1．下列各量是向量的是________．
①质量；②距离；③速度；④电流强度．
解析：①②④均无方向．
答案：③
2．下列结论中，正确的是________．(只填序号)
①零向量只有大小而没有方向；
②若a，b都是单位向量，则a＝b；
③对任一向量a，|a|＞0总是成立的；
④||＝||.
解析：对于①，零向量有方向且方向是任意的，故①不正确．对于②，有|a|＝|b|＝1，但a与b的方向未必一致，故②不正确．对于③，∵|0|0，∴对任一向量a，|a|≥0总成立，故③不正确．对于④，||，||分别与线段AB，BA的长度相等，且AB＝BA，故④正确．
答案：④
3．下列结论中，不正确的是________．(只填序号)
①向量，共线与向量∥的意义是相同的；
②若＝，则∥；
③若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量＝，则向量＝.
解析：由共线向量、相等向量的定义知①②正确．对于④，当＝时，与的模相等且方向相同，这时与的模也相等且方向相同，故④正确．对于③，由|a|＝|b|不能得到向量a与b是同向的，故③不正确．
答案：③
4．如图所示，在?ABCD中，与a共线的向量有________．
答案：、、、
一、填空题
1. 如图所示，D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量为________．
解析：大小相等、方向相同的向量才是相等向量．
答案：与
2．有两个人，同时从同一地点按相反的方向沿直线行走，若他们的速度相同，在某一时刻这两个人的位移分别为向量a，b，则这两个向量的模________，方向________，它们的关系是________．
解析：两人从同一地点按相反的方向沿直线行走，说明位移方向相反，又他们的速度相同，故在某一时刻两个人的位移向量具有相等的模，再由定义知这两个向量互为相反向量．
答案：相等 相反 互为相反向量
3．若a0是a的单位向量，则与a0的长度________．
解析：依题意，a是非零向量，是将a单位化．
答案：相等
4.
如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，且AB＝4，AD＝2，设＝a，＝b.图中的七个向量，，，，，，中：
(1)与a相等的向量有________；
(2)与b相等的向量有________；
(3)与a平行的向量有________；
(4)与b共线的向量有________；
(5)与b长度相等的向量有________．
答案：(1) (2) (3)， (4)，， (5)，，，，，
5.
如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)图中所标的向量中，与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
解析：(1)四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，根据平行四边形的性质及向量相等的定义，可知＝，＝，∴＝.(2)由(1)中的分析可知＝＝.又E，D，C三点在同一条直线上，∴||＝||＋||＝2||＝6.
答案：(1)， (2)6
6．在四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为________．
解析：在四边形ABCD中，∵＝2，∴∥，||＝2||，∴对边AB与CD平行且不相等，由梯形的定义知四边形ABCD为梯形．
答案：梯形
7. 设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有表示正确的序号为________．
解析：正方形的对角线互相平分，∴＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
答案：①②③
8．下列说法中正确的有________．
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量．
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
④坐标平面上的x轴和y轴都是向量．
答案：①③
二、解答题
9. 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与方向相同的向量；
(3)写出与，的模相等的向量；
(4)写出与相等的向量．
解：等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC，
(1)图中与共线的向量有，，，.
(2)图中与方向相同的向量有，，，.
(3)图中与的模相等的向量为，与的模相等的向量为.
(4)图中与相等的向量为.
10．一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，最后从C点向南偏东60°飞行50 km到达D点，求飞机从D点飞回A点的位移．
解：
如图所示，由||＝200 km，＝100 km，
知C在A的正北100 km处．
又由||＝50 km，∠ACD＝60°，知∠CDA＝90°，
所以∠DAC＝30°，所以||＝50 km.
故的方向为南偏西30°，长度为50 km.
11. 如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为起点与终点的向量中．
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解：由题意可知，(1)与平行的向量有：，，；
(2)与模相等的向量有：，，，，，，，，.
1．若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，则|a＋b|的取值范围是________．
解析：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
答案：[1,7]
2．当a与b共线且方向相反时，若|a|＝|b|，则|a＋b|＝________.
解析：a与b反向?|a＋b|＝||a|－|b||.
答案：0
3. 根据图示填空．
(1)a＋d＝________；
(2)c＋b＝________；
(3)e＋c＋b＝________；
(4)c＋f＋b＝________.
答案：(1) (2) (3) (4)
4．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为________．
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
解析：a＝0，则①③⑤正确．
答案：①③⑤
一、填空题
1．下列命题正确的是________．
①如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；
③设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b；
④若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0.
