数学学科参考答案
单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选择项 B A C A D C B D
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
选择项 A,D A,C B,C A,B
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13、 120 14、 -16
15、 36 16、
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）
解：(1)∵的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，∴展开后一共有11项，
则，解得； --------4分
(2)二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
∴展开式中含的项为
--------------10分
18、（本小题满分12分）
解：（1）由
得 -----------6分
（2）当k=e时，
由（1）得，所以
切线方程：y-3=1(x-1),即y=x+2 -------------------12分
19、（本小题满分12分）
解：由已知数据可得，，
，
，
所以， ----------------------------4分
． --------------------------7分
所以. -------------------------8分
(2)
当时，
预测该蘑菇种植大棚当日的产量为8.5kg． -------------------12分
20、（本小题满分12分）
（1）因为函数（，），
所以（，）， --------------3分
由函数在处取得极值，
可得，即，解得，经验符合题意. -----7分-
(2)由（1），知（，），
所以时，，单调递增，
由题意，得，所以，
故的取值范围为. ---------------12分
21（本小题满分12分）
(1)由题意知，，则
，，
故的分布列为
0 1 2
P
的数学期望 -------------7分
(2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，，
. ---------------------12分
22、（本小题满分12分）
解：(1)，
令，所以，
所以，当，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为． ----------------4分
(2)
（i）因为，要使在上有两个极值点，，
则在上有两个变号的零点，
①时，则，由（1）知，，所以，所以在上没有两个变号的零点，不合题意，舍去.
②当时，因为，，，
则在上单调递减，故最多只有一个零点，不合题意，舍去.
③当时，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围为． ------------------------------8分
（ii）由（i）知，，，
即，所以，所以，
令，即，所以，
故在上单调递增，所以当时，，
即，所以，所以，
而，所以，因为在上单调递增，
因为，所以，所以，
即：，因为，所以．--------------12分绝密★考试结束前
2021 学年第二学期宁波六校联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相
应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1
1、若函数 f (x) f '( 2)x
3 12x2 6，则 f ' 2 的值为（ ）
3
A．12 B．16 C．18 D．24
2、某校高一开设 4 门选修课，有 4 名同学选修，每人只选 1 门，恰有 2 门课程没有同
学选修，则不同的选课方案有（ ）
A．84 种 B．96 种 C．78 种 D．16 种
3
3、函数 y f x 在定义域 ,3 内可导，图像如图所示，记 y f x 的导函数为
2
y f ' x ，则不等式f‘（x） 0的解集为（ ）
1 1 4 8
A． ,1 2,3 B． 1, ,
3 2 3 3
3 1 3 1 4 8
C．（ - , ] [1,2] D．( , ] [ , ]
2 3 2 3 3 3
4、设随机变量 服从标准正态分布 N (0，1)，已知 P（ 1.96) 0.025 ，则
P(| | 1.96)=（ ）
A．0.950 B．0.050 C．0.025 D．0.975
(x 2)n 25、已知二项式 a0 a1(x 1) a2(x 1) an(x 1)
n
，a1 6，则
a1 a2 an （）
A．128 B．127 C．96 D．63
高二数学学科 试题 第 1 页(共 5 页)
6、已知随机变量 X 的分布列是：
X 1 0 1
1
P a b
3
若 E X 0，则D X （ ）
1 2
A． 0 B． C． D．1
3 3
7、从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，
要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．40 种 B．60 种 C．100 种 D．120 种
4x 1, x 0
8、函数 f x 1 的值域为 R ，则实数a的取值范围是（ ）
x x ln x 2a, x 0
2
1 1 1 1
A． ( , ) B． , C． ( , ) D． ,
2 2 2 2
二、多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求全部选对得 5分，选对但不全的得 3分，有选错的得 0分）
lnx
9．对于函数f(x) ，下列选项正确的的是：（ ）
x
1 1
A、函数f(x)极小值为- ,极大值为 .
e e
B、函数f(x)单调递减区间为( , e] [e, )，单调递增区为[-e，0） （0，e]
C、函数f(x)最小值为为-e，最大值 e.
D、函数f(x)存在两个零点 1 和-1.
