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6.2.2 由对角线的关系判定平行四边形
北师版 八年级下册
新知导入
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
我们前面学习的判定四边形是平行四边形的方法有哪些
新知讲解
【思考】如图，将两根木条的中心重叠在一起，用小钢钉固定住，然后用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形.
猜一猜，这个四边形是平行四边形吗？
猜想：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
新知讲解
分析：根据本题的条件，我们能够通过证明三角形的全等，得出线段AD和BC，AB和CD分别相等；也能证明出AD与BC平行，AB与CD平行.
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O， 并且OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
新知讲解
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O， 并且OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∠AOD＝∠COB.
∴△AOD≌△COB.
∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO.
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形
新知讲解
数学语言：
∵ OA=OC ， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定定理3：
新知讲解
例2：已知：如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
分析：通过观察，线段BD是四边形ABCD和四边形BFDE共同的对角线，连接BD后还可以间接利用到四边形ABCD的另一条对角线.
新知讲解
例2：已知：如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：如图，连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
新知讲解
【变式练习】对于上述例题，若E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE=CF(如图所示)，则结论还成立吗 请说明理由.
E
A
B
F
C
D
O
解：结论成立.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC， OB=OD.
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
新知讲解
【总结归纳】判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考
具体有哪些方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从对角线考虑
对角线互相平分的四边形是平行四边形
课堂练习
1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件：____________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
BO＝DO
2.下列说法错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
课堂练习
D
3.如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC边的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，则下列结论中不正确的是( )
A.GF⊥FH
B.GF＝EH
C.EF与AC互相平分
D.EG＝FH
课堂练习
A
4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：
①OE＝OF；
②DE＝BF；
③∠ADE＝∠CBF；
④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
课堂练习
B
拓展提高
5.如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是等边三角形．
∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°.
∴四边形AFCE是平行四边形．
6.【中考·衡阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥DC，AD∥BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AB∥DC，AD＝BC
D.OA＝OC，OB＝OD
中考链接
C
7.【中考·威海】如图，E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A.∠ABD＝∠DCE
B.DF＝CF
C.∠AEB＝∠BCD
D.∠AEC＝∠CBD
中考链接
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
角度 判定方法
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
判别一个四边形是平行四边形的方法有:
板书设计
课题：6.2.2 由对角线的关系判定平行四边形
教师板演区
学生展示区
一、平行四边形的判定定理3
二、例题讲解
作业布置
课本 P144 练习题
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北师版八年级下册数学6.2.2 由对角线的关系判定平行四边形教学设计
课题 6.2.2 由对角线的关系判定平行四边形 单元 第六单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.2.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.3.经历平行四边形判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.4.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中,进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.
重点 平行四边形判定方法的探究、运用。
难点 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：我们前面学习的判定四边形是平行四边形的方法有哪些 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 学生回忆平行四边形的判定方法，回答问题。 教师提出问题1,2,由学生独立思考,并口答得出定义的内容,总结出判定四边形是平行四边形的几个条件.对比平行四边形的性质,猜测平行四边形的其他判断方法.
讲授新课 【思考】如图，将两根木条的中心重叠在一起，用小钢钉固定住，然后用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形. 猜一猜，这个四边形是平行四边形吗？猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.你能证明吗？已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O， 并且OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.分析：根据本题的条件，我们能够通过证明三角形的全等，得出线段AD和BC，AB和CD分别相等；也能证明出AD与BC平行，AB与CD平行.证明：∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB.∴△AOD≌△COB.∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO.∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形通过以上证明，我们得到平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.数学语言： ∵ OA=OC ， OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.例2：已知：如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.分析：通过观察，线段BD是四边形ABCD和四边形BFDE共同的对角线，连接BD后还可以间接利用到四边形ABCD的另一条对角线.证明：如图2，连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四边形BFDE是平行四边形.【变式练习】对于上述例题，若E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE=CF(如图所示)，则结论还成立吗 请说明理由.解：结论成立.理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC， OB=OD.∵AE=CF，∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF.∴四边形BFDE是平行四边形.【总结归纳】判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考 具体有哪些方法 从边考虑1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线考虑对角线互相平分的四边形是平行四边形 学生探究对角线互相平分的四边形是平行四边形。学生证明。在教师的引导下总结平行四边形的判定定理3。学生根据已学知识做例题。在教师的引导下总结归纳。 问题是数学的心脏，是数学知识能力发展的生长点和思维的动力，通过设问，学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力，符合新课程标准。有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件：BO＝DO(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．2.下列说法错误的是( D )A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形3.如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC边的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，则下列结论中不正确的是( A )A.GF⊥FH B.GF＝EHC.EF与AC互相平分 D.EG＝FH4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( B )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.求证：四边形AFCE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.∴∠ADE＝∠CBF＝60°.∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是等边三角形．∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°.∴四边形AFCE是平行四边形．6.【中考·衡阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( C )A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BCC.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD7.【中考·威海】如图，E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( C )A.∠ABD＝∠DCE B.DF＝CFC.∠AEB＝∠BCD D.∠AEC＝∠CBD 学生做练习，教师订正。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？判别一个四边形是平行四边形的方法有:
板书 课题：6.2.2 由对角线的关系判定平行四边形一、平行四边形的判定定理3二、例题讲解
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