用二分法求方程的近似解 教学设计
文档属性
| 名称 | 用二分法求方程的近似解 教学设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 55.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-04-30 16:22:21 | ||
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文档简介
《用二分法求方程的近似解》教学设计
贵阳八中 王茂平
教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。函数与方程是中学数学的重要内容之一,又是初等数学和高等数学衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数与方程实质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系,因而函数与方程思想的教学,既有着不可替代的重要位置,又有着重要的现实意义.而这正是本节课要渗透的重要思想.
本节课是这一小节的第二课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，要求学生根据具体的函数图象能够借助计算器（或计算机）用二分法求函数零点的近似解即相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系.它既是本册书中的重点内容,又是对函数知识的拓展,即体现了函数在解方程中的重要应用,同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础,因此决定了它的重要地位.
教学目标分析
1、知识与技能
（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
（2）根据具体函数的图像,能够借助计算器（或计算机）用二分法求满足一定精度要求的简单方程的近似解.
2过程与方法
（1）通过经历“用二分法求函数零点近似解”的探索过程,初步体会数形结合思想、逼近思想等.
（2）通过设置数学学习环境,让学生了解更多的获取知识的手段和途径.
（3）体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法作准备。
3、情感态度与价值观
（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程,感受精确与近似的相对统一.
（2）在探究解决问题的过程中,培养学生之间的合作态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神.
教学重、难点、疑点
重点：二分法基本思想的理解, 借助计算器用二分法求所给方程近似解的步骤和过程的掌握；
难点：精确度概念的理解；求函数零点近似解一般步骤3、4的理解和概括.
疑点：方程近似解的选取。
学情分析
1、学生学习本课内容的基础
学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点,理解了函数图象与方程的根之间的关系,尤其熟悉二次函数图象及其方程的根,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识,在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法,并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想为学生继续学习算法内容埋下伏笔.
2、学生学习本课内容的能力
高一学生对于动态与静态的认识薄弱,对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识,对于综合函数图象与性质,计算机的应用尚不够熟练,在求解的过程中，由于数值计算较复杂，这些都给学生发现函数值逼近函数零点时造成了一定的难度.但学生思维活跃,积极性高,因此在教学过程中应该给学生提供实践动手的机会,加强信息技术的应用.在用二分法教学时,应该为学生创设熟悉的问题情境,引导学生观察、计算、思考,理解问题的本质从而得出结论.
教学方法与教学手段
教学方法：
创设问题组，设置认知冲突，采用探索讨论法进行教学，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。
教学手段：
为了解决数值计算复杂和图形难画等困难，借助信息技术如几何画板、ppt、excel等实现计算机辅助教学。同时，让学生借助于计算器加强课堂练习的效果与反馈。
教学程序与环节设计：
教学过程
创设情境
（一）问题情境
问题1：前面一节课学习了什么知识？
复习问题：（1）零点的定义
（2）方程的根与函数零点的关系
（3）零点存在性定理
问题2:你会求哪种方程的解？
问题3：函数零点个数？
试求方程的根？
试求方程的根？
[师生互动]根据情况由学生个别提出或回答,也可以集体提出或回答.
教师直接多媒体展示，复习上节课知识. 在学生对问题2讨论中，教师适时提出对于绝大数类型的方程而言，我们是难以求出他们的精确解的；而现实中，许多实际问题也不需要精确解，而只需要符合一定精确度的近似解就可以了，进而引本课主题求方程的近似解。通过联系上节课内容,易将方程的近似解问题转化为相应函数零点的近似解问题。
本节课求函数零点的近似解提供了理论依据.
问题4：函数零点的精确度与函数零点所在范围大小的关系？（直观想象） (二)引例
在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10km长的电话线路,每隔50m有一根电线杆,维修工人需爬上电线杆测试,如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找,困难很多.
问题5： 请同学们想一想,如果是你,你会怎样解决这个问题？
[师生互动] 给学生适当的时间分组讨论（各组负责人表达本组观点）.讨论的结果可能有好多不同的方法,其中包括：逐段检查、两面夹击、三等分等.教师提示应该注意操作的可行性.然后师补充引导.
思路引导：如图所示,他首先从中点C开始查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中点D,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD段中点E来查.
问题6：每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50至100m左右,总共需要几次？
[师生互动] 学生独立思考交流答案.
