浙江省湖州市长兴县部分校2021-2022学年八年级下学期返校考试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021八上·昌乐月考）下列选项中的几个图形是国际通用的交通标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．（2022八下·长兴开学考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，6cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4 cm，8cm D．4cm，5cm，1cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+5＞6，∴长3cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，故选项A符合题意；
B、∵3+3=6，∴长3cm，3cm，6cm的三条线段能组不成三角形，故选项B不符合题意；
C、∵3+4＜8，∴长3cm，4cm，8cm的三条线段能组不成三角形，故选项C不符合题意；
D、∵1+4＜5，∴长4cm，5cm，1cm的三条线段能组不成三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可一一判断得出答案.
3．（2022八下·长兴开学考）不等式3x≤6的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵3x≤6，
∴x≤2.
∴在数轴上表示不等式解集为：
故答案为：B.
【分析】利用不等式性质两边同除以3，解得x≤2，根据小于不等号方向朝左画，等号实心点即可在数轴上表示.
4．（2022八下·长兴开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A选项不符合题意；
B、B选项不符合题意；
C、，C选项符合题意；
D、，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式加（减）法法则，将各个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并的时候只把系数相加减，根指数及被开方数都不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此即可判断A、B；根据二次根式乘法法则，两个数的算术平方根的积，等于这两个数的积的算术平方根，可判断C；两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根，据此即可判断D.
5．（2022八下·长兴开学考）下列选项中，可以用来证明命题“若a>b，则|a|>|b|”是假命题的反例是（ ）
A．a=1，b=0 B．u=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： 当a=1，b=-3时，
a>b，但|a|＜|b|.
故答案为：D.
【分析】证明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的已知条件，但又不满足命题的结论，据此一一判断得出答案.
6．（2021·临沂）已知 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，则
①当a=0时， ，故不符合题意；
②当a＜0，b＜0时， ，故不符合题意；
③若 ，则 ，即 ，故不符合题意；
④若 ，则 ，则 ，故符合题意；
故答案为：A．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此逐一判断即可.
7．（2022八下·长兴开学考）直线y=kx+b经过二、三、四象限，则直线y=-bx+k的图象只能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b图象经过二、三、四象限 ，
∴k＜0，b＜0，
∴-b＞0，
∴直线 y=-bx+k 的图象经过一、三、四象限，
故答案为：D.
【分析】 由直线y=kx+b图象经过二、三、四象限可知k和b的正负情况，进而根据图象与系数的关系判断出直线 y=-bx+k 的图象经过的象限.
8．（2022八下·长兴开学考）如图．AB=AC，BD=1，BD⊥AD，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． +1 B．- -1 C．- +1 D． -1
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：观察数轴可知：AD=2，
∵BD=1，
∴在直角三角形ADB中，由勾股定理得，AB=，
∵AB=AC，
∴AC=5，
∵A在数轴上表示的数为-1，
∴点C所表示的数为-1.
故答案为：D.
【分析】观察数轴可知：AD=2，结合BD=1，在直角三角形ADB中，利用勾股定理求出AB；由AB=AC，再进行减法运算即可求得C点在数轴上表示的数.
9．（2022八下·长兴开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
又∵BE=CD，BD=CF，
∴△BED≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
∵∠BED+∠B=∠EDF+∠CDF，
∴∠B=∠EDF=70°，
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形性质和内角和定理求得∠B=∠C=70°，结合BE=CD，BD=CF可证明△BED≌△CFD，再由全等三角形性质和外角定理性质可得∠B=∠EDF即可解决问题.
10．（2022八下·长兴开学考）第一象限内有两点P（m-4，n），Q（m，n-2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．（-4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，-2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】∵点P（m-4，n），Q（m，n-2） ，设平移后的点P、Q分别为x轴上P'和y轴上Q'，
∴n=0，m=0，
∴点P'（-4，0），Q'（0，-2）.
故答案为：A.
【分析】根据坐标轴上点坐标的特征，点在x轴上纵坐标为0，点在y轴上横坐标为0，即可求得m、n值，代入坐标中即可求得P'.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2022八下·长兴开学考）在坐标平面内，点P（- 2022 ，2023）在第 象限．
【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P （- 2022 ，2023）
∴点P在第二象限.
故答案为：二.
【分析】根据第二象限点的符号特征：横坐标负数，纵坐标正数，即可判断.