解析：a＋b＝0时，①不正确；若＋＋＝0时，则A、B、C三点共线或A、B、C为三角形的三个顶点，故②不正确；若a与b不共线，则a＋b与a不共线，故③正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线且|a|＞|b|)，故④不正确．
答案：③
2．当非零不共线向量a，b满足________时，a＋b平分a与b的夹角．
解析：若|a|＝|b|，则以a，b为邻边作的平行四边形为菱形，故a＋b平分a与b的夹角．
答案：|a|＝|b|
3. 如图，在△AOM中，＝________，在△MOB中，＝________，在△AOB中，＝________.
答案：＋ ＋ ＋
4．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是________．
①＝； ②＋＝；
③＝＋； ④＋＝0.
解析：对于①，∵AB綊DC，∴＝，即①正确；对于②，由向量加法的平行四边形法则可判断②正确；对于④，∵与方向相反，且模相等，∴＋＝0，即④正确；对于③，＝＋，即③不正确．
答案：③
5．已知O是△ABC内的一点，且＋＋＝0，则O是△ABC的________．
解析：＋＋＝0，∵＋是以、为邻边作平行四边形的对角线，且过AB的中点，设为D，则＋＝2，∴2＋＝0，∵D为AB的中点，同理设E、F为AC，BC中点，则满足条件的点O为△ABC三边中线交点，故为重心．
答案：重心
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.
解析：＋＝，在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，∴BD＝1.
答案：1
7．已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中，正确的有________．
①|＋|＝||；②|＋|＝||；③|＋|＝||；④||2＋||2＝||2.
解析：∵∠A＝90°，由勾股定理可知||2＋||2＝||2，∴④正确．以和的邻边作?ABDC，可知＋＝，||＝||，∴|＋|＝||，∴①正确．∵|＋|＝||，与为相反向量，模相等，∴②正确．同理，③正确．
答案：①②③④
8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是所在边的中点，点O是对角线的交点，则下列各式中正确的为________．
①＋＝；
②＋＝＋；
③＋＝＋；
④＋＝.
解析：①由向量加法的平行四边形法则，知＋＝.又因为＝，所以＋＝正确；
②因为＝，所以＋＝＋＝.
又因为＝，所以＋＝＋＝.
而≠，所以＋＝＋不正确．
③因为＝，所以＋＝＋＝.
又因为＝，所以＋＝＋＝.
而＝，所以＋＝＋正确．
④因为＝，所以＋＝＋＝，而＝≠，所以＋＝不正确．
答案：①③
二、解答题
9. 如图所示，已知向量a，b，c，试用三角形法则作a＋b＋c.
解：如图所示，作＝a，＝b，则＝a＋b.作＝c，则＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c，即为所作．
10. 如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面任意一点．求证：＋＋＋＝4.
证明：＝＋，①
＝＋，②
＝＋，③
＝＋，④
因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，
所以＝＝－，＝＝－，
所以①＋②＋③＋④，得
4＝＋＋＋＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＋＋0＋0，
所以＋＋＋＝4.
11．已知作用在同一质点O上的三个力F，F1与F2处于平衡位置，其中两个力F1与F2所在直线的夹角为90°，且它们的合力F′与F1所在直线的夹角为60°，若|F|＝10 N，求|F1|与|F2|的大小．
解：
由题意可知F′与F互为相反向量，如图所示，于是由|F|＝10 N，得|F′|＝10 N．因为F′与F1所在直线的夹角为60°，所以|F1|＝|F′|＝5 N，又∵F1与F2所在直线的夹角为90°，∴F′与F2所在直线的夹角为30°，∴|F2|＝|F′|＝5 N.
1．在?ABCD中，＝a，＝b，则－＝__________.
解析：－＝＋＝＝a.
答案：a
2．化简(＋－)＋(B－＋)－＝________.
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＝0.
答案：0
3．设向量a和b的长度分别为6和3，则|a－b|的取值范围是__________．
解析：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
答案：[3,9]
4．在△ABC中，＝a，＝b，则等于__________．
答案：b－a
一、填空题
1．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中a＝，b＝，c＝，则等于__________．
解析：由正六边形性质知：＝＝＝b＝a＋c.
答案：a＋c
2．已知三个不全共线的非零向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，则a，b，c首尾相连可构成的图形形状是__________．
解析：如图，作向量＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，又a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴与c是相反向量，即a，b，c首尾相连可构成一个△ABC.
答案：三角形
3．已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝__________.
