3.5确定二次函数的表达式课件2021—2022学年鲁教版（五四制）数学九年级上册(共20张PPT)
文档属性
| 名称 | 3.5确定二次函数的表达式课件2021—2022学年鲁教版（五四制）数学九年级上册(共20张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 790.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-30 21:32:01 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
鲁教版（五四制）数学九年级上册
第三章 二次函数
3.5 确定二次函数的表达式
教学目标
1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）
2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。（难点）
想一想：
已知一个二次函数的图象所经过的3个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？怎样确定这个二次函数的表达式？
新知探究
解：
设所求的二次函数表达式为 y=a(x＋1)2-6
因为该图象经过点（2，3), 将坐标代入上式得
已知二次函数图象的顶点坐标为（－1，－6），
并且该图象经过点（2，3），求这个二次函数
的表达式.
所以这个二次函数的表达式为
y=(x＋1)2-6
即：y=x2+2x－5
例1
3=a(2+1) -6
解得 a=1
例题讲解
练习一. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3
∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k
图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k
0=a(5-3)2+k
解得：a= 1 k=-4
∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4
即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时优先选用顶点式。
练一练
已知一个二次函数的图象的对称轴为x=－2,与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（ －3，－ 1），求这个函数的解析式.
变式：
再变：
已知一个二次函数，当x≤ －2时，y随x的增大而减小,当x≥ －2时，y随x的增大而增大。与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（ －3，－ 1），求这个函数的解析式.
三变：
已知一个二次函数，当x＝ －2时，y有最小值是－2。与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（ －3，－ 1），求这个函数的解析式.
做一做：
根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式：
（1）已知图象的顶点是原点，且图象经过点（2，－5）.
（2）已知图象的顶点坐标是（ －1， － 2），且图象经
过点（1，10）.
（3 ）抛物线的对称轴是x= －2,且经过（ －1， － 1），
（ －4，0）两点.
课堂练习
用待定系数法求函数表达式的一般步骤:
1 、设出适合的函数表达式；
2 、把已知条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组；
3、 解方程（组）求出待定系数的值；
4、 写出一般表达式。
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的解析式．
例3.
要求：
◆先独立思考再合作完成此题.
◆看哪个小组用时短、方法多.
例题讲解
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的解析式．
例3.
∴可设抛物线为y=a(x-20)2＋16
解：
∵ 点(0，0)在抛物线上，
通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较简单灵活.
评价
∴ 所求抛物线解析式为
根据题意可知,抛物线顶点坐标为(20,16)
1、二次函数常用解析式
☆已知图象的顶点坐标或对称轴，通常选择顶点式。
3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰 当地选择一种函数表达式，灵活应用。
一般式
顶点式
2、求二次函数解析式的一般方法：
解：（交点式）
∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)
∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1)
∵ 函数图象过点(1,4)
∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1
∴ 函数的表达式为：
y= -(x+1)(x-3)
= -x2+2x+3
例4（补充）．已知二次函数图象经过点 (1,4),
(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。
知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便
其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4 ①
a-b+c=0 ②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2
c=3
∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ，
∴ (-1+3)/2 = 1
∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4
∵ 抛物线过点(-1, 0)
∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为：
y= -(x-1)2+4
例5：某商贸公司成立以来，5年的利润情况如下图所示，图中的折线近似于抛物线的一部分。
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式；
（2）利用（1）的结果，分别求出当x=2和x=5时该二次函数的函数值，并分别与点B、点E的纵坐标比较
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式；
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
由已知，将A(1，2.6)，C(3，3.8)，D(4，5)分别代入表达式，得
a+b+c=2.6
9a+3b+c=3.8
16a+4b+c=5
解得
a=0.2
b=-0.2
c=2.6
故所求二次函数的表达式为y=0.2x2-0.2x+2.6
（2）利用（1）的结果，分别求出当x=2和x=5时该二次函数的函数值，并分别与点B、点E的纵坐标比较
解：当x=2时，y=0.2×4-0.2×2+2.6=3，
此时，y的值与点B的纵坐标相等.
当x=5时，y=0.2×25-0.2×5+2.6=6.6，
此时，y的值小于点E的纵坐标.
（3）利用（1）中求得的二次函数的表达式，预测该商贸公司第6年的利润.
解：当x=6时，y=0.2×36-0.2×6+2.6=8.6，
估计该商贸公司第6年的利润可达860万元.
