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北师版八年级下册数学6.2.1由边的关系判定平行四边形
教学设计
课题 6.2.1 由边的关系判定平行四边形 单元 第六单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解并能够证明平行四边形的前两个判定定理,即两组对边分别相等的四边形是平行四边形和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.能够应用平行四边形的定义和平行四边形的前两个判定定理判定一些相关的平行四边形.3.经历平行四边形判别条件的探索过程,在有关活动中发展学生的合情推理意识.
重点 1.平行四边形判定方法的探究.2.运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形.
难点 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【想一想】平行四边形具有什么性质 ①平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.②边:平行四边形的对边平行、平行四边形的对边相等.③角:平行四边形的对角相等.④对角线:平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.数学语言：∵AB//CD，AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 学生复习回忆相关知识，回答问题。 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课 小组合作：工具：两组长度分别相等的四根笔.动手：能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？思考：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？已知：如图，在四边形ABCD中， AB=CD， BC=AD.求证：四边形ABCD是平行四边形.想一想：我们已知的平行四边形的判定方法是什么？两组对边分别平行的四边形是平行四边形【思考】怎样证明两组对边分别平行。思路：①通过作辅助线构造出全等三角形②通过三角形全等找到角之间的关系③通过角之间的关系得到平行证明：如图 ，连接 BD.在△ABD 和△CDB 中，∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴ △ABD≌△CDB.∴ ∠1=∠2，∠3 =∠4. ∴ AB∥CD，AD∥CB.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）．通过以上证明，我们得到平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.数学语言： ∵ AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.分析：要判定该四边形是平行四边形，已知AD=BC ，可证AB=CD，根据已知条件，通过证明△ABC≌△CDA可得.证明：∵BC⊥AC ， AD⊥AC ，∴ ∠ACB=∠CAD=90°.又∵ BC=AD ， AC=CA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴ AB=CD.∵BC=AD， AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.议一议（1）取两根长度相等的铅笔，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根铅笔的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？（2）如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加什么条件，才能使它成为平行四边形？与同伴交流.猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.思路1：条件中已有AB=CD，只需证明AD=BC即可. 证明：如图，连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA.∴BC＝DA.∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.思路2：条件中已有AB//CD，只需证明AD//BC即可；证明：如图，连接AC.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA.∴∠ACB=∠CAD. ∴ BC∥DA.∴四边形ABCD是平行四边形通过以上证明，我们得到平行四边形的判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.数学语言： ∵ AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.已知：如图，在□ABCD中，E， F分别为AD和CB的中点.求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB(平行四边形的对边相等)， AD∥CB(平行四边形的定义）.∵E，F分别是AD和CB的中点，∴ED＝FB，ED∥FB.∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).【思考】一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明.不一定是，如等腰梯形，其中AD∥BC，AB=CD.【归纳提升】判断四边形是否为平行四边形：①条件中如果没有等量关系，重点考虑依据平行四边形的定义去判断;②条件中只有等量关系而没有平行关系，重点考虑依据判定方法1;③条件中既有等量关系又有平行关系，重点考虑依据判定方法2. 学生小组合作，探究两组对边相等的四边形是平行四边形。学生探究证明学生总结平行四边形的判定定理1学生根据所学知识做例题。学生探究一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。学生从不同的思路证明。学生总结归纳。根据所学知识做例题。学生思考一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？ 创设用木条拼摆平行四边形的情境,意在引导学生探究和发现“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.教学时,应引导学生经历这一探究发现过程.当然,教师也可以创设更符合学生实际情况的情境.学生以小组为单位,利用课前准备好的学具动手操作、观察,完成探究活动1,共同得到:(1)只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形.(2)通过观察、实验,猜想到:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。
课堂练习 1．在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，那么这个条件可以是( D ).A.∠A＋∠C＝180° B.∠B＋∠D＝180°C.∠A＋∠B＝180° D.∠A＋∠D＝180°2．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( D )A. ∠A＝∠C，∠B＝∠DB. ∠A＝∠B＝∠C＝90°C. ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°D. ∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°3．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD是平行四边形，需要补充的一个条件是( B ).A.AD＝BC B.AB＝CDC.∠DAB＝∠ABC D.∠ABC＝∠BCD4.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( D )A．AD＝BC B．CD＝BFC．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF5.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF. 证明：(1)EF＝AC；证明：∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC.又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF.∴AF＝BC.又∵AE＝BA，∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL)．∴EF＝AC.证明：(2)AE＝DF.证明：∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD.∵∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＝∠EFA，∴EF∥AD. ∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD.∴四边形ADFE是平行四边形．∴AE＝DF.6.【中考·攀枝花】在 ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( B )A.BE＝DF B.AE＝CFC.AF∥CE D.∠BAE＝∠DCF7.【中考·陕西】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC.∴AB∥DE.又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE. 学生做练习，教师订正。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？这节课的学习主要围绕下列几个问题：（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？（2）我们是通过什么方法得出平行四边形这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？（3）类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法.
