=﹣
将B（a，b）代入反比例函数y= （k≠0），得
k=ab=﹣
故答案为：﹣
【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．本题也可以根据△OCE与△ODB相似比为1：2求得△BOD的面积，进而得到k的值．
18．（2022九下·黄石开学考）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD.有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC AD= AE2；④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有 .
【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= AB，FE= AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ ，即BC AD=AB BE，
∵ AE2=AB AE=AB BE，BC AD=AC BE=AB BE，
∴BC AD= AE2；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，
∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF，④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据高线的概念可得∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，由直角三角形斜边上中线的性质可得FD=AB，FE= AB，据此判断①；根据等角的余角相等可得∠ABC=∠C，结合等腰三角形的性质可得BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，证明△AEH≌△BEC，得到AH=BC，据此判断②；证明△ABD～△BCE，利用相似三角形的性质可判断③；根据等底等高的三角形面积相等可判断④.
19．（2022九下·黄石开学考）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
∵x=2，
∴ = .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的减法法则，除法法则计算化简，再将x=2的值代入化简后的分式即可得出答案.
20．（2022九下·黄石开学考）如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上，
（1）试说明△ABD与△ACE全等的理由；
（2）如果∠B=60°，试说明线段AC、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中 ，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）解：CE=AC+CD，理由如下：
由（1）可得△ABD≌△ACE：BD=CE，AB=AC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BD=CE=BC+CD=AC+CD，即CE=AC+CD.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△ABD与△ACE全等即可；
（2）利用全等三角形的性质和等边三角形的判定和性质解答即可.
21．（2022九下·黄石开学考）已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值
【答案】（1）解：由题意可得Δ≥0，即4（k 1）2 4k2≥0，解得 ；
（2）解：由题意可得x1＋x2＝2（k 1），由（1）可得 ，
所以2（k 1）＜0，即x1＋x2＜0，
则有 2（k 1）＝k2 1，解得k1＝1，k2＝ 3，
由 ，可得k＝ 3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可得关于k的不等式，求解即可；
（2）若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的两根，则x1+x2= ，x1x2= ，据此可得x1＋x2＝2(k 1)，结合k的范围可得x1＋x2＜0，进而结合绝对值的性质可得-2(k 1)＝k2-1，求解即可.
22．（2022九下·黄石开学考）某组织就2022年春节联欢晚会节目的喜爱程度，在万达广场进行了问卷调查，将问卷调查结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别记作A，B，C，D，根据调查结果绘制出如图的“扇形统计图”和“条形统计图”，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查对象共有 人，被调查者“不太喜欢”有 人；
（2）补全扇形统计图和条形统计图；
（3）在“非常喜欢”调查结果里有5人为80后，分别为3男2女，在这5人中，该民间组织打算随机抽取2人进行采访，请你用列表法或列举法求出所选2人均为男生的概率.
【答案】（1）50；5
（2）解：∵B占总数的百分比为20÷50×100%=40%，
∴C占总数的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣40%=20%，
∴C的人数为：50×20%=10（人），
所求扇形统计图和条形统计图如下图所示：
（3）解：用列表法表示选2人接受采访的所有可能如下：
男 男 男 女 女
男 --- （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） --- （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） --- （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （男，女） --- （女，女）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） ---
故：P（所选2人均为男生）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵15÷30%=50（人），
∴50×10%=5（人）
即：这次被调查对象共有 50人，被调查者“不太喜欢”有 5人；
故答案为：50；5；
【分析】（1）利用A等级的人数除以所占的比例可得总人数，利用总人数×D等级所占的比例可得D的人数；
（2）利用B等级的人数除以总人数，乘以100%可得B所占的比例，根据百分比之和为1可得C所占的比例，乘以总人数可得C的人数，据此补全统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格，找出总情况数以及所选2人均为男生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．（2022九下·黄石开学考）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况.