答案：2
4．已知a、b为非零向量，则下列命题中真命题有________．
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同：
②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；
③若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模；
④若＝|a－b|，则a与b方向相同．
答案：①②④
5．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形的形状是__________．
解析：∵a＋c＝b＋d，∴＋＝＋，∴－＝－，∴＝，四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
6．已知a，b为非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为__________．
解析：a，b，a－b构成等边三角形，a＋b平分a，b的夹角，
∴a与a＋b的夹角为30°.
答案：30°
7．给出下列运算：
①－＋＝0；
②－＋＝0；
③－(－)－＝；
④(－)－(－)＝.
其中，所有正确运算的序号是__________．
答案：①②③
8．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________，|a－b|＝__________.
解析：如图，在矩形OACB中，＋＝，即|a＋b|＝||＝＝＝13.同理|a－b|＝13.
答案：13 13
二、解答题
9．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
证明：法一：∵b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
法二：∵c－a＝－＝－＝，＝＋＝－b，∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
10．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
解：由已知得||＝||，以、为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图，且＝a＋b，＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
|a＋b|＝||＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
11．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
解：因为－＋－＝＋，－＝＝－，又|－|＝|－＋－|，所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形．所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
1．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题：
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.
其中正确的命题是__________．
解析：若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确．
答案：①②④
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝__________.
解析：由＝2知＝.又∵＝b－c，∴＝(b－c)，∴＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：b＋c
3．若|a|＝3，b与a的方向相反，且|b|＝5，则a＝________b.
解析：b与a方向相反，设a＝λb(λ＜0)，所以λ＝－＝－，所以a＝－b.
答案：－
4．若2(y－a)－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝__________.
答案：a－b＋c
一、填空题
1．若O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝__________.
解析：结合题目画出图形如图
＝＝(－)
＝(3e2－2e1)＝e2－e1.
答案：e2－e1
2．点C在线段AB上，且＝，则＝__________，＝__________.
解析：∵＝，∴点C为线段AB的5等分点，
∴＝，＝－.
答案： －
3．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．
解析：由原式可得解得∴x－y＝3.
答案：3
4．若G是△ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则＋＋＝__________.
解析：如图所示，令GB的中点为P，连结DP、PE，得?GDPE.＝＋＝＝－，则＋＋＝0.
答案：0
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝__________.
解析：由于＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.
答案：
6．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则＋＝__________.
解析：∵＋＝2，∴P为线段AC的中点，∴＝－，∴＋＝0.
答案：0
7．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于__________．
解析：如图所示，∠1＝∠2，
∴＝＝，
∴＝＝(－)＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案：a＋b
8．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
解析：通过观察，＝＋＝2a＋4b，与a＋2b有2倍关系，即2＝.符合向量共线定理，∴A，B，D三点共线．故填A，B，D.
答案：A，B，D
二、解答题
9．设两个向量a与b不共线．
(1)试证：起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在同一条直线上(a≠b)；
(2)求实数k，使得ka＋b与2a＋kb共线．
解：(1)证明：设＝a，＝b，＝3a－2b.因为＝－＝(3a－2b)－a＝2(a－b)，＝－＝b－a，所以＝－2，故，共线．又，有公共起点A，所以A，B，C在同一直线上．
(2)因为ka＋b与2a＋kb共线，
所以设ka＋b＝λ(2a＋kb)，λ∈R，即ka＋b＝2λa＋kλb，
又a与b不共线，所以所以k＝±.
10．如图所示，E，F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，已知＝a，＝b，＝c，＝d，求向量.
解：法一：连结AF.
∵＝＋＝a＋b，E是AC的中点，
∴＝＝(a＋b)．
又∵＝＋＝b＋c，F是BD的中点，
∴＝＝(b＋c)．
∴＝＋＝a＋(b＋c)，
∴＝－＝a＋(b＋c)－(a＋b)＝(a＋c)．
法二：连结AF.
∵＝＋＝a＋b，E是AC的中点，
∴＝＝(a＋b)．
∵＝＋＝d＋a，F是DB的中点，
∴＝＝(d＋a)．
∴＝－＝(d＋a)－d＝(a－d)，
∴＝－＝(a－d)－(a＋b)＝－(b＋d)．
11．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
解：b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，∴存在惟一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，∴存在惟一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线．
1．若O是?ABCD的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是__________．
①与；②与；③与；④与.
解析：只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底，与是有公共点的不共线向量，与也是有公共点的不共线向量．
答案：①③
2．若O是?ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝__________.
解析：3e2－2e1＝(6e2－4e1)＝(－)，结合图形可知，上式＝(A－)＝＝.
