湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题8 相似图形
一、单选题
1．（2021九上·沈北期中）四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长是（ ）
A．4 B．16 C．24 D．64
2．（2021九上·松江月考）下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形
3．（2021九上·皇姑月考）如图，一张矩形纸片沿它的长边AD对折（折痕为EF），得到两个全等的小矩形，若小矩形与原来的矩形相似，那么原来矩形的长边与短边之比为（ ）
A．1：1 B． ：1 C． ：1 D．2：1
4．（2021九上·槐荫月考）若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
5．（2021九上·普陀月考）用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（ ）
A．放大后，边长是原来的2倍
B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
6．（2021九上·寿阳月考）如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么a的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·福州月考）若两个相似多边形的面积比为25：36则它们的对应边的比是（ ）
A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25
8．（2021·湘潭模拟）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH， △CFG分别沿EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）
A． B．2 C． D．4
9．（2021九下·湘潭期中）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF.将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．（2020九上·岚山期末）如图，一张长为a宽为b的矩形纸片（a>b），将纸片沿较长边的中点对折，得到的两个小矩形都和原来的矩形相似，则a：b的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·太原月考）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 ．
12．（2021九上·包头月考）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则 的值为
13．（2021九上·顺义月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ．
14．（2021·乐清模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 的图象在第一象限上的一点，连结 并延长使 ，过点 作 轴，交反比例函数图象于点 ，交 轴于点 .连结 ，且 的面积为 ，则 的值为 .
15．（2021·普陀模拟）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 ，它的面积为1；取 和 各边中点，连接成正六角星形 ，如图（2）中阴影部分；取 和 各边中点，连接成正六角星形 ，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形 的面积为 .
16．（2020九上·奎文期末）已知平行四边形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．以 为位似中心，作平行四边形 的位似图形平行四边形 ，位似图形与原图形的位似比为 ，点 的对应点为点 ，则点 的坐标为 ．（写出一个即可）
三、解答题
17．（2020九上·罗山期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
18．（2019九上·庆阳月考）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： .
19．（2018九上·恩阳期中）如图，四边形 四边形 ，求边 、 的长度和角 的大小．
四、综合题
20．（2021·深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，
联立 得 ，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ： ， ： ，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
21．（2021九下·江西月考）如图，已知矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，其横坐标为 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，交 于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若四边形 为正方形，求点 的坐标；
（3）连接 交 于点 ，若 ，求四边形 与四边形 的面积比．
22．（2021九下·江西月考）如图，矩形 的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数 的图象与该矩形相交于 ， 两点，以这两点为顶点作矩形 ，我们约定这个矩形 为反比例函数 的“相伴矩形”．
（1）已知点 的坐标为 ， ．
①求点 的坐标；
②求证：“相伴矩形” 与原矩形 相似．
（2）在矩形 中， ， ，反比例函数 交 于点 ， ，以 为边作矩形 矩形 ．
求证：矩形 是反比例函数 的“相伴矩形”
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：已知四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长=16.即
故答案为：B.
【分析】利用相似多变形的性质可得AB：A'B'=1：2，再将BC=8代入计算即可。
2．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：两个等边三角形满足：两个角分别对应相等，所以两个等边三角形相似；故A不符合题意；
两个顶角相等的等腰三角形，则两个等腰三角形的底角也相等，满足两个角分别对应相等，所以两个顶角相等的等腰三角形相似，故B不符合题意；
两个等腰直角三角形满足：两个角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C不符合题意；
两个矩形满足：四个角分别对应相等，但是不一定满足四条边对应成比例，所以两个矩形不一定相似，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用相似图形的定义逐个进行判断即可得到结果。
3．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为 ，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y： ，
解得， （负值舍去）
∴x：y＝ ：1．
故答案为：B．
【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，
∴ ，
∵AB=8cm，A′B′=6cm，AD=5cm，
∴ ，
则A′D′= .
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的性质得出对应边成比例，进而得出答案。
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵放大前后的菱形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，B符合题意，
故答案为：B．
【分析】由于放大前后的菱形相似，根据相似图形的性质解答即可.