12．已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4）， 则这个正比例函数的表达式是
【答案】y=-2x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】设正比例函数解析式为y=kx，根据图象过点（-2，4），即可解得结果。
设正比例函数解析式为y=kx，
∵图象过点（-2，4），
∴-2k=4，k=-2，
∴这个正比例函数的表达式是y=-2x
【分析】正比例函数解析式为y=kx，把图象过的点的坐标代入解析式，求出k的值即可.
13．（2022八下·长兴开学考）等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=4∠B，则∠C= 。
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC， AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=4∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴6∠B=180°，
∴∠B=∠C=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形性质得∠B=∠C，结合∠A=4∠B，利用三角形内角和定理得6∠B=180°，即可求出∠C.
14．（2022八下·长兴开学考）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是 。
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵Rt△ABC，BD=5，BC=4，
∴DC=，
∴DE=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质定理得DE=DC，在Rt△ABC，由勾股定理得求出DC，进而求得DE，DE即为D点到AB的距离.
15．（2022八下·长兴开学考）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 。
【答案】x≥1
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解： 直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3） ，
∴3=m+2，
∴m=1，即点P（1，3），
∴如图所示：当x=1时，两条直线相交，即x+2=ax+4，
∴当x≥1时，有不等式x+2≥ax+c成立.
故答案为：x≥1.
【分析】由直线y=x+2过点P（m，3）确定点P的坐标，然后结合图象写出直线y=ax+c在直线y=x+2下方所对应的x取值范围即可.
16．（2022八下·长兴开学考）如图，在△ABC中， AB=AC ，BC=3+ ，∠BAC=90°，点D、E都在边BC上，∠DAE=45°．若BD=2CE，则DE的长是 。
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：将△AEC绕着点A逆时针旋转90°，得到△BAF，
∵△ABC中，AB=AC，
∴点C与点B重合，
∴CE=BF，AE=AF，∠EAC=∠FAB，∠C=∠FBA=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠EAC+∠BAD=90°-∠DAE=45°，∠FBD=∠ABF+∠ABD=45°+45°=90°，
在△FAD和△DAE，
∴
∴△FAD≌△DAE（SAS）
∴DE=DF，
∵BD=2CE，
设CE=x，则DE=DF=3+-3x
在Rt△BDF中
BF2+BD2=FD2即x2+4x2=（3+-3x）2，
5x2=（3+-3x）2，
解之：（不符合题意）
∴DE=.
故答案为：.
【分析】将△AEC绕着点A逆时针旋转90°，得到△BAF，可知点C与点B重合，可证得CE=BF，AE=AF，∠FBD=90°，∠FAD=∠DAE；利用SAS证明△FAD≌△DAE，利用全等三角形的性质可证得DE=DF，设CE=x，可表示出DF的长，在Rt△BDF中利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的DE的长.
三、解答题（共66分）
17．（2022八下·长兴开学考）解下列不等式（组）：
（1）2x-18≤8x；
（2）
【答案】（1）解：2x-18≤8x ，
-6x≤18，
x≥-3 ；
（2）解：解不等式①得，x＞-2，
解不等式②得，x≤2，
所以，不等式组的解集为-2【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1即可出解集；
（2）先分别解出各个不等式的解集，再利用同大取大，同小取小，大小小大中间找，即可确定不等式组的解集.
18．（2022八下·长兴开学考）已知：如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．
求证：∠A=∠D．
【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE
在△ABF和△DCE中，∵ ，
△ABF≌△DCE，∴∠A=∠D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由BE=CF，EF为公共线段，可得BF=CE，结合AB=DC，∠B=∠C可证明△ABF≌△DCE ，利用全等三角形性质即可求证∠A=∠D.
19．（2022八下·长兴开学考）已知平面直角坐标系中有一点M（m-1，2m+ 3）．
（1）点M在二、四象限的角平分线上，求点M的坐标；
（2）点M到y轴的距离为1时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：m-1+ 2m+3=0．∴m= ，∴M( ， )
（2）解：由题意得：|m-1|=1，∴m=0或2(1分)，∴M(1，7)或(-1，3)
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）由在二、四象限的角平分线上的点的横坐坐标互为相反数，可列出m-1+ 2m+3=0，求出m即可解决问题；
（2）由点到y轴的距离为点横坐标的绝对值，可列出|m-1|=1，解出m即可解决问题.