答案：
3．已知e1，e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是__________．
①e1和e1＋e2 ②e1－2e2和e2－2e1
③e1－2e2和4e2－2e1 ④e1＋e2和e1－e2
解析：因为4e1－2e1＝－2(e1－2e2)，
所以e1－2e2与4e2－2e1共线．
答案：③
4．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是__________．
解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内所有向量的基底，基底本身也可以用这组基底表示．故①错，②对；由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．
答案：②③
一、填空题
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是__________．
解析：∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
答案：共线
2．设e1、e2是平面的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋______b.
解析：由方程组：解得.所以e1＋e2＝(a－b)＋(a＋b)＝a＋(－)b.
答案： －
3．已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为__________．
解析：∵＝＋，＝＋＝＋＝＋＝.∵＝b－a，∴＝b－a，∴＝a＋＝a＋b.
答案：a＋b
4．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则a写成λ1b＋λ2c的形式是__________．
解析：由题可设a＝xb＋yc，即－e1＋3e2＝x(4e1＋2e2)＋y(－3e1＋12e2)，∴ ∴
答案：a＝－b＋c
5．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，OB＝b，则可用a，b表示为________．
解析：由2＋＝0可知，A为线段CB的中点，则OA＝(＋)，＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
6．设向量e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的充要条件是λ＝__________.
解析：依题意a与b共线，应满足a＝mb(m∈R)，即e1＋λe2＝m(－e1＋2e2)，又e1，e2不共线，∴
解得λ＝－2.
答案：－2
7．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝，＝2，＝2，则2＋3＋3＝__________.
解析：由＝，易知＝(＋)，所以2＝＋，再由＝2，＝2，可知3＝，3＝，所以2＋3＋3＝0.
答案：0
8．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1__________，a与e2__________(填“共线”或“不共线”)．
解析：若a与e1共线，则存在实数λ使a＝λe1＝λ1e1＋λ2e2，则e1与e2共线，与e1，e2不共线矛盾．
答案：不共线 不共线
二、解答题
9．平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.
(1)以b，d为基底，表示；
(2)以m、n为基底，表示.
解：如图所示．
(1)＝－
＝(＋)－(＋)
＝－
＝b－d.
(2)m＝＋＝d＋，①
n＝＋＝＋d，
所以2n＝2＋d，②
由①②消去d，得＝n－m.
10．如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面上任意一点，求证：若存在实数p，q，r使得p＋q＋r＝0，且p＋q＋r＝0，则必有p＝q＝r＝0.
证明：由题意可得r＝－(p＋q)．
又∵p＋q＋r＝0，
∴p＋q－(p＋q)＝0，
∴p(－OC)－q(－)＝0，
即p－q＝0.
∴p＋q＝00·＋0·.
由平面向量基本定理可知，其分解是惟一的，
∴p＝0，q＝0，
∴p＋q＝0，∴r＝0.
故p＝q＝r＝0.
11．如图所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：＝4.
证明：记＝e1，＝e2，所以＝－3e2，＝－e1，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－3λe2－λe1；＝μ＝2μe1＋μe2，
所以＝＋＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1
＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又＝＋＝2e1＋3e2，
所以解之得所以＝，
所以AP∶PM＝4∶1，即＝4.
1．若向量a＝(1，－2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是__________．
解析：设始点坐标为(x，y)，则(0－x,0－y)＝(1，－2)，则
答案：(－1,2)
2．已知点A(1，－3)和向量a＝(3,4)，若＝2a，则点B的坐标为__________．
解析：＝2a＝2(3,4)＝(6,8)，所以＝＋＝(1，－3)＋(6,8)＝(7,5)．
答案：(7,5)
3．已知a＝(－3,4)，则a的相反向量的坐标为__________．
答案：(3，－4)
4．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝__________.
解析：a＝，b＝，
故a－b＝(－1,2)．
答案：(－1,2)
一、填空题
1．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.∴λ＝2.
答案：2
2．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2的形式为__________．
解析：设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)
＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴解得
∴a＝e1＋e2.
答案：a＝e1＋e2
3．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为__________．
解析：不妨设5秒后移动到点P′.据题意有：＝tv＝t(4，－3)＝(4t，－3t)．由于点P的运动方向与v同向且速度为每秒|v|＝5个单位，故5秒运动25个单位，即：|PP′|＝25，∴25t2＝252，∴t＝±5，
又∵与v同向，∴t＝5，
∴＝5(4，－3)＝(20，－15)，
∴P′(10，－5)．
答案：(10，－5)
4．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝__________.
解析：＝(4－k，－7)，＝(－2k，－2)，又A，B，C三点共线，所以∥.所以(－2)×(4－k)－(－7)×(－2k)＝0，所以k＝－.
