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北师版八年级下册数学6.2.3 平行线间的距离教学设计
课题 6.2.3 平行线间的距离 单元 第六单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解并能说出平行线之间的距离的意义.2.进一步理解和掌握平行四边形的性质和判定方法.3.能够综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题.4.经历探索平行线之间的距离的意义的过程,体会数学在现实世界的大量应用.5.利用类比和对比的方法,类比和对比平行线之间的距离、点到直线的距离和两点之间的距离的联系与区别.
重点 1.平行线之间的距离的意义的探索.2.综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题.
难点 灵活运用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 想一想：1.平行四边形的定义是什么 2.平行四边形有哪些性质 3.判定四边形是平行四边形的方法有哪些 如图所示，四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，你能增加若干组条件，使得四边形ABCD是平行四边形吗？(1)边：①两组对边分别平行：AB∥CD且AD∥BC;②一组对边平行且相等：AB∥CD且AB=CD，或者AD∥BC且AD=BC;③两组对边分别相等：AB=CD且AD=BC.(2)角：两组对角分别相等：∠DAB=∠BCD且∠ADC=∠ABC.(3)对角线：对角线互相平分：AO=OC且BO=OD. 学生复习回忆，回答问题。学生思考添加条件，证明四边形ABCD是平行四边形。 教师提出问题,由学生独立思考,并口答得出定义的内容.总结出平行四边形的性质和判定四边形是平行四边形的几个条件.
讲授新课 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流．【例3】已知：如图所示，直线a∥b，A，B是直线a上任两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.求证：AC=BD.【解析】本题条件中已经知道四边形ABDC中有一组对边互相平行，如果再能证明另一组对边AC和BD也平行，根据平行四边形的性质即可得出AC和BD相等的结论.证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，∴ ∠ 1 = ∠ 2 = 90 ° .∴ AC∥BD.∵ AB∥CD，∴ 四边形 ACDB 是平行四边形．∴ AC = BD．两条平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．如图，线段AC、BD的长就是直线a，b之间的距离.性质：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.数学语言: ∵ a∥ b，AC⊥b，BD⊥b， ∴ AC=BD.【议一议】夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗 如图，a∥ b，c∥ d，c，d与a，b分别相交于点A，B，C，D四点，那么由平行四边形的性质，我们能得到什么结论？分析：∵ a∥b，c∥d，∴ AD∥BC，AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.结论：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.如图，已知AD∥BC，判断S△ABC和S△DBC是否相等，并说明理由.解：相等. ∵ AD∥BC，∴ 点D，点A到BC的距离相等，∴ △ABC 和△DBC 同底等高，面积相等.做一做：如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理.【例4】已知：如图，在□ABCD 中，点 M，N 分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE.求证：四边形 MENF 是平行四边形．证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠MDF=∠NBE.∵ DM=BN，DF=BE，∴ △MDF≌△NBE.∴ MF=NE，∠MFD =∠NEB.∴ ∠ MFE =∠NEF. ∴ MF∥NE.∴ 四边形 MENF 是平行四边形.【拓展提高】区分两点间的距离、点到直线的距离和平行线之间的距离：①都是指线段的长度;②点到直线的距离和平行线之间的距离是垂线段的长度. 学生观察图片，回答问题。学生根据已有知识证明两平行线之间的距离。学生根据教师引导总结两条平行线之间的距离的定义以及性质。jiao学生思考回答问题。学生根据所学知识做例题。 通过对平行四边形性质的简单应用,引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的实例的应用,深化对知识的理解.在引入平行线之间的距离的概念中,先引入点到直线的距离,再通过点到直线的距离来刻画平行线之间的距离.在应用平行四边形性质的同时深入知识、效果很好,学生易于接受.通过弱化前面问题中的条件,提出一个新的问题,这也是提出新问题的一种方法,根据平行四边形的定义和性质可知,夹在两条平行线间的平行线段一定相等.通过网格中画平行四边形并说理,让学生进一步掌握平行四边形的判定定理.通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习 1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，AD＝CE，DE，FG都垂直于l2，E，G分别为垂足，则下列选项中，一定成立的是( A )A.AB＝CD B.CE＝FGC.BC＝EG D.S四边形ABCD＞S四边形DEGF2.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为( C )A.2 B.4 C.5 D.103.如图，设点P是 ABCD的边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则( A )A.S3＝S1＋S2 B.S3＞S1＋S2C.S3＜S1＋S2 D.S3＝(S1＋S2)4.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，HE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，则下列说法错误的是( A )A. AB的长就是l1与l2之间的距离B. AB＝CDC. HE的长就是l1与l2之间的距离D. HE＝FG5.已知：如图，在□ABCD中，点E在BC的延长线上，且DE∥AC.请写出BE与BC的数量关系，并证明你的结论．解：结论：BE＝2BC.证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CE.∵DE∥AC， ∴四边形ADEC为平行四边形．∴AD＝CE. ∴CE＝BC.∴BE＝2BC.6.【中考·铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，求出AB与EF的距离.解：分两种情况：(1)当EF在AB，CD之间时，如图①.∵AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，∴EF与AB的距离为12－5＝7(cm)．(2)当EF在AB，CD同侧时，如图②.∵AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，∴EF与AB的距离为12＋5＝17(cm)．综上所述，EF与AB的距离为7 cm或17 cm. 学生做练习，教师订正答案。zuo 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.2.如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.3.两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：6.2.3 平行线间的距离一、平行线之间的距离二、例题讲解
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6.2.3 平行线间的距离
北师版 八年级下册
新知导入
1.平行四边形的定义是什么
2.平行四边形有哪些性质
3.判定四边形是平行四边形的方法有哪些
想一想：
新知导入
如图所示，四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，你能增加若干组条件，使得四边形ABCD是平行四边形吗？
(1)边：①两组对边分别平行：
AB∥CD且AD∥BC;
②一组对边平行且相等：
AB∥CD且AB=CD，或者AD∥BC且AD=BC;
③两组对边分别相等：AB=CD且AD=BC.