6．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴ ，
解得a＝ 或 （舍去），
∴a＝ ，
故答案为：C．
【分析】 由即可求解.
7．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为25：36，
∴对应边的比为5：6.
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答.
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；轴对称的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 ，且两个菱形相似，
∴AB=4MN=4x，
∴AE=AB BE=4x y，
∴4x y=x+y，
解得：x= y，
∴AE= y，
∴ = = ；
故答案为：C.
【分析】设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，根据题意得出四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，再根据重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，得出AB=4MN=4x，AE=AB BE=4x y，根据AE=EM得出4x y=x+y，求出x=y，从而得出AE= y，即可求出的值.
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE＝EM，EN＝BE＝y，EM＝x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 ，且两个菱形相似，
∴AB＝4MN＝4x，
∴AE＝AB﹣BE＝4x﹣y，
∴4x﹣y＝x+y，
解得：x＝ y，
∴AE＝ y，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，易得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，则AE＝EM，EN＝BE＝y，EM＝x+y，由题意可得AB＝4MN＝4x，则AE＝4x-y，然后根据AE＝EM可得x与y的关系，表示出AE，据此解答.
10．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
对折后小矩形的长为b，宽为
∵小矩形与原来矩形相似，
∴ ，
∴ ，
∵a>0，b>0，
∴
故答案为：C．
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例，列出比例式求解即可。
11．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为 、 ，
得到的矩形都和原来的矩形相似，
，则 ，
，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为 、 ，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可。
12．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 矩形纸片对折，折痕为 ，
，
矩形 与矩形 相似，
，
即 ，
，
．
故答案为： ．
【分析】由折叠可得，根据相似矩形的性质可得，分别代入数据即可求解.
13．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ＝2×4 ×1×2 ×1×2 1×1 ×1×1＝ ．
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，
∴ ： ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ × ＝ ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ： ＝ ＝ ＝ ，再求面积即可。
14．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 作 交 于点 ，连接 ，
，
，
轴， ，
轴，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】过点A作AE∥BC交OD于点E，连接OC，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得：S△OAC=S△ABC =2，然后根据反比例函数k的几何意义可得，再证明 ，最后根据相似三角形的性质得出，据此列出关于k的一元一次方程求解即可.
15．【答案】
【知识点】相似多边形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解： 、 、 、 、 、 分别是 和 各边中点，
正六角星形 正六角星形 且相似比为 ，
正六角星形 的面积为1，
正六角星形 的面积为 ，
同理可得，第二个六角形的面积为： ，
第三个六角形的面积为： ，
第四个六角形的面积为： .
故答案是： .
【分析】 先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可求解．
16．【答案】（-2，-6）或（2，6）
【知识点】平行四边形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
∵以 为位似中心，点 的对应点为点 ，位似图形与原图形的位似比为2：3，
∴点 的坐标为： 或 即（-2，-6）或（2，6）．
故答案为：（-2，-6）或（2，6）．
【分析】利用平行四边形的性质结合位似图形的性质得出点F的点的坐标。
17．【答案】解：∵AB＝130，AD＝400，
∴ ，
∵内外两个矩形相似，
∴ ，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，
∵矩形作品面积是总面积的 ，
∴ ，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40.
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm.
【知识点】相似多边形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由内外两个矩形相似可得 ，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的 列方程可求出x的值，进而可得答案.
18．【答案】解：∵菱形 菱形 ，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中 ，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB.