20．（2022八下·长兴开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE=BE．
（1）求证：△AEH≌△BEC．
（2）若AH=4，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠AEH=90°，∠DAC+∠C=∠EBC+∠C=90°
∴∠DAC=∠EBC，
在△AEH和△BEC中，∵ ，∴△AEH≌△BEC
（2）解：∵AB= AC，AD⊥BC，∴BC=2BD，
∵△AEH≌△BEC，∴BC=AH=4，∴BD=2
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由AD⊥BC，BE⊥AC，得∠BEC=∠AEH=90°，∠DAC+∠C=∠EBC+∠C=90°，即得∠DAC=∠EBC，结合AE=BE可证明三角形全等；
（2）AB= AC，AD⊥BC， 利用等腰三角形三线合一性质推出BC=2BD，由（2）中△AEH≌△BEC得 BC=AH，求出BC即可求解.
21．（2021·陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离 与时间 之间的关系如图所示.
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 ；
（2）求 的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.
【答案】（1）1
（2）解：由图象知，A（7，30），B（10，18）
设 的表达式 ，
把点A、B代入解析式得，
解得，
∴
（3）解：令 ，则 .
∴ .
14.5-1=13.5(min)
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）从图象可以看出“猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min，“猫”用时（6-1）=5min，
所以，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是
故答案为：1；
【分析】（1）观察图象，并根据图象中的信息““猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min”可求出猫”所用时间，再根据速度=路程÷时间可求得“猫”的平均速度和“鼠”的平均速度，求差即可求解；
（2）观察图象可知点A、B的坐标，然后用待定系数法可求直线AB的解析式；
（3）由题意令（2）中求得的解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程可求得x的值，再用求得的x的值减去迟出发的时间1小时即可求解.
22．（2022八下·长兴开学考）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设每个足球x元，每个篮球(2x-30)元，
根据题意得：3x=2(2x-30)，
解得x=60，
答：每个足球60元，每个篮球90元
（2）解：设买篮球m个，则买足球(200-m)个，
由题意得：90m+60(200-m)≤15500，
解得m≤
∵m为正整数，∴最多购进篮球116个
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设每个足球x元，每个篮球(2x-30)元， 由用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2，可列方程，解出x即可；
（2） 设买篮球m个，则买足球(200-m)个 ，由足球和篮球的总费用不超过15500元，列出不等式， 求m的范围，结合m为正整数求出符合题意的m值即可.
23．（2022八下·长兴开学考）如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的长均为2a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=2a．（提示：边长为x的等边三角形的面积等于 x2）
（1）求证：△ABE≌△DBF；
（2）△BEF是哪一种特殊的三角形？并说明理由；
（3）求△BEF面积的最小值．
【答案】（1）证明： ∵△ABD和△CBD是等边三角形，
∴AB=BD=AD=CD=2a，∠A=∠BDC=60° ，
∴DF+FC=2a，
∵AE+CF= 2a，
∴AE=DF，
∴△ABE≌△DBF；
（2）解：△BEF是正三角形，理由如下：
∵△ABE≌△DBF，
∴∠EBA=∠FBD，EB=FB，
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是正三角形
（3）解：∵△BEF是正三角形，当边BE最短时，△BEF面积的最小，
即当BE⊥AD时，BE最短，BE的最小值为 a，∴△BEF面积的最小值为 a2
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质得AB=BD=AD=CD=2a，∠A=∠BDC=60° ， 进而求得DF+FC=2a，，结合AE+CF= 2a得AE=DF，即可求证三角形全等；
（2）由（1）中△ABE≌△DBF，利用全等三角形性质得∠EBA=∠FBD，EB=FB， 进而求得∠EBF为60°，即可证明△BEF是等边三角形；
（3）由（2）中已证△BEF是等边三角形， 当边BE最短时，△BEF面积的最小， 当BE⊥AD时，BE最短，求出此时的BE长，根据g根据提示的三角形面积计算公式即可算出答案.