答案：－
5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋等于__________．
解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，∵∥，∴(a－2)(b－2)－4＝0，∴ab－2(a＋b)＝0，该等式两边同除以ab，可得＝0，∴1－2(＋)＝0，
∴＋＝.
答案：
6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝__________.
解析：因为a∥b，所以1∶(－2)＝2∶m，所以m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
答案：(－4，－8)
7．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．
解析：因为a＝(1，m)，b＝(1－n,1＋n)，若a＝b，则，∴.得P∩Q＝{(1,1)}．
答案：{(1,1)}
8．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于__________．
解析：由(1,2)?m＝(5,0)，可得解得∴(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
答案：(2,0)
二、解答题
9．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限内？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解：(1)由已知得：＝(1,2)，＝(3,3)，则＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，只需2＋3t＝0，则t＝－；若P在y轴上，只需1＋3t＝0，则t＝－；若P在第二象限内，只需1＋3t＜0，且2＋3t＞0，解得－＜t＜－.
(2)＝(1,2)，＝(4,5)，＝(1＋3t,2＋3t)，则＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，只需＝，即此方程组无解，故四边形OABP不能组成平行四边形．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解：(1)设B(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
∴解得
∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴M.
(2)∵＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，＝λ，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
∴解得
11．已知三点A，B，C的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝.求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由题意，得＝(1－(－1)，2－0)＝(2,2)，＝(3－(－1)，－1－0)＝(4，－1)，＝(1－3,2－(－1))＝(－2,3)．因为＝＝，所以(x1－(－1)，y1－0)＝，所以得点E坐标为.因为＝＝，所以(x2－3，y2－(－1))＝，所以得点F坐标为，所以＝＝.
因为4×－×(－1)＝0，所以∥.
1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：
①a·(b－c)＝a·b－a·c；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.
其中正确的有__________个．
解析：由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2知③不正确；对于④，∵a·b＝|a||b|·cosθ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cosθ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确．
答案：1
2．已知a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b夹角为__________．
解析：∵cosθ＝＝＝，∴θ＝.
答案：
3．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝______.
解析：|a＋b|＝＝
＝＝.
答案：
4．在边长为的等边三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.
解析：a·b＋b·c＋c·a＝××cos120°×3＝－3.
答案：－3
一、填空题
1．已知|a|＝3，|b|＝4，a、b的夹角为120°，则a·b＝________.
解析：a·b＝|a||b|cos＝120°＝3×4×cos120°＝－6.
答案：－6
2．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为__________．
解析：设向量a与b的夹角为θ，由题意知(a＋b)·a＝0，
∴a2＋a·b＝0，∴|a|2＋|a||b|cosθ＝0，∴1＋2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
答案：120°
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝__________.
解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．又∵a⊥b，∴a·b＝0.∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5.
答案：5
4．如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)
①·； ②·；
③·； ④·.
解析：利用向量的数量积的定义逐项计算．根据正六边形的几何性质，得·＝0，·＜0，·＝||·||·cos＝||2，·＝||·2||·cos＝|P1P2|2，经比较可知·最大．
答案：①
5．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则＝__________.
解析：∵(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝0，
∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴＝2.
答案：2
6．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的__________．
解析：∵·＝·＝·，∴·(－)＝0?·＝0?OB⊥AC.同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，故O为△ABC的垂心．
答案：垂心
7．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC的形状为__________．
解析：(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝__________.
解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
答案：－8或5
二、解答题
9．已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，
又|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝|a|2.
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝|a|.
设a与a＋b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，θ∈[0°，180°]．
∴θ＝30°.
10．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＋＋，求·MB.
解：如图所示．
·＝(－)·(－)＝
·
＝·
＝·－2－2＋·
＝·－2－2
＝×(2)2×－(2)2－(3)2
＝－2.
11．四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)，
∴(a＋b)2＝(c＋d)2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2，
由于a·b＝c·d，
∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2. ①
同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2. ②
由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，
即四边形ABCD的两组对边分别相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，
而由平行四边形ABCD可得a＝－c，
代入上式得b·(2a)＝0，
即a·b＝0，
∴a⊥b也即AB⊥BC，
综上所述，四边形ABCD是矩形．
1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝__________.
解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.
答案：4
2．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为________．
解析：∵cosθ＝＝＝－.∴θ＝.
答案：
3．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是__________．
解析：b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0?λ＝－3.
答案：－3
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于__________．
解析：2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，∴n2＝3，|a|＝2.
