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高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.2 等差数列的前n项和
一、单选题
1．（2021高二上·焦作期中）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的公差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021高三上·太原期中）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
3．（2021高三上·赣州期中）已知数列 为等差数列，其前n项和为 ， ，则 （ ）
A．110 B．55 C．50 D．45
4．（2021高三上·黑龙江期中）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ．已知 ， ， ，则选项不正确的是（ ）
A．数列 的最小项为第6项
B．
C．
D． 时， 的最大值为5
5．（2021高二上·河南月考）等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
6．（2021高二上·南阳月考）已知 为等差数列 的前 项和，且满足 ，则 等于（ ）
A．-9 B．-11 C．-13 D．-15
7．（2021·渭南模拟）已知数列 中， ， ，若其前 项和为 ，则 的最大值为（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
8．（2021·北京）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多选题
9．（2021高三上·深圳月考）设数列 是公差为 等差数列， 为其前 项和， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D． ， 为 的最大值
10．（2021高三上·佛山月考）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则（ ）
A． B． 的前 项和中 最小
C． 的最小值为-49 D． 的最大值为0
11．（2021高三上·苏州月考）已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若 ，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021高三上·月考）已知数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
13．（2021高三上·苏州开学考）设 是公差为 的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则数列 有最大项
B．若数列 有最大项，则
C．若数列对任意的 ， 恒成立，则
D．若对任意的 ，均有 ，则 恒成立
三、填空题
14．（2021高三上·太原期中）记 为等差数列 的前 项和， ， ，则 .
15．（2021高二上·河南月考）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．
16．（2021高二下·番禺期末）已知 为等差数列， 为其前 项和．若 ， ，则 ．
17．（2021高一下·资阳期末）等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，有以下结论：
①若 ，则必有 ； ②若 ， ，则 ；
③若 ，则必有 ； ④若 ，则必有 ．
其中所有正确结论的序号为 ．
18．（2021高一下·成都期中）等差数列 ， 的前 项和分别为 ，若 ，则 ＝ .
19．（2021·千阳模拟）已知等差数列 是递增数列， 是 的前n项和，若 是方程 的两个根，则 的值为 ．
四、解答题
20．（2021高三上·深圳月考）已知等差数列{an}前n项和为Sn， ， .
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设 ，求{bn}前n项和Tn.
21．（2021高三上·渭南月考）已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求n的值．
22．（2021高二上·成都开学考）已知数列 满足 ， ．
（1）设 ，证明：数列 是等差数列；
（2）记 为等差数列 的前 项和，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值．
23．（2021·新高考Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
24．（2021高二上·河南月考）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 ，得 ，
，又因为 ，两式相减得 ，
则 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式，从而求出等差数列的公差。
2．【答案】D
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质： 成等差数列，
∴ ，可得 ，同理可得 ，
∴ ，可得 。
故答案为：D
【分析】利用等差数列的性质结合等差中项公式，从而结合已知条件求出等差数列前15项的和。
3．【答案】B
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】在等差数列 中， ，于是得 ，
所以 ．
故答案为：B.
【分析】根据题意由等差数列项的性质和等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】D
【考点】数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意 ，又 ，所以 ， 正确；
由 ，且 ， ， ，得 ，解得 ，选项 正确；
由题意当 时， ，当 时， ，
所以 ， ，故 时， 的最大值为10， 错误；
由于 ，数列 是递减数列，当 时， ，当 时， ；
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故数列 中最小的项为第6项，选项 正确．
故答案为：D．
【分析】 根据题意，由等差数列的性质及前n项和公式依次分析选项，综合即可得出答案.
5．【答案】D
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由等差数列的项的性质以及数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
6．【答案】D
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 ， ，
，
，
故答案为：D
【分析】 由题意可得 ,再由等差数列的求和公式和性质可得，代值计算可得.
7．【答案】C
【考点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ 数列 为首项为25，公差为 的等差数列，
∴ ，
∴ 数列 的前n项和 ，
∴ 时， 取最大值，最大值为169。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再利用等差数列的定义，从而推出数列 为首项为25，公差为 的等差数列，再利用等差数列前n项和公式结合二次函数求最值的方法，从而求出 的最大值。
8．【答案】C
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.