[师]然后教师准备引入课题,并且板演课题.
这是采取逐步缩小范围的办法找故障,当范围越小越容易查找发生故障的电话线路.在数学中我们也可以用这样的方法求函数零点的近似解(或方程的近似解).
新知探究
问题7：用二分法不断缩小函数零点所在的范围（2，3）？
问题8：当精确度为0.01时，如何求方程近似解？
[师生探究]
探究1 零点的初始区间的确定（学生讨论并分组交流）
方法1：试值法
方法2：图像法
探究2 缩小区间的方法（逼近）找中点,二分区间.
探究3 零点的精确化
[师生互动]教师利用几何画板做出对应函数的图象,学生观察函数图象.师生共同从所画图象上选择一个最优区间,作为初始区间.利用多媒体动态展示,讲解缩小区间的方法和过程,重点讲清原理.师生共同完成所举例子,帮助学生规范解题格式.
解:由于，，可以取区间[2,3]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下：
左端点 中点 右端点 符号 符号 符号
2 2.5 3 - - + 1
2.5 2.75 3 - + + 0.5
2.5 2.625 2.75 - + + 0.25
2.5 2.5625 2.625 - + + 0.125
2.5 2.53125 2.5625 - - + 0.0625
2.53125 2.546875 2.5625 - + + 0.03125
2.53125 2.5390625 2.546875 - + + 0.015625
2.53125 2.5315625 2.5390625 - + + 0.0078125
由上表可知,第8次取中点后,区间长度为0.0078125<0.01,所以我们将x=2.53125作为零点的近似值，也即方程根的近似值。
总结升华
问题9：什么是二分法？
[师生互动]学生大胆联想总结,师引导并且进一步完善.
1 二分法（bisection）：
对于在区间,上连续不断,且满足·的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
问题10：用二分法求零点近似值的步骤是什么？
[师生互动]教师引导学生回答,并总结完善,教师多媒体演示定义.
2、给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间,,验证·,给定精度；
(2)求区间,的中点；
(3)计算：
若=,则就是函数的零点；
若·<,则令=（此时零点）；
若·<,则令=（此时零点）；
(4)．判断是否达到精度；
即若,则得到零点值（或）；否则重复步骤2-4．
适时点拨其中可能的疑点：
步骤1中区间的开闭无关本质；
若区间长度为1，使用二分法n次后，精确度为，可以估计达到精确度至少需要使用次数：满足的最小自然数n；
如何取相应零点的近似值？
教师在此基础上引导学生转化到课本的写法上来，其中需要突破之处：
为了使所得新区间仍用（a，b）表示，需要更新a，b的值，不妨将中点大小赋给相应的端点。
步骤改进：零点的近似解确定为最后满足精确度的区间端点的更新值（即上一区间的中点）
典型例题
1 巩固提高
问题11：借助计算器用二分法求方程的近似解（精确度0.1）
[师生互动]两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程,教师给予点评.
变式1: 精确度改为0.01呢
变式2: 还有其他根吗
变式3: 精确度为0.1改为精确到为0.1呢
新区间内每个值所保留小数点后两位有效数字都相同.(一般还得继续二分),如何停止？要求学生课后继续思考.
问题12：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？
问题13：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？
[师生互动]教师有针对性的提出问题,引导学生回答,学生讨论,交流.
2 课堂训练
（1）在下列函数图像中,不能用二分法求零点的是（ ）
（2）智力游戏：
16只球中有一只假球，假球比真球略轻.现有一座无砝码的天平，如何用最少的次数称出这只假球？
[师生互动] 学生分析,师引导他们注意二分法使用条件。
课堂自主小结
1. 用二分法求方程的近似解
口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办 精确度上来判断.
2. 二分法的算法特点及思想
（1）逐步逼近思想.
（2）数形结合思想.
（3）近似与精确的相对统一.
课后作业
教材Ｐ9２习题３.１
（Ａ）组第３、４题（Ｂ）组第1题 2010.10.19
创设情境
新知探究探究
总结升华
典型例题
课堂小结
作业回馈
结
结合复习内容引入课题，结合实际问题诱发兴趣.
二分法的意义及方法步骤.
明确二分法的适用范围及算法思想。
二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题.
知识结构化.
进一步培养二分法的应用意识,并且培养再创造精神 .
