1．将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
解析：－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.
答案：(－3)×360°＋195°
2．在148°，475°，－960°，－1601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．
解析：148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角．而－1601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．
答案：4
3．已知集合A＝{第一象限角}、B＝{锐角}、C＝{小于90°的角}，则A∩B＝________，B∩C＝________.
答案：B B
4．钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．
解析：分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过周．
答案：－120° －1440°
一、填空题
1．下列各组角中，终边相同的是________．(只填序号)
①－60°，300°，420°；
②－60°，－300°，－420°；
③－60°，300°，－420°；
④60°，－300°，－420°.
解析：两角相减是360°的整数倍即是终边相同的角．
答案：③
2．若α为第二象限角，则－是________．
解析：因为α为第二象限角，所以为第一或第三象限角．又因为－与关于x轴对称，所以－是第二或第四象限角．
答案：第二或第四象限角
3．若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是________；若角α与角β的终边关于原点对称，则α与β的关系是________；若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是________．
答案：α＋β＝k·360°，k∈Z α－β＝k·360°＋180°，k∈Z α＋β＝(2k＋1)180°，k∈Z
4．已知角α＝－3000°，则与α终边相同的最小正角是________．
解析：与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝－3000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.
答案：240°
5．设集合M＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，N＝{α|－180°＜α＜180°}，则M∩N等于________．
解析：当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°；当k＝－1时，α＝－126°；所以M∩N＝{－36°，54°，－126°，144°}．
答案：{－36°，54°，－126°，144°}
6．若α与β的终边互相垂直，则α－β＝________.
答案：90°＋k·180°(k∈Z)
7．(2011年杭州高一检测)已知θ∈{α|α＝k·180°＋(－1)k·45°，k∈Z}，则角θ的终边所在的象限是________．
答案：第一或第二象限
8．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________．
解析：大链轮转动一周，小链轮转＝2.4周，角度为2.4×360°＝864°.
答案：864°
二、解答题
9．已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．
(1)420°；(2)－75°；(3)855°；(4)－510°.
解：如图所示．
由图可知：
(1)420°角在第一象限，在0°～360°范围内与60°角终边相同．
(2)－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角终边相同．
(3)855°角在第二象限，在0°～360°范围内与135°角终边相同．
(4)－510°角在第三象限，在0°～360°范围内与210°角终边相同．
10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．
(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
(3)求A∩B.
解：(1) (2)
(3)由(1)(2)知A∩B＝{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋55°，k∈Z}．
11．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°(k∈Z)}中：
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个大于－360°且小于360°的角？
(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．
解：(1)当k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3，n∈Z时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°＜k·90°＋45°＜360°，得－＜k＜.
又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个．
(3)其中是第二象限的角可表示成k·360°＋135°，k∈Z.
1．下列常见角0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，将它们用弧度制分别表示为________．
答案：0，，，，，，，，π
2．α＝－2 rad，则α的终边在________．
解析：－2 rad＝－2×()°≈－57.30°×2＝－114.60°，
∴α为第三象限角．
答案：第三象限
3．已知圆内1 rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为________．
解析：首先求出圆的半径r＝，再利用弧长公式求弧长．
答案：
4．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
解析：分别取k＝－1,0,1,2，得α＝－，－，，.
答案：{－，－，，}
一、填空题
1．下列结论不正确的是________．(只填序号)
①rad＝60°；②10°＝rad；③36°＝rad；④rad＝115°.
解析： rad＝×()°＝112.5°，所以④错．
答案：④
2．集合A＝{x|x＝kπ＋，k∈Z}与集合B＝{x|x＝2kπ±，k∈Z}之间的关系是________．
解析：因为角的集合{x|x＝2kπ＋，k∈Z}与{x|x＝2kπ－，k∈Z}分别表示终边落在y轴的正、负半轴上的角的集合，所以B表示终边落在y轴上的角的集合，所以A＝B.
答案：A＝B
3．已知A，B是半径为2的圆O上两点，∠AOB＝2弧度，则劣弧的长度是________．
解析：根据弧长公式l＝|α|·r知劣弧的长度为2×2＝4.
答案：4
4．若长为30 cm的弧所对圆心角为72°，则这条弧所在的圆的半径为________．(精确到1 cm)
解析：∵72°＝72×＝，∴这条弧所在的圆的半径为30÷＝≈24 (cm)．
答案：24 cm
5．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
解析：∵角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，∴α＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴角α的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋＜4π，k∈Z，∴－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，∴α＝－，－，，.
答案：－，－，，
6．在(－4π，4π)内与－角的终边相同的角是________．
解析：首先写出与－π角的终边相同的角的集合{α|α＝2kπ－π，k∈Z}．然后再写出(－4π，4π)内的角α.
答案：－，－，，
7．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．
解析：设圆的半径为r，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为r，则r＝r·α，即α＝.
答案：
8．已知一扇形的圆心角为 rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．
解析：先求出圆的半径r与扇形半径R的比为1∶3，再求它们的面积的比．
答案：2∶3
二、解答题
9．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝×AB×OD
＝×2×6cos30°×3＝9.
∴弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形的面积是12π－9.
10．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？
解：设弧长为l，所对圆心角为α，
则l＋2r＝πr，即l＝(π－2)r.
∵|α|＝＝π－2，|α|＝(π－2)·()°≈65.41°.
∴α的弧度数是π－2，度数为65.41°.
从而S扇形＝lr＝(π－2)r2.
11．设集合A＝{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}，B＝{x|x2≤36}，试求集合A∩B.
