苏科版八年级数学上册《3.1 勾股定理的证明 》教学设计

勾股定理的证明
一、指导思想：
依据《数学课程标准》及新课程理念的要求：“将数学建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，学生是数学学习的主人，教师是从事数学学习活动的组织者、引导者与合作者。
二、教材分析：
本节课选自江苏凤凰科学技术出版社八年级上册——勾股定理。勾股定理是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是解直角三角形的主要根据。本节课是勾股定理的第一课时，主要是让学生对这个定理掌握准确，会语言表达，注意它所满足的条件，会运用定理解决某些问题，并能准确的解出。本节课让学生自己动手拼图、观察、得出结论，培养学生勤动手，主动探究的能力。
学生分析：
在学生已对直角三角形的性质有了一些了解以后，来学习勾股定理的有关知识，能够根据勾股定理，在直角三角形中已知任意两条边长，可以求出第三条边的长，并且能应用它解决一些实际问题。
能够用手中的拼图，用已学会的知识来解决勾股定理的证明，并能说出拼图过程。
学生已经初步具备小组合作的能力，独立学习能力，探究的能力，能够通过合作、交流来完成学习任务。
三、教学目标
知识技能：采用割补拼图的方法证明勾股定理尝试用不同方法证明。
解决问题：
1. 通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维及动手能力.
2.在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果开阔学生思路，提高学生兴趣。
情感态度：
1、 通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.
2、在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养的合作交流意识和探索精神.
四、：探索和证明勾股定理.
五、：恒等式变形及化简，用赵爽证法等证明勾股定理.
六、教学方法：探究、合作、创新
教学过程设计
问题与情境 师生行为 设计意图
一、创设情境，提出问题 本次活动中，教师引用毕达哥拉斯的例子，意在引出本节课的内容 从实际生活入手，为学生探索活动创设情境，激发学生学习兴趣，并且向学生传达了数学来源于生活的思想。
二、动手操作，证明定理 [操作1] （1）用四个边长分别为a、b全等三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。（2）面积分别怎样表示？它们有什么关系？方法一：赵爽玄图 教师出示图片并提出问题，下达操作指令。学生与同桌讨论交流并拼图验证勾股定理。前提条件：ABCD为AB=BC=CD=DA的矩形、（b-a)：为中间方孔的边长，很显然：c2=ABCD（面积）,c2=ABCD（面积）=（4个全等直角三角形的面积）+中间方孔的面积 =4*（1/2*ba）+(b-a)(b-a) =4*（1/2ba）+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 = a2+b2∴c2= a2+b2 即：a2+b2=c2 通过对大正方形面积的计算，培养学生的观察、分析能力，让学生学会灵活的计算方法。通过对会徽问题的回答，培养学生的民族自豪感及勇于探索的精神历经从特殊到一般的探索过程，培养学生大胆设想的能力。
方法二; 学生指出另一种拼图方式并且到黑板上拼图演示。教师着重引导学生将实际问题转化为数学模型。由已知可得：(a+b)2=c2+4ab++2ab=+2ab可得: +=c 通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并能服务于生活。
（3）你能否改变四个三角形的拼接方式得到新的正方形图形，与方法二中的图形来证明勾股定理？毕达哥拉斯证法 教师提出问题，引领学生思考拼图方式。学生与同桌交流探索新的勾股定理证明方法，并且由成功探索出的学生到黑板上拼接并说明理由。通过计算，可以很快得到图A两个小正方形的面积和为：(a+b)2-4ab=+图B中正方形的面积为：c因此有：+=c 通过此环节中的拼图、验证、说明等环节，培养学生操作探究的能力与交流合作的意识。
[操作2] （1）用两个边长分别为a、b全等三角形拼一拼、摆一摆，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。（2）面积分别怎样表示？它们有什么关系？总统证法 提示：三个三角形面积=一个直角梯形面积1/2ab+/1/2ab+1/2c2=1/2(a+b)22ab+c2=a2+b2+2aba2+b2=c2 教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位动手剪拼。教师参与学生活动，帮助、指导学生完成拼图活动。学生展示分割、拼接过程。教师展示多媒体拼接过程。本次活动中，教师应重点关注：（1）学生是否积极参与了拼接活动。（2）学生能否合理进行分割。（3）学生能否用语言准确地表达自己的观点。 通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立空间观念，发展形象思维。通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想。己的意见，能从交流中获益。小故事1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人…….终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
三、古今中外，知其魅力青朱出入图：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。 教师PPT放映介绍中国古代刘徽的“青朱出入图”：约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。 让学生感受到我国古代数学家的辉煌成就，以及感知到勾股定理的独特魅力。
四、总结升华，布置作业 小结：（1）勾股定理研究的是直角三角形三边之间的关系。（2）本节课经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。布置作业：
请上网查询勾股定理的其它证法，并整理写成一篇文章。 学生谈体会。教师进行补充、总结。在本次活动中，教师应重点关注：（1）不同层次的学生对知识的理解程度；（2）学生是否能从不同方面谈感受；（3）学生是否受到了爱国主义教育，探索科学奥谜的精神是否得到了培养。第2题作业根据自己情况选择完成。 通过小结为学生创设交流的空间，调动学习的积极性，既引导学生从面积的角度理解勾股定理，又从能力、情感、态度等方面关注学生对课堂整体感受，在轻松愉快的气氛中体会收获的喜悦。让学生课外继续研究，进一步培养学习兴趣。