销售情况 销售数量（单位：杯） 销售收入（单位：元）
小杯 大杯
第一天 20 30 460
第二天 25 25 450
（1）问这款奶茶小杯和大杯的销售单价各是多少元？
（2）已知这款奶茶小杯成本4元/杯，大杯成本5元/杯，奶茶店每天只能供应80杯该款奶茶，其中小杯不少于10杯，求该款奶茶一天的最大利润.（销售利润＝销售收入－成本）
（3）为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完杯型后可以自主选择加料或者不加料.小明恰好用了208元购买该款奶茶，其中小杯不加料的数量是总杯数的 ，则小明这款奶茶大杯加料的买了 杯.
【答案】（1）解：假设小杯奶茶售价 元，大杯奶茶售价 元，
根据题意得： ，解得 .
∴小杯奶茶售价8元，大杯奶茶售价10元.
（2）解：假设售出小杯奶茶 杯，总利润为 元，
，
∵ ， ，∴ 随着 的增大而减小，
∴当 时， 的最小值为390元.
（3）6
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（3）假设小杯不加料奶茶为p杯，其中小杯加料与大杯不加料奶茶共q杯，
由小杯不加料的数量是总杯数的 ，则大杯加料奶茶为 杯，
根据题意得： ，
整理得： ，
为正整数，
解得 ，
，
∴大杯加料奶茶为6杯.
故答案为：6.
【分析】（1） 设小杯奶茶售价a元，大杯奶茶售价b元， 由第一天的销售情况可得20a+30b=460，由第二天的销售情况可得25a+25b=450，联立求解即可；
（2） 设售出小杯奶茶m杯，总利润为w元 ，根据总利润=分利润之和，且利润=单个利润×数量可得w与m的关系式，根据一次函数的增减性可得结果；
（3）设小杯不加料奶茶为p杯，其中小杯加料与大杯不加料奶茶共q杯，由小杯不加料的数量是总杯数的 ，则大杯加料奶茶为 杯，由恰好花费208元可列二元一次方程，由方程的正整数解可得结果.
24．（2022九下·黄石开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN （BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC＝ ，求DN的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴ ，
∴DN2＝BN AN＝BN （BN+AB）＝BN （BN+AC）；
（3）解：∵BC＝6，BD＝CD，
∴BD＝CD＝3，
∵cosC＝ ＝ ，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AD＝ ＝ ＝4，
∵△BDN∽△DAN，
∴ ＝ ＝ ，
∴BN＝ DN，DN＝ AN，
∴BN＝ （ AN）＝ AN，
∵BN+AB＝AN，
∴ AN+5＝AN
∴AN＝ ，
∴DN＝ AN＝ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的中位线定理可得OD∥AC，则OD⊥MN，据此证明；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据等角的余角相等可得∠BAD＝∠CDM，则∠BAD＝∠BDN，证△BDN∽△DAN，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，根据三角函数的概念求出AB，利用勾股定理可得AD，由相似三角形的性质可得BN、DN，然后根据BN+AB＝AN可求出AN，进而可得DN.
25．（2022九下·黄石开学考）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为
由题意，抛物线的顶点为
又 抛物线与y轴交于点
抛物线的函数解析式为
（2）证明：∵P（m，n），
∴ ，
∴P（m， ），
∴ ，
∵F（2，1），
∴ ，
∵ ， ，
∴d2=PF2，
∴PF=d．
（3）解：如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值= ，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
∵QF=QH，
∴DQ+DF=DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为 ，此时Q（4，- ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；垂线段最短及其应用；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m， ），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值= ，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．
1 / 1湖北省黄石市有色中学2021-2022学年九年级下学期2月收心考试数学试卷
1．（2022九下·黄石开学考）|﹣π|的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（2022九下·黄石开学考）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九下·黄石开学考）如图所示，圆柱的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九下·黄石开学考）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝2x6 B．x2 x3＝x6
C．x6÷x3＝x3 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
5．（2022九下·黄石开学考）函数y = 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞0
6．（2022九下·黄石开学考）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022九下·黄石开学考）某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按5：3：2计入总成绩，则他的总成绩为（ ）
A．77分 B．78分 C．79分 D．80分
8．（2022九下·黄石开学考）如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在 轴的正半轴上， ， ，将 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九下·黄石开学考）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
10．（2022九下·黄石开学考）已知二次函数 （ ）图象的对称轴为直线 ，部分图象如图所示，下列结论中：① ；② ；③ ；④若 为任意实数，则有 ；⑤当图象经过点 时，方程 的两根为 ， ，则 ，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④
11．（2022九下·黄石开学考）计算：|﹣ |+（ ）﹣1＝ ．
12．（2022九下·黄石开学考）因式分解：x3y﹣4xy3＝ ．
13．（2022九下·黄石开学考） 2020年10月29日，中国共产党十九届五中全会在北京闭幕.会后发表公报指出，“十三五”时期，脱贫攻坚成果举世瞩目，农村55750000贫困人口脱贫，数据55750000用科学记数法表示为 .