24．（2022八下·长兴开学考）
（1）基本图形的认识：
如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．
（2）基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC=AB，求点C的坐标；
（3）基本图形的应用：
如图3，一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB=45°，求点D的坐标．
【答案】（1）证明： ∵AB=EC，∠B=∠C=90°，BE=CD，
∴△ABE≌△ECD，
∴AE=ED，∠AEB=∠EDC，
在△DEC中，∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠CED+∠AEB=90°．
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形．
（2）解：过点C作CD⊥x轴于D，
∵ A（2，0），B（0，3） ∴OA=2，OB=3
∵AC⊥AB，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
在△ABO中，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
∵AB=AC，
∴△ABO≌△CAD，
∴OA=DC=2，AD=BO=3，
∴OD=OA+AD=5
∴C(5，2)
（3）解：过点B作BE⊥AB交AD于点E，点E作EF⊥x轴于F，
将x=0代入 y=-2x+2 得y=2，∴A（0，2），
将y=0代入 y=-2x+2 得x=1，∴B（1，0），
同(2)的理由可知：E(3，1)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（0，2）与E（3，1）分别代入得
解得
∴直线AD的解析式为y= x+2，
将y=0代入得x=6，
∴D(6，0)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1） 由已知条件：AB=EC，∠B=∠C=90°，BE=CD ，可证明△ABE≌△ECD，得AE=ED，∠AEB=∠EDC，结合∠DEC+∠EDC=90°，推出∠CED+∠AEB=90°，即∠AED=90°，即可求证△AED是等腰直角三角形；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，由AC⊥AB，即∠BAO+∠CAD=90°，结合∠BAO+∠ABO=90°，推出∠CAD=∠ABO，即可证明△ABO≌△CAD，利用全等三角形性质求得OA=DC，AD=BO即可求得C点坐标；
（3）过点B作BE⊥AB交AD于点E，过点E作EF⊥x轴于F，由（2）中构造全等及证明方式，易证出△ABO≌△BEF，由全等三角形性质可得BF=OA、EF=OB；把x=0代入y=-2x+2中，解得y=2，即点A（0，2），求得OA=BF=2，把y=0代入y=-2x+2中，解得x=1，即点B（1，0），求得OB=EF=1，进而求得OF=3，求出E点为（3，1）；利用E点和A点待定系数法即可求得直线AD的解析式，由D为直线AD与x轴交点坐标即可求解.
1 / 1浙江省湖州市长兴县部分校2021-2022学年八年级下学期返校考试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021八上·昌乐月考）下列选项中的几个图形是国际通用的交通标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·长兴开学考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，6cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4 cm，8cm D．4cm，5cm，1cm
3．（2022八下·长兴开学考）不等式3x≤6的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八下·长兴开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·长兴开学考）下列选项中，可以用来证明命题“若a>b，则|a|>|b|”是假命题的反例是（ ）
A．a=1，b=0 B．u=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3
6．（2021·临沂）已知 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022八下·长兴开学考）直线y=kx+b经过二、三、四象限，则直线y=-bx+k的图象只能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022八下·长兴开学考）如图．AB=AC，BD=1，BD⊥AD，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． +1 B．- -1 C．- +1 D． -1
9．（2022八下·长兴开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（2022八下·长兴开学考）第一象限内有两点P（m-4，n），Q（m，n-2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．（-4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，-2）
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2022八下·长兴开学考）在坐标平面内，点P（- 2022 ，2023）在第 象限．
12．已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4）， 则这个正比例函数的表达式是
13．（2022八下·长兴开学考）等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=4∠B，则∠C= 。
14．（2022八下·长兴开学考）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是 。
15．（2022八下·长兴开学考）如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 。
16．（2022八下·长兴开学考）如图，在△ABC中， AB=AC ，BC=3+ ，∠BAC=90°，点D、E都在边BC上，∠DAE=45°．若BD=2CE，则DE的长是 。
三、解答题（共66分）
17．（2022八下·长兴开学考）解下列不等式（组）：
（1）2x-18≤8x；
（2）
18．（2022八下·长兴开学考）已知：如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．
求证：∠A=∠D．
19．（2022八下·长兴开学考）已知平面直角坐标系中有一点M（m-1，2m+ 3）．
（1）点M在二、四象限的角平分线上，求点M的坐标；
（2）点M到y轴的距离为1时，求点M的坐标．
20．（2022八下·长兴开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE=BE．
（1）求证：△AEH≌△BEC．
（2）若AH=4，求BD的长．
21．（2021·陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离 与时间 之间的关系如图所示.
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 ；
（2）求 的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.