解：由集合A＝{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}，可知A＝…∪[－，－]∪[－，－]∪[－，]∪[，]∪[，]∪….由B＝{x|x2≤36}，可得B＝{x|－6≤x≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．
可得集合A∩B＝[－6，－]∪[－，－]∪[－，]∪[，]∪[，6]．
1．已知α的终边过点P(4，－3)，则下面各式中正确的是________．(只填序号)
①sinα＝；②cosα＝－；③tanα＝－；④tanα＝－.
解析：易知x＝4，y＝－3，r＝5，所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
答案：③
2．对三角函数线，下列说法正确的是________．
①对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线；
②有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在；
③任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在；
④任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在．
答案：④
3．设θ是三角形的内角且θ≠，则下列各组数中均取正值的是________．(只填序号)
①tanθ与cosθ；②cosθ与sinθ；③sinθ与tanθ；④tan与sinθ；
解析：∵θ是三角形的内角且θ≠，∴0＜θ＜π且θ≠，∴sinθ＞0，tan＞0.
答案：④
4．已知cosα＝－，且α是第二象限角，则tanα＝________.
解析：∵cosα＝－，
∴sinα＝±＝±.
又∵α又是第二象限角，
∴sinα＞0，∴sinα＝，
∴tanα＝＝－.
答案：－
一、填空题
1．下列说法中，正确的个数为________．
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；
③若sinα＞0，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cosα＝ .
解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系故①②都是正确的；当α的终边与y轴的非负半轴重合时，sinα＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cosα＝，故④也是不正确的．因此只有2个正确．
答案：2
2．用不等号(＞或＜)填空：
(1)sin·cos·tan________0；
(2)________0.
解析：(1)∵在第二象限，在第三象限，在第四象限，
∴sin＞0，cos＜0，tan＜0.
∴sin·cos·tan＞0.
(2)∵100°在第二象限，200°在第三象限，300°在第四象限，
∴tan100°＜0，sin200°＜0，cos300°＞0，
∴＞0.
答案：(1)＞ (2)＞
3．若A是第三象限角，且|sin|＝－sin，则是第________象限角．
解析：∵A是第三象限角，∴2kπ＋π＜A＜2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，∴是第二、四象限角．
又∵|sin|＝－sin，∴sin＜0，∴是第四象限角．
答案：四
4．已知MP，OM，AT分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有________．(只填序号)
①MP＜OM＜AT；②OM＜MP＜AT；③AT＜OM＜MP；④OM＜AT＜MP.
解析：sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝.
答案：②
5．若0＜x＜，则下列命题中正确的是______．(只填序号)
①sinx＜x；②sinx＞x；③sinx＜x2；④sinx＞x2.
解析：令x＝，则sin＝，·x＝，·x2＝.故④正确．
答案：④
6．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在________象限．
解析：∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，cosα＜0，∴角α的终边在第二象限．
答案：第二
7．若sinαcosα＜0，则函数y＝＋＋的值域为________．
解析：由sinαcosα＜0，知α在第二象限或第四象限．
当α在第二象限时，
sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，则：y＝－1；
当α在第四象限时，
sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0，则：y＝－1.
综上可得，值域为{－1}．
答案：{－1}
8．已知点P(1，y)是角α的终边上的一点，且cosα＝，则y＝________.
解析：由三角函数定义知：cosα＝，
∴＝，∴y＝±.
答案：±
二、解答题
9．判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cos4·tan(－)．
解：(1)∵α是第四象限角，
∴sinα＜0，tanα＜0，∴sinα·tanα＞0.
(2)∵＜3＜π，π＜4＜，∴sin3＞0，cos4＜0.
∵－＝－6π＋，∴tan(－)＞0，
∴sin3·cos4·tan(－π)＜0.
10．已知角α的终边与函数y＝x的图象重合，求α的正弦、余弦、正切值．
解：函数y＝x的图象是过原点和一、三象限的直线，因此α的终边在第一或第三象限．当α的终边在第一象限时，在终边上取点P(2,3)，则r＝＝，于是sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝；当α的终边在第三象限时，在终边上取点P′(－2，－3)，则r′＝＝，于是sinα＝－＝－，cosα＝－＝－，tanα＝＝.
11．求证：当α∈(0，)时，sinα＜α＜tanα.
证明：
如图，设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sinα＝MP；
在Rt△AOT中，tanα＝AT；
又根据弧度制的定义，有＝α·OP＝α，
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即OA·MP＜·OA＜OA·AT，
可得sinα＜α＜tanα.
1．已知cosθ＝，且＜θ＜2π，那么tanθ的值为________．
解析：因为θ为第四象限角，所以tanθ＜0，sinθ＜0，sinθ＝－＝－，所以tanθ＝＝－.
答案：－
2．已知sinα＝，则的值为________．
解析：因为sinα＝＞0，所以α为第一、二象限角，所以cosα＝±＝±，所以＝±.
答案：±
3．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝________.
解析：∵5,12,13为勾股数组，且α为第四象限角，∴sinα＝－.
答案：－
4．已知sin(α－)＝，则cos(α－)等于________．
解析：cos(α－)＝± ＝± ＝±.
答案：±
一、填空题
1．已知tanα＝m(π＜α＜)，则sinα＝________.
解析：因为tanα＝m，所以＝m2，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝.又因为π＜α＜，所以tanα＞0，即m＞0.因而sinα＝－ .