答案：2
一、填空题
1．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝______.
解析：设b＝(m，n)，则由a·b＝5得4m－3n＝5， ①
又因为|b|＝1，所以m2＋n2＝1， ②
由①②可得(5n＋3)2＝0，∴n＝－，
∴ ∴b＝.
答案：
2．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝i－2j，b＝i＋mj，给出下列命题：①若a与b的夹角为锐角，则m＜；②当且仅当m＝时，a与b互相垂直；③a与b不可能是方向相反的向量；④若|a|＝|b|，则m＝－2.
其中正确命题的序号为__________．(把所有正确命题的序号全填上)
答案：②③
3．设向量a＝(1,2)，b＝(x, 1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于__________．
解析：a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，∵a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x＝，a·b＝(1,2)·＝1×＋2×1＝.
答案：
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角是__________．
解析：设c＝(x，y)，则(a＋b)·c＝(－1，－2)·(x，y)＝－x－2y＝，又|c|＝，且a·c＝x＋2y＝|a||c|·cosα，故cosα＝－，α＝120°.
答案：120°
5．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝__________.
解析：a与b共线且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)，设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，得由|b|＝3，得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b＝(－3,6)．
答案：(－3,6)
6．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠A＝90°，则的坐标为__________．
解析：设＝(x，y)，
则有||＝||＝＝，①
又由⊥，得5x＋2y＝0，②
由①②联立方程组，解得x＝2，y＝－5或x＝－2，y＝5.
答案：(－2,5)或(2，－5)
7．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使·有最小值，则点P的坐标是__________．
解析：设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).·＝(x－2)(x－4)＋(－2)(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1，∴点P的坐标为(3,0)．
答案：(3,0)
8．直角坐标平面内有三点A(1,2)、B(3，－2)、C(9,7)，若E、F为线段BC的三等分点，则·＝__________.
解析：∵＝(6,9)，
∴＝＝(2,3)，＝＝(4,6)．
又＝(2，－4)，
∴＝＋＝(4，－1)，＝＋＝(6,2)，
∴·＝4×6＋(－1)×2＝22.
答案：22
二、解答题
9．平面内三个点A，B，C在一条直线上，且＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值．
解：∵A，B，C三点在同一直线上，
∴∥.
∵＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，
∴＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(n＋2)·(－1－m)＝0，
即mn－5m＋n＋9＝0.①
∵⊥，∴(－2)×n＋m×1＝0，即m－2n＝0.②
联立①②解得或
10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时：
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们同向还是反向？
解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在惟一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得：
解得
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
因为λ＜0，所以－a＋b与a－3b反向．
11．已知c＝ma＋nb＝(－2，2)，a与c垂直，b与c的夹角为120°，且b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
解：∵a与c垂直，∴a·c＝0.
又∵c＝ma＋nb，∴c·c＝ma·c＋nb·c，
∴12＋4＝－4n，∴n＝－4.
∵b·c＝|b||c|cos120°，
∴－4＝|b|×4×，∴|b|＝2.
∴a·c＝ma2－4a·b，|a|＝2，∴a·b＝2m.
又b·c＝m(a·b)－4b2，
∴－4＝2m2－16，∴m2＝6，∴m＝±.
当m＝时，a·b＝2.
∴cosθ＝＝＝，∴θ＝.
当m＝－时，a·b＝－2.
∴cosθ＝－，∴θ＝.
因此m＝，n＝－4时，θ＝；
m＝－，n＝－4时，θ＝.
[学生用书 P54]
1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝__________.
解析：∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝＝5.
答案：5
2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线为__________．
解析：设P(x，y)为直线上一点，则⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.
答案：2x＋y－7＝0
3．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是______．
解析：F＝(8,0)，故终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)．
答案：(9,1)
4．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形的形状为__________．
解析：∵＋＝0，∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵·＝0，∴⊥，
∴对角线垂直，∴四边形为菱形．
答案：菱形
一、填空题
1．甲、乙两人从相反的方向同时拉动一个有绳相缚的地面上的物体，甲、乙所拉着的绳子与水平线分别成30°和60°的角时，物体静止不动，忽略物体与地面间的摩擦力，则甲和乙的手上所承受的力的比是__________．
解析：F甲∶F乙＝cos30°∶cos60°＝∶1.
答案：∶1
2．在?ABCD中，若A，B(2,6)，其两对角线的交点M，则C、D两点的坐标分别为__________．
解析：M为AC，BD的中点，由中点坐标公式可求得C，D(4，－3)．
答案：C，D(4，－3)
3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于__________．
解析：由题意可知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．
答案：(1,2)
4．在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为__________．
解析：由＝＝(1,1)知AB綊DC.