新知导入
如图所示，四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，你能增加若干组条件，使得四边形ABCD是平行四边形吗？
(2)角：两组对角分别相等：
∠DAB=∠BCD且∠ADC=∠ABC.
(3)对角线：对角线互相平分：
AO=OC且BO=OD.
新知讲解
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流．
新知讲解
【例3】已知：如图所示，直线a∥b，A，B是直线a上任两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.
求证：AC=BD.
【解析】本题条件中已经知道四边形ABDC中有一组对边互相平行，如果再能证明另一组对边AC和BD也平行，根据平行四边形的性质即可得出AC和BD相等的结论.
新知讲解
【例3】已知：如图所示，直线a∥b，A，B是直线a上任两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.
求证：AC=BD.
证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ ∠ 1 = ∠ 2 = 90 ° .
∴ AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形．
∴ AC = BD．
新知讲解
两条平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．
如图，线段AC、BD的长就是直线a，b之间的距离.
新知讲解
性质：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
数学语言:
∵ a∥ b，AC⊥b，BD⊥b，
∴ AC=BD.
新知讲解
【议一议】夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗
结论：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
如图，a∥ b，c∥ d，c，d与a，b分别相交于点A，B，C，D四点，那么由平行四边形的性质，我们能得到什么结论？
分析：∵ a∥b，c∥d，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
∴ AD∥BC，AB∥CD，
a
b
c
d
A
B
C
D
新知讲解
如图，已知AD∥BC，判断S△ABC和S△DBC是否相等，并说明理由.
A
B
C
D
解：相等.
∵ AD∥BC，
∴ 点D，点A到BC的距离相等，
∴ △ABC 和△DBC 同底等高，面积相等.
新知讲解
做一做：如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理.
新知讲解
【例4】已知：如图，在□ABCD 中，点 M，N 分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE.
求证：四边形 MENF 是平行四边形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠MDF=∠NBE.
∵ DM=BN，DF=BE，∴ △MDF≌△NBE.
∴ MF=NE，∠MFD =∠NEB.
∴ ∠ MFE =∠NEF. ∴ MF∥NE.
∴ 四边形 MENF 是平行四边形.
新知讲解
区分两点间的距离、点到直线的距离和平行线之间的距离：
①都是指线段的长度;
②点到直线的距离和平行线之间的距离是垂线段的长度.
【拓展提高】
课堂练习
1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，AD＝CE，DE，FG都垂直于l2，E，G分别为垂足，则下列选项中，一定成立的是( )
A.AB＝CD
B.CE＝FG
C.BC＝EG
D.S四边形ABCD＞S四边形DEGF
A
课堂练习
2.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为( )
A.2
B.4
C.5
D.10
C
课堂练习
A
课堂练习
4.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，HE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，则下列说法错误的是( )
A. AB的长就是l1与l2之间的距离
B. AB＝CD
C. HE的长就是l1与l2之间的距离
D. HE＝FG
A
拓展提高
解：结论：BE＝2BC.
证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，即AD∥CE.
∵DE∥AC， ∴四边形ADEC为平行四边形．
∴AD＝CE. ∴CE＝BC.
∴BE＝2BC.
5.已知：如图，在□ABCD中，点E在BC的延长线上，且DE∥AC.
请写出BE与BC的数量关系，并证明你的结论．
解：分两种情况：
(1)当EF在AB，CD之间时，如图①.
∵AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，
∴EF与AB的距离为12－5＝7(cm)．
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6.【中考·铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，求出AB与EF的距离.
(2)当EF在AB，CD同侧时，如图②.
∵AB与CD的距离是12 cm，
EF与CD的距离是5 cm，
∴EF与AB的距离为12＋5＝17(cm)．
综上所述，EF与AB的距离为7 cm或17 cm.
中考链接
6.【中考·铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，求出AB与EF的距离.
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
2.如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
3.两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
板书设计
课题：6.2.3 平行线间的距离
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学生展示区
一、平行线之间的距离
二、例题讲解
作业布置
课本 P147 练习题
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