答案：－
2．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，那么tanθ的值是________．
解析：设P(x，y)是角θ终边上任一点，P到坐标原点的距离为r，则r＝≠0，且sinθ＝，cosθ＝.由已知有＝，①即25(x＋y)2＝x2＋y2，整理并解得＝－或＝－，②.因为0＜θ＜π，所以y＞0，又由②知x＜0，再由①知x＋y＞0，则|x|＜|y|.所以－1＜＜0，＜－1.所以tanθ＝＝－.
答案：－
3．已知cosα＝tanα，则sinα＝________.
解析：利用同角三角函数关系式求解．因为cosα＝tanα，所以cosα＝，即sinα＝cos2α≥0，可得sinα＝1－sin2α，即sin2α＋sinα－1＝0，解得sinα＝，舍去负值，得sinα＝.
答案：
4．下列各命题中，正确的是________．
①存在角α，使cosα＝，tanα＝
②不存在角α，使sinα＝cosα＝
③cos＝
④若sinα－cosα＝，则α是锐角
解析：②中sin2α＋cos2α＝＋＝＞1.故不存在这样的角α.
答案：②
5．若sinx＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x＝________.
解析：由已知sinx＝1－sin2x＝cos2x，∴cos2x＋cos4x＝cos2x＋(cos2x)2＝sinx＋sin2x＝1.
答案：1
6．下列等式中正确的是________．
①sin2＋cos2＝；
②若α∈(0,2π)，则一定有tanα＝；
③sin＝± ；
④sinα＝tanα·cosα(α≠kπ＋，k∈Z)．
解析：同角的三角函数基本关系中要求角是“同角”，且对于“任意角”都成立，所以①不正确；利用同角三角函数的基本关系时一定要注意其隐含的条件，对于②中cosα≠0，也即α≠kπ＋(k∈Z)，因而②不正确；因为0＜＜，所以sin＞0，所以③错．
答案：④
7．已知tanα＋sinα＝a，tanα－sinα＝b(a≠－b)，则cosα＝________.
解析：由解得：sinα＝，tanα＝.利用tanα＝，可得cosα＝＝.
答案：
8.＋的值为________．
解析：原式＝＋＝
答案：3或－1或－3或1
二、解答题
9．若cosα＝－且tanα＞0，求的值．
解：＝
＝＝
＝
＝sinα(1＋sinα)．
由tanα＝＞0，cosα＝－＜0，
∴sinα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，
∴sinα＝－＝－，
∴原式＝sinα(1＋sinα)
＝－·(1－)＝－.
10．化简：－.
解：原式＝－
＝－
＝＝sinx＋cosx.
11．(1)已知0＜α＜π，sinα·cosα＝－，求sinα－cosα的值；
(2)已知0＜α＜π，sinα·cosα＜0，且sinα＋cosα＝，求sinα－cosα的值．
解：(1)∵0＜α＜π，sinα·cosα＝－＜0，
∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×(－)＝，∴sinα－cosα＝.
(2)∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，
∴1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝－.
又∵0＜α＜π，sinα·cosα＜0，
∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，
∴sinα－cosα＝.
1．cos(－)＝________.
解析：cos(－)＝cos＝.
答案：
2．sin585°的值为________．
解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－.
答案：－
3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________．
解析：原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
答案：2
4．若cos100°＝k，则tan80°的值为________．
解析：cos80°＝－cos100°＝－k，且k＜0.于是sin80°＝＝，从而tan80°＝－.
答案：－
一、填空题
1．在△ABC中，若cosA＝，则sin(π－A)＝________；若sinA＝，则cosA＝________.
解析：sin(π－A)＝sinA＝＝，cosA＝±＝±.
答案： ±
2．已知sin(45°＋α)＝，则sin(225°＋α)＝________.
解析：sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－.
答案：－
3．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值等于________．
解析：原式＝()2＋()2＋2×(－)＋(－)2＝.
答案：
4．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________.
解析：由cos(α－π)＝－，易得cosα＝，又因为sin(－2π＋α)＝sinα，所以只需求出sinα即可．
答案：－
5．已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为________．
解析：sin(π－α)＝sinα＝log8＝－，tan(2π－α)＝－tanα＝－＝－＝.
答案：
6．化简的结果为________．
解析：当n为偶数时，原式＝＝＝－sinα，当n为奇数时，原式＝＝sinα.
答案：(－1)n＋1sinα(n∈Z)
7．已知cos(α＋β)＝－1，且tanα＝2，则tanβ＝________.
解析：由cos(α＋β)＝－1知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.∴tanβ＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tanα＝－2.
答案：－2
8．若α和β的终边关于y轴对称，下列各式中正确的有________．
①sinα＝sinβ，②cosα＝cosβ，③tanα＝tanβ，④cos(2π－α)＝cosβ.
解析：α，β的终边关于y轴对称，于是α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，于是sinα＝sin(2kπ＋π－β)＝sin(π－β )＝sinβ.
答案：①
二、解答题
9．求证：＝－tanα.
证明：原式左边＝
＝＝－＝－tanα＝右边．
所以原式成立．
10．已知cosβ＝，角α－β的终边在y轴的非负半轴上，求cos(2α－3β)的值．
解：因为角α－β的终边在y轴的非负半轴上，
所以α－β＝＋2kπ，k∈Z，
所以2α－2β＝π＋4kπ，k∈Z，
所以2α－3β＝(2α－2β)－β＝π＋4kπ－β，k∈Z，
所以cos(2α－3β)＝cos(4kπ＋π－β)＝cos(π－β)＝－cosβ＝－.
11．已知tan(x＋π)＝a，
求证：＝.