板书 课题：6.2.1 由边的关系判定平行四边形一、平行四边形的判定二、例题讲解
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6.2.1 由边的关系判定平行四边形
北师版 八年级下册
新知导入
【想一想】平行四边形具有什么性质
①平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
②边:平行四边形的对边平行、平行四边形的对边相等.
③角:平行四边形的对角相等.
④对角线:平行四边形的对角线互相平分.
新知导入
A
B
C
D
A
D
C
B
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
两组对边
分别平行
定义法
数学语言：
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知讲解
小组合作：
工具：两组长度分别相等的四根笔.
动手：能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？
思考：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？
新知讲解
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=CD， BC=AD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
想一想：我们已知的平行四边形的判定方法是什么？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【思考】怎样证明两组对边分别平行。
新知讲解
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=CD， BC=AD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
通过作辅助线构造出全等三角形
通过三角形全等找到角之间的关系
通过角之间的关系得到平行
新知讲解
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=CD， BC=AD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图 ，连接 BD.
在△ABD 和△CDB 中，
∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴ △ABD≌△CDB.
∴ ∠1=∠2，∠3 =∠4. ∴ AB∥CD，AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）．
新知讲解
数学语言：
∵ AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定定理1：
新知讲解
A
B
C
D
如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
分析：要判定该四边形是平行四边形，已知AD=BC ，可证AB=CD，根据已知条件，通过证明△ABC≌△CDA可得.
新知讲解
A
B
C
D
如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵BC⊥AC ， AD⊥AC ，
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴ AB=CD.
∴ ∠ACB=∠CAD=90°.
又∵ BC=AD ， AC=CA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵BC=AD， AB=CD.
新知讲解
议一议
（1）取两根长度相等的铅笔，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根铅笔的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？
（2）如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加什么条件，才能使它成为平行四边形？与同伴交流.
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
新知讲解
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
思路1：
条件中已有AB=CD，
只需证明AD=BC即可.
新知讲解
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：如图，连接AC.
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.
又∵AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC＝DA.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
新知讲解
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
思路2：
条件中已有AB//CD，
只需证明AD//BC即可；
新知讲解
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：如图，连接AC.
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.
又∵AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴∠ACB=∠CAD. ∴ BC∥DA.
∴四边形ABCD是平行四边形
新知讲解
数学语言：
∵ AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定定理2：
新知讲解
已知：如图，在□ABCD中，E， F分别为AD和CB的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB(平行四边形的对边相等)，
AD∥CB(平行四边形的定义）.
∵E，F分别是AD和CB的中点，
新知讲解
已知：如图，在□ABCD中，E， F分别为AD和CB的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
∴ED＝FB，ED∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
合作探究
【思考】一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明.
A
B
C
D
不一定是，如等腰梯形，
其中AD∥BC，AB=CD.
新知讲解
判断四边形是否为平行四边形：
①条件中如果没有等量关系，重点考虑依据平行四边形的定义去判断;
②条件中只有等量关系而没有平行关系，重点考虑依据判定方法1;
③条件中既有等量关系又有平行关系，重点考虑依据判定方法2.
【归纳提升】
课堂练习
1．在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，那么这个条件可以是( ).
A.∠A＋∠C＝180°
B.∠B＋∠D＝180°
C.∠A＋∠B＝180°
D.∠A＋∠D＝180°
D
课堂练习
2．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
B. ∠A＝∠B＝∠C＝90°
C. ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D. ∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
D
3．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD是平行四边形，需要补充的一个条件是( ).
A.AD＝BC
B.AB＝CD
C.∠DAB＝∠ABC
D.∠ABC＝∠BCD
课堂练习
B
课堂练习
4.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )
A．AD＝BC
B．CD＝BF
C．∠A＝∠C
D．∠F＝∠CDF
D
拓展提高
证明：∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC.
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF.∴AF＝BC.
又∵AE＝BA，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL)．
∴EF＝AC.
5.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF. 证明：(1)EF＝AC；
拓展提高
5.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF. 证明：(2)AE＝DF.
证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD.
∵∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＝∠EFA，
∴EF∥AD. ∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD.
∴四边形ADFE是平行四边形．
∴AE＝DF.
6.【中考·攀枝花】在 ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A.BE＝DF
B.AE＝CF
C.AF∥CE
D.∠BAE＝∠DCF
中考链接
B
中考链接
7.【中考·陕西】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.
求证：AD＝BE.
证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC.
∴AB∥DE.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE.
课堂总结
本节课你学到了什么？
这节课的学习主要围绕下列几个问题：
（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？
（2）我们是通过什么方法得出平行四边形这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？
（3）类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法.
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课题：6.2.1 由边的关系判定平行四边形
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学生展示区
一、平行四边形的判定
二、例题讲解
作业布置
课本 P142 练习题
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