14．（2022九下·黄石开学考）方程 的解是
15．（2022九下·黄石开学考）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度 米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）
16．（2022九下·黄石开学考）如图， 、 、 、 为一个外角为 的正多边形的顶点.若 为正多边形的中心，则 .
17．（2022九下·黄石开学考）如图，反比例函数y= （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为 ．
18．（2022九下·黄石开学考）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD.有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC AD= AE2；④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有 .
19．（2022九下·黄石开学考）先化简，再求值： ，其中 .
20．（2022九下·黄石开学考）如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上，
（1）试说明△ABD与△ACE全等的理由；
（2）如果∠B=60°，试说明线段AC、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.
21．（2022九下·黄石开学考）已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值
22．（2022九下·黄石开学考）某组织就2022年春节联欢晚会节目的喜爱程度，在万达广场进行了问卷调查，将问卷调查结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别记作A，B，C，D，根据调查结果绘制出如图的“扇形统计图”和“条形统计图”，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查对象共有 人，被调查者“不太喜欢”有 人；
（2）补全扇形统计图和条形统计图；
（3）在“非常喜欢”调查结果里有5人为80后，分别为3男2女，在这5人中，该民间组织打算随机抽取2人进行采访，请你用列表法或列举法求出所选2人均为男生的概率.
23．（2022九下·黄石开学考）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况.
销售情况 销售数量（单位：杯） 销售收入（单位：元）
小杯 大杯
第一天 20 30 460
第二天 25 25 450
（1）问这款奶茶小杯和大杯的销售单价各是多少元？
（2）已知这款奶茶小杯成本4元/杯，大杯成本5元/杯，奶茶店每天只能供应80杯该款奶茶，其中小杯不少于10杯，求该款奶茶一天的最大利润.（销售利润＝销售收入－成本）
（3）为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完杯型后可以自主选择加料或者不加料.小明恰好用了208元购买该款奶茶，其中小杯不加料的数量是总杯数的 ，则小明这款奶茶大杯加料的买了 杯.
24．（2022九下·黄石开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN （BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC＝ ，求DN的长.
25．（2022九下·黄石开学考）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵|﹣π|=π
∴-|﹣π|=-π.
故答案为：A.
【分析】先根据绝对值的意义求出去绝对值，再根据相反数的定义解答即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看圆柱的主视图是矩形，
故答案为：B．
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故该项错误；
B、x2 x3＝x5，故该项错误；
C、x6÷x3＝x3，故该项正确；
D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故该项错误.
故答案为：C.
【分析】合并同类项法则：合并同类项的时候，把同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；积的乘方：先对每一个因式分别进行乘方，然后将结果相乘，据此判断D.
5．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由分式的分母不能为0得：
解得
则自变量x的取值范围是
故答案为：A.
【分析】根据分式有意义的条件是分式的分母不能为0，可得x-2≠0，求解即可.
6．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得：
由 得：
综合得：
故答案为：D.
【分析】首先求出各个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集，接下来根据解集的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，判断即可.
7．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总成绩=
故答案为：A.
【分析】根据创新能力的成绩×所占的比例+综合知识的成绩×所占的比例+语言表达的成绩×所占的比例即可求出总成绩.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，作 轴于 .
由题意： ， ，
，
， ，
，
，
故答案为：B.
【分析】如图，作 轴于 ，根据旋转的性质及三角形的外角性质得出 ， ，根据三角形的内角和定理得出，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 ， 即可.