证明：
＝
＝
＝
＝＝.
1．sin480°的值为________．
解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(90°＋30°)＝cos30°＝.
答案：
2．若sin(θ＋)＞0，cos(－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．
解析：sin(θ＋)＝－cosθ＞0，∴cosθ＜0，cos(－θ)＝sinθ ＞0，∴θ为第二象限的角．
答案：二
3．已知sin40°＝a，则cos130°等于________．
解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.
答案：－a
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是________．
解析：sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－sinα－sinα＝－a，∴sinα＝，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－a.
答案：－a
一、填空题
1．已知f(x)＝sinx，下列式中成立的是________．
①f(x＋π)＝sinx；②f(2π－x)＝sinx；③f(x－)＝－cosx；④f(π－x)＝－f(x)．
解析：f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sinx，f(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sinx，f(x－)＝sin(x－)＝－sin(－x)＝－cosx，f(π－x)＝sin(π－x)＝sinx＝f(x)．
答案：③
2．若cos(π＋α)＝－，那么sin(－α)等于________．
解析：∵cos(π＋α)＝－，∴cosα＝，又∵sin(－α)＝－cosα，∴sin(－α)＝－.
答案：－
3．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．
①cos(A＋B)＝cosC；②sin(A＋B)＝－sinC；
③cos(＋C)＝cosB；④sin＝cos.
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，所以①②都不正确；同理B＋C＝π－A，所以sin＝sin(－)＝cos，所以④是正确的．
答案：④
4．sin95°＋cos175°的值为________．
解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.
答案：0
5．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)等于________．
解析：f(sin15°)＝f(cos(90°－15°))＝f(cos75°)＝cos150°＝－.
答案：－
6．已知sin(α－)＝，则cos(＋α)的值等于________．
解析：∵(＋α)－(α－)＝，∴＋α＝＋(α－)，∴cos(＋α)＝cos[＋(α－)]＝－sin(α－)＝－.
答案：－
7．已知cos(＋φ)＝，且|φ|＜，则tanφ＝________.
解析：∵cos(＋φ)＝，∴sinφ＝－，又|φ|＜，
∴φ＝－，故tanφ＝tan(－)＝－tan＝－.
答案：－
8．已知cosα＝，且－＜α＜0，
则＝________.
解析：原式＝＝tanα，∵cosα＝，－＜α＜0，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－2.
答案：－2
二、解答题
9．已知cos(－α)＝，求证：sin(＋α)＋cos2(－α)＝.
证明：因为cos(－α)＝，所以sin(＋α)＋cos2(－α)＝sin[－(－α)]＋cos2[＋(－α)]＝－cos(－α)＋[－sin(－α)]2＝－＋[1－()2]＝.
10．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，求的值．
解：由于方程5x2－7x－6＝0的两根为2和－，所以sinα＝－，再由sin2α＋cos2α＝1，得cosα＝±＝±，所以tanα＝±，所以原式＝＝tanα＝±.
11．已知sin(3π－α)＝cos(＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．
解：因为sin(3π－α)＝cos(＋β)，所以sinα＝sinβ ①.因为cos(－α)＝－cos(π＋β)，所以cosα＝cosβ ②.①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)，所以cos2α＝，cosα＝±.又0＜α＜π，所以α＝或α＝.当α＝时，β＝；当α＝时，β＝.所以α＝，β＝或α＝，β＝.
1．函数y＝3cos(x－)的最小正周期是________．
解析：利用周期公式T＝＝5π.
答案：5π
2．若函数y＝sin(kπ＋)(k＞0)的最小正周期为，则k的值为________．
解析：由于k＞0，所以＝，所以k＝6.
答案：6
3．函数y＝的周期是________．
解析：y＝＝＝cosx，所以周期为2π.
答案：2π
4. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．
则该函数的周期为________．当t＝25 s时，钟摆的高度为________．
解析：由题图可知周期为2 s，所以f(25)＝f(1＋12×2)＝f(1)．
答案：2 s 20 mm
一、填空题
1．下列函数中，周期为的是________．(只填序号)
①y＝sin；②y＝sin2x；③y＝cos；④y＝cos4x.
解析：y＝sin的周期为4π，y＝sin2x的周期为π，y＝cos的周期为8π，y＝cos4x的周期为.
答案：④
2．f(x)＝cos(ωx－)最小正周期为，其中ω＞0，则ω＝________.
解析：∵T＝＝，∴ω＝10.
答案：10
3．已知函数f(x)＝sin(x＋)(k为正整数)，要使f(x)的周期在(，)内，则正整数k的最小值为________，最大值为________．
解析：由周期公式，得T＝＝，由题意知＜＜.因为k＞0，所以＜＜，即＜k＜9π，所以kmin＝15，kmax＝28.
答案：15 28
4．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(5)＝________.
解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，所以f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝2，所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋4)＝－f(x)，且f(3)＝5，则：f(－21)＝________，f(2011)＝________.
解析：由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x)＝－f(x＋4)＝－[－f(x＋4＋4)]＝f(x＋8)，所以T＝8，f(－21)＝f(－24＋3)＝f(3)＝5，f(2011)＝f(251×8＋3)＝f(3)＝5.
答案：5 5
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(x＋2)，f(1)＝2，则f(2)＋f(7)＝________.
解析：由f(x－2)＝f(x＋2)得T＝4，由f(x－2)＝f(x＋2)得f(－2)＝f(2)，即－f(2)＝f(2)，所以f(2)＝0，f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
7．若函数f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝________.
