高中数学必修四11.3.1平行直线与异面直线 学案（含答案）

平行直线与异面直线
【学习目标】
1．能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)
2．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义.(难点)
3．了解空间四边形的概念.
【学习重难点】
异面直线的判断。
【学习过程】
一、预习提问
思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
二、合作探究
1．平行直线基本性质、等角定理的应用
【例1】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
[思路探究]（1）欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；（2）可结合（1）利用等角定理证明或利用三角形全等证明．
[证明] （1）∵ABCD A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M、M1分别为棱AD．A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
（2）法一：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，
∴∠BMC＝∠B1M1C1．
法二：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1．
【规律方法】
（1）空间两条直线平行的证明
一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
三是利用平行直线基本性质：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
（2）求证角相等
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
2．异面直线与空间四边形
【例2】如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1．B．B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
【答案】①平行 ②异面 ③相交 ④异面
【规律方法】判定两条直线是异面直线的方法：
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图)．
【例3】如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．
（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
【解析】（1）BD （2）AC [（1）若EH∩FG＝P，
那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以P∈BD．
（2）若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．]
【学习小结】
1．平行直线基本性质
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
符号表述： a∥c．
2．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
3．异面直线
①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
②画法：(通常用平面衬托)
4．空间四边形
①定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.；
②画法：
【精炼反馈】
1．思考辨析
（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( )
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．( )
（3）直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α.( )
（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．( )
[解析] （1）错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．
（2）错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（2）错．
（3）错误．直线l也可能与平面α相交．
（4）错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故（4）错．
[答案] （1）× （2）× （3）× （4）×
2．如图所示，在三棱锥S MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
A [∵E、F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，
∴EF∥HG.]
3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.
135° [由等角定理可知β＝135°.]
4．证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．
[解] 已知：a∥b，a α，b β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.
证明：如图所示，
∵a∥b，b β，
∴a∥β，
又a α，α∩β＝l，
∴a∥l，
又a∥b，
∴a∥b∥l.
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