教学反思
以教材设计探讨教学规律，寻求合理教学思想与方法
b
1.下列图象的函数中，不能用二分法求零点的是( )
贵阳八中 王茂平
教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。函数与方程是中学数学的重要内容之一,又是初等数学和高等数学衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数与方程实质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系,因而函数与方程思想的教学,既有着不可替代的重要位置,又有着重要的现实意义.而这正是本节课要渗透的重要思想.
本节课是这一小节的第二课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，要求学生根据具体的函数图象能够借助计算器（或计算机）用二分法求函数零点的近似解即相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系.它既是本册书中的重点内容,又是对函数知识的拓展,即体现了函数在解方程中的重要应用,同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础,因此决定了它的重要地位.
教学目标分析
1、知识与技能
（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
（2）根据具体函数的图像,能够借助计算器（或计算机）用二分法求满足一定精度要求的简单方程的近似解.
2过程与方法
（1）通过经历“用二分法求函数零点近似解”的探索过程,初步体会数形结合思想、逼近思想等.
（2）通过设置数学学习环境,让学生了解更多的获取知识的手段和途径.
（3）体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法作准备。
3、情感态度与价值观
（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程,感受精确与近似的相对统一.
（2）在探究解决问题的过程中,培养学生之间的合作态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神.
教学重、难点、疑点
重点：二分法基本思想的理解, 借助计算器用二分法求所给方程近似解的步骤和过程的掌握；
难点：精确度概念的理解；求函数零点近似解一般步骤3、4的理解和概括.
疑点：方程近似解的选取。
学情分析
1、学生学习本课内容的基础
学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点,理解了函数图象与方程的根之间的关系,尤其熟悉二次函数图象及其方程的根,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识,在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法,并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想为学生继续学习算法内容埋下伏笔.
2、学生学习本课内容的能力
高一学生对于动态与静态的认识薄弱,对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识,对于综合函数图象与性质,计算机的应用尚不够熟练,在求解的过程中，由于数值计算较复杂，这些都给学生发现函数值逼近函数零点时造成了一定的难度.但学生思维活跃,积极性高,因此在教学过程中应该给学生提供实践动手的机会,加强信息技术的应用.在用二分法教学时,应该为学生创设熟悉的问题情境,引导学生观察、计算、思考,理解问题的本质从而得出结论.
教学方法与教学手段
教学方法：
创设问题组，设置认知冲突，采用探索讨论法进行教学，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。
教学手段：
为了解决数值计算复杂和图形难画等困难，借助信息技术如几何画板、ppt、excel等实现计算机辅助教学。同时，让学生借助于计算器加强课堂练习的效果与反馈。
教学程序与环节设计：
教学过程
创设情境
（一）问题情境
问题1：前面一节课学习了什么知识？
复习问题：（1）零点的定义
（2）方程的根与函数零点的关系
（3）零点存在性定理
问题2:你会求哪种方程的解？
问题3：函数零点个数？
试求方程的根？
试求方程的根？
[师生互动]根据情况由学生个别提出或回答,也可以集体提出或回答.
教师直接多媒体展示，复习上节课知识. 在学生对问题2讨论中，教师适时提出对于绝大数类型的方程而言，我们是难以求出他们的精确解的；而现实中，许多实际问题也不需要精确解，而只需要符合一定精确度的近似解就可以了，进而引本课主题求方程的近似解。通过联系上节课内容,易将方程的近似解问题转化为相应函数零点的近似解问题。
本节课求函数零点的近似解提供了理论依据.
问题4：函数零点的精确度与函数零点所在范围大小的关系？（直观想象） (二)引例
在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10km长的电话线路,每隔50m有一根电线杆,维修工人需爬上电线杆测试,如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找,困难很多.
问题5： 请同学们想一想,如果是你,你会怎样解决这个问题？
[师生互动] 给学生适当的时间分组讨论（各组负责人表达本组观点）.讨论的结果可能有好多不同的方法,其中包括：逐段检查、两面夹击、三等分等.教师提示应该注意操作的可行性.然后师补充引导.
思路引导：如图所示,他首先从中点C开始查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中点D,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD段中点E来查.
问题6：每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50至100m左右,总共需要几次？
[师生互动] 学生独立思考交流答案.
[师]然后教师准备引入课题,并且板演课题.