解析：因为sin＝ sin(＋2π)＝sin，所以f(n)＝f(n＋12)．又因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，且102＝12×8＋6，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2＋.
答案：2＋
8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(2011)的值为________．
解析：由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，∴函数f(x)的值以6为周期重复出现，f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－1.
答案：－1
二、解答题
9．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，求f()的值．
解：因为f(x)是周期函数，且最小正周期为π，所以f()＝f(－＋2π)＝f(－)．又因为f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()．因为当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，所以f()＝sin＝，所以f(－)＝，所以f()＝.
10．已知函数f(x)(x∈N＋)，f(1)＝1，f(2)＝6，f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，求f(100)．
解：由f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n) ①得
f(n＋3)＝f(n＋2)－f(n＋1) ②
①式＋②式，得f(n＋3)＝－f(n)．
∴f(n＋6)＝f[(n＋3)＋3]＝－f(n＋3)
＝－[－f(n)]＝f(n)．
∴T＝6为f(x)的一个周期．
∴f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－1.
11．已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋.求：f(log5)．
解：∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x＋2)＝f(x)，
∴y＝f(x)是周期为2的函数．
∵(log5)∈(－2，－1)，
∴log5＋2＝log∈(0,1)，
又∵f(x)为偶函数，
且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋，
∴当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋，
∴f(log5)＝f(log)
＝3－log＋
＝3log3＋＝＋＝1.
1．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点个数为________．
解析：在同一坐标系中作出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]和y＝的图象，由图可得有两个交点．
答案：2
2．使cosx＝有意义的实数m的取值范围是________．
解析：由题设||≤1?|1＋m|≤|1－m|且m≠1，得m≤0.
答案：m≤0
3．函数y＝3＋3cos(2x＋)的值域是________．
解析：－1≤cos(2x＋)≤1，∴0≤y≤6.
答案：[0,6]
4．函数y＝－2sinx在[0,2π]上的图象的最高点坐标是________．
解析：函数y＝－2sinx的图象与函数y＝2sinx的图象关于x轴对称．
答案：(，2)
一、填空题
1．函数f(x)＝－1是________函数．(填“奇”或“偶”)
解析：定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝－1＝－1＝f(x)．
答案：偶
2．函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝__________.
解析：当φ＝时，y＝sin(x＋)＝cosx为偶函数．
答案：
3．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号)
①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)在区间[0，]上是增函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；④函数f(x)是奇函数．
解析：∵y＝sin(x－)＝－cosx，∴T＝2π，即①正确．y＝cosx在[0，]上是增函数，则y＝－cosx在[0，]上是增函数，即②正确．由图象知y＝－cosx的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cosx为偶函数，即④不正确．
答案：④
4．下列关系式中正确的是________．
①sin11°＜cos10°＜sin168°；②sin168°＜sin11°＜cos10°；③sin11°＜sin168°＜cos10°；④sin168°＜cos10°＜sin11°.
解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，又∵y＝sinx在[0°，90°]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.
答案：③
5．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点对称的条件是________．
解析：由3x＋φ＝kπ＋，得x＝π＋－为对称中心的横坐标．∵关于原点对称，∴x＝0，即π＋－＝0，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
答案：φ＝kπ＋(k∈Z)
6．设α，β都是锐角，且sinα＜cosβ，则α＋β的取值范围是________．
解析：将sinα，cosβ化同名，得sinα＜sin(－β)，再利用函数单调性求得．
答案：(0，)
7．若函数f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝________.
解析：由0＜ω＜1知，函数f(x)在[0，]上单调递增，所以f()＝，则可求出ω.
答案：
8．若函数y＝f(x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)在x＝时取得最大值1；(3)在区间[－，]上是增函数．则y＝f(x)的解析式可以是________．
①y＝sin(＋)； ②y＝cos(2x＋)；
③y＝sin(2x－)； ④y＝cos(2x－)．
解析：由(1)排除①.由(2)可知函数在x＝时取得最大值1，代入可知③满足，而且在区间[－，]上，③是增函数．
答案：③
二、解答题
9．作出下列函数在一个周期上的图象：
(1)y＝2sinx；(2)y＝cos(x＋)；(3)y＝2sinx.
解： (1)y＝2sinx的周期T＝2π，可先确定关键的五个点：(0,0)，(，2)，(π，0)，(，－2)，(2π，0)．在坐标系中将这五个点描出，并且光滑曲线连结这些点，得到图象如图所示．
(2)y＝cos(x＋)的周期T＝2π，确定关键的五个点：(－，1)，(，0)，(，－1)，(，0)，(，1)．在坐标系中将这五个点描出，然后用光滑曲线将它们连结起来，得到该函数的图象如图所示．
(3)y＝2sinx的周期T＝＝4π，故可确定关键的五个点：(0,0)，(π，2，)(2π，0)，(3π，－2)，(4π，0)．在坐标系中描出这五点，然后用光滑曲线将它们连结起来，得到函数的图象如图所示．
10．比较下列各组数的大小：
(1)cos(－π)与cos(－π)；(2)sin194°与cos160°.
解：(1)cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ，
cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ，
∵π＜π＜π＜2π，
∴cosπ＜cosπ，
即cos(－π)＜cos(－π)．
(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°.
从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.
11．已知函数f(x)＝asin(x－)＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a＜0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝sin(x－)＋1＋b.
∵y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，∴当2kπ＋≤x－≤2kπ＋，即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)f(x)＝asin(x－)＋a＋b，
∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤，
∴－≤sin(x－)≤1.又∵a＜0，
∴a≤asin(x－)≤－a.