在确定二次函数的表达式时
（1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ；
（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式较为简便；
（3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式较为简单。
课堂小结
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第三章 二次函数
3.5 确定二次函数的表达式
教学目标
1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）
2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。（难点）
想一想：
已知一个二次函数的图象所经过的3个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？怎样确定这个二次函数的表达式？
新知探究
解：
设所求的二次函数表达式为 y=a(x＋1)2-6
因为该图象经过点（2，3), 将坐标代入上式得
已知二次函数图象的顶点坐标为（－1，－6），
并且该图象经过点（2，3），求这个二次函数
的表达式.
所以这个二次函数的表达式为
y=(x＋1)2-6
即：y=x2+2x－5
例1
3=a(2+1) -6
解得 a=1
例题讲解
练习一. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3
∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k
图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k
0=a(5-3)2+k
解得：a= 1 k=-4
∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4
即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时优先选用顶点式。
练一练
已知一个二次函数的图象的对称轴为x=－2,与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（ －3，－ 1），求这个函数的解析式.
变式：
再变：
已知一个二次函数，当x≤ －2时，y随x的增大而减小,当x≥ －2时，y随x的增大而增大。与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（ －3，－ 1），求这个函数的解析式.
三变：
已知一个二次函数，当x＝ －2时，y有最小值是－2。与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（ －3，－ 1），求这个函数的解析式.
做一做：
根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式：
（1）已知图象的顶点是原点，且图象经过点（2，－5）.
（2）已知图象的顶点坐标是（ －1， － 2），且图象经
过点（1，10）.
（3 ）抛物线的对称轴是x= －2,且经过（ －1， － 1），
（ －4，0）两点.
课堂练习
用待定系数法求函数表达式的一般步骤:
1 、设出适合的函数表达式；
2 、把已知条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组；
3、 解方程（组）求出待定系数的值；
4、 写出一般表达式。
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的解析式．
例3.
要求：
◆先独立思考再合作完成此题.
◆看哪个小组用时短、方法多.
例题讲解
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
(如图所示)，求抛物线的解析式．
例3.
∴可设抛物线为y=a(x-20)2＋16
解：
∵ 点(0，0)在抛物线上，
通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较简单灵活.
评价
∴ 所求抛物线解析式为
根据题意可知,抛物线顶点坐标为(20,16)
1、二次函数常用解析式
☆已知图象的顶点坐标或对称轴，通常选择顶点式。
3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰 当地选择一种函数表达式，灵活应用。
一般式
顶点式
2、求二次函数解析式的一般方法：
解：（交点式）
∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)
∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1)
∵ 函数图象过点(1,4)
∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1
∴ 函数的表达式为：
y= -(x+1)(x-3)
= -x2+2x+3
例4（补充）．已知二次函数图象经过点 (1,4),
(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。
知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便
其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4 ①
a-b+c=0 ②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2
c=3
∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ，
∴ (-1+3)/2 = 1
∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4
∵ 抛物线过点(-1, 0)
∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为：
y= -(x-1)2+4
例5：某商贸公司成立以来，5年的利润情况如下图所示，图中的折线近似于抛物线的一部分。
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式；
（2）利用（1）的结果，分别求出当x=2和x=5时该二次函数的函数值，并分别与点B、点E的纵坐标比较
（1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式；
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
由已知，将A(1，2.6)，C(3，3.8)，D(4，5)分别代入表达式，得
a+b+c=2.6
9a+3b+c=3.8
16a+4b+c=5
解得
a=0.2
b=-0.2
c=2.6
故所求二次函数的表达式为y=0.2x2-0.2x+2.6
（2）利用（1）的结果，分别求出当x=2和x=5时该二次函数的函数值，并分别与点B、点E的纵坐标比较
解：当x=2时，y=0.2×4-0.2×2+2.6=3，
此时，y的值与点B的纵坐标相等.
当x=5时，y=0.2×25-0.2×5+2.6=6.6，
此时，y的值小于点E的纵坐标.
（3）利用（1）中求得的二次函数的表达式，预测该商贸公司第6年的利润.
解：当x=6时，y=0.2×36-0.2×6+2.6=8.6，
估计该商贸公司第6年的利润可达860万元.
在确定二次函数的表达式时
（1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ；
（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式较为简便；
（3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式较为简单。
课堂小结
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