这是采取逐步缩小范围的办法找故障,当范围越小越容易查找发生故障的电话线路.在数学中我们也可以用这样的方法求函数零点的近似解(或方程的近似解).
新知探究
问题7：用二分法不断缩小函数零点所在的范围（2，3）？
问题8：当精确度为0.01时，如何求方程近似解？
[师生探究]
探究1 零点的初始区间的确定（学生讨论并分组交流）
方法1：试值法
方法2：图像法
探究2 缩小区间的方法（逼近）找中点,二分区间.
探究3 零点的精确化
[师生互动]教师利用几何画板做出对应函数的图象,学生观察函数图象.师生共同从所画图象上选择一个最优区间,作为初始区间.利用多媒体动态展示,讲解缩小区间的方法和过程,重点讲清原理.师生共同完成所举例子,帮助学生规范解题格式.
解:由于，，可以取区间[2,3]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下：
左端点 中点 右端点 符号 符号 符号
2 2.5 3 - - + 1
2.5 2.75 3 - + + 0.5
2.5 2.625 2.75 - + + 0.25
2.5 2.5625 2.625 - + + 0.125
2.5 2.53125 2.5625 - - + 0.0625
2.53125 2.546875 2.5625 - + + 0.03125
2.53125 2.5390625 2.546875 - + + 0.015625
2.53125 2.5315625 2.5390625 - + + 0.0078125
由上表可知,第8次取中点后,区间长度为0.0078125<0.01,所以我们将x=2.53125作为零点的近似值，也即方程根的近似值。
总结升华
问题9：什么是二分法？
[师生互动]学生大胆联想总结,师引导并且进一步完善.
1 二分法（bisection）：
对于在区间,上连续不断,且满足·的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
问题10：用二分法求零点近似值的步骤是什么？
[师生互动]教师引导学生回答,并总结完善,教师多媒体演示定义.
2、给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间,,验证·,给定精度；
(2)求区间,的中点；
(3)计算：
若=,则就是函数的零点；
若·<,则令=（此时零点）；
若·<,则令=（此时零点）；
(4)．判断是否达到精度；
即若,则得到零点值（或）；否则重复步骤2-4．
适时点拨其中可能的疑点：
步骤1中区间的开闭无关本质；
若区间长度为1，使用二分法n次后，精确度为，可以估计达到精确度至少需要使用次数：满足的最小自然数n；
如何取相应零点的近似值？
教师在此基础上引导学生转化到课本的写法上来，其中需要突破之处：
为了使所得新区间仍用（a，b）表示，需要更新a，b的值，不妨将中点大小赋给相应的端点。
步骤改进：零点的近似解确定为最后满足精确度的区间端点的更新值（即上一区间的中点）
典型例题
1 巩固提高
问题11：借助计算器用二分法求方程的近似解（精确度0.1）
[师生互动]两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程,教师给予点评.
变式1: 精确度改为0.01呢
变式2: 还有其他根吗
变式3: 精确度为0.1改为精确到为0.1呢
新区间内每个值所保留小数点后两位有效数字都相同.(一般还得继续二分),如何停止？要求学生课后继续思考.
问题12：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？
问题13：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？
[师生互动]教师有针对性的提出问题,引导学生回答,学生讨论,交流.
2 课堂训练
（1）在下列函数图像中,不能用二分法求零点的是（ ）
（2）智力游戏：
16只球中有一只假球，假球比真球略轻.现有一座无砝码的天平，如何用最少的次数称出这只假球？
[师生互动] 学生分析,师引导他们注意二分法使用条件。
课堂自主小结
1. 用二分法求方程的近似解
口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办 精确度上来判断.
2. 二分法的算法特点及思想
（1）逐步逼近思想.
（2）数形结合思想.
（3）近似与精确的相对统一.
课后作业
教材Ｐ9２习题３.１
（Ａ）组第３、４题（Ｂ）组第1题 2010.10.19
创设情境
新知探究探究
总结升华
典型例题
课堂小结
作业回馈
结
结合复习内容引入课题，结合实际问题诱发兴趣.
二分法的意义及方法步骤.
明确二分法的适用范围及算法思想。
二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题.
知识结构化.
进一步培养二分法的应用意识,并且培养再创造精神 .
教学反思
以教材设计探讨教学规律，寻求合理教学思想与方法
b
1.下列图象的函数中，不能用二分法求零点的是( )