9．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，
∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB sin∠AOB= ，
∴BC=2BH=2 ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理得出CH=BH，弧AC=弧BC，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠CDA=60°，在Rt△BHO中利用正弦函数及特殊锐角三角函数值得出BH=OB sin∠AOB= ，从而得出答案。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即 ，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2-4ac＞0，所以②正确；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
而b=2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴4a+c＞0，所以③正确；
∵x=-1时，y有最小值，
∴a-b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a-bt≤at2+b，所以④正确；
∵图象经过点（ ，2）时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为（ ，2），
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为（ ，2），
即x1= ，x2= ，
∴x1+2x2= +2× = ，所以⑤正确.
综上所述，正确的是②③④⑤
故答案为：C.
【分析】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，与y轴的交点在x轴下方，据此可得a、b、c的正负，进而判断①；根据抛物线与x轴有两个交点可判断②；根据x=1对应的函数值为正结合b=2a可判断③；根据x=-1对应的函数值最小可判断④；根据对称性求出二次函数与直线y=2的另一个交点，据此判断⑤.
11．【答案】6
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：|﹣ |+（ ）﹣1，
＝3+3，
＝6．
故答案为：6．
【分析】首先计算负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
12．【答案】xy（x+2y）（x﹣2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3y﹣4xy3，
＝xy（x2﹣4y2），
＝xy（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：xy（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】原式提取公因式xy，再利用平方差公式分解即可；
13．【答案】5.575×107
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数字55750000科学记数法可表示为5.575×107.
故答案为：5.575×107.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
14．【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x+6)得：
x+6=4x
∴x=2.
经检验得x=2是原分式方程的解.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以最先公分母x（x+6)，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出答案.
15．【答案】14.7
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意，得 ， 米，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，即
解得： 米，
∴建筑物的高度约为14.7米.
故答案为：14.7.
【分析】根据题意得 ：∠ADB=64°，∠ACB=48°，CD=6米，根据∠ADB、∠ACB的正切函数可求出BD、BC，然后根据CD=BC-BD进行计算.
16．【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为 ，
据此可得多边形的边数为： ，
∴∠AOD=3× =120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA= =30°.
故答案为：30°.
【分析】利用外角和除以外角的度数可得多边形的边数，进而求出∠AOD的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可.
17．【答案】-
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设点B坐标为（a，b），则DO=﹣a，BD=b
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴
∴BD∥AC
∵OC=CD
∴CE= BD= b，CD= DO= a
∵四边形BDCE的面积为2
∴ （BD+CE）×CD=2，即 （b+ b）×（﹣ a）=2
∴ab=﹣
将B（a，b）代入反比例函数y= （k≠0），得
k=ab=﹣
故答案为：﹣
【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．本题也可以根据△OCE与△ODB相似比为1：2求得△BOD的面积，进而得到k的值．
18．【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= AB，FE= AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ ，即BC AD=AB BE，
∵ AE2=AB AE=AB BE，BC AD=AC BE=AB BE，
∴BC AD= AE2；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，
∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF，④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据高线的概念可得∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，由直角三角形斜边上中线的性质可得FD=AB，FE= AB，据此判断①；根据等角的余角相等可得∠ABC=∠C，结合等腰三角形的性质可得BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，证明△AEH≌△BEC，得到AH=BC，据此判断②；证明△ABD～△BCE，利用相似三角形的性质可判断③；根据等底等高的三角形面积相等可判断④.
19．【答案】解：原式
∵x=2，
∴ = .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的减法法则，除法法则计算化简，再将x=2的值代入化简后的分式即可得出答案.
20．【答案】（1）解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中 ，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）解：CE=AC+CD，理由如下：
由（1）可得△ABD≌△ACE：BD=CE，AB=AC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BD=CE=BC+CD=AC+CD，即CE=AC+CD.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△ABD与△ACE全等即可；
（2）利用全等三角形的性质和等边三角形的判定和性质解答即可.
21．【答案】（1）解：由题意可得Δ≥0，即4（k 1）2 4k2≥0，解得 ；
（2）解：由题意可得x1＋x2＝2（k 1），由（1）可得 ，
所以2（k 1）＜0，即x1＋x2＜0，
则有 2（k 1）＝k2 1，解得k1＝1，k2＝ 3，
由 ，可得k＝ 3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可得关于k的不等式，求解即可；
（2）若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的两根，则x1+x2= ，x1x2= ，据此可得x1＋x2＝2(k 1)，结合k的范围可得x1＋x2＜0，进而结合绝对值的性质可得-2(k 1)＝k2-1，求解即可.