22．（2022八下·长兴开学考）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
23．（2022八下·长兴开学考）如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的长均为2a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=2a．（提示：边长为x的等边三角形的面积等于 x2）
（1）求证：△ABE≌△DBF；
（2）△BEF是哪一种特殊的三角形？并说明理由；
（3）求△BEF面积的最小值．
24．（2022八下·长兴开学考）
（1）基本图形的认识：
如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．
（2）基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC=AB，求点C的坐标；
（3）基本图形的应用：
如图3，一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB=45°，求点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+5＞6，∴长3cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，故选项A符合题意；
B、∵3+3=6，∴长3cm，3cm，6cm的三条线段能组不成三角形，故选项B不符合题意；
C、∵3+4＜8，∴长3cm，4cm，8cm的三条线段能组不成三角形，故选项C不符合题意；
D、∵1+4＜5，∴长4cm，5cm，1cm的三条线段能组不成三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵3x≤6，
∴x≤2.
∴在数轴上表示不等式解集为：
故答案为：B.
【分析】利用不等式性质两边同除以3，解得x≤2，根据小于不等号方向朝左画，等号实心点即可在数轴上表示.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A选项不符合题意；
B、B选项不符合题意；
C、，C选项符合题意；
D、，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式加（减）法法则，将各个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并的时候只把系数相加减，根指数及被开方数都不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此即可判断A、B；根据二次根式乘法法则，两个数的算术平方根的积，等于这两个数的积的算术平方根，可判断C；两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根，据此即可判断D.
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： 当a=1，b=-3时，
a>b，但|a|＜|b|.
故答案为：D.
【分析】证明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的已知条件，但又不满足命题的结论，据此一一判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，则
①当a=0时， ，故不符合题意；
②当a＜0，b＜0时， ，故不符合题意；
③若 ，则 ，即 ，故不符合题意；
④若 ，则 ，则 ，故符合题意；
故答案为：A．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此逐一判断即可.
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b图象经过二、三、四象限 ，
∴k＜0，b＜0，
∴-b＞0，
∴直线 y=-bx+k 的图象经过一、三、四象限，
故答案为：D.
【分析】 由直线y=kx+b图象经过二、三、四象限可知k和b的正负情况，进而根据图象与系数的关系判断出直线 y=-bx+k 的图象经过的象限.
8．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：观察数轴可知：AD=2，
∵BD=1，
∴在直角三角形ADB中，由勾股定理得，AB=，
∵AB=AC，
∴AC=5，
∵A在数轴上表示的数为-1，
∴点C所表示的数为-1.
故答案为：D.
【分析】观察数轴可知：AD=2，结合BD=1，在直角三角形ADB中，利用勾股定理求出AB；由AB=AC，再进行减法运算即可求得C点在数轴上表示的数.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
又∵BE=CD，BD=CF，
∴△BED≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
∵∠BED+∠B=∠EDF+∠CDF，
∴∠B=∠EDF=70°，
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形性质和内角和定理求得∠B=∠C=70°，结合BE=CD，BD=CF可证明△BED≌△CFD，再由全等三角形性质和外角定理性质可得∠B=∠EDF即可解决问题.
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】∵点P（m-4，n），Q（m，n-2） ，设平移后的点P、Q分别为x轴上P'和y轴上Q'，
∴n=0，m=0，
∴点P'（-4，0），Q'（0，-2）.
故答案为：A.
【分析】根据坐标轴上点坐标的特征，点在x轴上纵坐标为0，点在y轴上横坐标为0，即可求得m、n值，代入坐标中即可求得P'.
11．【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P （- 2022 ，2023）
∴点P在第二象限.
故答案为：二.
【分析】根据第二象限点的符号特征：横坐标负数，纵坐标正数，即可判断.
12．【答案】y=-2x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】设正比例函数解析式为y=kx，根据图象过点（-2，4），即可解得结果。
设正比例函数解析式为y=kx，
∵图象过点（-2，4），
∴-2k=4，k=-2，
∴这个正比例函数的表达式是y=-2x
【分析】正比例函数解析式为y=kx，把图象过的点的坐标代入解析式，求出k的值即可.
13．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC， AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=4∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴6∠B=180°，
∴∠B=∠C=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形性质得∠B=∠C，结合∠A=4∠B，利用三角形内角和定理得6∠B=180°，即可求出∠C.