9．【答案】A,B,D
【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】在等差数列 中，因 ，则 ，于是得 ，B符合题意；
而 ，则 ，A符合题意；
显然数列 是递减等差数列，前7项都为正，第8项为0，从第9项起均为负，于是得 ，且 ， 为 的最大值，D符合题意，而 ，C不符合题意.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式，再结合等差数列的性质，从而求出等差数列第8项的值；再利用已知条件 结合等差数列的通项公式，从而求出等差数列的公差的正负；再利用等差数列前n项和公式，从而比较出的大小；再利用减函数的定义，从而判断出数列 是递减等差数列，前7项都为正，第8项为0，从第9项起均为负，于是得 ，且 ， 为 的最大值，从而找出正确的选项。
10．【答案】B,C
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设数列 的公差为d，则
解得 ， ，A不符合题意；
，当n=5时取得最小值，B符合题意；
，设函数 ，
则 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 ， ，且 ， ，
所以最小值为-49，C符合题意；
，没有最大值，D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】 由等差数列前n项和公式列出方程组，能求出a1 ，d，利用等差数列的性质，逐项进行判断可得答案。
11．【答案】B,C
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可知，在等差数列 中，因为 ，所以 ，
则 ， B符合题意；
因为公差 ，所以 ，A不符合题意；
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以C符合题意；
因为 ，且 未知正负，所以D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的性质及等差数列的求和公式，逐项进行判断，可得答案。
12．【答案】B,C
【考点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】当 时， ； （ ），
不满足上式，所以数列 不是等差数列，A不符合题意；
当 时， , ，
且 满足上式，所以此时数列 是等比数列，B符合题意；
根据等差数列的性质可知： ；C符合题意；
当 时， 是等比数列，而 ， ， ，不能构成等比数列，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】利用数列 的前n项和结合等差数列、等比数列的定义，从而推出当 ，则 是等比数列；再利用 是等差数列结合 的关系式，从而得出 ，再利用 是等比数列结合等比中项公式合等比数列前n项和公式，从而得出 ， ， 不成等比数列 ，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】A,B,D
【考点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由于等差数列前 项和公式 ，
对于选项 ，若 ，则 有最大值，则数列 有最大项，故答案为：项 正确；
对于选项 ，当数列 有最大项，则 对应的二次函数有最大值时，可知 ，故答案为：项 正确；
对于选项 ，令 ，对任意的 ，则数列 递增，满足 恒成立，但 ，故答案为：项 错误；
对于选项 ，若对任意的 ，均有 ，则 ， ，则 必为递增数列，故答案为：项 正确.
综上可知，正确的命题是ABD.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式得出等差数列前 项和公式，再利用结合二次函数的图像，从而求出二次函数 有最大值，则数列 有最大项；当数列 有最大项，则 对应的二次函数有最大值时，可知 ；令 ，再结合增函数的定义，得出对任意的 ，则数列 递增，满足 恒成立，但 ，从而推出选项C错误，再利用对任意的 ，均有 ，再结合等差数列前n项和公式，则 ， ，再结合增函数的定义，则 必为递增数列，从而找出命题正确的选项。
14．【答案】4
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】 ，
，
又因为 ，则 ，
∴ ，且 ，
∴ 。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式，再利用等差数列的通项公式，进而求出的值。
15．【答案】33
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 是等差数列，由 可得 ，
即 ，可得 ，则 .
故答案为：33.
【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式结合题意整理得到，再由等差数列项的性质以及等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
16．【答案】
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由 为等差数列，设公差为 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列前n项和公式，进而求出等差数列的前n项和。
17．【答案】①②④
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，有以下结论：
①若 ， ，即 ，
，正确；
②若 得 ，且 ，得 ，
则
，
因为 ，所以 ，得 ，所以正确；
③若 ，则 ，得 ，
因为 ，所以 ， ，
，
则 大小不确定，错误；
④若 ，得 ， ，
若 ，则 ，则 ，则 ，
若 ， ，
则 ，则 ，则 ，
综上 ，正确；
故答案为：①②④.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式、等差数列的通项公式，从而找出正确结论的序号。
18．【答案】16
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可设Sn=n(38n+14)=38n2+14n，Tn=n(2n+1)=2n2+n
则a6=S6-S5=(38×62+14×6)-(38×52+14×5)=432
b7=T7-T6=(2×72+7)-(2×62+6)=27
则
故答案为：16
【分析】根据等差数列的性质，结合an与sn的关系求解即可.