19．【答案】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形相似，由对应边对应成比例，进行计算得到答案即可。
20．【答案】（1）不存在
（2）解：a存在；
∵ 的判别式 ，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限有两个交点，故存在；
b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，联立 得 ，
因为 ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限无交点，故不存在；
c. ；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意 ， ，
联立 得 ， ，故 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）不存在，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在；
【分析】（1）根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方，即可得出这样的正方形不存在；
（2）a、方法①：根据一元二次方程根的判别式△＞0，得出方程有两组正数解，即可得出这样的新矩形存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+10与反比例函数y= 在第一象限有两个交点，即可得出这样的新矩形存在；
b、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△＜0，得出方程无解，即可得出这样的新矩形不存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+与反比例函数y= 在第一象限没有交点，即可得出这样的新矩形不存在；
c、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△≥0，求出k的取值范围，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：把顶点 代入反比例函数 中得， ，
；
（2）解：设点 ，根据题意可知 ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，即 ，
∴ ， （舍），
∴点 的坐标为 ；
（3）解：根据反比例函数的几何意义，可知 和 的面积均为24，
∴四边形 的面积与 的面积相等，
由 ，根据等高的 与 的面积之比为3∶2，
设 的面积为 ，则 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似图形
【解析】【分析】（1）把顶点 代入反比例函数 中得，利用待定系数法解题；
（2）设点 ，分别解出 ， ，根据正方形的性质 ，代入解题即可；
（3）根据反比例函数的几何意义，四边形 的面积与 的面积相等，结合等高的 与 的面积之比为3∶2，设 的面积为 ，则 的面积为 ，由此解得 ，据此解题．
22．【答案】（1）解：①解：∵ ，∴点 的横坐标为2.
又∵点 的坐标为 ，∴点 的坐标为 ．
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数为 ．
∵点 的坐标为 ，
∴点 的横坐标为8，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
②证明：由题意可知 ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵这两个矩形的四个角都是直角，
∴“相伴矩形” 与原矩形 相似．
（2）证明：∵ ， ， ，反比例函数 交 于点 ，
∴点 ，
∴ ， ．
∵矩形 矩形 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ．
∵将点 的坐标代入 ，左边 右边，
∴点 在反比例函数 的图象上，
∴矩形 是反比例函数 的“相伴矩形”．
【知识点】相似图形；定义新运算
【解析】【分析】（1）①由BE＝2，得到点E的横坐标为2．求得点E的坐标为（2，6）．由点E在反比例函数 的图象上，求得k＝2×6＝12，把点F的横坐标8代入反比例函数的解析式即可得到结论；
②根据题意得到E（2，6），F（8，1.5）．求得 ．于是得到“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似；
（2）根据已知条件得到CE＝AF＝2k，CD＝2k．根据矩形CEAF∽矩形CBOD，求得 ，即 ，得到点 ．将点F的坐标代入 即可得到结论．
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题8 相似图形
一、单选题
1．（2021九上·沈北期中）四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长是（ ）
A．4 B．16 C．24 D．64
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：已知四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长=16.即
故答案为：B.
【分析】利用相似多变形的性质可得AB：A'B'=1：2，再将BC=8代入计算即可。
2．（2021九上·松江月考）下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：两个等边三角形满足：两个角分别对应相等，所以两个等边三角形相似；故A不符合题意；
两个顶角相等的等腰三角形，则两个等腰三角形的底角也相等，满足两个角分别对应相等，所以两个顶角相等的等腰三角形相似，故B不符合题意；
两个等腰直角三角形满足：两个角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C不符合题意；
两个矩形满足：四个角分别对应相等，但是不一定满足四条边对应成比例，所以两个矩形不一定相似，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用相似图形的定义逐个进行判断即可得到结果。
3．（2021九上·皇姑月考）如图，一张矩形纸片沿它的长边AD对折（折痕为EF），得到两个全等的小矩形，若小矩形与原来的矩形相似，那么原来矩形的长边与短边之比为（ ）
A．1：1 B． ：1 C． ：1 D．2：1
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为 ，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y： ，
解得， （负值舍去）
∴x：y＝ ：1．
故答案为：B．
【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式求解即可。
4．（2021九上·槐荫月考）若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，
∴ ，
∵AB=8cm，A′B′=6cm，AD=5cm，
∴ ，
则A′D′= .
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的性质得出对应边成比例，进而得出答案。
5．（2021九上·普陀月考）用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（ ）
A．放大后，边长是原来的2倍
B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵放大前后的菱形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，B符合题意，
故答案为：B．
【分析】由于放大前后的菱形相似，根据相似图形的性质解答即可.
6．（2021九上·寿阳月考）如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴ ，
解得a＝ 或 （舍去），
∴a＝ ，
故答案为：C．
【分析】 由即可求解.
7．（2021九上·福州月考）若两个相似多边形的面积比为25：36则它们的对应边的比是（ ）
A．5：6 B．6：5 C．25：36 D．36：25
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为25：36，
∴对应边的比为5：6.
