淮安市淮安区2021-2022学年高二下学期期中调研测试
数学
考试时间：120分钟满分：150分
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知，，，若，则（ ）
A． B． C．11 D．4
2．在的二项展开式中，第二项的系数为（ ）
A．4 B． C．6 D．
3．在正方体中，点是侧面的中心，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A． B． C．4 D．5
5．由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（ ）
A．72 B．60 C．36 D．20
6．已知空间向量，则（ ）
A． B． C． D．
7．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则（ ）
A. B. C. D.
8．第24届冬季奥运会举行期间，安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆,国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的方案种数为（ ）
A． 18 B．16 C．14 D．12
二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对于关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ）
A．若存在实数，，使，则与，共面；
B．若与，共面，则存在实数，，使；
C．若存在实数，，使则点，，，共面；
D．若点，，，共面，则存在实数，，使．
11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．若两条不重合的直线的方向向量分别是，则
B．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
C．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
D．若两个不同的平面的法向量分别是，则
12．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲 乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为120
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲乙两人能在处相遇的走法种数为36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164
三、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面，写出平面的一个法向量_________．
14．某学校派出4名学生和2名老师参加一个活动，活动结束后他们准备站成一排拍照留念，则2名老师相邻的不同排法有___________种．（用数字作答）
15．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为_________．
16．若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则的所有可能取值集合为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个．
用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
求选取的个中至少有个豆沙粽的概率．
18．（本题12分）已知点，，点在直线上．
(1)若，求点的坐标；
(2)若点是坐标原点，且，求点的坐标．
19．（本题12分）袋子中放有大小、形状均相同的小球若干．其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有个．从袋子中任取两个小球，取到的标号都是2的概率是．
（1）求的值；
（2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球的标号是1，求另一个小球的标号也是1的概率．
20．（本题12分） 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少
（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少
（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个
21．（本题12分）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求；
（2）求展开式中的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项．
22． （本题12分）如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是直角梯形，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角
的正弦值.淮安市淮安区2021-2022学年高二下学期期中调研测试
数学参考答案及评分标准
单选题
1—8． B B C D A A D C
二、多选题
9． ABC 10．AC 11． BD 12．BD
三、填空题
13．（答案不唯一） 14．240 15． 16．
四、解答题
17． 解：（1）由题意可得，的所有可能取值为0，1，2， …………………………1分
，，
故的分布列为：
0 1 2
……………7分
（2）由（1）可得，选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率
……………10分
18． 解： (1)，
∵点在直线上，∴，，.……………2分
由得，
，或. ……………6分（漏解扣2分）
(2)，
，， ……………9分
，. ……………12分
19．解：（1）由题意得， ……………3分
解得或（舍去）． ……………5分
（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件，“另一个小球的标号是1”为事件，……6分
则，, ……………10分
所以． ……………12分
20．解：（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有个；
……………4分
（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有个；
……………4分
（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个. ……………4分
21．解：（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，，
∴， 解得n＝8(n＝1舍去). ……………3分
（2）由，
当时，为有理项.
∵且，∴，4，8符合要求.
故有理项有3项，分别是，，. ……………6分
（3）设第r＋1项的系数为最大，则，
则＝≥1，＝≥1， ……………8分
解得. ……………10分
当r＝2时，当r＝3时，，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为，. ……………12分
22．解：（1）证明：取中点，连，，
因为是正三角形，所以. ……………2分
又是中点，所以.
因为，即，所以. ……………4分
因为， 平而，
所以平面，平面，所以. ……………5分
（2），又，
所以，则.
又，所以平面，所以平面平面，
，平面，平面平面，
所以平面. ……………7分
如图以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，
，，
设平面的法向量为，所以
即，令，可得，，可取. ……………9分
又，所以. ……………11分
即直线与平面所成角的正弦值为. ……………12分