19．【答案】24
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意解得a2=1，a4=5，则，a1=-1
所以
故答案为：24
【分析】根据等差数列的通项公式，以及求和公式直接求解即可
20．【答案】（1）由 得 .
又因为 ，所以 ，
则 ，解得 ；
故 ，
.
（2） .
当 为偶数时：
.
当 为奇数时：
.
综上得 .
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而解方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式，再利用等差数列前n项和公式得出等差数列前n项和Sn。
（2）利用（1）求出的等差数列前n项和结合 ，从而求出数列{bn}的通项公式，再利用分类讨论的方法结合数列求和的方法，从而求出数列{bn}的前n项和Tn。
21．【答案】（1）因为 ， ， 成等差数列，所以 ．
令 ，得 ，因为 ，所以 ．
当 时，有 ，
所以 ，整理得
因为 均为正数，所以 ，即 是公差为2的等差数列，
所以 ．
（2） ，
由 ，得 ，
即
解得 (舍负)
【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，再结合等差数列的项的性质，整理化简由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由已知条件整理化简即可得出关于n的方程，求解出n的取值即可。
22．【答案】（1）解： ，
数列 是公差为 的等差数列．
（2） ，
，
，
①，
②，
②―①， ，
，
，即： ，
，
设 ， ， ，设 ，对称轴 ，
， 当 时，即 时， ，
的最大值为 .
【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】(1)由已知条件的递推公式整理得到数列为等差数列。
(2)由(1)的几率整理即可得出数列的通项公式，然后由错位相减法整理即可得出数列前n项和，由分离参数法等的不等式，构造函数整理得到，结合二次函数的性质即可求出函数的最大值，由此即可得出答案。
23．【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【考点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
24．【答案】（1）解：设 的公差为 ，
由题意得 ，
故 的通项公式为 .
（2）解：由（1）得 .
当 时， 取得最大值，且最大值为25.
【考点】二次函数的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)先设等差数列 的公差为 ，然后根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于首项a1和公差d的方程组，解出a1和d的值，即可得到数列的通项公式；
(2)利用等差数列的求和公式，二次函数的性质即可求出 的最大值.
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高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.2 等差数列的前n项和
一、单选题
1．（2021高二上·焦作期中）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的公差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 ，得 ，
，又因为 ，两式相减得 ，
则 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式，从而求出等差数列的公差。
2．（2021高三上·太原期中）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
【答案】D
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质： 成等差数列，
∴ ，可得 ，同理可得 ，
∴ ，可得 。
故答案为：D
【分析】利用等差数列的性质结合等差中项公式，从而结合已知条件求出等差数列前15项的和。
3．（2021高三上·赣州期中）已知数列 为等差数列，其前n项和为 ， ，则 （ ）
A．110 B．55 C．50 D．45
【答案】B
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】在等差数列 中， ，于是得 ，
所以 ．
故答案为：B.
【分析】根据题意由等差数列项的性质和等差数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
4．（2021高三上·黑龙江期中）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ．已知 ， ， ，则选项不正确的是（ ）
A．数列 的最小项为第6项
B．
C．
D． 时， 的最大值为5
【答案】D
【考点】数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意 ，又 ，所以 ， 正确；
由 ，且 ， ， ，得 ，解得 ，选项 正确；
由题意当 时， ，当 时， ，
所以 ， ，故 时， 的最大值为10， 错误；
由于 ，数列 是递减数列，当 时， ，当 时， ；
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故数列 中最小的项为第6项，选项 正确．
故答案为：D．
【分析】 根据题意，由等差数列的性质及前n项和公式依次分析选项，综合即可得出答案.
5．（2021高二上·河南月考）等差数列 和 的前 项和分别记为 与 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由等差数列的项的性质以及数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
6．（2021高二上·南阳月考）已知 为等差数列 的前 项和，且满足 ，则 等于（ ）
A．-9 B．-11 C．-13 D．-15
【答案】D
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 ， ，
，
，
故答案为：D
【分析】 由题意可得 ,再由等差数列的求和公式和性质可得，代值计算可得.
7．（2021·渭南模拟）已知数列 中， ， ，若其前 项和为 ，则 的最大值为（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
【答案】C
【考点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ 数列 为首项为25，公差为 的等差数列，
∴ ，
∴ 数列 的前n项和 ，
∴ 时， 取最大值，最大值为169。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再利用等差数列的定义，从而推出数列 为首项为25，公差为 的等差数列，再利用等差数列前n项和公式结合二次函数求最值的方法，从而求出 的最大值。
8．（2021·北京）数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.