22．【答案】（1）50；5
（2）解：∵B占总数的百分比为20÷50×100%=40%，
∴C占总数的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣40%=20%，
∴C的人数为：50×20%=10（人），
所求扇形统计图和条形统计图如下图所示：
（3）解：用列表法表示选2人接受采访的所有可能如下：
男 男 男 女 女
男 --- （男，男） （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） --- （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） --- （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （男，女） --- （女，女）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） ---
故：P（所选2人均为男生）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵15÷30%=50（人），
∴50×10%=5（人）
即：这次被调查对象共有 50人，被调查者“不太喜欢”有 5人；
故答案为：50；5；
【分析】（1）利用A等级的人数除以所占的比例可得总人数，利用总人数×D等级所占的比例可得D的人数；
（2）利用B等级的人数除以总人数，乘以100%可得B所占的比例，根据百分比之和为1可得C所占的比例，乘以总人数可得C的人数，据此补全统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格，找出总情况数以及所选2人均为男生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．【答案】（1）解：假设小杯奶茶售价 元，大杯奶茶售价 元，
根据题意得： ，解得 .
∴小杯奶茶售价8元，大杯奶茶售价10元.
（2）解：假设售出小杯奶茶 杯，总利润为 元，
，
∵ ， ，∴ 随着 的增大而减小，
∴当 时， 的最小值为390元.
（3）6
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（3）假设小杯不加料奶茶为p杯，其中小杯加料与大杯不加料奶茶共q杯，
由小杯不加料的数量是总杯数的 ，则大杯加料奶茶为 杯，
根据题意得： ，
整理得： ，
为正整数，
解得 ，
，
∴大杯加料奶茶为6杯.
故答案为：6.
【分析】（1） 设小杯奶茶售价a元，大杯奶茶售价b元， 由第一天的销售情况可得20a+30b=460，由第二天的销售情况可得25a+25b=450，联立求解即可；
（2） 设售出小杯奶茶m杯，总利润为w元 ，根据总利润=分利润之和，且利润=单个利润×数量可得w与m的关系式，根据一次函数的增减性可得结果；
（3）设小杯不加料奶茶为p杯，其中小杯加料与大杯不加料奶茶共q杯，由小杯不加料的数量是总杯数的 ，则大杯加料奶茶为 杯，由恰好花费208元可列二元一次方程，由方程的正整数解可得结果.
24．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴ ，
∴DN2＝BN AN＝BN （BN+AB）＝BN （BN+AC）；
（3）解：∵BC＝6，BD＝CD，
∴BD＝CD＝3，
∵cosC＝ ＝ ，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AD＝ ＝ ＝4，
∵△BDN∽△DAN，
∴ ＝ ＝ ，
∴BN＝ DN，DN＝ AN，
∴BN＝ （ AN）＝ AN，
∵BN+AB＝AN，
∴ AN+5＝AN
∴AN＝ ，
∴DN＝ AN＝ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的中位线定理可得OD∥AC，则OD⊥MN，据此证明；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据等角的余角相等可得∠BAD＝∠CDM，则∠BAD＝∠BDN，证△BDN∽△DAN，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）根据等腰三角形的性质可得BD＝CD＝3，根据三角函数的概念求出AB，利用勾股定理可得AD，由相似三角形的性质可得BN、DN，然后根据BN+AB＝AN可求出AN，进而可得DN.
25．【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为
由题意，抛物线的顶点为
又 抛物线与y轴交于点
抛物线的函数解析式为
（2）证明：∵P（m，n），
∴ ，
∴P（m， ），
∴ ，
∵F（2，1），
∴ ，
∵ ， ，
∴d2=PF2，
∴PF=d．
（3）解：如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值= ，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
∵QF=QH，
∴DQ+DF=DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为 ，此时Q（4，- ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；垂线段最短及其应用；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m， ），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值= ，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．
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