14．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵Rt△ABC，BD=5，BC=4，
∴DC=，
∴DE=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质定理得DE=DC，在Rt△ABC，由勾股定理得求出DC，进而求得DE，DE即为D点到AB的距离.
15．【答案】x≥1
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解： 直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3） ，
∴3=m+2，
∴m=1，即点P（1，3），
∴如图所示：当x=1时，两条直线相交，即x+2=ax+4，
∴当x≥1时，有不等式x+2≥ax+c成立.
故答案为：x≥1.
【分析】由直线y=x+2过点P（m，3）确定点P的坐标，然后结合图象写出直线y=ax+c在直线y=x+2下方所对应的x取值范围即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：将△AEC绕着点A逆时针旋转90°，得到△BAF，
∵△ABC中，AB=AC，
∴点C与点B重合，
∴CE=BF，AE=AF，∠EAC=∠FAB，∠C=∠FBA=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠EAC+∠BAD=90°-∠DAE=45°，∠FBD=∠ABF+∠ABD=45°+45°=90°，
在△FAD和△DAE，
∴
∴△FAD≌△DAE（SAS）
∴DE=DF，
∵BD=2CE，
设CE=x，则DE=DF=3+-3x
在Rt△BDF中
BF2+BD2=FD2即x2+4x2=（3+-3x）2，
5x2=（3+-3x）2，
解之：（不符合题意）
∴DE=.
故答案为：.
【分析】将△AEC绕着点A逆时针旋转90°，得到△BAF，可知点C与点B重合，可证得CE=BF，AE=AF，∠FBD=90°，∠FAD=∠DAE；利用SAS证明△FAD≌△DAE，利用全等三角形的性质可证得DE=DF，设CE=x，可表示出DF的长，在Rt△BDF中利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的DE的长.
17．【答案】（1）解：2x-18≤8x ，
-6x≤18，
x≥-3 ；
（2）解：解不等式①得，x＞-2，
解不等式②得，x≤2，
所以，不等式组的解集为-2【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1即可出解集；
（2）先分别解出各个不等式的解集，再利用同大取大，同小取小，大小小大中间找，即可确定不等式组的解集.
18．【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE
在△ABF和△DCE中，∵ ，
△ABF≌△DCE，∴∠A=∠D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由BE=CF，EF为公共线段，可得BF=CE，结合AB=DC，∠B=∠C可证明△ABF≌△DCE ，利用全等三角形性质即可求证∠A=∠D.
19．【答案】（1）解：由题意得：m-1+ 2m+3=0．∴m= ，∴M( ， )
（2）解：由题意得：|m-1|=1，∴m=0或2(1分)，∴M(1，7)或(-1，3)
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）由在二、四象限的角平分线上的点的横坐坐标互为相反数，可列出m-1+ 2m+3=0，求出m即可解决问题；
（2）由点到y轴的距离为点横坐标的绝对值，可列出|m-1|=1，解出m即可解决问题.
20．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠AEH=90°，∠DAC+∠C=∠EBC+∠C=90°
∴∠DAC=∠EBC，
在△AEH和△BEC中，∵ ，∴△AEH≌△BEC
（2）解：∵AB= AC，AD⊥BC，∴BC=2BD，
∵△AEH≌△BEC，∴BC=AH=4，∴BD=2
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由AD⊥BC，BE⊥AC，得∠BEC=∠AEH=90°，∠DAC+∠C=∠EBC+∠C=90°，即得∠DAC=∠EBC，结合AE=BE可证明三角形全等；
（2）AB= AC，AD⊥BC， 利用等腰三角形三线合一性质推出BC=2BD，由（2）中△AEH≌△BEC得 BC=AH，求出BC即可求解.
21．【答案】（1）1
（2）解：由图象知，A（7，30），B（10，18）
设 的表达式 ，
把点A、B代入解析式得，
解得，
∴
（3）解：令 ，则 .
∴ .
14.5-1=13.5(min)
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）从图象可以看出“猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min，“猫”用时（6-1）=5min，
所以，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是
故答案为：1；
【分析】（1）观察图象，并根据图象中的信息““猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min”可求出猫”所用时间，再根据速度=路程÷时间可求得“猫”的平均速度和“鼠”的平均速度，求差即可求解；
（2）观察图象可知点A、B的坐标，然后用待定系数法可求直线AB的解析式；
（3）由题意令（2）中求得的解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程可求得x的值，再用求得的x的值减去迟出发的时间1小时即可求解.