二、多选题
9．（2021高三上·深圳月考）设数列 是公差为 等差数列， 为其前 项和， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D． ， 为 的最大值
【答案】A,B,D
【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】在等差数列 中，因 ，则 ，于是得 ，B符合题意；
而 ，则 ，A符合题意；
显然数列 是递减等差数列，前7项都为正，第8项为0，从第9项起均为负，于是得 ，且 ， 为 的最大值，D符合题意，而 ，C不符合题意.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式，再结合等差数列的性质，从而求出等差数列第8项的值；再利用已知条件 结合等差数列的通项公式，从而求出等差数列的公差的正负；再利用等差数列前n项和公式，从而比较出的大小；再利用减函数的定义，从而判断出数列 是递减等差数列，前7项都为正，第8项为0，从第9项起均为负，于是得 ，且 ， 为 的最大值，从而找出正确的选项。
10．（2021高三上·佛山月考）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则（ ）
A． B． 的前 项和中 最小
C． 的最小值为-49 D． 的最大值为0
【答案】B,C
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设数列 的公差为d，则
解得 ， ，A不符合题意；
，当n=5时取得最小值，B符合题意；
，设函数 ，
则 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 ， ，且 ， ，
所以最小值为-49，C符合题意；
，没有最大值，D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】 由等差数列前n项和公式列出方程组，能求出a1 ，d，利用等差数列的性质，逐项进行判断可得答案。
11．（2021高三上·苏州月考）已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若 ，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可知，在等差数列 中，因为 ，所以 ，
则 ， B符合题意；
因为公差 ，所以 ，A不符合题意；
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以C符合题意；
因为 ，且 未知正负，所以D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的性质及等差数列的求和公式，逐项进行判断，可得答案。
12．（2021高三上·月考）已知数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
【答案】B,C
【考点】等差数列；等差数列的前n项和；等比数列；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】当 时， ； （ ），
不满足上式，所以数列 不是等差数列，A不符合题意；
当 时， , ，
且 满足上式，所以此时数列 是等比数列，B符合题意；
根据等差数列的性质可知： ；C符合题意；
当 时， 是等比数列，而 ， ， ，不能构成等比数列，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】利用数列 的前n项和结合等差数列、等比数列的定义，从而推出当 ，则 是等比数列；再利用 是等差数列结合 的关系式，从而得出 ，再利用 是等比数列结合等比中项公式合等比数列前n项和公式，从而得出 ， ， 不成等比数列 ，从而找出说法正确的选项。
13．（2021高三上·苏州开学考）设 是公差为 的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则数列 有最大项
B．若数列 有最大项，则
C．若数列对任意的 ， 恒成立，则
D．若对任意的 ，均有 ，则 恒成立
【答案】A,B,D
【考点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由于等差数列前 项和公式 ，
对于选项 ，若 ，则 有最大值，则数列 有最大项，故答案为：项 正确；
对于选项 ，当数列 有最大项，则 对应的二次函数有最大值时，可知 ，故答案为：项 正确；
对于选项 ，令 ，对任意的 ，则数列 递增，满足 恒成立，但 ，故答案为：项 错误；
对于选项 ，若对任意的 ，均有 ，则 ， ，则 必为递增数列，故答案为：项 正确.
综上可知，正确的命题是ABD.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式得出等差数列前 项和公式，再利用结合二次函数的图像，从而求出二次函数 有最大值，则数列 有最大项；当数列 有最大项，则 对应的二次函数有最大值时，可知 ；令 ，再结合增函数的定义，得出对任意的 ，则数列 递增，满足 恒成立，但 ，从而推出选项C错误，再利用对任意的 ，均有 ，再结合等差数列前n项和公式，则 ， ，再结合增函数的定义，则 必为递增数列，从而找出命题正确的选项。
三、填空题
14．（2021高三上·太原期中）记 为等差数列 的前 项和， ， ，则 .
【答案】4
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】 ，
，
又因为 ，则 ，
∴ ，且 ，
∴ 。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式，再利用等差数列的通项公式，进而求出的值。
15．（2021高二上·河南月考）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．
【答案】33
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 是等差数列，由 可得 ，
即 ，可得 ，则 .