∴a＋a＋b≤f(x)≤b，
∵f(x)的值域是[2,3]，
∴a＋a＋b＝2且b＝3，
解得a＝1－，b＝3.
1．函数y＝tan(x＋)的定义域为________．
解析：x＋≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z.
答案：{x|x≠kπ＋，k∈Z}
2．函数y＝3tan(x＋)的增区间为________．
解析：kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.
答案：(2kπ－，2kπ＋)，(k∈Z)
3．函数y＝3tan(2x＋)的周期为________．
答案：
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanx相交的相邻两点间的距离为________．
解析：由图象可知，直线y＝a与正切曲线y＝tanx相交的相邻两点间的距离为一个周期．
答案：π
一、填空题
1．函数y＝(－≤x≤且x≠0)的值域是________．
解析：当x∈[－，0)∪(0，]时，tanx∈[－1,0)∪(0,1]，∴y∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
2．下列函数中同时满足：①在(0，)上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数是________．
①y＝tanx； ②y＝cosx；
③y＝tan； ④y＝|sinx|.
答案：①
3．y＝tan满足下列哪些条件________．
①在(0，)上单调递增；②为奇函数；
③以π为最小正周期；④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
解析：①令0＜x＜得0＜＜，∴y＝tan在(0，)上单调递增．②tan(－)＝－tan，故为奇函数．③T＝＝2π，故③不正确．④令≠＋kπ，得x≠π＋2kπ，∴定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，∴④ 不正确．
答案：①②
4．下列不等式中：①tan＞tan；②tan1＞tan2；③＜；④＜.其中正确的是________．
答案：②
5．函数f(x)＝cosx·tan|x|的奇偶性为________．
解析：f(－x)＝cos(－x)·tan|－x|＝cosx·tan|x|＝f(x)．
答案：偶函数
6．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心是________．
解析：2x＋＝，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
答案：(－，0)(k∈Z)
7．若tanx＞tan且x在第三象限，则x的取值范围是________．
解析：tanx＞tan＝tan(π＋)＝tanπ，∴π＜x＜π，考虑角的任意性，∴2kπ＋π＜x＜2kπ＋π(k∈Z)．
答案：{x|2kπ＋π＜x＜2kπ＋π，k∈Z}
8．已知函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则ω的取值范围是________．
解析：y＝tanωx在(－，)是减函数，∴ω＜0且≥π?－1≤ω＜0.
答案：－1≤ω＜0
二、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋lg(1－tanx)．
解：(1)由－tanx≥0，得tanx≤.
在(－，)内满足不等式的范围是(－，]．
又y＝tanx的周期为π，
故原函数的定义域为(kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)函数y＝＋lg(1－tanx)有意义，等价于所以0≤tanx＜1.由正切曲线可得kπ≤x＜kπ＋，k∈Z.故原函数的定义域为{x|kπ≤x＜kπ＋，k∈Z}．
10．(1)求函数f(x)＝3tan(－)的周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f()的大小．
解：(1)因为f(x)＝3tan(－)＝－3tan(－)，所以T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因为y＝3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递减．
故原函数的周期为4π，单调递减区间为(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan(－)＝3tan(－)＝－3tan，f()＝3tan(－)＝3tan(－)＝－3tan，
因为＜，且y＝tanx在(0，)上单调递增，
所以tan＜tan，所以f(π) ＞f()．
11．是否存在实数k，使得当x∈[，]时，k＋tan(－2x)的值总不大于零，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数k，符合题意，则k≤tan(2x－)，
∴k≤tan(2x－)min，
而当x∈[，]时，
0≤tan(2x－)≤，∴k≤0，
即存在实数k，其取值范围为(－∞，0]．
1．为了得到函数y＝2sin(＋)，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
解析：y＝2sinxy＝2sin(x＋)y＝2sin(x＋)．
答案：③
2．函数y＝2sin(＋)的周期、振幅依次是________．
答案：4π，2
3．已知函数y＝f(x)，f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为________．
解析：y＝sinxy＝sin(x－)y＝sin(2x－)．
答案：y＝sin(2x－)
4．函数y＝－2sin(4x＋)的图象与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．
解析：由4x＋＝kπ(k∈Z)得x＝－(k∈Z)，易得k＝1时，x＝满足题意．
答案：(，0)
一、填空题
1．一正弦曲线的一个最高点为(，3)，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x轴于点(－，0)，最低点的纵坐标为－3，则这一正弦曲线的解析式为________．
解析：由T＝4×[－(－)]＝2，求得ω＝π，再利用当x＝时，πx＋φ＝，求出φ.
答案：y＝3sin(πx＋)
2. 已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ≤)，且此函数的图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
解析：由图可知＝π－π＝，∴T＝π.又＝T，∴ω＝2.又图象过(，0)，此点可看作“五点法”中函数的第三个点，故有2×＋φ＝π.∴φ＝.
∴点(ω，φ)的坐标是(2，)．
答案：(2，)
3．要得到y＝sin(＋)的图象，需将函数y＝sin至少向左平移________个单位长度．
解析：将y＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝sin(＋)的图象．令＝2kπ＋，
∴φ＝4kπ＋，k∈Z.
∴当k＝0时，φ＝π是φ的最小正值．
答案：π
4．对于函数f(x)＝2sin(2x＋)，给出下列结论：
①图象关于原点中心对称；
②图象关于直线x＝对称；
③图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到；
④图象向左平移个单位长度，即得到函数f(x)＝2cos2x的图象．
其中正确结论的序号为________．
答案：②④
5．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，则ω＝________，φ＝________.