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答.
8．（2021·湘潭模拟）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH， △CFG分别沿EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；轴对称的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 ，且两个菱形相似，
∴AB=4MN=4x，
∴AE=AB BE=4x y，
∴4x y=x+y，
解得：x= y，
∴AE= y，
∴ = = ；
故答案为：C.
【分析】设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，根据题意得出四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，再根据重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，得出AB=4MN=4x，AE=AB BE=4x y，根据AE=EM得出4x y=x+y，求出x=y，从而得出AE= y，即可求出的值.
9．（2021九下·湘潭期中）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF.将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE＝EM，EN＝BE＝y，EM＝x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 ，且两个菱形相似，
∴AB＝4MN＝4x，
∴AE＝AB﹣BE＝4x﹣y，
∴4x﹣y＝x+y，
解得：x＝ y，
∴AE＝ y，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，易得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，则AE＝EM，EN＝BE＝y，EM＝x+y，由题意可得AB＝4MN＝4x，则AE＝4x-y，然后根据AE＝EM可得x与y的关系，表示出AE，据此解答.
10．（2020九上·岚山期末）如图，一张长为a宽为b的矩形纸片（a>b），将纸片沿较长边的中点对折，得到的两个小矩形都和原来的矩形相似，则a：b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
对折后小矩形的长为b，宽为
∵小矩形与原来矩形相似，
∴ ，
∴ ，
∵a>0，b>0，
∴
故答案为：C．
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例，列出比例式求解即可。
二、填空题
11．（2021九上·太原月考）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为 、 ，
得到的矩形都和原来的矩形相似，
，则 ，
，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为 、 ，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可。
12．（2021九上·包头月考）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则 的值为
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 矩形纸片对折，折痕为 ，
，
矩形 与矩形 相似，
，
即 ，
，
．
故答案为： ．
【分析】由折叠可得，根据相似矩形的性质可得，分别代入数据即可求解.
13．（2021九上·顺义月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ＝2×4 ×1×2 ×1×2 1×1 ×1×1＝ ．
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，
∴ ： ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ × ＝ ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ： ＝ ＝ ＝ ，再求面积即可。
14．（2021·乐清模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 的图象在第一象限上的一点，连结 并延长使 ，过点 作 轴，交反比例函数图象于点 ，交 轴于点 .连结 ，且 的面积为 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 作 交 于点 ，连接 ，
，
，
轴， ，
轴，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】过点A作AE∥BC交OD于点E，连接OC，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得：S△OAC=S△ABC =2，然后根据反比例函数k的几何意义可得，再证明 ，最后根据相似三角形的性质得出，据此列出关于k的一元一次方程求解即可.
15．（2021·普陀模拟）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 ，它的面积为1；取 和 各边中点，连接成正六角星形 ，如图（2）中阴影部分；取 和 各边中点，连接成正六角星形 ，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形 的面积为 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解： 、 、 、 、 、 分别是 和 各边中点，
正六角星形 正六角星形 且相似比为 ，
正六角星形 的面积为1，
正六角星形 的面积为 ，
同理可得，第二个六角形的面积为： ，
第三个六角形的面积为： ，
第四个六角形的面积为： .
故答案是： .
【分析】 先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可求解．
16．（2020九上·奎文期末）已知平行四边形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．以 为位似中心，作平行四边形 的位似图形平行四边形 ，位似图形与原图形的位似比为 ，点 的对应点为点 ，则点 的坐标为 ．（写出一个即可）
【答案】（-2，-6）或（2，6）
【知识点】平行四边形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
∵以 为位似中心，点 的对应点为点 ，位似图形与原图形的位似比为2：3，
∴点 的坐标为： 或 即（-2，-6）或（2，6）．
故答案为：（-2，-6）或（2，6）．
【分析】利用平行四边形的性质结合位似图形的性质得出点F的点的坐标。
三、解答题
17．（2020九上·罗山期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
【答案】解：∵AB＝130，AD＝400，
∴ ，
∵内外两个矩形相似，
∴ ，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，
∵矩形作品面积是总面积的 ，
∴ ，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40.