故答案为：33.
【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式结合题意整理得到，再由等差数列项的性质以及等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
16．（2021高二下·番禺期末）已知 为等差数列， 为其前 项和．若 ， ，则 ．
【答案】
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由 为等差数列，设公差为 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列前n项和公式，进而求出等差数列的前n项和。
17．（2021高一下·资阳期末）等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，有以下结论：
①若 ，则必有 ； ②若 ， ，则 ；
③若 ，则必有 ； ④若 ，则必有 ．
其中所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，有以下结论：
①若 ， ，即 ，
，正确；
②若 得 ，且 ，得 ，
则
，
因为 ，所以 ，得 ，所以正确；
③若 ，则 ，得 ，
因为 ，所以 ， ，
，
则 大小不确定，错误；
④若 ，得 ， ，
若 ，则 ，则 ，则 ，
若 ， ，
则 ，则 ，则 ，
综上 ，正确；
故答案为：①②④.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式、等差数列的通项公式，从而找出正确结论的序号。
18．（2021高一下·成都期中）等差数列 ， 的前 项和分别为 ，若 ，则 ＝ .
【答案】16
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可设Sn=n(38n+14)=38n2+14n，Tn=n(2n+1)=2n2+n
则a6=S6-S5=(38×62+14×6)-(38×52+14×5)=432
b7=T7-T6=(2×72+7)-(2×62+6)=27
则
故答案为：16
【分析】根据等差数列的性质，结合an与sn的关系求解即可.
19．（2021·千阳模拟）已知等差数列 是递增数列， 是 的前n项和，若 是方程 的两个根，则 的值为 ．
【答案】24
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意解得a2=1，a4=5，则，a1=-1
所以
故答案为：24
【分析】根据等差数列的通项公式，以及求和公式直接求解即可
四、解答题
20．（2021高三上·深圳月考）已知等差数列{an}前n项和为Sn， ， .
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设 ，求{bn}前n项和Tn.
【答案】（1）由 得 .
又因为 ，所以 ，
则 ，解得 ；
故 ，
.
（2） .
当 为偶数时：
.
当 为奇数时：
.
综上得 .
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而解方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式，再利用等差数列前n项和公式得出等差数列前n项和Sn。
（2）利用（1）求出的等差数列前n项和结合 ，从而求出数列{bn}的通项公式，再利用分类讨论的方法结合数列求和的方法，从而求出数列{bn}的前n项和Tn。
21．（2021高三上·渭南月考）已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求n的值．
【答案】（1）因为 ， ， 成等差数列，所以 ．
令 ，得 ，因为 ，所以 ．
当 时，有 ，
所以 ，整理得
因为 均为正数，所以 ，即 是公差为2的等差数列，
所以 ．
（2） ，
由 ，得 ，
即
解得 (舍负)
【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，再结合等差数列的项的性质，整理化简由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由已知条件整理化简即可得出关于n的方程，求解出n的取值即可。
22．（2021高二上·成都开学考）已知数列 满足 ， ．
（1）设 ，证明：数列 是等差数列；
（2）记 为等差数列 的前 项和，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值．
【答案】（1）解： ，
数列 是公差为 的等差数列．
（2） ，
，
，
①，
②，
②―①， ，
，
，即： ，
，
设 ， ， ，设 ，对称轴 ，
， 当 时，即 时， ，
的最大值为 .
【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】(1)由已知条件的递推公式整理得到数列为等差数列。
(2)由(1)的几率整理即可得出数列的通项公式，然后由错位相减法整理即可得出数列前n项和，由分离参数法等的不等式，构造函数整理得到，结合二次函数的性质即可求出函数的最大值，由此即可得出答案。
23．（2021·新高考Ⅱ卷）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】（1）由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.
【考点】二次函数在闭区间上的最值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及性质直接求解即可；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
24．（2021高二上·河南月考）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最大值.
【答案】（1）解：设 的公差为 ，
由题意得 ，
故 的通项公式为 .
（2）解：由（1）得 .
当 时， 取得最大值，且最大值为25.
【考点】二次函数的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)先设等差数列 的公差为 ，然后根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于首项a1和公差d的方程组，解出a1和d的值，即可得到数列的通项公式；
(2)利用等差数列的求和公式，二次函数的性质即可求出 的最大值.
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