解析：∵ω＝＝＝2，又f(0)＝，得sinφ＝，∴φ＝.
答案：2
6．先将y＝sinx的图象向右平移个单位，再变化各个点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω＞0)的图象，则ω＝________，φ＝________.
解析：利用函数周期与表达式中x的系数的关系及函数图象平移规律求解．因为函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为，所以ω＝3.又因为将函数y＝sinx的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin(x－)的图象，故可判断函数y＝sin(ωx＋φ)中φ＝－.
答案：3 －
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)的值等于________．
解析：由图可知该函数的周期为8，得ω＝，A＝2，代入点(2,2)，得sin(×2＋φ)＝1，＋φ＝，得φ＝0，∴y＝2sinx.根据对称性有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，从而f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝251×[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝251×0＋2sin＋2sin＋2sinπ＝2(＋1)．
答案：2(＋1)
8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1(ω＞0，|φ|＜π)对于任意x∈R满足f(x)＝f(－x)和f(x)＝f(2－x)，在区间[0,1]上，函数f(x)单调递增，则有ω＝________，φ＝________.
解析：因为f(x)为偶函数且在[0,1]上是增函数，所以当x＝0时，f(x)min＝－3，所以sinφ＝－1，所以φ＝－.又因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的周期为2，所以ω＝＝π.
答案：π －
二、解答题
9．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(，)，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π，0)，若φ∈(－，)，
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
解：(1)∵曲线上的一个最高点的坐标为(，)，
∴A＝.
又此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(，0)．
∴＝－，即T＝π，∴ω＝＝2.
取点(，)作为“五点法”中函数的第二个点．
∴2×＋φ＝，∴φ＝.
且∈(－，)．
故这条曲线的函数表达式为：
y＝sin(2x＋)．
(2)列出x、y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
作图如下：
10．已知函数y＝sin(2x＋)＋，x∈R.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(3)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
解：(1)振幅A＝，周期T＝＝π，初相φ＝；
(2)当sin(2x＋)＝1，即2x＋＝＋2kπ，k∈Z时，取最大值＋＝.此时x＝kπ＋，k∈Z.
(3)把y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin(x＋)的图象，然后再把y＝sin(x＋)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin(2x＋)的图象，然后再把y＝sin(2x＋)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到y＝sin(2x＋)的图象，最后把y＝sin(2x＋)的图象向上平移个单位长度，就得到y＝sin(2x＋)＋的图象．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图象向x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．
解：(1)由已知，易得A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，∴ω＝.把(0,1)代入解析式f(x)＝2sin(＋φ)，得2sinφ＝1.
又|φ|＜，解得φ＝.
∴f(x)＝2sin(＋)为所求．
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin(x＋)，再平移得g(x)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x－)．
列表：
x
x－
0
π
2π
2sin(x－)
0
2
0
－2
0
图象如图：
1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
解析：由T＝＝＝，又f＝＝＝80，故每分钟心跳次数为80.
答案：80
2. 若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(右图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为________．
解析：由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．
答案：29.5天
3．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是______．
①该质点的振动周期为0.7 s；
②该质点的振幅为5 cm；
③该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大；
④该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零．
答案：②
4．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝ s时，电流I为________．
解析：t＝ s时，I＝5sin(100π×＋)＝(A)．
答案： A
一、填空题
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，甲点的位置将移至________．
答案：丙
2．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经过长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成是函数y＝k＋Asin(ωx＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的是________．
①y＝12＋3sint，t∈[0,24]
②y＝12＋3sin(t＋π)，t∈[0,24]
③y＝12＋3sint，t∈[0,24]
④y＝12＋3sin(t＋)，t∈[0,24]
解析：对表中数据作近似处理，得下表：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15
12
9
12
15
12
9
12
可见k＝12，A＝3，且T＝12，∴ω＝.又t＝3时，y＝15，代入检验即可．
答案：①
3．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
解析：将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，∴ω＝＝，下面确定φ.将(6,0)看成函数第一特殊点，则×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴ 函数关系式为：y＝6sin(x－π)＝－6sinx.
答案：y＝－6sinx
4．一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________．
解析：T＝＝.
答案：
5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析：将解析式写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.
答案：10sin
6．用作调频无线电信号的载波以y＝Asin(1.83×108πt)(A＞0)为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为________，频率为________．
解析：此载波的周期为T＝≈1.09×10－8(s)，频率为f＝＝9.15×107Hz.
答案：1.09×10－8s 9.15×107Hz
7．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度为0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度y(单位：星等)与时间t(单位：天)之间的关系的一个三角函数为________．
解析：由周期为10天求得ω＝.
答案：y＝0.2sin(t＋φ)＋3.8
8．振动量y＝sin(ωx＋φ)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________．
解析：因为y＝sin(ωx＋φ)的频率为，所以其周期T＝，所以ω＝＝3π.所以它的相位为3πx－π.
答案：3πx－π
二、解答题
9．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元.9月份价格最低为5千元，根据以上条件求f(x)的解析式．
解：作出函数简图如下：
由题意知：A＝2000，B＝7000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝，将(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，故f(x)＝2000sinx＋7000(1≤x≤12)，x∈N＋.