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm.
【知识点】相似多边形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由内外两个矩形相似可得 ，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的 列方程可求出x的值，进而可得答案.
18．（2019九上·庆阳月考）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： .
【答案】解：∵菱形 菱形 ，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中 ，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB.
19．（2018九上·恩阳期中）如图，四边形 四边形 ，求边 、 的长度和角 的大小．
【答案】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形相似，由对应边对应成比例，进行计算得到答案即可。
四、综合题
20．（2021·深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，
联立 得 ，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ： ， ： ，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
【答案】（1）不存在
（2）解：a存在；
∵ 的判别式 ，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限有两个交点，故存在；
b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，联立 得 ，
因为 ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限无交点，故不存在；
c. ；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意 ， ，
联立 得 ， ，故 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）不存在，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在；
【分析】（1）根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方，即可得出这样的正方形不存在；
（2）a、方法①：根据一元二次方程根的判别式△＞0，得出方程有两组正数解，即可得出这样的新矩形存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+10与反比例函数y= 在第一象限有两个交点，即可得出这样的新矩形存在；
b、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△＜0，得出方程无解，即可得出这样的新矩形不存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+与反比例函数y= 在第一象限没有交点，即可得出这样的新矩形不存在；
c、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△≥0，求出k的取值范围，即可得出答案.
21．（2021九下·江西月考）如图，已知矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，其横坐标为 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，交 于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若四边形 为正方形，求点 的坐标；
（3）连接 交 于点 ，若 ，求四边形 与四边形 的面积比．
【答案】（1）解：把顶点 代入反比例函数 中得， ，
；
（2）解：设点 ，根据题意可知 ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，即 ，
∴ ， （舍），
∴点 的坐标为 ；
（3）解：根据反比例函数的几何意义，可知 和 的面积均为24，
∴四边形 的面积与 的面积相等，
由 ，根据等高的 与 的面积之比为3∶2，
设 的面积为 ，则 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似图形
【解析】【分析】（1）把顶点 代入反比例函数 中得，利用待定系数法解题；
（2）设点 ，分别解出 ， ，根据正方形的性质 ，代入解题即可；
（3）根据反比例函数的几何意义，四边形 的面积与 的面积相等，结合等高的 与 的面积之比为3∶2，设 的面积为 ，则 的面积为 ，由此解得 ，据此解题．
22．（2021九下·江西月考）如图，矩形 的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数 的图象与该矩形相交于 ， 两点，以这两点为顶点作矩形 ，我们约定这个矩形 为反比例函数 的“相伴矩形”．
（1）已知点 的坐标为 ， ．
①求点 的坐标；
②求证：“相伴矩形” 与原矩形 相似．
（2）在矩形 中， ， ，反比例函数 交 于点 ， ，以 为边作矩形 矩形 ．
求证：矩形 是反比例函数 的“相伴矩形”
【答案】（1）解：①解：∵ ，∴点 的横坐标为2.
又∵点 的坐标为 ，∴点 的坐标为 ．
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数为 ．
∵点 的坐标为 ，
∴点 的横坐标为8，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
②证明：由题意可知 ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵这两个矩形的四个角都是直角，
∴“相伴矩形” 与原矩形 相似．
（2）证明：∵ ， ， ，反比例函数 交 于点 ，
∴点 ，
∴ ， ．
∵矩形 矩形 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ．
∵将点 的坐标代入 ，左边 右边，
∴点 在反比例函数 的图象上，
∴矩形 是反比例函数 的“相伴矩形”．
【知识点】相似图形；定义新运算
【解析】【分析】（1）①由BE＝2，得到点E的横坐标为2．求得点E的坐标为（2，6）．由点E在反比例函数 的图象上，求得k＝2×6＝12，把点F的横坐标8代入反比例函数的解析式即可得到结论；
②根据题意得到E（2，6），F（8，1.5）．求得 ．于是得到“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似；
（2）根据已知条件得到CE＝AF＝2k，CD＝2k．根据矩形CEAF∽矩形CBOD，求得 ，即 ，得到点 ．将点F的坐标代入 即可得到结论．
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