又由＋＝知四边形ABCD为菱形，且AB＝AD＝，
又∵2＝3，
∴∠ABC＝60°，BD＝.
∴∠BAD＝120°.
∴sin∠BAD＝，
∴S菱形ABCD＝××＝.
答案：
5．已知O是△ABC内一点，＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积的比值为__________．
解析：
如图，以OA，OC为邻边作?OCDA，则＝＋.设OD与AC的交点为E，则E为AC中点．已知＋＝－3，则＝－3，所以||＝3||，所以2OE＝3OB，所以S△AOB∶S△AOE＝2∶3，又因为S△AOE＝S△COE，所以S△AOB∶S△AOC＝2∶6＝1∶3.
答案：
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于__________．
解析：因为M是BC的中点，所以＋＝2，所以·(＋)＝－·＝－.
答案：－
7．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________．
解析：∵－＝＝－，＋－2＝(－)＋(－)＝＋，由已知(－)·(＋OC－2)＝0，得(－)·(＋)＝0，即(－)⊥(＋)．根据平行四边形法则和三角形法则，可知以AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线垂直，即以AB、AC为邻边的平行四边形为菱形，所以||＝||，因此△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
8．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC的形状为________．
解析：由于＋所在直线穿过△ABC的内心，则由·＝0知，||＝||.
又＝cosA＝，故A＝，即△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
二、解答题
9．已知两恒力F1＝i＋2j，F2＝4i－5j(其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力对质点所做的功．
(力的单位：N，位移的单位：m)
解：(1)由已知得F1＝(1,2)，F2＝(4，－5)，
设F1，F2对质点所做的功分别为W1，W2.
∵＝(7－20,0－15)＝(－13，－15)，
∴W1＝F1·＝(1,2)·(－13，－15)＝1×(－13)＋2×(－15)＝－43(J)，
W2＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．
(2)F1，F2的合力为F1＋F2＝(1,2)＋(4，－5)＝(5，－3)．
设F1，F2的合力对质点所做的功为W，
则W＝(F＋F2)·＝(5，－3)·(－13，－15)＝5×(－13)＋(－3)×(－15)＝－20(J)．
10．(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线分别为2，4.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)，由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
11．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、Q0处，问当⊥时所需的时间为多少？
解：e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为，如图．
依题意，||＝t，||＝t，
∴＝||＝(t，t)，
＝||＝(3t,2t)，
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，
∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)，
由于⊥，
∴·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，
解得t＝2.
即当⊥时所需的时间为2 s.
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为__________．
解析：由a·b＝0，得3×2＋m×(－1)＝0，∴m＝6.
答案：6
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝__________.
解析：法一：∵a∥b，∴1·m＝2×(－2)，即m＝－4，
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
法二：∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，
∴(1,2)＝λ(－2，m)，即(1,2)＝(－2λ，λm)．
∴解得
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝－b＋3b＝2b＝(－4，－8)．
答案：(－4,8)
3．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则|3a－b|＝__________.
解析：由|3a－b|2＝9a2－6a·b＋b2＝9×42－6×4×6×cos60°＋62＝108，可求得|3a－b|＝6.
答案：6
4．在△ABC中，AB＝AC＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是__________．
解析：由·＝||||cosA＝8，得cosA＝，所以A＝60°，△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形．
5．若A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)，且A，B，C三点共线，则x＝__________.
解析：因为A，B，C三点共线，所以，共线．所以存在实数k，使得＝k.又因为A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)，所以＝(5,10)，＝(6，x＋2)，所以(5,10)＝k(6，x＋2)．所以解得
答案：10
6．已知向量a＝(6,2)与b＝(－3，k)的夹角是钝角，则k的取值范围是__________．
解析：因为a，b的夹角θ是钝角，所以－1＜cosθ＜0.又因为a＝(6,2)，b＝(－3，k)，所以cosθ＝＝，即－1＜＜0.解得k＜9且k≠－1.故所求k的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,9)．
答案：(－∞，－1)∪(－1,9)
7．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝__________.
解析：设向量a的坐标为(m，n)，则a＋b＝(m＋2，n－1)，由题设，得解得或∴a＝(－1,1)或(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
8．如图，半圆O中AB为其直径，C为半圆上任一点，点P为AB的中垂线上任一点，且||＝4，||＝3，则·＝__________.
解析：·＝·(＋)＝·＋·＝(－)·＋·＝(－)·＋0＝(||2－||2)＝(32－42)＝－.
