9.2.4总体离散程度的估计 课件（21张PPT）

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9.2.4总体离散程度的估计
新课导语
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.
这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识.
新课引入
引例：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？
问题1：甲、乙两人本次射击成绩的平均数、中位数、众数分别为多少环？
问题2：观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
甲成绩比较分散，乙成绩相对集中.
都是7
如何度量这种差异呢？
相关概念
极差：极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.
甲命中环数的极差=10-4=6
乙命中环数的极差=9-5=4
极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
思考：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗
我们知道,如果射击的成绩很稳定,那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远;相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.
思考：如何定义“平均距离”？
相关概念
为了避免式子中含有绝对值，通常改为平方来代替
方差：
为了单位统一，对方差开平方
标准差：
相关概念
2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ，
则称S2＝ 为总体方差，S＝ 为总体标准差.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，
Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝ .
3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 ，
则称s2＝ 为样本方差，S＝ 为样本标准差.
方法总结
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大;标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.
新课引入
引例：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？
问题3：甲、乙两人射击谁比较稳定？
甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.
如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲.
例题讲解
例1：不经过计算，你能给下列各组数的标准差排序吗
(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5;
(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6;
(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；
(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.
思考：标准差的取值范围是什么？
标准差为0的一组数据有什么特点
例题讲解
例2：甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为:
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，哪台机床的性能更好
总结：在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定.
巩固练习
练习1：甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
解：（1）由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10,13,12,14,16；
乙：13,14,12,12,14.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
巩固练习
练习2：甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
√
解：比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.
例题讲解
例3：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？
根据方差的定义，总样本方差为
因此，
把已知男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得
故总样本的方差为51.486 2，据此估计高一年级全体学生身高的总体方差为51.486 2.
方法总结
分层随机抽样的方差
课堂小结
1.方差、极差的计算与应用.
2.分层随机抽样的方差.
3.方法归纳：数据统计、数据分析.
THANKS!