10．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
解：(1)当t＝0时，E＝110(伏)，即开始时的电压为110伏．
(2)T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为220伏．
当100πt＋＝，即t＝秒时第一次取得这个最大值．
11. 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
解： (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
∴h＝5.6＋4.8sin(θ－)．
(2)点A在圆上转动的角速度是，
故t秒转过的弧度数为t，
∴h＝5.6＋4.8sin(t－)，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin(t－)＝1得t－＝，∴t＝30，
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．角α，β的终边关于x轴对称，若α＝30°，则β＝________.
解析：画出图形可知β与－α的终边相同，故β＝－30°＋k·360°(k∈Z)．
答案：－30°＋k·360°(k∈Z)
2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，则解得或∴α＝4或α＝1.
答案：1或4
3．已知sinθ＝，cosθ＝，其中＜θ＜π，则tanθ的值为________．
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴()2＋()2＝1，解得m＝0，或m＝8.又＜θ＜π，∴sinθ＞0.当m＝0时，sinθ＝－，不符合题意；当m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－.
∴tanθ＝－.
答案：－
4．已知P(－，m)为角α的终边上的一点，且sinα＝，则m的值为________．
解析：r＝|OP|＝，∴sinα＝＝＝，解得m＝±.∵sinα＝＞0，∴m＞0，∴m＝.
答案：
5．已知tan(3π－α)＝2，则的值为________．
解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tanα＝－2，∴原式＝＝＝＝.
答案：
6．已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值为________．
解析：∵cos31°＝m，∴sin31°＝，∵sin239°tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝.
答案：
7．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象中相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f()的值是________．
解析：由题意知T＝，所以ω＝4，所以f(x)＝tan4x，所以f()＝tanπ＝0.
答案：0
8．函数f(x)＝()|cosx|在[－π，π]上的单调递减区间为________．
解析：只需求出y＝|cosx|在[－π，π]上的单调递增区间．
答案：[－，0]和[，π]
9．(2010年高考湖北卷改编)函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为________．
解析：因为T＝，ω＝，所以T＝＝4π.
答案：4π
10．(2010年高考重庆卷改编)下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是________(填序号)．
①y＝sin(2x＋)； ②y＝cos(2x＋)；
③y＝sin(x＋); ④y＝cos(x＋)．
解析：因为函数的周期为π，所以排除③④，又因为y＝cos(2x＋)＝－sin2x在[，]上为增函数，所以②不符合，只有函数y＝sin(2x＋)的周期为π，且在[，]上为减函数．
答案：①
11．(2010年高考四川卷改编)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为________．
解析：y＝sinxy＝sin(x－)y＝sin(x－)．
答案：y＝sin(x－)
12．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
解析：由函数的图象向右平移π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，∴·k＝π(k∈Z)，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.
答案：
13．设函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象的最大值是3，对称轴方程是x＝，要使图象的解析式为y＝3sin(2x＋)，还应给出一个条件是________．
解析：当T＝π时，ω＝2，y＝3sin(2x＋φ)，当x＝时，
y＝3sin(2×＋φ)＝3，φ＋＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z.∵|φ|＜π＋，∴φ＝π＋.
答案：T＝π
14．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1、x2，若|x1－x2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.
解析：由已知T＝π，∴ω＝2，θ＝kπ＋(k∈Z)．
答案：2
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知角x的终边过点P(1，)．
(1)求sin(π－x)－sin(＋x)的值；
(2)写出角x的集合S.
解：(1)∵角x的终边过点P(1，)，∴可设x＝1，y＝，则r＝2，∴sinx＝，cosx＝，∴sin(π－x)－sin(＋x)＝sinx－cosx＝.
(2)由(1)知sinx＝，∴x＝2kπ＋，
∴S＝{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
16．(本小题满分14分)已知α是第三象限角，且f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵cos(α－)＝cos(－3·＋α)＝－sinα＝，
∴sinα＝－，cosα＝－ ＝－，
∴f(α)＝.
17．(本小题满分14分)已知f(x)＝sin(2x＋)＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z) 得到kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所求单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)变换如下：
y＝sin2xy＝sin[2(x＋)]
y＝sin(2x＋)＋
18．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝1＋sin(2x－)，
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[－，]上的图象．
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，当sin(2x－)＝1时，f(x)取得最大值1＋.
(2)由(1)知：
x
－
－
y
1
1－
1
1＋
1
故函数y＝f(x)在区间[－，]上的图象如图所示．
19．(本小题满分16分)(2011年杭州高一检测)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一段图象过点(0,1)，如图所示．
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的取值．
解：(1)由图知，T＝π，于是ω＝＝2.将y＝Asin2x的图象向左平移，得y＝Asin(2x＋φ) 的图象，于是φ＝2·＝.将(0,1)代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2.故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]＝－2cos(2x＋)，当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z) 时，ymax＝2.此时x的取值为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，且ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示．
(1)求A，ω，φ的值；
(2)若方程f(x)＝a在(0，)上有两个不同的实根，试求a的取值范围．
解：(1) 由图象易知A＝1，函数f(x)的周期为T＝4×(－)＝2π，∴ω＝1，
∵π－＝，
∴ 此函数的图象是由y＝sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度得到的，故φ＝.
(2)由(1)知函数解析式为f(x)＝sin(x＋)．
∴方程f(x)＝a在(0，)上有两个不同的实根等价于y＝f(x)，x∈(0，π)与y＝a有两个交点．
当x＝0时，f(x)＝，
∴ a∈(，1)时，y＝a与y＝f(x)有两个交点；
当x＝π时，f(x)＝0，
∴a∈(－1,0)时，y＝a与y＝f(x)也有两个交点，
故所求a∈(，1)∪(－1,0)．