答案：－
9．给出下列命题：
①若a与b为非零向量，且a∥b时，则a－b必与a或b中之一的方向相同；②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e；③a·a·a＝|a|3；④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线，其中假命题有__________．
解析：①命题中a－b有可能为0，其方向是任意的，故错；③命题中三个向量的数量积应为向量，故为假命题．
答案：①②③④
10．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·＝__________.
解析：n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－5＝2.
答案：2
11．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为__________．
解析：由于质点处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝F＝[－(F1＋F2)]2＝F＋2F1·F2＋F＝22＋42＋2×2×4×＝4＋16＋8＝28，所以F3＝2.
答案：2
12．(2010年高考四川卷改编)设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||等于__________．
解析：∵||2＝16，∴||＝4.又|－|＝||＝4，∴|＋|＝4.∵M为BC的中点，∴＝(＋)，∴||＝|＋|＝2.
答案：2
13．(2010年高考辽宁卷改编)平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于__________．
解析：设a、b间的夹角为θ，则S△OAB＝|a||b|·sinθ＝|a||b|·＝|a||b|
＝|a||b|·
＝.
答案：
14．(2010年高考山东卷改编)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是__________．
①若a与b共线，则a⊙b＝0；
②a⊙b＝b⊙a；
③对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)；
④(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2.
解析：若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，即①正确．由于a⊙b＝mq－np，且b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，即②不正确．对于③，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，即③正确．对于④，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，即④正确．故选②.
答案：②
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；
(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.
解：(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
∴k＝－.
(2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，∴
解得或
∴d＝或d＝.
16．(本小题满分14分)＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥.
(1)求x与y的关系式；
(2)若有⊥，求x、y的值及四边形ABCD的面积．
解：(1)∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝(－x－4,2－y)．
又∥，＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.
(2)∵＝＋＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)，
且⊥，∴·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.
又由(1)的结论x＋2y＝0，
∴(6－2y)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
化简得y2－2y－3＝0，
∴y＝3或y＝－1.
当y＝3时，x＝－6.于是有
＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)．
∴||＝4，||＝8.
∴S四边形ABCD＝||·||＝16.
同理y＝－1时，x＝2.
于是有＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)．
∴||＝8，||＝4.
∴S四边形ABCD＝||·||＝16.
即或
S四边形ABCD＝16.
17．(本小题满分14分)如图所示，一艘小船从河岸A处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处，如果小船保持原来的速度逆水向上游与岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min恰好到达正对岸B处，求河的宽度d.
解：由题意作出示意图．图1为船第一次运动速度合成图．
图2为船第二次运动速度合成图．
设河水流速为v水，船速为v船，
由题意，得两次运动时间分别为t1＝，t2＝.
沿河岸方向有BC＝|v水|t1；
由第二次垂直河岸，有|v船|cosα＝|v水|.
将t1＝10 min，t2＝12.5 min，BC＝120 m代入以上各式，解得d＝200 m.
所以河的宽度为200 m.
18．(本小题满分16分)已知a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数k，使ka＋b与a－2b垂直？
解：(1)因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，所以|a＋b|＝|c|，所以(a＋b)2＝|c|2，即a2＋2a·b＋b2＝c2，所以a·b＝＝，所以cosθ＝＝，所以θ＝60°.
(2)若存在实数k，使ka＋b与a－2b垂直，则(ka＋b)·(a－2b)＝ka2－2b2－2ka·b＋a·b＝－6k－＝0，解得k＝－.所以存在实数k使得ka＋b与a－2b垂直．
19．(本小题满分16分)以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，若B＝90°，求点B和的坐标．
解：设B(x，y)，则||＝.
∵B(x，y)，A(5,2)，
∴||＝，
∴＝，
即10x＋4y＝29.①
又∵⊥，
∴·＝0，
又∵＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，
∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2－5x＋y2－2y＝0.②
由①②组成方程组为
解得或
∴B点的坐标为或.
∴＝或＝.
20．(本小题满分16分)如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
解：法一：∵⊥，∴·＝0，
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2·cosθ.
故当cosθ＝1即θ＝0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
法二：以A为坐标原点，两直角边AB、AC分别为x轴、y轴建立直角坐标系，如图．
设||＝c，||＝b，
则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，
且||＝2a，||＝a，
设点P(x，y)，则Q(－x，－y)，
∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，
＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)·(－x)＋y(－y－b)
＝－(x2＋y2)＋cx－by＝－a2＋cx－by.
∵cosθ＝＝，
∴cx－by＝a2·cosθ，
∴·＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即θ＝0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