10．某市为了研究该市空气中的 PM2.5 浓度和SO2 浓度之间的关系，环境监测部门对该
市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5 浓度和SO2 浓度（单位：
g / m3），得到如下所示的 2×2 列联表：
SO2
[0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
高二数学学科 试题 第 2 页(共 5 页)
100 (64 10 16 10)2
经计算 k 7.4844，则可以推断出（ ）
80 20 74 26
2 n(ad bc)
2
附：K
(a b)(c d)(a c)(b d)
P K 2 k0 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
A．该市一天空气中 PM 32.5 浓度不超过75μg/m3，且SO2 浓度不超过150μg/m 的概率估
计值是 0.64
B．若 2×2 列联表中的天数都扩大到原来的 10 倍，K 2的观测值不会发生变化
C．有超过 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与SO2 浓度有关
D．在犯错的概率不超过 1%的条件下，认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与SO2 浓度无关
11．下列结论正确的是（ ）
1 1
A．若随机变量 X 服从两点分布，P(X 1) ，则D(X )
2 2
1
B．若随机变量 服从二项分布 B 4, ，则D（ ） 1
2
1 1
C．若随机变量 服从二项分布 B 4, ，则P( 3)
2 4
D．若随机变量Y 的方差D(Y) 2，则D(3Y 2) 8
12．如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 A A1，A2， 3 ，A4
是道路网中位于一条对角线上的 4 个交汇处.今在道路网 M，N 处的甲 乙两人分别要到
N，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到
达 N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从 M 到达 N 处的走法种数为 20
B．甲从 M 必须经过 A3 到达 N 处的走法种数为 9
C．甲乙两人能在 A3 处相遇的走法种数 36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为 162
非选择题部分
高二数学学科 试题 第 3 页(共 5 页)
三、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分）
C3 C4 Cm 2 m 1 m13．已知 m m，则 8 C8 C9 ________．
14．函数 f (x) 12x x
3
在区间[ 3，3]上的最小值是 ．
15．从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其
中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
2 5
x x , x 0
16．已知函数 f x 4 ，若 x2 0, x1 0，使 f x1 f x2 0成立，
2ln x ax, x 0
则a的取值范围为
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
17．（本小题满分 10 分）
n
1
已知 3x 的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大．
x
1
(1)求 n的值； (2)求展开式中含 2 的项． x
18．（本小题满分 12 分）
已知函数f(x) k(x 1)e x x 2 .
(1)求导函数 f x ；
(2)当k e时，求函数 f x 的图像在点 1,1 处的切线方程.
19．（本小题满分 12 分）
某科研机构为了了解气温对蘑菇产量的影响，随机抽取了某蘑菇种植大棚 12 月份中 5
天的日产量 y（单位：kg）与该地当日的平均气温 x（单位：℃）的数据，得到如下散
点图：其中 A（3，2），B（5，10），C（8，11），D（9，13），E（10，14）．
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(1)求出 y 关于 x的线性回归方程；
(2)若该地 12 月份某天的平均气温为 6℃，用（1）中所求的回归方程预测该蘑菇种植大
棚当日的产量．
n
xi yi nx y
附：线性回归直线方程 i 1y b x a 中b n ， a y b x ．
x2i nx
2
i 1
20．（本小题满分 12 分）
ax
设函数 f x （a 0，b 02 ）. x b
(1)若函数 f x 在 x 1处取得极值 2，求a，b 的值；
(2)若函数 f x 在区间 1,1 内单调递增，求b 的取值范围.
21．（本小题满分 12 分）
设b 和 c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 表示方程 x2 bx c 0
实根的个数（重根按一个计）．
（1）求 的分布列和数学期望；
（2）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 x2 bx c 0有实根的概率．
22．（本小题满分 12 分）
ex 1 2
已知函数 f x a ln x a R ．
x2
x
(1)若 a 1，求 f x 的单调区间；
(2)若 f x 在 0,2 上有两个极值点x ，x （ x1 x1 2 2）．
（i）求实数 a 的取值范围； （ii）求证： x1x2 1
高二数学学科 试题 第 5 页(共 5 页)
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