22．【答案】（1）解：设每个足球x元，每个篮球(2x-30)元，
根据题意得：3x=2(2x-30)，
解得x=60，
答：每个足球60元，每个篮球90元
（2）解：设买篮球m个，则买足球(200-m)个，
由题意得：90m+60(200-m)≤15500，
解得m≤
∵m为正整数，∴最多购进篮球116个
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设每个足球x元，每个篮球(2x-30)元， 由用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2，可列方程，解出x即可；
（2） 设买篮球m个，则买足球(200-m)个 ，由足球和篮球的总费用不超过15500元，列出不等式， 求m的范围，结合m为正整数求出符合题意的m值即可.
23．【答案】（1）证明： ∵△ABD和△CBD是等边三角形，
∴AB=BD=AD=CD=2a，∠A=∠BDC=60° ，
∴DF+FC=2a，
∵AE+CF= 2a，
∴AE=DF，
∴△ABE≌△DBF；
（2）解：△BEF是正三角形，理由如下：
∵△ABE≌△DBF，
∴∠EBA=∠FBD，EB=FB，
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是正三角形
（3）解：∵△BEF是正三角形，当边BE最短时，△BEF面积的最小，
即当BE⊥AD时，BE最短，BE的最小值为 a，∴△BEF面积的最小值为 a2
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质得AB=BD=AD=CD=2a，∠A=∠BDC=60° ， 进而求得DF+FC=2a，，结合AE+CF= 2a得AE=DF，即可求证三角形全等；
（2）由（1）中△ABE≌△DBF，利用全等三角形性质得∠EBA=∠FBD，EB=FB， 进而求得∠EBF为60°，即可证明△BEF是等边三角形；
（3）由（2）中已证△BEF是等边三角形， 当边BE最短时，△BEF面积的最小， 当BE⊥AD时，BE最短，求出此时的BE长，根据g根据提示的三角形面积计算公式即可算出答案.
24．【答案】（1）证明： ∵AB=EC，∠B=∠C=90°，BE=CD，
∴△ABE≌△ECD，
∴AE=ED，∠AEB=∠EDC，
在△DEC中，∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠CED+∠AEB=90°．
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形．
（2）解：过点C作CD⊥x轴于D，
∵ A（2，0），B（0，3） ∴OA=2，OB=3
∵AC⊥AB，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
在△ABO中，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
∵AB=AC，
∴△ABO≌△CAD，
∴OA=DC=2，AD=BO=3，
∴OD=OA+AD=5
∴C(5，2)
（3）解：过点B作BE⊥AB交AD于点E，点E作EF⊥x轴于F，
将x=0代入 y=-2x+2 得y=2，∴A（0，2），
将y=0代入 y=-2x+2 得x=1，∴B（1，0），
同(2)的理由可知：E(3，1)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（0，2）与E（3，1）分别代入得
解得
∴直线AD的解析式为y= x+2，
将y=0代入得x=6，
∴D(6，0)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1） 由已知条件：AB=EC，∠B=∠C=90°，BE=CD ，可证明△ABE≌△ECD，得AE=ED，∠AEB=∠EDC，结合∠DEC+∠EDC=90°，推出∠CED+∠AEB=90°，即∠AED=90°，即可求证△AED是等腰直角三角形；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，由AC⊥AB，即∠BAO+∠CAD=90°，结合∠BAO+∠ABO=90°，推出∠CAD=∠ABO，即可证明△ABO≌△CAD，利用全等三角形性质求得OA=DC，AD=BO即可求得C点坐标；
（3）过点B作BE⊥AB交AD于点E，过点E作EF⊥x轴于F，由（2）中构造全等及证明方式，易证出△ABO≌△BEF，由全等三角形性质可得BF=OA、EF=OB；把x=0代入y=-2x+2中，解得y=2，即点A（0，2），求得OA=BF=2，把y=0代入y=-2x+2中，解得x=1，即点B（1，0），求得OB=EF=1，进而求得OF=3，求出E点为（3，1）；利用E点和A点待定系数法即可求得直线AD的解析式，由D为直线AD与x轴交点坐标即可求解.
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